Teoria grupului

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

Teoria grupelor este ramura matematicii care se ocupă cu studiul grupurilor . În abstract, și pe scurt, un grup este o structură algebrică caracterizată printr-o operație binară asociativă, dotată cu un element neutru și pentru care fiecare element al structurii posedă un element invers ; un exemplu simplu de grup este dat de setul de numere întregi, cu operația de adunare.

Un exemplu tipic de grup este oferit de rotațiile unui spațiu vectorial euclidian S, adică mulțimea constând din toate rotațiile lui S (transformări care lasă originea lui S fixată, mențin distanțele dintre punctele lui S și pot fi obținute cu mișcări continue). Echipăm setul de rotații S cu operația de compunere a rotațiilor; se observă că prin compunerea a două dintre aceste rotații se obține o altă rotație; în plus, rotația identității, adică transformarea care lasă fiecare punct al lui S fixat, joacă rolul de element neutru pentru compoziția rotațiilor. Evident, la fiecare rotație există „inversul” său care, prin compoziție, restabilește situația inițială. Rotațiile lui S și compoziția lor constituie, așadar, un grup numit grupul de rotații al lui S; o denotăm cu GrpRot (S).

Apoi restrângem setul de rotații ale lui S la cele care transformă în sine o anumită figură geometrică F, de exemplu un cub, o prismă regulată sau o piramidă. Este evident că compoziția a două dintre aceste rotații oferă o altă rotație care lasă neschimbată figura F. Cu fiecare dintre aceste cereri de invarianță, este identificat un grup conținut în GrpRot (S). Aceste grupuri sunt numite subgrupuri de GrpRot (S). Aceste exemple pot servi pentru a face o primă idee despre faptul că teoria grupurilor este instrumentul matematic pentru studiul simetriilor figurilor geometrice și a altor obiecte întâlnite în matematică, fizică și alte discipline care fac uz de modele matematice. proceduri.

O gamă bună de definiții ale termenilor folosiți pentru a dezvolta teoria grupului este colectată în glosarul teoriei grupurilor .

fundal

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Istoria teoriei grupurilor .

Teoria grupelor apare din trei surse principale: teoria numerelor , teoria ecuațiilor algebrice și geometria . Partea teoriei numerelor a fost inițiată de Euler și dezvoltată din lucrarea lui Gauss privind aritmetica modulară și grupurile aditive și multiplicative legate de câmpurile pătratice . Primele rezultate pentru grupurile de permutare au fost obținute de Lagrange , Ruffini și Abel în căutarea soluțiilor generale ale ecuațiilor polinomiale de grad înalt. Évariste Galois a inventat termenul „grup” și a stabilit o legătură, acum cunoscută sub numele de teoria Galois , între teoria grupului nașterii și teoria câmpului . În geometrie, grupurile au devenit mai întâi importante în geometria proiectivă și, mai târziu, în geometria non-euclidiană . Programul Erlangen al lui Felix Klein a afirmat că teoria grupurilor este principiul geometriei.

Galois , în anii 1830, a fost primul care a folosit grupuri pentru a determina solubilitatea ecuațiilor polinomiale . Arthur Cayley și Augustin Louis Cauchy au efectuat aceste investigații prin crearea teoriei grupurilor de permutare . A doua sursă istorică a grupurilor provine din situații geometrice . În încercarea de a explica geometriile posibile (cum ar fi cele euclidiene , hiperbolice sau proiective ) folosind teoria grupurilor, Felix Klein a inițiat programul lui Erlangen . Sophus Lie , în 1884, a început să folosească grupuri (numite acum grupuri Lie ) anexate la probleme de analiză matematică . În al treilea rând, grupurile au fost utilizate implicit și mai târziu explicit în teoria numerelor algebrice .

Sfera diferită a acestor surse inițiale a condus la concepte diferite de grupuri. Teoria grupurilor a fost unificată în jurul anului 1880. De atunci, impactul teoriei grupurilor a fost din ce în ce mai mare, dând naștere la algebra abstractă de la începutul secolului al XX-lea, teoria reprezentării și multe alte domenii derivate influente. Clasificarea grupurilor simple finite este un domeniu vast de lucru de la mijlocul secolului al XX-lea, care clasifică toate grupurile simple finite .

Introducere discursivă

Grupurile sunt utilizate în toate ramurile matematicii și în multe probleme ale fizicii și ale altor științe; ele servesc adesea pentru a surprinde simetria intrinsecă a altor structuri, prezentându-se sub forma unor grupuri de automorfisme . O simetrie internă a unei structuri este în general asociată cu o proprietate invariantă și setul de transformări care păstrează această proprietate invariantă, echipat cu operația de compoziție de transformare, formează un grup numit grup de simetrie .

În teoria lui Galois , nucleul istoric original al noțiunii de grup, grupuri sunt utilizate pentru a descrie simetriile ecuațiilor satisfăcute de soluțiile unei ecuații polinomiale. Grupurile solubile au acest nume datorită rolului lor proeminent în această teorie.

Grupurile abeliene (în care operația se bucură de proprietatea comutativă) stau la baza numeroaselor alte structuri studiate în algebră abstractă: inele , câmpuri , module , corpuri , ....

În topologia algebrică , grupurile sunt utilizate pentru a descrie invarianții spațiilor topologice (numele subgrupului de torsiune al unui grup infinit arată descendența mecanică a acestui câmp de investigație). „Invarianții” au acest nume deoarece sunt definiți astfel încât să nu se schimbe atunci când spațiul suferă o anumită deformare. Exemple de grupuri în topologie sunt grupul fundamental, grupurile de omologie și grupurile de cohomologie.

