Teoria numerelor analitice

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

Teoria analitică a numerelor este o zonă a teoriei numerelor care folosește metode de analiză matematică .

Primul său succes major, datorat lui Dirichlet , a fost aplicarea analizei pentru a dovedi existența primelor infinite în orice progresie aritmetică . O altă piatră de hotar a fost dovada teoremei numerelor prime bazată pe funcția zeta Riemann .

Pe lângă Dirichlet, principalii matematicieni care au contribuit la dezvoltarea teoriei numerelor analitice au fost

Organizarea conceptuală a materiei rămâne similară cu cea a vremurilor de aur din anii 1930 . Teoria multiplicativă a numerelor se ocupă cu distribuția numerelor prime , aplicând seria Dirichlet ca funcții generatoare. Se presupune că metodele se vor aplica într-o zi funcției generale L , deși această teorie este în mare parte conjecturată. Unele probleme tipice aparțin teoriei numerelor aditive, cum ar fi conjectura lui Goldbach și problema lui Waring .

Metodele s-au schimbat oarecum. Metoda cercului Hardy și Littlewood a fost concepută pentru a se aplica seriilor de putere din apropierea cercului unității în planul complex ; acum se crede în schimb în termeni de sume exponențiale finite (adică, pe cercul unitar, dar cu seria de putere trunchiată). Metoda de aproximare diofantină este necesară pentru funcțiile auxiliare care nu generează funcții - coeficienții sunt construiți folosind principiul sertarului - și implică mai multe variabile complexe. Studiul aproximărilor diofantine și teoria transcendenței au evoluat într-o asemenea măsură încât aceste tehnici au fost aplicate conjecturii lui Mordell .

Singura schimbare majoră după 1950 a fost dezvoltarea metodei sitei ca instrument auxiliar, în special în problemele multiplicative. Aceste probleme sunt de natură combinatorie și foarte variate. Multe sunt citate și utilizările teoriei probabilistice a numerelor - afirmații despre forma distribuției aleatorii a primilor, de exemplu. O extremă a acestei ramuri a combinatoriei a fost, prin urmare, foarte influențată de valoarea atribuită în teoria numerelor analitice limitelor cantitative superioare și inferioare (adesea separate).

Metoda cercului

Principala metodă a teoriei numerice analitice pentru studierea problemelor aditive este metoda cercului introdusă în anii 1920 de matematicienii Hardy și Littlewood . Funcționarea metodei cercului este următoarea: doriți să găsiți o formulă pentru numărul de soluții ale ecuației

cu

unde A este un set infinit de numere întregi. Se ia în considerare funcția generatoare a lui A

și îl ridică la k-th. Pentru produsul Cauchy se obține

unde este

aceasta din urmă este tocmai expresia numărului de soluții de n sumă de k elemente ale lui A. Folosind teorema lui Cauchy obținem

unde integralul s-a extins la circumferința C cu centrul la originea planului complex și a razei <1. Această metodă a fost ulterior simplificată de Vinogradov cu utilizarea funcției exponențiale complexe definite ca

această funcție este ortogonală în intervalul [0,1]

asa de

Elemente conexe

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică