Teoria haosului

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , teoria haosului este studierea, prin modele de fizică matematică , a sistemelor dinamice care prezintă o sensibilitate exponențială față de condițiile inițiale . [1] Sistemele de acest tip, deși sunt guvernate de legi deterministe , sunt capabile să prezinte o aleatorie empirică în evoluția variabilelor dinamice. [2] Acest comportament aleatoriu este aparent doar, deoarece apare atunci când se compară cursul asimptotic al două sisteme cu configurații inițiale similare. [1]

Istorie

Fum dintr-un chibrit aprins

Din punct de vedere istoric, studiul fenomenelor haotice s-a născut odată cu problema celor trei corpuri , o problemă a dinamicii fizicii matematice aplicată mecanicii cerești , abordată în primul rând de matematicienii Joseph-Louis Lagrange și Henri Poincaré .

Adevărata naștere a acestei teorii științifice, ca un corp extins de cunoștințe, are loc totuși în 1963, când Edward Norton Lorenz își publică articolul Deterministic Nonperiodic Flow , în care se ocupă de comportamentul haotic într-un sistem simplu și determinist, cu formarea un ciudat atrăgător .

În anii următori numeroase descoperiri în acest domeniu făcute de Mitchell Feigenbaum , care a descoperit universalitatea unor constante pornind de la un studiu privind aplicația logistică , l-au condus la o teorie privind dezvoltarea turbulenței în fluide. Matematicianul belgian David Ruelle și fizicianul olandez Floris Takens au fost pionierii teoriei atrăgătorilor ciudați.

Descriere

În utilizarea obișnuită, „ haos ” înseamnă „ stare de tulburare ”. Cu toate acestea, în teoria haosului, termenul este definit mai precis. Deși nu există o definiție matematică universal acceptată a haosului , o definiție utilizată în mod obișnuit afirmă că un sistem dinamic trebuie să aibă următoarele caracteristici pentru a fi clasificat ca haotic: [3]

  1. trebuie să fie sensibil la condițiile inițiale ;
  2. trebuie să prezinte tranzitivitate topologică ;
  3. trebuie să aibă un set dens de orbite periodice .

Dependență sensibilă de condițiile inițiale

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Efectul fluture .

Dependența sensibilă de condițiile inițiale înseamnă că într-un sistem haotic variațiile infinitezimale ale condițiilor inițiale corespund variațiilor semnificative ale comportamentului viitor. Cu alte cuvinte, fiecare configurație a unui sistem haotic este în mod arbitrar aproape de alta cu o traiectorie viitoare complet diferită.

Sensibilitatea la condițiile inițiale este cunoscută în mod obișnuit ca „efectul fluture”, care este numit după titlul unei lucrări prezentate de Edward Norton Lorenz în 1972 Asociației Americane pentru Avansarea Științei din Washington, DC, intitulată Predictability: Does the flapping aripilor unui fluture din Brazilia provoacă o tornadă în Texas? . [4] Mișcarea aripilor unui fluture reprezintă o mică schimbare în starea inițială a sistemului, care provoacă un lanț de evenimente care duc la fenomene la scară tot mai mare. Dacă fluturul nu ar fi bătut cu aripile, traiectoria sistemului ar fi fost foarte diferită.

O tornadă în Oklahoma . Vremea este un exemplu clasic de sistem haotic.

S-a demonstrat că, în unele cazuri, ultimele două proprietăți enumerate mai sus implică de fapt sensibilitate la condițiile inițiale, [5] [6] și dacă atenția este limitată la intervale, a doua proprietate implică celelalte două [7] (o alternativă și în general mai slabă, definiția haosului folosește doar primele două proprietăți enumerate mai sus). [8] Este interesant de observat că proprietatea cu consecințe practice mai semnificative, sensibilitatea la condițiile inițiale, este redundantă în definiție, deoarece este implicată de două (sau pentru intervale, una) proprietăți pur topologice , care sunt, prin urmare, de un interes mai mare pentru matematicieni.

