Teoria numerelor algebrice

Coperta primei ediții a Disquisitiones Arithmeticae , unul dintre principalele texte care au fondat teoria algebrică modernă a numerelor

Teoria numerelor algebrice este o ramură a teoriei numerelor care folosește tehnici de algebră abstractă pentru a studia numerele întregi , raționalele și generalizările acestora. În acest fel, problemele teoretice asupra numerelor pot fi exprimate în termeni de proprietăți ale obiectelor algebrice, cum ar fi câmpurile algebrice ale numerelor și inelele lor de numere întregi, câmpurile finite și câmpul funcțiilor. Aceste proprietăți, ca și cum un inel admite factorizarea unică, comportamentul idealurilor și grupurilor de câmpuri Galois , pot rezolva probleme de primă importanță în teoria numerelor, cum ar fi existența soluțiilor la ecuațiile diofantine .

Istoria teoriei algebrice a numerelor

Diofant

Originile teoriei algebrice a numerelor pot fi urmărite la ecuațiile diofantine, ^[1] care poartă numele matematicianului alexandrin din secolul al III-lea, Diofant , care le-a studiat și a dezvoltat metode pentru rezolvarea anumitor tipuri de ecuații. O problemă tipică diofantină este de a găsi două numere întregi x și y astfel încât suma lor și suma pătratelor lor să fie egale cu A și respectiv B :

A=x+y\

{\ displaystyle A = x + y \}

{\ displaystyle A = x + y \}

B=x^{2}+y^{2}.\

{\ displaystyle B = x ^ {2} + y ^ {2}. \}

{\ displaystyle B = x ^ {2} + y ^ {2}. \}

Ecuațiile diofantine au fost studiate de mii de ani. De exemplu, soluțiile ecuației diofantine pătratice x ² + y ² = z ² sunt date de triplele pitagoreice , inițial rezolvate de babilonieni (c. 1800 î.Hr.). ^[2] Ecuațiile liniare diofantine, cum ar fi 26 x + 65 y = 13, pot fi rezolvate folosind algoritmul lui Euclid (c. Secolul V î.Hr.). ^[3]

Lucrarea majoră a lui Diophantus a fost Arithmetica , din care doar o parte a supraviețuit.

Fermat

Ultima teoremă a lui Fermat a fost prima dată conjecturată de Pierre de Fermat în 1637 într-o copie a Arithmetica , pretinzând că are o dovadă prea mare pentru a se încadra în marginea foii. Nici o dovadă validă nu a fost publicată până în 1995, în ciuda eforturilor a nenumărați matematicieni. Problema nerezolvată a stimulat dezvoltarea teoriei numerelor algebrice în secolul al XIX-lea și dovada teoremei modularității în secolul următor.

Gauss

Una dintre lucrările fondatoare ale teoriei numerelor algebrice, Disquisitiones Arithmeticae (latină: „Arithmetic Investigations”) a fost textul teoriei numerelor scris de Carl Friedrich Gauss în 1798, când Gauss avea 21 de ani, și a fost publicat pentru prima dată în 1801 În această carte Gauss reunește rezultatele teoriei numerelor obținute de matematicieni precum Fermat, Euler , Lagrange și Legendre , adăugând propriile sale rezultate importante. Înainte de publicarea Disquisitiones , teoria numerelor consta într-o colecție de teoreme și presupuneri izolate. Gauss a combinat lucrările predecesorilor săi și lucrările sale originale într-o structură sistematică, a completat golurile, a corectat demonstrațiile delicate și a extins problema în alte domenii.

Disquisitiones a fost punctul de plecare pentru munca altor matematicieni europeni din secolul al XIX-lea, precum Ernst Kummer , Peter Gustav Lejeune Dirichlet și Richard Dedekind . Multe dintre notițele lui Gauss sunt într-adevăr anunțuri de cercetări ulterioare proprii, dintre care unele au rămas nepublicate. Deși adnotările au apărut criptice contemporanilor săi, semințele teoriilor funcțiilor L și ale multiplicării complexe sunt acum recunoscute în special.

Dirichlet

În câteva articole din 1838 și 1839, Peter Gustav Lejeune Dirichlet a dovedit prima formulă de clasă numerică, pe forme pătratice (rafinate ulterior de elevul său Leopold Kronecker ). Formula, definită de Jacobi ca rezultat „atingerea vârfului perspicacității umane”, a deschis calea pentru rezultate similare pe câmpuri numerice mai generale. ^[4] Pe baza propriilor sale cercetări asupra structurii grupului de unități de câmpuri pătratice, Dirichlet și-a dovedit teorema unității, un rezultat fundamental al teoriei numerelor algebrice. ^[5]

El a fost primul care a folosit principiul sertarului , un raționament elementar de numărare, în dovada teoremei aproximării diofantine , teorema de aproximare Dirichlet. Matematicianul german a publicat, de asemenea, contribuții importante la ultima teoremă a lui Fermat, dovedind cazurile n = 5 și n = 14 și la legea reciprocității quartice. ^[4] Problema divizorului lui Dirichlet, în care și-a găsit primele rezultate, este încă o problemă nerezolvată a teoriei numerelor, în ciuda contribuțiilor ulterioare ale altor matematicieni.

Dedekind

Opera lui Lejeune Dirichlet l-a condus pe Richard Dedekind în studiul său ulterior al câmpurilor algebrice ale numerelor și idealurilor. În 1863, a publicat prelegerile lui Dirichlet despre teoria numerelor sub titlul Vorlesungen über Zahlentheorie (în germană: „Lectures on number theory”), despre care a fost scris:

„Deși cartea s-a bazat cu siguranță pe prelegerile lui Dirichlet și, deși Dedekind însuși a făcut referire la carte ca Dirichlet, lucrarea a fost în întregime scrisă de Dedekind, în cea mai mare parte după moartea lui Dirichlet.” (Edwards 1983).

Edițiile din 1879 și 1894 au inclus suplimente care au introdus noțiunea de ideal, fundamental în teoria inelelor (cuvântul „inel”, introdus ulterior de Hilbert , nu apare în opera lui Dedekind). Dedekind a definit un ideal ca un subset al unui set de numere, compus din numere întregi algebrice care satisfac o ecuație polinomială cu coeficienți întregi. Conceptul a suferit o dezvoltare ulterioară în mâinile lui Hilbert și, în special, a lui Emmy Noether . Idealurile generalizează numerele ideale ale lui Ernst Eduard Kummer, concepute în 1843 ca încercarea lui Kummer de a demonstra ultima teoremă a lui Fermat.

Hilbert

David Hilbert a unificat domeniul teoriei numerelor algebrice cu tratatul său din 1897, Zahlbericht . De asemenea, a rezolvat o problemă importantă a teoriei numerelor formulată de Waring în 1770. Ca și în cazul teoremei limitării, Hilbert a folosit o dovadă a existenței, arătând că soluțiile la problemă trebuie să existe mai degrabă decât să ofere un mecanism pentru a le produce. ^[6] Hilbert a făcut o serie de presupuneri asupra teoriei câmpurilor de clasă. Conceptele au fost foarte influente, iar contribuțiile sale rămân în numele câmpului clasei Hilbert și a simbolului Hilbert în teoria câmpului claselor locale. Rezultatele au fost apoi demonstrate în 1930, datorită muncii lui Teiji Takagi. ^[7]

Artin

Emil Artin într-o serie de articole (1924, 1927, 1930) a stabilit legea reciprocității care îi poartă numele. Această lege este o teoremă generală în teoria numerelor care formează o parte centrală a întregii teorii a câmpurilor de clasă. ^[8] Termenul „lege a reciprocității” se referă la lunga serie de rezultate ale teoriei numerice pe care Artin le generalizează, de la legea reciprocității pătratice împreună cu cele ale lui Eisenstein și Kummer până la produsul Hilbert pentru simbolul Hilbert. Rezultatul lui Artin a oferit o soluție parțială la a noua problemă a lui Hilbert.

Teoria modernă

În jurul anului 1955, matematicienii japonezi Goro Shimura și Yutaka Taniyama au observat o posibilă legătură între două ramuri aparent distincte ale matematicii, curbele eliptice și formele modulare . Teorema modularității ulterioare (pe atunci cunoscută sub numele de conjectura Taniyama - Shimura) afirmă că fiecare curbă eliptică este modulară, adică poate fi asociată cu o singură formă modulară.

A fost inițial respinsă ca fiind puțin probabilă sau foarte speculativă și a fost luată în considerare în mod serios numai atunci când teoreticianul numerelor, André Weil, a găsit dovezi care să susțină validitatea acesteia, dar nici o dovadă; în consecință, conjectura „surprinzătoare” ^{[9] a} fost adesea cunoscută sub numele de conjectura Taniyama - Shimura-Weil. De asemenea, a devenit parte a programului Langlands , o listă de presupuneri importante care aveau nevoie de dovezi sau infirmări.

Între 1993 și 1994, Andrew Wiles a dovedit teorema modularității pentru curbele eliptice semi-stabile, care, împreună cu teorema lui Ribet, au furnizat o dovadă a ultimei teoreme a lui Fermat. Aproape toți matematicienii au considerat până atunci ultima teoremă a lui Fermat și teorema modularității atât falsă, fie practic imposibilă de dovedit, chiar și cu cele mai moderne evoluții. Wiles și-a anunțat dovada în iunie 1993 ^[10] într-o versiune care a fost recunoscută în curând ca invalidă din cauza unui defect grav într-un punct cheie. Dovada a fost corectată de Wiles, împreună cu Richard Taylor ; versiunea finală a fost lansată în septembrie 1994 și publicată oficial în 1995. Dovada folosește multe tehnici din geometria algebrică și teoria numerelor și are multe ramificații în aceste ramuri ale matematicii. De asemenea, folosește câteva construcții standard ale geometriei algebrice, cum ar fi categoria de scheme și teoria lui Iwasawa și alte tehnici din secolul al XX-lea care nu sunt disponibile pentru Fermat.

Noțiuni de bază

Eșecul factorizării unice

O proprietate importantă a inelului numerelor întregi este aceea a satisfacerii teoremei fundamentale a aritmeticii , adică fiecare număr întreg pozitiv are o factorizare primă , iar acesta din urmă este unic până la ordinea factorilor. Acest lucru nu poate fi în general adevărat într-un inel de numere întregi $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ a unui câmp numeric $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ .

Un element prim este un element $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ din $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ astfel încât dacă $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ împarte un produs $la b$ ${\ displaystyle ab}$ $ab$ , apoi împarte unul dintre factori $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ sau $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ . Această proprietate este strâns legată de primalitatea numerelor întregi, deoarece fiecare număr întreg pozitiv care o satisface este sau $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ sau un număr prim. Cu toate acestea, această proprietate este formal mai slabă. De exemplu, $-2$ ${\ displaystyle -2}$ $-2$ nu este un număr prim, deoarece este negativ, dar este un element prim. Dacă factorizările în elemente prime ar fi permise, atunci, chiar și în numere întregi, ar exista mai multe factorizări, cum ar fi

6=2\cdot 3=(-2)\cdot (-3).

{\ displaystyle 6 = 2 \ cdot 3 = (- 2) \ cdot (-3).}

{\ displaystyle 6 = 2 \ cdot 3 = (- 2) \ cdot (-3).}

În general, dacă $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ este o unitate , adică un număr cu invers multiplicativ în $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ , si daca $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ atunci este un element prim $tu p$ ${\ displaystyle up}$ ${\ displaystyle up}$ este, de asemenea, un element prim. Numere ca $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ Și $tu p$ ${\ displaystyle up}$ ${\ displaystyle up}$ se numesc asociați . În numărul întreg, primul $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ Și $-p$ ${\ displaystyle -p}$ ${\ displaystyle -p}$ sunt asociate, dar doar unul dintre ele este pozitiv. Cererea pentru pozitivitatea numerelor prime selectează un singur element din setul de elemente prime asociate. Cand $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ nu este ansamblul numerelor raționale, cu toate acestea, nu există un analog al conceptului de pozitivitate. De exemplu, în numărul întreg Gauss $\mathbb {Z} [i]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [i]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [i]}$ , numerele $1+2i$ ${\ displaystyle 1 + 2i}$ ${\ displaystyle 1 + 2i}$ Și $-2+i$ ${\ displaystyle -2 + i}$ ${\ displaystyle -2 + i}$ acestea sunt asociate deoarece acesta din urmă este produsul primului pentru $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ , dar nu există nicio modalitate de a le deosebi. Acest lucru duce la identități precum

5=(1+2i)(1-2i)=(2+i)(2-i),

{\ displaystyle 5 = (1 + 2i) (1-2i) = (2 + i) (2-i),}

{\ displaystyle 5 = (1 + 2i) (1-2i) = (2 + i) (2-i),}

care arată că, în $\mathbb {Z} [i]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [i]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [i]}$ , factorizarea unică nu este validă decât dacă ordinea factorilor. Din acest motiv, se adoptă definiția factorizării unice utilizate în domenii cu factorizare unică (prescurtată ca UFD). Într-un UFD, fiecare element are o factorizare ireductibilă unică până la asociați și la ordinea factorilor.

Cu toate acestea, chiar și cu această definiție mai slabă, multe inele de numere întregi din câmpurile numerice nu permit factorizarea unică. Există un obstacol algebric numit grupul de clase de idealuri. Când grupul de clase de idealuri este banal, inelul este un UFD, altfel există o distincție între elementul prim și elementul ireductibil . Un element ireductibil $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este un element astfel încât dacă $x=yz$ ${\ displaystyle x = yz}$ ${\ displaystyle x = yz}$ , atunci sau $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ sau $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ este o unitate. Acestea sunt elementele care nu pot fi luate în considerare în continuare. Fiecare element din $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ admite o factorizare în elemente ireductibile, dar ar putea avea mai multe. Acest lucru se datorează faptului că, deși toate elementele prime sunt ireductibile, este posibil ca un element ireductibil să nu fie prim. De exemplu, în ring $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {-5}}]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {-5}}]}$ numerele $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ , $2+{\sqrt {-5}}$ ${\ displaystyle 2 + {\ sqrt {-5}}}$ ${\ displaystyle 2 + {\ sqrt {-5}}}$ Și $2-{\sqrt {-5}}$ ${\ displaystyle 2 - {\ sqrt {-5}}}$ ${\ displaystyle 2 - {\ sqrt {-5}}}$ sunt ireductibile. Aceasta înseamnă că numărul 9 are două factorizări în elemente ireductibile,

9=3^{2}=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}}).

{\ displaystyle 9 = 3 ^ {2} = (2 + {\ sqrt {-5}}) (2 - {\ sqrt {-5}}).}

{\ displaystyle 9 = 3 ^ {2} = (2 + {\ sqrt {-5}}) (2 - {\ sqrt {-5}}).}

Această egalitate arată că $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ împarte produsul $(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}})=9$ ${\ displaystyle (2 + {\ sqrt {-5}}) (2 - {\ sqrt {-5}}) = 9}$ ${\ displaystyle (2 + {\ sqrt {-5}}) (2 - {\ sqrt {-5}}) = 9}$ . De sine $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ au fost un element prim, atunci ar împărți unul dintre cei doi factori, dar acest lucru este imposibil, deoarece fiecare element este divizibil cu $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ este de forma $3a+3b{\sqrt {-5}}$ ${\ displaystyle 3a + 3b {\ sqrt {-5}}}$ ${\ displaystyle 3a + 3b {\ sqrt {-5}}}$ . În mod similar, $2+{\sqrt {-5}}$ ${\ displaystyle 2 + {\ sqrt {-5}}}$ ${\ displaystyle 2 + {\ sqrt {-5}}}$ Și $2-{\sqrt {-5}}$ ${\ displaystyle 2 - {\ sqrt {-5}}}$ ${\ displaystyle 2 - {\ sqrt {-5}}}$ împărțiți produsul $3^{2}$ ${\ displaystyle 3 ^ {2}}$ $3 ^ {2}$ , dar niciun element nu se împarte $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ , deci nu sunt prime. Deoarece nu există nicio modalitate de a face echivalent $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ , $2+{\sqrt {-5}}$ ${\ displaystyle 2 + {\ sqrt {-5}}}$ ${\ displaystyle 2 + {\ sqrt {-5}}}$ Și $2-{\sqrt {-5}}$ ${\ displaystyle 2 - {\ sqrt {-5}}}$ ${\ displaystyle 2 - {\ sqrt {-5}}}$ , factorizarea unică eșuează în $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {-5}}]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {-5}}]}$ . Spre deosebire de situația cu unități, în care unicitatea ar putea fi reparată prin slăbirea definiției, depășirea acestei probleme necesită o nouă perspectivă.

Factorizarea în idealuri prime

De sine $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este un ideal în $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ , atunci există întotdeauna o factorizare

I={\mathfrak {p}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{t}^{e_{t}},

{\ displaystyle I = {\ mathfrak {p}} _ {1} ^ {e_ {1}} \ cdots {\ mathfrak {p}} _ {t} ^ {e_ {t}},}

{\ displaystyle I = {\ mathfrak {p}} _ {1} ^ {e_ {1}} \ cdots {\ mathfrak {p}} _ {t} ^ {e_ {t}},}

unde fiecare ${\mathfrak {p}}_{i}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i}}$ este un ideal prim și această expresie este unică până la ordinea factorilor. În special, acest lucru este adevărat dacă $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este un ideal principal generat de un singur element. Acesta este cel mai puternic caz în care un inel de numere întregi ale unui câmp numeric general admite factorizarea unică. În limbajul teoriei inelelor, se spune că aceste inele de numere întregi sunt domenii Dedekind .

Cand $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ este un UFD, fiecare ideal prim este generat de un element prim. În caz contrar, există idealuri prime care nu sunt generate de elemente prime. În $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {-5}}]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {-5}}]}$ , de exemplu, idealul $(2,1+{\sqrt {-5}})$ ${\ displaystyle (2,1 + {\ sqrt {-5}})}$ ${\ displaystyle (2,1 + {\ sqrt {-5}})}$ este un ideal prim care nu poate fi generat de un singur element.

Din punct de vedere istoric, ideea de a ține cont de idealuri în idealuri prime a fost precedată de introducerea numerelor ideale ale lui Ernst Kummer, care se află într-o extensie $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ din $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ . Această extensie este acum cunoscută sub numele de câmpul clasei Hilbert. Prin teorema idealului principal, fiecare ideal prim al lui $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ generează un ideal principal al inelului numerelor întregi ale $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ . Un generator al acestui ideal principal este numit un număr ideal. Kummer le-a folosit ca înlocuitori pentru eșecul factorizării unice în câmpurile ciclotomice . Acest lucru l-a determinat în cele din urmă pe Richard Dedekind să introducă un precursor al conceptului de ideal și să demonstreze factorizarea unică a idealurilor.

