Teoria câmpului

Dezambiguizare - Dacă sunteți în căutarea altor semnificații, consultați Teoria câmpului (dezambiguizare) .

Teoria câmpurilor este o ramură a matematicii care studiază proprietățile câmpurilor . Un câmp este o entitate matematică pentru care adunarea, multiplicarea și operațiile relative relative sunt bine definite.

Consultați Glosarul teoriei câmpurilor pentru câteva definiții de bază în teoria câmpurilor.

Istorie

Conceptul de câmp a fost implicit folosit de Niels Henrik Abel și Évariste Galois în lucrarea lor privind solvabilitatea ecuațiilor.

În 1871 Richard Dedekind a numit un set de numere reale sau complexe închise în raport cu cele patru operații „câmp”.

În 1881 , Leopold Kronecker a definit ceea ce el a numit „domeniul raționalității”, care este de fapt, în termeni moderni, un câmp al polinoamelor.

În 1893 , Heinrich Weber a dat prima definiție clară a unui câmp abstract.

Galois, care nu avea în minte termenul „câmp”, este onorat pentru că a fost primul matematician care a legat teoria grupurilor și teoria câmpului. Teoria lui Galois îi poartă numele. Cu toate acestea, Emil Artin a fost cel care a dezvoltat mai întâi în detaliu relația dintre grupuri și tabere în anii 1928-1942.

Introducere elementară

Conceptul de câmp a fost inițial folosit pentru a demonstra că nu există o formulă generală pentru rădăcinile unor polinoame reale de grad mai mare de 4.

Conceptul central al teoriei lui Galois este extensia algebrică a unui câmp subiacent. Este pur și simplu cel mai mic câmp care conține câmpul de bază și o rădăcină a unui polinom. Un câmp închis algebric este un câmp în care fiecare polinom are o rădăcină. De exemplu, câmpul numerelor algebrice este închiderea algebrică a câmpului numerelor raționale, iar câmpul numerelor complexe este închiderea algebrică a numerelor reale .

Câmpurile finite sunt utilizate în teoria codului . Din nou extensia algebrică este un instrument important.

Câmpurile binare , adică câmpurile cu caracteristica 2, sunt utile în informatică . Ele sunt de obicei studiate ca un caz excepțional în teoria câmpului finit.

Câteva teoreme utile

• Teorema extensiei izomorfismului
• Teorema elementului primitiv

Bibliografie

• Mario Girardi, Giorgio Israel (1976): Teoria câmpului , Feltrinelli
• Rudolf Lidl, Harald Niederreiter (1994): Finite Fields , Cambridge University Press

Elemente conexe

• Camp
• Spațiu vectorial
• Câmp terminat
• Teoria grupului
• Teoria inelului

V · D · M Algebră
Numere	Naturale · Întregi · Raționale · iraționale · Algebrice · Transcendente · Reale · Complexe
Principii fundamentale	Principiul inducției · Principiul unei bune ordonări · Relația de echivalență · Relația de ordine
Elemente de combinatorie	Factorial · Permutare · Dispoziție · Combinație · Demutare · Principiul incluziunii-excluderii
Concepte fundamentale ale teoriei numerelor	Primul Primul număr · Teorema infinității numerelor prime · Situl lui Eratostene · Situl lui Atkin · Primalitatea testului · Teorema fundamentală a aritmeticii Divizoare Coprimă întregi · Identitate Bézout · GCD · mcm · Algoritmul lui Euclid · Criterii de divizibilitate · Divizor Aritmetica modulară Rest teorema chineză · teorema lui Fermat mici · teorema lui Euler · φ Functia lui Euler · Wilson Teorema · Reciprocitate pătratică
Algebra elementară	Ecuație · Inegalitate · Polinomio · Triunghiul lui Pascal · Teorema binomială · Teorema restului · Lema Gauss · Teorema rădăcini raționale · Criteriul lui Eisenstein · Regula semnelor lui Descartes
Teoria grupului	Grupuri Group ( terminat · ciclic · abeliană ) · Grup Primar · câtul Group · nilpotent Group · rezolvabile Group · simetrica Group · diedru Group · simplu Group · Eventuala Group · monster Group · Klein Group · Grup de quaternions · generale lineare Grupa · ortogonal Group · Unitatea de grup · grup unitar de construcții · rezidual grup terminat · grup de spațiu · grup de profinite · produs directă · semidirect produs · împletitură de produse Teoreme Teorema izomorfism · Teorema lui Lagrange · Cauchy Teorema · teoremele Sylow · Teorema lui Cayley · Structura teorema de grupuri abeliene finite · Lema fluture · Clasificarea grupurilor simple , finite Subseturi Subgrup · Subgrup normal · Caracteristică subgrup · Subgrup Frattini · Torsiune subgrup · Clasa laterală · Clasa soților · Serie compozițională Omomorfismelor · izomorfism · automorphism intern · exterior automorphism · permutare · o prezentare de grup · acțiune de grup
Teoria inelului	Inel ( artiniano · noetherian ) · Caracteristică · Ideal ( Primul · plafon ) · Domeniu ( factorizare unică · idealuri principale · Euclidean ) · Matrice · inel simplu · Teorema Artin-Wedderburn · Formă · Domeniul Dedekind · Inele de extensie · Teorema bazei lui Hilbert
Teoria câmpului	Câmp · polinom ireductibil · polinom ciclotomic · Teorema fundamentală a algebrei · Campo terminat · automorfism · Endomorfismo Frobenius Extensii Divizarea Câmp · Câmpuri de extensie · extensie algebrică · extensie separabile · închidere algebrică · numere de câmp · extensie normală · extensie Galois · Abelian extensie · extensie cyclotomic · Teoria Kummer Teoria lui Galois Grupul Galois · Teoria lui Galois · Teorema fundamentală a teoriei lui Galois · Teorema Abel-Ruffini · Construcția cu rigla și busola
Alte structuri algebrice	Magma · semigrup · Corp · spațiu vectorial · Algebra camp · algebra Lie · Algebră diferențială · Algebră Clifford · topologică Group · Grupul comandat · inel de aproape

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică