Teoria numerelor

Distribuția numerelor prime este un subiect central de studiu în teoria numerelor. Această spirală Ulam o reprezintă, evidențiind în special independența condițională între a fi prim și a fi o valoare a anumitor polinoame pătratice

În mod tradițional, teoria numerelor este acea ramură a matematicii pure care se ocupă de proprietățile numerelor întregi și conține multe probleme deschise care pot fi înțelese chiar de cei care nu sunt matematicieni. Mai general, subiectul a ajuns să trateze o clasă mai largă de probleme care au apărut în mod natural din studiul numerelor întregi. Teoria numerelor poate fi împărțită în diferite domenii, în funcție de metodele utilizate și de problemele studiate. Termenul " aritmetică " este, de asemenea, utilizat pentru a se referi la teoria numerelor. Acest termen este destul de vechi și nu este la fel de popular pe cât a fost odată. Cu toate acestea, termenul rămâne predominant, de exemplu, în numele „câmpurilor” matematice (geometria algebrică aritmetică și aritmetica curbelor și suprafețelor eliptice). Această semnificație a cuvântului aritmetică nu trebuie confundată cu ramura logicii care studiază aritmetica ca sistem formal.

Ramuri și caracteristici ale teoriei numerelor

În teoria elementară a numerelor, numerele întregi sunt studiate fără utilizarea tehnicilor din alte domenii ale matematicii. Această parte include întrebările de divizibilitate , algoritmul lui Euclid pentru calcularea celui mai mare divizor comun , factorizarea numerelor întregi în numere prime , studiul numerelor și congruențelor perfecte . Afirmații tipice sunt teorema mică a lui Fermat și teorema lui Euler (care este o generalizare a acesteia), teorema restului chinezesc și legea reciprocității pătratice . Sunt investigate proprietățile funcțiilor multiplicative, cum ar fi funcția Möbius și funcția Euler φ ; precum și secvențe de numere întregi, cum ar fi factorialele și numerele Fibonacci .

Multe probleme ale teoriei numerelor elementare sunt excepțional de profunde și necesită în prezent idei noi. Exemple sunt:

Conjectura lui Goldbach (slabă și puternică), care se referă la expresia numerelor pare ca suma numerelor prime,
Conjectura lui Polignac ,
Conjectura lui Chen ,
conjectura primelor gemene cu privire la existența primelor gemene infinite,
Conjectura numerelor lui Sophie Germain ,
noua conjectură Mersenne ,
conjectura numerelor perfecte ,
conjectura Collatz privind condițiile de terminare a unui algoritm iterativ.
Teorema lui Matiyasevich , care a dovedit că teoria ecuațiilor diofantine este indecidabilă (vezi a zecea problemă a lui Hilbert ).

Teoria analitică a numerelor exploatează mecanismele calculului infinitesimal și a analizei complexe pentru a aborda problemele asupra numerelor întregi. Câteva exemple sunt teorema numărului prim și ipoteza Riemann aferentă. Probleme ale teoriei numerelor elementare, cum ar fi problema lui Waring (reprezentând un număr dat ca suma pătratelor, cuburilor etc.), conjectura primă twin și conjectura Goldbach sunt, de asemenea, atacate cu metode analitice. Dovezile transcendenței constantelor matematice, cum ar fi π sau e , sunt, de asemenea, clasificate în teoria numerelor analitice. În timp ce afirmațiile despre numerele transcendente par să nu se refere la numere întregi, ele investighează de fapt posibilitatea ca anumite numere să fie reprezentate ca rădăcini ale unui polinom cu coeficienți întregi; numerele transcendente sunt, de asemenea, strâns legate de aproximarea diofantină , care studiază precizia cu care un anumit număr real poate fi aproximat printr-un număr rațional .

În teoria numerelor algebrice , conceptul de număr este generalizat la cel al numărului algebric care este rădăcina unui polinom cu coeficienți întregi. Aceste domenii conțin elemente analoage numerelor întregi, numite numere întregi algebrice . În acest mediu, este posibil ca proprietățile familiare ale numerelor întregi (cum ar fi unicitatea factorizării) să nu mai fie verificate. Puterea instrumentelor utilizate - teoria Galois , cohomologia câmpului, teoria câmpului de clasă , reprezentările grupurilor și funcțiile L - este de a permite (cel puțin parțial) recuperarea ordinii pentru această nouă clasă de numere.

Multe probleme ale teoriei numerelor sunt mai ușor atacate prin studierea modulului p pentru toate numerele prime p (a se vedea câmpurile finite ). Această metodă se numește localizare și duce la construirea de numere p-adic ; acest domeniu de studiu se numește analiză locală și apare din teoria numerelor algebrice.

Teoria numerelor geometrice încorporează toate formele de geometrie. Începe cu teorema lui Minkowski asupra punctelor de rețea în seturi convexe și studiul împachetării sferelor . Geometria algebrică este, de asemenea, adesea utilizată, în special teoria curbelor eliptice . Faimoasa teoremă a lui Fermat a fost dovedită folosind aceste tehnici.

În cele din urmă, teoria computațională a numerelor studiază algoritmi importanți în teoria numerelor. Algoritmi eficienți pentru verificarea primăriei și factorizarea numărului întreg au aplicații importante în criptografie .

Istoria teoriei numerelor

Teoria numerelor , un subiect preferat printre grecii antici, și-a văzut renașterea în secolele al XVI - lea și al XVII-lea în lucrările lui Viète , Bachet de Méziriac și în special Pierre de Fermat . În secolul al XVIII-lea, Euler și Lagrange au adus contribuții importante la teorie, iar la sfârșitul ei disciplina a început să aibă o formă științifică datorită marilor lucrări ale lui Legendre (1798) și Gauss (1801). Cu Disquisitiones Gaith 's Arithmeticae (1801) se poate spune că teoria modernă a numerelor a început.

Chebyshev (1850) a furnizat marje utile pentru numărul de numere prime între două limite. Riemann (1859) a conjecturat o formulă asimptotică îmbunătățită pentru teorema numărului prim , a introdus analiza complexă în teoria funcției zeta a lui Riemann și, din zerourile sale, a derivat formulele explicite ale teoriei numerelor prime .

Teoria congruentelor pot fi urmărite înapoi la Disquisitiones lui Gauss. El a introdus notația:

a\equiv b{\pmod {c}},

{\ displaystyle a \ equiv b {\ pmod {c}},}

a \ equiv b {\ pmod c},

și a explorat cea mai mare parte a problemei. În 1847 Chebyshev a publicat o lucrare în limba rusă pe această temă, care a fost popularizată în Franța de Serret .

Pe lângă rezumarea lucrării anterioare, Legendre a enunțat legea reciprocității pătratice . Această lege, descoperită prin inducție matematică și enunțată de Euler, a fost dovedită pentru prima dată de Legendre în Théorie des Nombres ( 1798 ), deși numai pentru cazuri particulare. Indiferent de Euler și Legendre, Gauss a descoperit legea în jurul anului 1795 și a fost primul care a dat o dovadă generală. Alte personalități proeminente care au contribuit la acest subiect sunt: Cauchy ; Dirichlet , dintre care Vorlesungen über Zahlentheorie ( Lecții de teoria numerelor ) este un clasic; Jacobi , care a introdus simbolul Jacobi ; Liouville , Eisenstein , Kummer și Kronecker . Teoria este generalizată pentru a include legea reciprocității cubice și biadratice (Gauss, Jacobi, Kummer).

Reprezentarea numerelor întregi în forme pătratice se datorează și lui Gauss. Cauchy, Poinsot ( 1845 ), Lebesgue (?) ( 1859 , 1868 ) și mai ales Hermite au contribuit la acest subiect. Teoria formelor ternare a fost studiată de Eisenstein, iar el și HJS Smith au datorat progrese considerabile în teoria formelor în general. Smith a dat o clasificare completă a formelor ternare pătratice și a extins cercetarea lui Gauss asupra formelor pătratice reale la forme complexe. Studiile privind reprezentarea numerelor ca suma a 4, 5, 6, 7, 8 pătrate au fost efectuate de Eisenstein, iar teoria a fost completată de Smith.