Un ideal care este prim în inelul numerelor întregi într-un câmp numeric poate pierde primalitatea într-un câmp numeric mai mare. Luați în considerare, de exemplu, numerele prime. Idealurile corespunzătoare $p\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle p \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle p \ mathbb {Z}}$ sunt primii în ring $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ . Cu toate acestea, atunci când acest ideal este extins la numărul întreg Gauss pentru a obține $p\mathbb {Z} [i]$ ${\ displaystyle p \ mathbb {Z} [i]}$ ${\ displaystyle p \ mathbb {Z} [i]}$ , poate să nu fie prim. De exemplu, factorizarea $2=(1+i)(1-i)$ ${\ displaystyle 2 = (1 + i) (1-i)}$ ${\ displaystyle 2 = (1 + i) (1-i)}$ presupune că

2\mathbb {Z} [i]=(1+i)\mathbb {Z} [i]\cdot (1-i)\mathbb {Z} [i]=((1+i)\mathbb {Z} [i])^{2};

{\ displaystyle 2 \ mathbb {Z} [i] = (1 + i) \ mathbb {Z} [i] \ cdot (1-i) \ mathbb {Z} [i] = ((1 + i) \ mathbb {Z} [i]) ^ {2};}

{\ displaystyle 2 \ mathbb {Z} [i] = (1 + i) \ mathbb {Z} [i] \ cdot (1-i) \ mathbb {Z} [i] = ((1 + i) \ mathbb {Z} [i]) ^ {2};}

rețineți că, din moment ce $1+i=(1-i)\cdot i$ ${\ displaystyle 1 + i = (1-i) \ cdot i}$ ${\ displaystyle 1 + i = (1-i) \ cdot i}$ , idealurile generate de $1+i$ ${\ displaystyle 1 + i}$ ${\ displaystyle 1 + i}$ Și $1-i$ ${\ displaystyle 1-i}$ ${\ displaystyle 1-i}$ sunt la fel. Un răspuns complet la problema idealurilor care rămân prime în numerele întregi Gauss este oferit de teorema lui Fermat pe sumele a două pătrate . Teorema implică faptul că pentru un număr prim impar $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ , $p\mathbb {Z} [i]$ ${\ displaystyle p \ mathbb {Z} [i]}$ ${\ displaystyle p \ mathbb {Z} [i]}$ este un prim ideal dacă și numai dacă $p\equiv 3\!\!{\pmod {4}}$ ${\ displaystyle p \ equiv 3 \! \! {\ pmod {4}}}$ ${\ displaystyle p \ equiv 3 \! \! {\ pmod {4}}}$ . Aceasta, împreună cu observația că idealul $(1+i)\mathbb {Z} [i]$ ${\ displaystyle (1 + i) \ mathbb {Z} [i]}$ ${\ displaystyle (1 + i) \ mathbb {Z} [i]}$ este mai întâi, oferă o descriere completă a idealurilor prime din numerele întregi gaussiene. Generalizarea acestui rezultat simplu la inele de numere întregi mai generale este o problemă fundamentală în teoria numerelor algebrice. Teoria câmpului de clasă atinge acest obiectiv atunci când $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este o extensie abeliană a $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ (adică o extensie a lui Galois cu un grup de Galois abelieni ).

Grup de clase de idealuri

Factorizarea unică eșuează dacă și numai dacă există idealuri prime non-principale. Obiectul care determină dacă un ideal primar este principal sau nu este grupul de clase de idealuri. Pentru a defini grupul de clase, trebuie să extindem setul de idealuri într-un inel de numere întregi algebrice, astfel încât să admită o structură de grup . Pentru a face acest lucru, idealurile sunt generalizate la idealuri fracționate . Un ideal fracționat este un subgrup aditiv $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ din $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ care se închide sub multiplicare prin elemente de $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ , asta este ceea ce $xJ\subset J$ ${\ displaystyle xJ \ subset J}$ ${\ displaystyle xJ \ subset J}$ de sine $x\in O$ ${\ displaystyle x \ în O}$ $x \ in O$ . Toate idealurile $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ sunt și idealuri fracționate. De sine $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ Și $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ sunt idealuri fracționate, apoi întregul $THE J$ ${\ displaystyle IJ}$ ${\ displaystyle IJ}$ a tuturor produselor dintr-un element de $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ pentru un element de $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ este încă un ideal fracționat. Această operație transformă setul de idealuri fracționare non-nule într-un grup. Identitatea de grup este ideală $(1)=O$ ${\ displaystyle (1) = O}$ ${\ displaystyle (1) = O}$ , și inversul lui $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ este un coeficient ideal generalizat, $J^{-1}=(O:J)={x\in K:xJ\subset O}$ ${\ displaystyle J ^ {- 1} = (O: J) = {x \ în K: xJ \ subset O}}$ ${\ displaystyle J ^ {- 1} = (O: J) = {x \ în K: xJ \ subset O}}$ .

Principalele idealuri fracționare, adică cele de formă $SAU X$ ${\ displaystyle Ox}$ ${\ displaystyle Ox}$ cu $x\in K^{\times }$ ${\ displaystyle x \ în K ^ {\ times}}$ ${\ displaystyle x \ în K ^ {\ times}}$ , formează un subgrup al grupului tuturor idealurilor fracționale non-nule. Cocientul grupului de idealuri fracționate pentru acest subgrup este grupul de clase de idealuri. Două idealuri fracționate $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ Și $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ reprezintă același element în grupul de clasă dacă și numai dacă există un element $x\in K$ ${\ displaystyle x \ în K}$ $x \ în K$ astfel încât $xI=J$ ${\ displaystyle xI = J}$ ${\ displaystyle xI = J}$ . Prin urmare, dacă un ideal fracționat este „aproape” de a fi principal în același mod ca un alt ideal, atunci grupul de clase de idealuri le face echivalente. Grupul claselor ideale este indicat în general cu $\operatorname {Cl} K$ ${\ displaystyle \ operatorname {Cl} K}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Cl} K}$ , $\operatorname {Cl} O$ ${\ displaystyle \ operatorname {Cl} O}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Cl} O}$ , sau $\operatorname {Pic} K$ ${\ displaystyle \ operatorname {Pic} K}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Pic} K}$ (cu ultima notație se identifică cu grupul lui Picard în geometrie algebrică).

Numărul de elemente dintr-un grup de clase se numește numărul de clase $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ . De exemplu, numărul de clase de $\mathbb {Q} ({\sqrt {-5}})$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-5}})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-5}})}$ Și $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ . Aceasta înseamnă că există doar două clase de idealuri: clasa idealurilor fracționare principale și clasa celor non-principale, cum ar fi $(2,1+{\sqrt {-5}})$ ${\ displaystyle (2,1 + {\ sqrt {-5}})}$ ${\ displaystyle (2,1 + {\ sqrt {-5}})}$ .

Grupul de clasă are o altă descriere în ceea ce privește separatoarele. Acestea din urmă sunt obiecte formale care reprezintă factorizări posibile ale numerelor. Grupul de separatoare $\operatorname {Div} K$ ${\ displaystyle \ operatorname {Div} K}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Div} K}$ este definit ca grupul abelian liber generat de idealurile prime ale $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ . Există un homomorfism de grup din $K^{\times }$ ${\ displaystyle K ^ {\ times}}$ ${\ displaystyle K ^ {\ times}}$ , elementele nenule ale $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , la $\operatorname {Div} K$ ${\ displaystyle \ operatorname {Div} K}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Div} K}$ . Asuma ca $x\in K$ ${\ displaystyle x \ în K}$ $x \ în K$ satisface

(x)={\mathfrak {p}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{t}^{e_{t}}.

{\ displaystyle (x) = {\ mathfrak {p}} _ {1} ^ {e_ {1}} \ cdots {\ mathfrak {p}} _ {t} ^ {e_ {t}}.}

{\ displaystyle (x) = {\ mathfrak {p}} _ {1} ^ {e_ {1}} \ cdots {\ mathfrak {p}} _ {t} ^ {e_ {t}}.}

Apoi despărțitorul $\operatorname {div} x$ ${\ displaystyle \ operatorname {div} x}$ ${\ displaystyle \ operatorname {div} x}$ este definit ca

\operatorname {div} x=\sum _{i=1}^{t}e_{i}[{\mathfrak {p}}_{i}].

{\ displaystyle \ operatorname {div} x = \ sum _ {i = 1} ^ {t} e_ {i} [{\ mathfrak {p}} _ {i}]}

{\ displaystyle \ operatorname {div} x = \ sum _ {i = 1} ^ {t} e_ {i} [{\ mathfrak {p}} _ {i}]}

Nucleul $\operatorname {div}$ ${\ displaystyle \ operatorname {div}}$ $\ operatorname {div}$ este grupul unității de $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ , în timp ce conucleul este grupul de clase de idealuri. În limbajul algebrei omologice , înseamnă că există o succesiune exactă de grupuri abeliene (în sens multiplicativ),

1\to O^{\times }\to K^{\times }{\xrightarrow {\text{div}}}\operatorname {Div} K\to \operatorname {Cl} K\to 1.

{\ displaystyle 1 \ to O ^ {\ times} \ to K ^ {\ times} {\ xrightarrow {\ text {div}}} \ operatorname {Div} K \ to \ operatorname {Cl} K \ to 1.}

{\ displaystyle 1 \ to O ^ {\ times} \ to K ^ {\ times} {\ xrightarrow {\ text {div}}} \ operatorname {Div} K \ to \ operatorname {Cl} K \ to 1.}

Scufundări reale și complexe

Unele câmpuri numerice, cum ar fi $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}})}$ , poate fi văzut ca subcâmpuri ale numerelor reale. În schimb, altele $\mathbb {Q} ({\sqrt {-1}})$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-1}})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-1}})}$ , ei nu pot. Într-un mod abstract, aceste specificații corespund unui omomorfism de câmp $K\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle K \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle K \ to \ mathbb {R}}$ sau $K\to \mathbb {C}$ ${\ displaystyle K \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle K \ to \ mathbb {C}}$ , respectiv numite scufundări reale și scufundări complexe .

Un câmp real pătratic $\mathbb {Q} ({\sqrt {a}})$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {a}})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {a}})}$ , cu $a\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}}$ , $a>0$ ${\ displaystyle a> 0}$ $a> 0$ Și $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ nu este un pătrat perfect , se numește așa pentru că admite două scufundări reale, dar nici una complexă. Acestea corespund homomorfismelor pe care le trimit ${\sqrt {a}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {a}}}$ ${\ sqrt {a}}$ în ${\sqrt {a}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {a}}}$ ${\ sqrt {a}}$ si in ${\sqrt {a}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {a}}}$ ${\ sqrt {a}}$ , respectiv. În schimb, un câmp imaginar pătratic $\mathbb {Q} ({\sqrt {-a}})$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-a}})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-a}})}$ admite doar un cuplu căsătorit de scufundări complexe. Una dintre aceste scufundări trimite ${\sqrt {-a}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {-a}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {-a}}}$ în ${\sqrt {-a}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {-a}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {-a}}}$ , în timp ce celălalt ca întreg conjugat , $-{\sqrt {-a}}$ ${\ displaystyle - {\ sqrt {-a}}}$ ${\ displaystyle - {\ sqrt {-a}}}$ .

În mod convențional, numărul de scufundări reale de $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este indicat cu $r_{1}$ ${\ displaystyle r_ {1}}$ $r_1$ , în timp ce numărul de perechi conjugate de scufundări complexe cu $r_{2}$ ${\ displaystyle r_ {2}}$ $r_2$ . Semnătura $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este cuplul $(r_{1},r_{2})$ ${\ displaystyle (r_ {1}, r_ {2})}$ ${\ displaystyle (r_ {1}, r_ {2})}$ . Există o teoremă care afirmă că $r_{1}+2r_{2}=d$ ${\ displaystyle r_ {1} + 2r_ {2} = d}$ ${\ displaystyle r_ {1} + 2r_ {2} = d}$ , unde este $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ este gradul de $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ .

Având în vedere toate scufundările împreună, se determină o funcție

M\colon K\to \mathbb {R} ^{r_{1}}\oplus \mathbb {C} ^{2r_{2}}.

{\ displaystyle M \ colon K \ to \ mathbb {R} ^ {r_ {1}} \ oplus \ mathbb {C} ^ {2r_ {2}}.}

{\ displaystyle M \ colon K \ to \ mathbb {R} ^ {r_ {1}} \ oplus \ mathbb {C} ^ {2r_ {2}}.}

Aceasta se numește scufundare Minkowski . Subspatiul codomainei fixat prin conjugarea complexa este un spatiu vectorial real de dimensiune $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ numit spațiu Minkowski. Deoarece imersiunea Minkowski este definită de omomorfismele câmpurilor, multiplicarea unui element de $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ pentru un articol $x\in K$ ${\ displaystyle x \ în K}$ $x \ în K$ corespunde multiplicării cu o matrice diagonală în imersiunea lui Minkowski. Produsul scalar din spațiul corespunde $\langle x,y\rangle =\operatorname {Tr} (xy)$ ${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = \ operatorname {Tr} (xy)}$ ${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = \ operatorname {Tr} (xy)}$ , unde este $\operatorname {Tr}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Tr}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Tr}}$ indică pista .

