Teoria modelului

Teoria modelelor este o ramură a matematicii și mai precis a logicii , care se ocupă cu studiul generalizat al conceptului de model , cu referire la relațiile dintre diferite structuri și în special la satisfacția teoriilor date.

Limba

În teoria modelelor, prin limbaj (sau uneori vocabular ^[1] sau semnătură ) se înțelege ansamblul de simboluri prin care este definită o teorie sau pe care o structură o interpretează. Teorii și limbi cu limbaj $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ se spun deseori respectiv $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ -teorii e $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ - limbi.

De obicei (în cazul teoriilor și modelelor de ordinul întâi ), un limbaj constă din:

simboluri de relație
(eventual) simboluri funcționale
constante (care pot fi văzute ca funcții 0-arii ).

De exemplu, teoria grupurilor este exprimată într-un limbaj care conține un simbol al funcției binare, un simbol al funcției unare și o constantă de obicei $+,-,0$ ${\ displaystyle +, -, 0}$ ${\ displaystyle +, -, 0}$ , sau $\cdot ,{}^{-1},1$ ${\ displaystyle \ cdot, {} ^ {- 1}, 1}$ ${\ displaystyle \ cdot, {} ^ {- 1}, 1}$ .

Limbajul teoriei graficelor orientate include întotdeauna doar un singur simbol (reprezentat aici ca $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ , care în acest caz este de relație binară ( $E(x,y)$ ${\ displaystyle E (x, y)}$ ${\ displaystyle E (x, y)}$ va însemna "există un arc din $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ la $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ "). Teoria graficelor direcționate nu include nicio axiomă și se caracterizează pur și simplu prin limbajul său, pentru care orice teorie care are în limbajul său cel puțin un simbol al relației binare poate fi considerată un caz special al teoriei orientate pe graf. Teoria graficele neorientate necesită acest lucru $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ este o relație nereflectivă și simetrică.

Modele și satisfacție

Se va da o limbă $\tau =\{R_{1},R_{2}\dots ,f_{1},f_{2}\dots ,c_{1},c_{2}\dots \}$ ${\ displaystyle \ tau = \ {R_ {1}, R_ {2} \ dots, f_ {1}, f_ {2} \ dots, c_ {1}, c_ {2} \ dots \}}$ ${\ displaystyle \ tau = \ {R_ {1}, R_ {2} \ dots, f_ {1}, f_ {2} \ dots, c_ {1}, c_ {2} \ dots \}}$ și o teorie $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ în limba τ (adică un set cu interpretări fixe ale simbolurilor din τ ); se spune că structura $(A,{R_{1}}^{A},{R_{2}}^{A}\dots ,{f_{1}}^{A},{f_{2}}^{A}\dots ,{c_{1}}^{A},{c_{2}}^{A}\dots )$ ${\ displaystyle (A, {R_ {1}} ^ {A}, {R_ {2}} ^ {A} \ dots, {f_ {1}} ^ {A}, {f_ {2}} ^ {A } \ dots, {c_ {1}} ^ {A}, {c_ {2}} ^ {A} \ dots)}$ ${\ displaystyle (A, {R_ {1}} ^ {A}, {R_ {2}} ^ {A} \ dots, {f_ {1}} ^ {A}, {f_ {2}} ^ {A } \ dots, {c_ {1}} ^ {A}, {c_ {2}} ^ {A} \ dots)}$ care interpretează ^[2] limba τ satisface $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ (sau care îl verifică , sau în mod echivalent că este un model al acestuia ) dacă există o funcție $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ din $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este adevărat în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ după ce i-a înlocuit interpretarea cu fiecare simbol.

Evident, dacă fiecare formulă de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ , formulele care pot fi derivate din ele vor fi, de asemenea, adevărate.

Modele finite și clase elementare

Având o limbă $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ și unul $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ -teorie $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ , este indicat cu $Mod(T)$ ${\ displaystyle Mod (T)}$ ${\ displaystyle Mod (T)}$ clasa structurilor pe care le verifică $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ si cu $Mod_{fin}(T)$ ${\ displaystyle Mod_ {fin} (T)}$ ${\ displaystyle Mod_ {fin} (T)}$ subsetul celor finite (formal: având domeniu finit ).

Având în vedere orice clasă $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ din $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ -structuri finite închise de omomorfism, există o teorie $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ astfel încât $K=Mod_{fin}(T)$ ${\ displaystyle K = Mod_ {fin} (T)}$ ${\ displaystyle K = Mod_ {fin} (T)}$ . Acest lucru este ușor de văzut din faptul că pentru fiecare structură finită $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ puteți găsi o formulă $\phi _{A}$ ${\ displaystyle \ phi _ {A}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {A}}$ care descrie în mod unic $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ (adică astfel încât pentru fiecare structură $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ da ai $B\vDash \phi _{A}\leftrightarrow B\cong A$ ${\ displaystyle B \ vDash \ phi _ {A} \ leftrightarrow B \ cong A}$ ${\ displaystyle B \ vDash \ phi _ {A} \ leftrightarrow B \ cong A}$ ) și teorie

T{\stackrel {def}{=}}\{\phi _{A}|A\in K\}

{\ displaystyle T {\ stackrel {def} {=}} \ {\ phi _ {A} | A \ în K \}}

{\ displaystyle T {\ stackrel {def} {=}} \ {\ phi _ {A} | A \ în K \}}

verifica desigur $K=Mod_{fin}(T)$ ${\ displaystyle K = Mod_ {fin} (T)}$ ${\ displaystyle K = Mod_ {fin} (T)}$ .

Dacă un astfel de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ s-a terminat, $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ se numește elementar. O clasă elementară poate fi identificată printr-o singură formulă:

\phi _{T}=\bigwedge _{\psi \in T}\psi

{\ displaystyle \ phi _ {T} = \ bigwedge _ {\ psi \ in T} \ psi}

{\ displaystyle \ phi _ {T} = \ bigwedge _ {\ psi \ in T} \ psi}

.

În schimb, o clasă care poate fi descrisă cu o singură formulă este evident elementară.

Notă

^ Neil Immerman, Complexitate descriptivă , New York, Springer-Verlag, 1999, ISBN 9780387986005 .
^ "A interpretează limbajul τ " înseamnă pur și simplu că la fiecare simbol relație / funcție $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ corespunde o relație / funcție de aceeași aritate în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ; rețineți că folosind $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ atât pentru a indica domeniul structurii, cât și structura în sine este, strict vorbind, impropriu, dar simplifică notația.

Bibliografie

Chen Chung Chang, H. Jerome Keisler. Teoria modelului. Boringhieri, 1980
Annalisa Marcja, Carlo Toffalori. Introducere în teoria modelelor. Pitagora, Bologna, 1998
Alessandro Berarducci. Teoria modelului.

linkuri externe

Model theory , în Dicționar de filosofie , Institutul Enciclopediei Italiene , 2009.
( EN ) Theory of Models , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	Thesaurus BNCF 40654 · LCCN (RO) sh85086421 · GND (DE) 4114617-7 · BNF (FR) cb119323610 (data) · NDL (RO, JA) 00567757

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Neil Immerman, Complexitate descriptivă , New York, Springer-Verlag, 1999, ISBN 9780387986005 .

[2] "A interpretează limbajul τ " înseamnă pur și simplu că la fiecare simbol relație / funcție $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ corespunde o relație / funcție de aceeași aritate în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ; rețineți că folosind $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ atât pentru a indica domeniul structurii, cât și structura în sine este, strict vorbind, impropriu, dar simplifică notația.

[1]

[2]