Noțiunea de grup Lie este de mare importanță în studiul ecuațiilor diferențiale și al varietăților ; necesită analize și teorii de grup și sunt instrumentele potrivite pentru descrierea simetriilor structurilor analitice. Analiza acestor grupuri și a altor analogi se numește analiză armonică .

În combinatorie, noțiunea de grup de permutări și noțiunea de acțiune de grup sunt adesea folosite pentru a simplifica numărarea unui set de configurații; vezi în special lema Burnside .

Unele teoreme care caracterizează teoria

Generalizări

În algebra abstractă întâlnim diverse structuri nu foarte diferite de grupuri și care pot fi considerate obținute din definiția grupului prin slăbirea unora dintre cerințele impuse grupurilor.

  • Dacă renunțați la cerința ca fiecare element al structurii să aibă un element invers, veți obține un monoid. Setul de endofuncții ale unui anumit set, care nu se limitează la endofuncții inversabile, adică la permutări, constituie un monoid.
  • Dacă renunțați la cerința de a avea și o unitate neutră, veți obține un semi-grup .
  • Alternativ, dacă solicitarea ca operațiunea să fie asociativă este abandonată, dar se menține posibilitatea divizării , se obține o buclă .
  • Dacă, pe lângă asociativitate, cererea pentru o unitate este abandonată, se obține un cvasigrup .
  • Dacă luăm în considerare doar un set echipat cu o operație binară, avem o magmă .

Un grupid este similar cu un grup, dar nu a definit compoziția a * b pentru toate perechile de elemente ( a , b ); grupidele servesc studiului unor tipuri de simetrii mai complexe, multe legate de structuri topologice și analitice. Acestea constituie anumite tipuri de categorii .

Alte generalizări ale grupurilor sunt supergrupurile și algebrele Hopf .

Grupurile de minciuni , grupurile algebrice și grupurile topologice sunt exemple de obiecte de grup , adică structuri ale grupului de gen care constituie o categorie mai specifică decât categoria obișnuită a mulțimilor.

Grupurile abeliene constituie prototipul noțiunii de categorie abeliană , o noțiune care are aplicații pentru spațiile vectoriale și alte structuri.

Legile formale de grup sunt serii formale de puteri care posedă proprietăți foarte asemănătoare cu cele ale unei operațiuni de grup.

Aplicații ale teoriei grupurilor

Înțelegerea teoriei grupurilor este importantă și în științele fizice. În chimie , grupurile sunt folosite pentru a clasifica structurile cristaline, poliedrele regulate și simetria moleculară .

În fizică, grupurile sunt importante în sensul că sunt capabile să descrie simetriile pe care legile fizicii par să le respecte. Fizicienii sunt profund interesați de reprezentările grupurilor, în special reprezentările grupurilor Lie, deoarece aceste reprezentări marchează adesea calea teoriilor fizice „posibile”. Câteva exemple în fizică sunt modelul standard , diferitele teorii ale ecartamentului , spațiul Calabi-Yau , simetria dinamică . O altă aplicație se referă la teoria ansamblurilor muzicale .

O definiție paradoxală

Matematicianul James Roy Newman propune următoarea definiție a teoriei grupurilor: Este o ramură a matematicii în care se face ceva cu ceva și se compară rezultatele obținute cu cele obținute făcând același lucru cu altceva și cu cele care se obțin prin a face un alt lucru la același lucru.

Bibliografie

  • John S. Rose (1978), A Course in Group Theory , Cambridge University Press (de asemenea, Dover Publications, 1994)
  • Donald Coxeter , WOJ Moser (1980): Generatori și relații pentru grupuri discrete , ed. IV, Springer
  • John Horton Conway , TR Curtis, SP Norton, RA Parker, RA Wilson (1985): Atlasul grupurilor finite , Clarendon Press
  • RW Carter (1985): Grupuri finite de tip Lie: clase de conjugare și personaje complexe , J.Wiley
  • Michael Aschbacher (1986): Teoria grupurilor finite , Cambridge University Press
  • George Lusztig (1993): Introducere în grupurile cuantice , Birkhäuser, ISBN 3-7643-3712-5
  • Daniel Gorenstein , Richard Lyons , Ronald Solomon (1994): Clasificarea grupurilor simple finite , AMS Press - Descarcă aici
  • Michael Aschbacher (1994): Grupuri sporadice , Cambridge University Press
  • Joseph Rotman (1994): O introducere în teoria grupurilor , Springer
  • Charles C. Sims (1994): Calcul cu grupuri prezentate finit , Cambridge University Press, ISBN 0-521-43213-8
  • Michael Aschbacher, Stephen D. Smith (2004): Clasificarea grupurilor de quasitină I. Structura grupurilor K puternic de quasitină
  • Michael Aschbacher, Stephen D. Smith (2004): Clasificarea grupelor de cvasitină II. Teoreme principale: Clasificarea grupurilor QTKE simple , AMS Press
  • Bruce Sagan (2001): Grupul simetric. Reprezentări, algoritmi combinatori și funcții simetrice , Springer
  • M. Bona (2004): Combinatorics of permutations , Chapman-Hall / CRC Press
  • Anders Björner , Francesco Brenti (2005): Combinatorica grupurilor Coxeter , Springer, ISBN 3-540-44238-3

Elemente conexe

Pentru a vă orienta într-un subiect complex și articulat, cum ar fi teoria grupurilor, poate fi util să consultați categoria: teoria grupurilor .

Alte proiecte

linkuri externe

Controlul autorității Tesauro BNCF 53643 · LCCN (EN) sh85057512 · GND (DE) 4072157-7 · BNF (FR) cb11941215h (dată) · BNE (ES) XX4576398 (dată) · NDL (EN, JA) 00.562.608
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică