Teoria nodurilor

Teoria nodurilor este o ramură a topologiei , la rândul ei o ramură a matematicii , care se ocupă de noduri , sau curbe închise împletite în spațiu. Teoria are aplicații în fizica subatomică, chimia supramoleculară și biologie .

Departamentul de matematică Cambridge Gate Frieze.

Datorită legăturilor sale strânse cu studiul varietăților cu dimensiuni reduse (1, 2, 3 și 4), teoria nodurilor este adesea considerată o ramură a topologiei cu dimensiuni reduse .

Istorie

Nașterea teoriei

Un prim indiciu de sistematizare a teoriei nodurilor a fost făcut de Vandermonde (1735-1796), matematicianul care a introdus determinantul , în secolul al XVIII-lea , dar, în afară de rari observații, a fost necesar să se aștepte până la sfârșitul secolului al XX-lea. a vedea teoria nodurilor găsește o formalizare, tot ca o consecință a importanței sale în fizica teoretică, pentru elaborarea teoriilor cunoscute în mod colectiv sub numele de teoria corzilor .

Prima utilizare în fizică, totuși, se datorează lui William Thomson sau Lordului Kelvin: în plină dezbatere între val și teoria corpusculară, în 1867 a propus atomi de vortex ^[1] . Acestea sunt formate dintr-un val țesut într-un nod închis, ca cel din figură.

Nodul de trifoi

Înnodând în moduri mai mult sau mai puțin complicate, s-ar determina proprietățile chimico - fizice ale atomilor. Observați cum, tradus în particule subatomice și spațiu-timp, conceptul este identic în teoria corzilor menționată mai sus. Moleculele ar proveni din uniunea nodurilor.

În realitate, nodurile sunt un caz particular de legături , adică curbe închise împletite în spațiu. Spre deosebire de noduri, legăturile pot consta în mai multe curbe. Moleculele Thomson ar fi, prin urmare, verigi.

Un link simplu, numit link Hopf

Un adept al lui Thomson, Peter Guthrie Tait a pus problema clasificării nodurilor. El a considerat doar nodurile alternante, adică cele în care firul trece alternativ deasupra și dedesubtul fiecărei intersecții. În 1899, Americanul Little a extins clasificarea la noduri care nu alternează, până la 10 traversări.

Teoria lui Thomson, care poate părea bizară pentru unii, a fost capabilă să explice multe date experimentale în momentul în care a fost formulată.
Cu toate acestea, odată cu publicarea tabelului periodic al elementelor lui Mendeleev , toată teoria lui Thomson și a elevilor a fost abandonată.

Descriere diagramă și invarianți

Două reprezentări diferite ale nodului banal.

Un nod este descris în general printr-o diagramă , adică prin desenarea unei proiecții generice pe un plan, cu unele intersecții ca în exemplele prezentate în figuri. Cu toate acestea, același nod are multe reprezentări diferite și apare o problemă fundamentală: cum să înțelegem dacă două reprezentări descriu același nod? Problema este dificil de abordat chiar și în cel mai simplu caz: cum să înțelegem dintr-o reprezentare schematică dacă nodul este banal , adică dacă se dizolvă?

În 1927 Reidemeister a răspuns parțial la această problemă propunând trei operații, numite mișcări Reidemeister . Acestea constau în formarea / dizolvarea unei bucle, în separarea / suprapunerea a două secțiuni de frânghie neîncrucișate și în urcarea peste o intersecție de o secțiune de frânghie. Fiecare dintre aceste mișcări nu schimbă nodul. Pe de altă parte, două noduri se dovedesc a fi echivalente dacă și numai dacă diagramele lor se pot obține unul de la altul printr-o combinație de mișcări Reidemeister.

Acest rezultat pare să răspundă la problemă, dar nu oferă de fapt un algoritm real pentru determinarea echivalenței dintre două noduri descrise ca o diagramă în plan: acest lucru se datorează faptului că, necunoscând a priori numărul de mișcări necesare pentru a transforma o diagramă în altul, nu este posibil să știm cu certitudine într-un timp finit dacă două noduri nu sunt echivalente.

Acest nod se desface! (Exemplu creat de matematicianul Thistlethwaite.)

Problema fundamentală, pe care mișcările lui Reidemeister nu o rezolvă, este deci aceea de a distinge două noduri diferite. În 1928, s-a făcut un pas semnificativ înainte în această direcție: introducerea invarianților , adică a obiectelor algebrice (numere, polinoame etc.) care nu variază cu aplicarea unei mișcări Reidemeister și, prin urmare, sunt atribuite intrinsec nodului. Polinomul Alexander este un invariant de acest tip: un polinom este asociat cu fiecare nod, care poate fi calculat într-un mod combinatoriu pornind de la o diagramă. Prin urmare, două noduri care au polinoame diferite sunt neapărat diferite.

Căutarea unor invarianți puternici a preluat majoritatea restului secolului al XX-lea . Printre acestea, polinomul Jones i-a adus fizicianului Vaughan Jones medalia Fields .

