Teoria numerelor geometrice

În număr teoretic, studii geometrice teoria numerelor convex corpuri și vectori întregi în spațiu n-dimensional ^[1] . Teoria numerelor geometrice a fost introdusă de Hermann Minkowski în 1896.

Disciplina este strâns legată de alte domenii ale matematicii, în special cu analiza funcțională și aproximarea diofantină . ^[2]

Rezultatele lui Minkowski

Să presupunem că Γ este o rețea în spațiul n- dimensional euclidian R ⁿ și că K este un corp convex central simetric.

Teorema lui Minkowski, cunoscută și sub numele de prima teoremă a lui Minkowski, ilustrează că dacă $\mathrm {vol} (K)>2^{n}\mathrm {vol} (\mathbb {R} ^{n}/\Gamma )$ ${\ displaystyle \ mathrm {vol} (K)> 2 ^ {n} \ mathrm {vol} (\ mathbb {R} ^ {n} / \ Gamma)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {vol} (K)> 2 ^ {n} \ mathrm {vol} (\ mathbb {R} ^ {n} / \ Gamma)}$ , atunci K conține un vector non-negativ în Γ.

Următorul minim λ _k este definit ca cel mai mic minim al numerelor λ astfel încât λ K să conțină k vectori liniar independenți ai lui Γ.

Teorema lui Minkowski asupra minimelor succesive, numită uneori a doua teorema a lui Minkowski, este o întărire a primei teoreme și afirmă că ^[3]

\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}\mathrm {vol} (K)\leq 2^{n}\mathrm {vol} (\mathbb {R} ^{n}/\Gamma ).

{\ displaystyle \ lambda _ {1} \ lambda _ {2} \ cdots \ lambda _ {n} \ mathrm {vol} (K) \ leq 2 ^ {n} \ mathrm {vol} (\ mathbb {R} ^ {n} / \ Gamma).}

{\ displaystyle \ lambda _ {1} \ lambda _ {2} \ cdots \ lambda _ {n} \ mathrm {vol} (K) \ leq 2 ^ {n} \ mathrm {vol} (\ mathbb {R} ^ {n} / \ Gamma).}

Cercetări ulterioare

În anii 1930-1960, o varietate de cercetări au fost efectuate de mai mulți matematicieni (inclusiv Louis Mordell , Harold Davenport și Carl Ludwig Siegel ). Recent, matematicienii Lenstra, Brion și Barvinok au dezvoltat teorii combinatorii care enumeră punctele de rețea în corpuri complexe. ^[4]

Teorema subspatiu a lui WM Schmidt

În teoria numerelor geometrice, teorema subspaiului a fost descrisă de Wolfgang M. Schmidt în 1972. ^[5] Dovediți că dacă n este un număr întreg pozitiv și L ₁ , ..., L _n sunt polinoame omogene independente în n variabile cu coeficienți algebrici și dacă ε> 0 este orice număr real, atunci numărul întreg negativ punctează x în n coordonate cu

|L_{1}(x)\cdots L_{n}(x)|<|x|^{-\varepsilon }

{\ displaystyle | L_ {1} (x) \ cdots L_ {n} (x) | <| x | ^ {- \ varepsilon}}

{\ displaystyle | L_ {1} (x) \ cdots L_ {n} (x) | <| x | ^ {- \ varepsilon}}

întindeți-vă pe un număr finit de sub-spații vectoriale Q ⁿ .

Influența în analiza funcțională

Descoperirile lui Minkowski au avut o influență profundă asupra analizei funcționale . Minkowski a demonstrat că corpurile convexe simetrice induc norme în spații vectoriale cu dimensiuni finite. Teorema lui Minkowski a fost generalizată în spațiile topologice vectoriale de către Kolmogorov . ^[6]

Cercetătorii continuă să studieze generalizările în stele și alte seturi convexe . ^[7]

Notă

^ Clasificare MSC, 2010, disponibil la http://www.ams.org/msc/msc2010.html , Clasificare 11HXX.
^ Cărțile lui Schmidt. Grötschel et alii, Lovász et alii, Lovász.
^ Cassels (1971) p. 203
^ Grötschel și alii, Lovász și alii, Lovász și Beck și Robins.
^ Schmidt, Wolfgang M. Norma formează ecuații. Ann. Matematica. (2) 96 (1972), pp. 526-551. Vezi și cărțile lui Schmidt; comparați Bombieri și Vaaler și, de asemenea, Bombieri și Gubler.
^ Pentru teorema normabilității lui Kolmogorov, vezi Analiza funcțională a lui Walter Rudin. Pentru mai multe rezultate, vezi Schneider și Thompson și vezi Kalton și alii.
^ Kalton et alii. Gardner