Imaginea lui $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ sub imersiunea Minkowski este o rețea d- dimensională. De sine $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ atunci este o bază a acestei rețele $\det B^{T}B$ ${\ displaystyle \ det B ^ {T} B}$ ${\ displaystyle \ det B ^ {T} B}$ este discriminantul $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ , indicat cu $\Delta$ ${\ displaystyle \ Delta}$ $\ Delta$ sau cu $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ . Covolumul imaginii $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ Și ${\sqrt {|\Delta |}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {| \ Delta |}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {| \ Delta |}}}$ .

Locuri

Imersiunile reale și complexe pot fi plasate la același nivel ca idealurile prime adoptând o perspectivă bazată pe evaluări. Luați în considerare, de exemplu, numerele întregi. Pe lângă funcția obișnuită de valoare absolută $|\cdot |\colon \mathbb {Q} \to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle | \ cdot | \ colon \ mathbb {Q} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle | \ cdot | \ colon \ mathbb {Q} \ to \ mathbb {R}}$ , există valori p-adice absolute $|\cdot |_{p}\colon \mathbb {Q} \to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle | \ cdot | _ {p} \ colon \ mathbb {Q} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle | \ cdot | _ {p} \ colon \ mathbb {Q} \ to \ mathbb {R}}$ , definit pentru fiecare număr prim $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ , care măsoară divizibilitatea cu $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ . Teorema lui Ostrowski afirmă că toate acestea sunt valori absolute posibile $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ (cu excepția cazului în care există echivalențe). Prin urmare, valorile absolute sunt un limbaj comun pentru a descrie ambele scufundări reale $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ ambele numere prime.

Un loc al unui câmp algebric de numere este o clasă de echivalență a valorilor absolute de pe $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ . Există două tipuri de scaune. Există o valoare absolută ${\mathfrak {p}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ $\ mathfrak {p}$ -adico pentru fiecare ideal primar ${\mathfrak {p}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ $\ mathfrak {p}$ din $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ , și, la fel ca valorile absolute p -adics, măsoară divizibilitatea. Acestea se numesc locuri finite . Celălalt tip de loc este definit folosind o imersiune reală sau complexă de $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ și valoarea absolută standard pe $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ sau $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\mathbb {C}}$ . Questi invece sono i posti infiniti . Poiché i valori assoluti non sono in grado di distinguere un'immersione complessa dalla sua coniugata, una coppia coniugata di immersioni determina lo stesso posto. Quindi, esistono $r_{1}$ $r_{1}$ $r_1$ posti reali e $r_{2}$ $r_{2}$ $r_2$ posti complessi. Dato che i posti sono collegati ai numeri primi, i posti vengono spesso chiamati primi . In questo modo, i posti finiti (infiniti) vengono chiamati primi finiti (infiniti). Se $v$ ${\displaystyle v}$ $v$ è una valutazione corrispondente a un valore assoluto, frequentemente si scrive $v\mid \infty$ $v\mid \infty$ $v\mid \infty$ per indicare che $v$ ${\displaystyle v}$ $v$ è un posto infinito e $v\nmid \infty$ $v\nmid \infty$ $v\nmid \infty$ in caso contrario.

Considerando tutti insieme i posti di un campo, si produce l'anello degli adeli del campo numerico. L'anello adelico permette di tracciare simultaneamente tutti i dati disponibili utilizzando i valori assoluti. Si hanno così dei vantaggi significanti in situazioni dove il comportamento in un posto può influenzare un altro, come nella legge di reciprocità di Artin.

Unità

Gli interi hanno solo due unità, $1$ ${\displaystyle 1}$ $1$ e $-1$ ${\displaystyle -1}$ $-1$ . Gli interi gaussiano hanno quattro unità, le precedenti due e $\pm i$ $\pm i$ $\pm i$ . Gli interi di Eisenstein $\mathbb {Z} [\exp {(2\pi i/3)}]$ $\mathbb {Z} [\exp {(2\pi i/3)}]$ $\mathbb {Z} [\exp {(2\pi i/3)}]$ hanno sei unità. Gli interi nei campi reali quadratici hanno infinite unità. Per esempio, in $\mathbb {Z} [{\sqrt {3}}]$ $\mathbb {Z} [{\sqrt {3}}]$ $\mathbb {Z} [{\sqrt {3}}]$ , ogni potenza di $2+{\sqrt {3}}$ $2+{\sqrt {3}}$ $2+{\sqrt {3}}$ è un'unità, e tutte queste potenze sono distinte. In generale, il gruppo delle unità di $O$ ${\displaystyle O}$ $O$ , indicato con $O^{\times }$ $O^{\times }$ $O^{\times }$ , è un gruppo abeliano finitamente generato . Il teorema fondamentale dei gruppi abeliani finitamente generati pertanto implica che $O^{\times }$ $O^{\times }$ $O^{\times }$ è una somma diretta di una torsione e di una parte libera. Reinterpretandolo nel contesto del campo numerico, la parte di torsione corrisponde alle radici dell'unità che giacciono in $O$ ${\displaystyle O}$ $O$ e questo gruppo è ciclico. La parte libera è descritta dal teorema delle unità di Dirichlet, il quale afferma che il rango della parte libera è $r_{2}+r_{1}-1$ $r_{2}+r_{1}-1$ $r_{2}+r_{1}-1$ . Quindi, per esempio, gli unici campi in cui il rango della parte libera è zero sono $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb{Q}$ ei campi immaginari quadratici. Si può dare anche un'affermazione più precisa fornendo la struttura di $O^{\times }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q}$ $O^{\times }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q}$ $O^{\times }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q}$ come un modulo di Galois per il gruppo di Galois di $K/\mathbb {Q}$ $K/\mathbb {Q}$ $K/\mathbb {Q}$ . ^[11]

La parte libera del gruppo dell'unità si può studiare utilizzando gli infiniti posti di $K$ ${\displaystyle K}$ $K$ . Si consideri la funzione

L\colon K^{\times }\to \mathbf {R} ^{r_{1}+r_{2}}

L\colon K^{\times }\to \mathbf {R} ^{r_{1}+r_{2}}

L\colon K^{\times }\to \mathbf {R} ^{r_{1}+r_{2}}

definita da

L(x)=(\log |x|_{v})_{v},

L(x)=(\log |x|_{v})_{v},

L(x)=(\log |x|_{v})_{v},

dove $v$ ${\displaystyle v}$ $v$ varia fra gli infiniti posti di $K$ ${\displaystyle K}$ $K$ e $|\cdot |_{v}$ $|\cdot |_{v}$ $|\cdot |_{v}$ è il valore assoluto associato a $v$ ${\displaystyle v}$ $v$ . La funzione $L$ ${\displaystyle L}$ $L$ è un omomorfismo da $K^{\times }$ $K^{\times }$ $K^{\times }$ a uno spazio vettoriale reale. Si può mostrare che l'immagine di $O^{\times }$ $O^{\times }$ $O^{\times }$ è un reticolo che genera l'iperpiano definito da $x_{1}+\cdots +x_{r_{1}+r_{2}}=0$ $x_{1}+\cdots +x_{r_{1}+r_{2}}=0$ $x_{1}+\cdots +x_{r_{1}+r_{2}}=0$ . Il covolume di questo reticolo è il regolatore del campo di numeri. Lavorando con l'anello degli adeli, si ha il vantaggio che esiste un singolo oggetto, il gruppo delle classi di ideli, che descrive sia il quoziente per questo reticolo sia il gruppo delle classi di ideali.

Funzione zeta

La funzione zeta di Dedekind di un campo di numeri, analoga della funzione zeta di Riemann , è un oggetto analitico che descrive il comportamento degli ideali primi in $K$ ${\displaystyle K}$ $K$ . Quando $K$ ${\displaystyle K}$ $K$ è un'estensione abeliana di $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb{Q}$ , le funzioni zeta di Dedekind sono prodotti di funzioni L di Dirichlet , con un fattore per ogni carattere di Dirichlet . Il carattere banale corrisponde alla funzione zeta di Riemann. Quando $K$ ${\displaystyle K}$ $K$ è un'estensione di Galois, la funzione zeta di Dedekind è la funzione L di Artin della rappresentazione regolare del gruppo di Galois di $K$ ${\displaystyle K}$ $K$ , e possiede inoltre una fattorizzazione in termini delle rappresentazioni di Artin irriducibili del gruppo di Galois.

La funzione zeta è collegata ad altri invarianti, descritti sopra dalla formula di classe numerica.

Campi locali

Il completamento di un campo numerico $K$ ${\displaystyle K}$ $K$ a un posto $w$ ${\displaystyle w}$ $w$ produce un campo completo . Se la valutazione è archimedea, si ottiene $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb{R}$ o $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ ${\mathbb {C}}$ , altrimenti se non è archimedea e giace su un primo $p$ ${\displaystyle p}$ $p$ dei razionali, si ha un'espansione finita $K_{w}/\mathbb {Q} _{p}$ $K_{w}/\mathbb {Q} _{p}$ $K_{w}/\mathbb {Q} _{p}$ : un campo completo a valori discreti con campo residuo finito. Questo processo semplifica l'aritmetica del campo e permette lo studio locale dei problemi. Per esempio, si può dedurre facilmente il teorema di Kronecker-Weber dal suo corrispettivo enunciato locale. La filosofia dietro lo studio dei campi locali è largamente motivata dai metodi geometrici. In geometria algebrica, è molto comune studiare le varietà localmente a un punto localizzando un ideale massimo. L'informazione globale viene poi recuperata "incollando" insieme i dati locali. Questo spirito viene adottato anche in teoria algebrica dei numeri, quando, dato un primo nell'anello degli interi algebrici di un campo numerico, si desidera studiare il campo localmente a quel primo.

Maggiori risultati

Finitezza del gruppo delle classi

Uno dei classici risultati nella teoria algebrica dei numeri è che il gruppo delle classi di ideali di un campo algebrico di numeri $K$ ${\displaystyle K}$ $K$ è finito. L'ordine del gruppo delle classi viene detto il numero di classi, ed è spesso indicato con la lettera $h$ ${\displaystyle h}$ $h$ .

Teorema dell'unità di Dirichlet

Il teorema dell'unità di Dirichlet fornisce una descrizione della struttura del gruppo moltiplicativo dell'unità $O^{\times }$ $O^{\times }$ $O^{\times }$ dell'anello di interi $O$ ${\displaystyle O}$ $O$ . In particolare, afferma che $O^{\times }$ $O^{\times }$ $O^{\times }$ è isomorfo a $G\times \mathbb {Z} ^{r}$ $G\times \mathbb {Z} ^{r}$ $G\times \mathbb {Z} ^{r}$ , dove $G$ ${\displaystyle G}$ $G$ è il gruppo ciclico finito che contiene tutte le radici dell'unità in $O$ ${\displaystyle O}$ $O$ , $r=r_{1}+r_{2}-1$ $r=r_{1}+r_{2}-1$ $r=r_{1}+r_{2}-1$ , $r_{1}$ $r_{1}$ $r_1$ (rispettivamente, $r_{2}$ $r_{2}$ $r_2$ ) indica il numero di immersioni reali (rispettivamente, coppie di immersioni non reali coniugate) di $K$ ${\displaystyle K}$ $K$ . In altre parole, $O^{\times }$ $O^{\times }$ $O^{\times }$ è un gruppo abeliano finitamente generato di rango $r_{1}+r_{2}-1$ $r_{1}+r_{2}-1$ $r_{1}+r_{2}-1$ , la cui torsione consiste delle radici dell'unità in $O$ ${\displaystyle O}$ $O$ .

Leggi di reciprocità

In termini del simbolo di Legendre , la legge di reciprocità quadratica per primi dispari positivi afferma che

\left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.

\left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.

\left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.

Una legge di reciprocità è una generalizzazione della legge di reciprocità quadratica .

Ci sono molti modi differenti per esprimere le leggi di reciprocità. Quelle trovate inizialmente nel XIX secolo venivano espresse in termini del simbolo del residuo di potenza $(p/q)$ ${\displaystyle (p/q)}$ $(p/q)$ , generalizzazione del simbolo di Legendre, che descrive quando un numero primo è una residuo della potenza n -esima modulo un altro primo. Hilbert riformulò le leggi di reciprocità affermando che il prodotto su $p$ ${\displaystyle p}$ $p$ dei simboli di Hilbert $(a,b/p)$ ${\displaystyle (a,b/p)}$ $(a,b/p)$ , a valori nelle radici dell'unità, è uguale a $1$ ${\displaystyle 1}$ $1$ . La legge di reciprocità descritta invece da Artin asserisce che il simbolo di Artin dagli ideali agli elementi di un gruppo di Galois è banale su un certo sottogruppo. Le moderne generalizzazioni esprimono le leggi di reciprocità attraverso le coomologie di gruppi o le rappresentazioni di gruppi adelici oppure gruppi K -algebrici.

Formula delle classi numeriche

La formula delle classi numeriche collega invarianti molto importanti di un campo numerico a un valore speciale della sua funzione zeta di Dedekind.