Noduri și 3 soiuri

Complementarul nodului în spațiul tridimensional (sau în 3-sfera S ³ obținută din acesta din urmă prin adăugarea unui punct și astfel compactarea spațiului) este o varietate tridimensională. Această varietate oferă multe informații despre nod.

Studiind această varietate, matematicianul Haken a construit în 1961 primul algoritm care recunoaște dacă un nod dat (de exemplu în formă diagramatică) este banal (adică dacă se dizolvă complet). Acest algoritm, deși important din punct de vedere teoretic, are totuși o aplicare practică dificilă, tocmai pentru că folosește tehnici referitoare la varietăți tridimensionale.

Colectorul oferă, de asemenea, un puternic invariant: grupul său fundamental . Multe teoreme referitoare la 3-manifolduri au o analogie strânsă cu teoreme analoage pentru noduri. Dintre acestea, cea mai importantă este o teoremă a factorizării dovedită în 1949 de matematicianul german Horst Schubert .

În anii 1980, matematicienii Cameron Gordon și John Luecke au demonstrat în cele din urmă că nodul este strâns legat de varietatea sa complementară: două noduri sunt de fapt echivalente dacă și numai dacă varietățile lor complementare sunt homeomorfe . Mai mult, este dovedit că un polinom $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ Ale lui Alexandru sunt împărțite de un alt polinom $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ al lui Alexandru dacă complementarul nodului identificat prin $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ poate fi văzut ca o sub-varietate a varietății complementare a nodului identificat de $q .$ ${\ displaystyle q.}$ ${\ displaystyle q.}$

Concepte fundamentale

Conceptele fundamentale ale teoriei nodurilor sunt cele de nod și legătură .

Nod și legătură

Același subiect în detaliu: Nod (matematică) și Link (teoria nodului) .

Deși intuitivă, definiția matematică a unui nod are câteva subtilități minore. În esență, există două moduri de a alege: un nod poate fi definit ca o linie întreruptă închisă sau o curbă care poate fi diferențiată în spațiu. Prin urmare, este definită o noțiune adecvată de echivalență între noduri.

O legătură este o uniune finită disjunctă de noduri.

Acest nod nu este prim: se obține ca o sumă legată de două noduri mai simple, nodul trifoiului și cel de opt noduri .

Primul nod

Același subiect în detaliu: nodul prim .

Există o operație simplă care vă permite să „uniți” două noduri pentru a construi un al treilea: această operație se numește sumă conectată . Teorema lui Schubert afirmă că fiecare nod este suma conectată a unei succesiuni de noduri elementare numite, similar cu nomenclatura matematică a numerelor, noduri prime. Teorema este de fapt analogul teoremei fundamentale a aritmeticii în contextul nodurilor, unde operația de multiplicare este înlocuită cu suma conectată între noduri.

Primele noduri până la 7 traversări.

Această teoremă puternică plasează nodurile primare în centrul teoriei nodurilor. Filele și invarianții se referă adesea numai la această clasă fundamentală de obiecte. Figura arată toate nodurile primare care pot fi obținute ca diagrame cu până la 7 traversări. Primele noduri sunt nodul banal , nodul trifoiului și nodul opt .

Notă

^ Thomson, W. , On vortex atoms , în Proceedings of the Royal Society of Edinburgh , VI, Edinburgh, 1867 , pp. 94-105.

Bibliografie

(EN) Thomson, W. , On vortex atoms , în Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, VI, Edinburgh, 1867 , pp. 94-105.
(EN) Ashley, Clifford W., The Ashley Book of Knots, Londra, Faber & Faber, 1972 (retipărire), ISBN 0-571-09659-X .
( EN ) Dale Rolfsen, Knots and Links , Berkeley, Publish or Perish, Inc., 1976, ISBN 0-914098-16-0 .
( EN ) Gerhard Burde, Heiner Zieschang, Knots , Walter de Gruyter, 1985, ISBN 0-89925-014-9 .
( EN ) Louis H. Kauffman, Knots and Physics , Singapore, World Scientific, 1991, ISBN 981-02-0343-8 .
(EN) Charles Livingston, The Knot Theory, Mathematical Association of America, 1993.
(EN) Colin Adams, The Knot Book, New York, WH Freeman, 1994, ISBN 0-7167-2393-X .
(EN) Akio Kawauchi, A Survey of Knot Theory, Basel, Boston, Birkhäuser, 1996 ISBN 3-7643-5124-1 .
Alexei Sossinsky, nodi, Bollati Boringhieri , 2000, ISBN 88-339-1235-3 .
Michele Emmer (editat de), Matematică și cultură 2000 , Milano, Springer Italia, 2000, ISBN 978-88-470-0102-2 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre teoria nodurilor

linkuri externe

( EN ) Teoria nodului , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
MathWorld, intrare Knot , la mathworld.wolfram.com .
Site KnotPlot de Robert G. Scharein , la pims.math.ca. Adus la 30 septembrie 2004 (arhivat din original la 10 octombrie 2004) .

Controlul autorității	Tezaur BNCF 4966

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Thomson, W. , On vortex atoms , în Proceedings of the Royal Society of Edinburgh , VI, Edinburgh, 1867 , pp. 94-105.

[1]