Dirichlet a fost primul care a preluat subiectul la o universitate germană. Printre contribuțiile sale se numără extinderea ultimei teoreme a lui Fermat , pentru care rezolvaseră Euler și Legendre $n=3,4$ ${\ displaystyle n = 3.4}$ $n = 3.4$ ; Dirichlet a dovedit asta $x^{5}+y^{5}\neq az^{5}$ ${\ displaystyle x ^ {5} + y ^ {5} \ neq az ^ {5}}$ $x ^ {5} + y ^ {5} \ neq az ^ {5}$ . Printre ultimii scriitori francezi se numără Borel ; Poincaré , ale cărui amintiri sunt numeroase și importante; Tannery și Stieltjes . Printre cele mai eminente personalități din Germania se numără Kronecker, Kummer, Schering , Bachmann și Richard Dedekind . În Austria lucrarea Vorlesungen über allgemeine Arithmetik de Stolz ( 1885 - 86 ), iar în Anglia Teoria numerelor (Partea I, 1892 ) de Mathews sunt printre cele mai complete lucrări. Genocchi , Sylvester și Glaisher au adus alte contribuții la teorie.

Matematicianul britanic GH Hardy a fost unul dintre cei mai pasionați susținători ai teoriei numerelor și și-a dedicat o mare parte din viață.

Bibliografie

Tom M. Apostol: (2008): Funcțiile teoriei numerelor , capitolul 27 al Bibliotecii digitale NIST a funcțiilor matematice
Oystein Ore (1948): The Number Number and Its History , Dover Publications, Inc., ISBN 0-486-65620-9
Richard Dedekind (1963), Eseuri despre teoria numerelor , Dover Publications, Inc., ISBN 0-486-21010-3
Richard K. Guy (1981): Probleme nerezolvate în teoria numerelor , Springer, ISBN 0-387-90593-6
Harold Davenport, Aritmetica superioară . Zanichelli, Bologna, 1994. ISBN 88-08-09154-6
Melvyn B. Nathanson (2000): Metode elementare în teoria numerelor , Springer, ISBN 0-387-98912-9
Kenneth Ireland, Michael Rosen (2010): A Classical Introduction to Modern Number Theory , ediția a II-a, Springer, ISBN 978-1-4419-3094-1

Elemente conexe

11-XX : inițialele secțiunii MSC dedicate teoriei numerelor.

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre teoria numerelor

linkuri externe

( EN ) Teoria numerelor , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( RO ) David Eugene Smith, History of Modern Mathematics , Chapman & Hall , 1906. (text de domeniu public adaptat)

Controlul autorității	Tesauro BNCF 14101 · LCCN (EN) sh85093222 · GND (DE) 4067277-3 · BNF (FR) cb131627085 (dată) · BNE (ES) XX4703223 (dată) · NDL (EN, JA) 00.570.429

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Teoria numerelor
Cele mai utilizate numere	Natural · Întreg · Par și impar
Principii generale	Principiul inducției · Principiul unei bune ordonări · Relația de echivalență
Secvențe de numere întregi	Factorial · Fibonacci · Număr de catalană · Număr Perrin · Număr de Euler · Secvență Mian-Chowla · Succesiunea lui Thue-Morse
Caracteristicile numerelor prime	Primul număr · lema lui Euclid · Teorema infinitate de numere prime · ciurul Eratostene · teste primality · Teorema fundamentală a aritmeticii · Total acoperire mine · Bézout Identitate · MCD · mcm · algoritmul lui Euclid · Teorema de Prime Numbers
Funcții aritmetice	Funcție multiplicativă · funcție aditivă · convoluție Dirichlet · funcția Euler Euler · funcția Möbius · funcția tau pe pozitiv · funcția sigmoidă · funcția Liouville · funcția Mertens
Aritmetica modulară	Teorema a restului chinez · teorema lui Fermat mici · teorema lui Euler · Criterii de divizibilitate · teorema lui Fermat pe sume de două pătrate · Wilson Teorema · reciprocitatea pătratică
Conjecturi	Conjectura lui Goldbach · Conjectura Polignac · Guess abc · conjectura primelor gemene · Conjectura lui Legendre · Noua conjectură Mersenne · Conjectura Collatz · Ipoteza Riemann
Alte	Problema lui Waring
Principalii teoreticieni	Fibonacci · Fermat · Gauss · Euler · Legendre · Riemann · Dirichlet
Disciplinele conexe	Teoria algebrică a numerelor · Teoria analitică a numerelor · Criptografie · Teoria computațională a numerelor