Aree collegate

La teoria algebrica dei numeri interagisce con molte altre discipline matematiche. Ad esempio, utilizza strumenti dall' algebra omologica e, attraverso l'analogia tra campi di funzioni e campi di numeri, sfrutta tecniche e idee della geometria algebrica . Inoltre, lo studio di schemi di dimensione maggiore su $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb{Z}$ invece di altri anelli di interi viene indicato come geometria aritmetica . La teoria algebrica dei numeri viene anche usata nello studio nelle 3-varietà aritmetiche iperboliche.

Note

^ Stark, pp. 145–146.
^ Aczel, pp. 14–15.
^ Stark, pp. 44–47.
^ ^a ^b ( EN ) Jürgen Elstrodt, The Life and Work of Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859) ( PDF ), in Clay Mathematics Proceedings , 2007. URL consultato il 5 giugno 2019 .
^ Shigeru Kanemitsu e Chaohua Jia, Number theoretic methods: future trends , Springer, 2002, pp. 271-274, ISBN 978-1-4020-1080-4 .
^ Reid, Constance, 1996. Hilbert , Springer , ISBN 0-387-94674-8 .
^ Questo risultato stabilì Takagi come il primo matematico giapponese di statura internazionale.
^ Helmut Hasse , History of Class Field Theory , in Algebraic Number Theory , pubblicato da Cassels and Frölich, Academic Press, 1967, pp. 266–279
^ L'ultimo teorema di Fermat , Simon Singh , 1997, ISBN 1-85702-521-0 >
^ ( EN ) Kolata Gina, At Last, Shout of 'Eureka!' In Age-Old Math Mystery , in The New York Times , 24 June 1993. URL consultato il 5 giugno 2019 .
^ Vedere proposizione VIII.8.6.11 di Neukirch, Schmidt e Wingberg (2000)

Jürgen Neukirch, Alexander Schmidt e Kay Wingberg, Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , vol. 323, Berlino, Springer-Verlag, 2000, ISBN 978-3-540-66671-4 , MR 1737196 , Zbl 0948.11001 .

Bibliografia

Testi introduttivi

William Stein, Algebraic Number Theory, A Computational Approach. ( PDF ), 2012.
Kenneth Ireland e Michael Rosen, A classical introduction to modern number theory , vol. 84, Springer Science & Business Media, 2013, DOI : 10.1007/978-1-4757-2103-4 .
Ian Stewart e David Tall, Algebraic number theory and Fermat's last theorem. , CRC Press, 2015.

Testi intermedi

Daniel A. Marcus, Number fields , vol. 8, New York, Springer, 1977.

Testi avanzati

Cassels, JWS; Fröhlich, Albrecht, eds., Algebraic number theory , London, Academic Press, 1967, MR 0215665
Albrecht Fröhlich e Martin J. Taylor, Algebraic number theory , in Cambridge Studies in Advanced Mathematics , vol. 27, Cambridge University Press , 1993, ISBN 0-521-43834-9 , MR 1215934 .
Serge Lang , Algebraic number theory , in Graduate Texts in Mathematics , vol. 110, 2ª ed., New York, Springer-Verlag , 1994, ISBN 978-0-387-94225-4 , MR 1282723 .
Jürgen Neukirch, Algebraic Number Theory. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften , vol. 322, Berlino, Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-3-540-65399-8 , MR 1697859 , Zbl 0956.11021 .

Voci correlate

Collegamenti esterni

( EN ) AI Vinogradov, Algebraic number theory , in Encyclopaedia of Mathematics , Springer e European Mathematical Society, 2002.

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 57215 · LCCN ( EN ) sh85003436

Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[1] Stark, pp. 145–146.

[2] Aczel, pp. 14–15.

[3] Stark, pp. 44–47.

[Elstrodt-4] ( EN ) Jürgen Elstrodt, The Life and Work of Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859) ( PDF ), in Clay Mathematics Proceedings , 2007. URL consultato il 5 giugno 2019 .

[Kanemitsu-5] Shigeru Kanemitsu e Chaohua Jia, Number theoretic methods: future trends , Springer, 2002, pp. 271-274, ISBN 978-1-4020-1080-4 .

[6] Reid, Constance, 1996. Hilbert , Springer , ISBN 0-387-94674-8 .

[7] Questo risultato stabilì Takagi come il primo matematico giapponese di statura internazionale.

[8] Helmut Hasse , History of Class Field Theory , in Algebraic Number Theory , pubblicato da Cassels and Frölich, Academic Press, 1967, pp. 266–279

[Singh-9] L'ultimo teorema di Fermat , Simon Singh , 1997, ISBN 1-85702-521-0 >

[nyt-10] ( EN ) Kolata Gina, At Last, Shout of 'Eureka!' In Age-Old Math Mystery , in The New York Times , 24 June 1993. URL consultato il 5 giugno 2019 .

[11] Vedere proposizione VIII.8.6.11 di Neukirch, Schmidt e Wingberg (2000)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9] a

[10]

[11]

V · D · M Teoria dei numeri
Numeri più usati	Naturali · Interi · Pari e dispari
Principi generali	Principio d'induzione · Principio del buon ordinamento · Relazione di equivalenza
Successioni di interi	Fattoriale · Successione di Fibonacci · Numero di Catalan · Numero di Perrin · Numero di Eulero · Successione di Mian-Chowla · Successione di Thue-Morse
Caratteristiche dei numeri primi	Numero primo · Lemma di Euclide · Teorema dell'infinità dei numeri primi · Crivello di Eratostene · Test di primalità ·Teorema fondamentale dell'aritmetica · Interi coprimi · Identità di Bézout · MCD · mcm · Algoritmo di Euclide · Teorema dei numeri primi
Funzioni aritmetiche	Funzione moltiplicativa · Funzione additiva · Convoluzione di Dirichlet · Funzione φ di Eulero · Funzione di Möbius · Funzione tau sui positivi · Funzione sigma · Funzione di Liouville · Funzione di Mertens
Aritmetica modulare	Teorema cinese del resto · Piccolo teorema di Fermat · Teorema di Eulero · Criteri di divisibilità · Teorema di Fermat sulle somme di due quadrati · Teorema di Wilson · Legge di reciprocità quadratica
Congetture	Congettura di Goldbach · Congettura di Polignac · Congettura abc · Congettura dei numeri primi gemelli · Congettura di Legendre · Nuova congettura di Mersenne · Congettura di Collatz · Ipotesi di Riemann
Altro	Problema di Waring
Principali teorici	Fibonacci · Fermat · Gauss · Eulero · Legendre · Riemann · Dirichlet
Discipline connesse	Teoria algebrica dei numeri · Teoria analitica dei numeri · Crittografia · Teoria computazionale dei numeri