Bibliografie

Matthias Beck, Sinai Robins. Calcularea continuă discret: Enumerarea punctelor întregi în poliedre , Texte de licență în matematică , Springer, 2007.
Enrico Bombieri și Vaaler, J.,Despre lema lui Siegel ^{[ link rupt ]} , în Inventiones Mathematicae , vol. 73, nr. 1, februarie 1983, pp. 11–32, DOI : 10.1007 / BF01393823 .
Enrico Bombieri și Walter Gubler, Heights in Diophantine Geometry , Cambridge UP, 2006.
JWS Cassels . O introducere în geometria numerelor . Springer Classics in Mathematics, Springer-Verlag 1997 (reeditare a edițiilor Springer-Verlag din 1959 și 1971).
John Horton Conway și NJA Sloane , Sphere Packings, Lattices and Groups , Springer-Verlag, NY, ediția a 3-a, 1998.
RJ Gardner, Tomografie geometrică, Cambridge University Press, New York, 1995. Ediția a doua: 2006.
PM Gruber , Convex și geometrie discretă, Springer-Verlag, New York, 2007.
PM Gruber, JM Wills (editori), Manual de geometrie convexă. Vol. A. B, Olanda de Nord, Amsterdam, 1993.
M. Grötschel , Lovász, L. , A. Schrijver : Algoritmi geometrici și optimizare combinatorie , Springer, 1988
Hancock, Harris, Dezvoltarea geometriei numerelor Minkowski , Macmillan, 1939. (republicată în 1964 de Dover.)
Edmund Hlawka , Johannes Schoißengeier, Rudolf Taschner. Teoria numerelor geometrice și analitice . Universitext. Springer-Verlag, 1991.
Nigel J. Kalton , N. Tenney Peck și James W. Roberts, An F-space sampler , London Mathematical Society Lecture Note Series, 89, Cambridge, Cambridge University Press, 1984, pp. xii + 240, ISBN 0-521-27585-7 .
CG Lekkerkererker. Geometria numerelor . Wolters-Noordhoff, Olanda de Nord, Wiley. 1969.
Lenstra, AK ; Lenstra, HW, Jr .; Lovász, L. , Factorizarea polinoamelor cu coeficienți raționali , în Mathematische Annalen , vol. 261, n. 4, 1982, pp. 515-534, DOI : 10.1007 / BF01457454 .
Lovász, L .: An Algorithmic Theory of Numbers, Graphs, and Convexity , CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics 50, SIAM, Philadelphia, Pennsylvania, 1986
Șablon: Springer
Hermann Minkowski , Geometrie der Zahlen , Leipzig și Berlin, RG Teubner, 1910, JFM 41.0239.03 . Adus la 28 februarie 2016 .
Wolfgang M. Schmidt . Aproximare diofantină . Note de curs în matematică 785. Springer. (1980 [1996 cu corecții minore])
Wolfgang M. Schmidt , Aproximări diofantine și ecuații diofantine , Note de curs în matematică, vol. 1467, 2, Springer-Verlag , 1996, ISBN 3-540-54058-X , Zbl 0754.11020 .
Siegel, Carl Ludwig ,Prelegeri despre geometria numerelor , Springer-Verlag , 1989.
Rolf Schneider, Corpuri convexe: teoria Brunn-Minkowski, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.
Anthony C. Thompson, geometria Minkowski, Cambridge University Press, Cambridge, 1996.
Hermann Weyl . Teoria reducerii pentru echivalența aritmetică. Trans. Amer. Matematica. Soc. 48 (1940) 126–164. DOI : 10.1090 / S0002-9947-1940-0002345-2
Hermann Weyl. Teoria reducerii pentru echivalența aritmetică. II. Trans. Amer. Matematica. Soc. 51 (1942) 203-231. DOI : 10.2307 / 1989946

[1] Clasificare MSC, 2010, disponibil la http://www.ams.org/msc/msc2010.html , Clasificare 11HXX.

[2] Cărțile lui Schmidt. Grötschel et alii, Lovász et alii, Lovász.

[3] Cassels (1971) p. 203

[4] Grötschel și alii, Lovász și alii, Lovász și Beck și Robins.

[5] Schmidt, Wolfgang M. Norma formează ecuații. Ann. Matematica. (2) 96 (1972), pp. 526-551. Vezi și cărțile lui Schmidt; comparați Bombieri și Vaaler și, de asemenea, Bombieri și Gubler.

[6] Pentru teorema normabilității lui Kolmogorov, vezi Analiza funcțională a lui Walter Rudin. Pentru mai multe rezultate, vezi Schneider și Thompson și vezi Kalton și alii.

[7] Kalton et alii. Gardner

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]