O consecință a sensibilității la condițiile inițiale este că, dacă începeți doar cu o cantitate limitată de informații despre starea sistemului , așa cum se întâmplă de obicei în practică, atunci viitorul sistemului nu va mai fi previzibil după un anumit timp. Acest lucru este familiar în cazul vremii, care este de obicei așteptat doar cu o săptămână înainte. [9] Desigur, aceasta nu înseamnă că nu putem spune nimic despre evenimente îndepărtate în viitor; există unele restricții asupra sistemului. În vreme, știm că temperatura nu va ajunge niciodată la 100 de grade Celsius sau va scădea la -130 de grade Celsius pe Pământ și că aceasta fluctuează odată cu anotimpurile, dar nu putem prezice cu exactitate în ce zi vom avea cea mai tare temperatură din lume. an. O caracteristică particulară a unui sistem haotic, deși determinist, este, prin urmare, aparenta imprevizibilitate a traiectoriilor sistemului, datorită sensibilității puternice față de condițiile inițiale.

În termeni mai matematici, exponentul Lyapunov măsoară gradul de sensibilitate la condițiile inițiale. Acordați două traiectorii de pornire în spațiul fazelor infinit apropiate cu separarea inițială , acestea diferă în viitor la rata exponențială de

unde este este timpul și este exponentul lui Lyapunov. Viteza de separare depinde de orientarea vectorului de separare inițial, deci există un întreg spectru de exponenți Lyapunov. Numărul exponenților Lyapunov este egal cu numărul de dimensiuni ale spațiului de fază, deși este obișnuit să ne referim doar la cel mai mare. De exemplu, exponentul maxim Lyapunov este cel mai des utilizat, deoarece determină predictibilitatea generală a sistemului. Un exponent maxim Lyapunov pozitiv este, în general, luat ca o indicație că sistemul este haotic.

Tranzitivitatea topologică

Harta definită de x → 4 x (1 - x ) și yx + y mod 1 prezintă tranzitivitate topologică. În figură, o regiune albastră este transformată de dinamică în regiunea purpurie, apoi în regiunile roz și roșu și, în cele din urmă, într-un nor de puncte distribuite și împrăștiate în spațiu.

Tranzitivitatea topologică este o proprietate care implică faptul că sistemul va evolua în timp, astfel încât orice regiune sau set deschis în spațiul său de fază să se suprapună cu orice altă regiune dată. În esență, traiectoriile sistemului dinamic haotic vor trece prin întregul spațiu de fază pe măsură ce timpul evoluează (de unde „tranzitivitatea topologică”: fiecare regiune a spațiului de fază al domeniului sistemului dinamic va fi atinsă de o orbită mai devreme sau mai târziu). Acest concept matematic de „amestecare” corespunde intuiției comune oferite de exemplu de dinamica haotică a amestecului a două fluide colorate.

Tranzitivitatea topologică este adesea omisă din prezentările populare ale teoriei haosului, care definesc haosul doar cu sensibilitate la condițiile inițiale. Cu toate acestea, dependența sensibilă de condițiile inițiale singure nu provoacă haos. Prin contraexemplu, luați în considerare sistemul dinamic simplu produs prin dublarea repetată a unei valori inițiale. Acest sistem are dependența sensibilă de condițiile inițiale de pretutindeni, deoarece orice pereche de puncte apropiate de final vor fi separate pe scară largă. Cu toate acestea, acest exemplu nu are tranzitivitate topologică și, prin urmare, nu este haotic. De fapt, are un comportament extrem de simplu: toate punctele, cu excepția 0, vor tinde spre infinit pozitiv sau negativ.

Densitatea orbitelor periodice

Pentru ca un sistem haotic să aibă un set dens de orbite periodice , fiecare punct din spațiu trebuie să fie aproape în mod arbitrar de o orbită periodică. Harta logistică unidimensională definită de este unul dintre cele mai simple sisteme cu un set dens de orbite periodice. De exemplu, (egală cu aproximativ 0,3454915 → 0,9045085 → 0,3454915) este o orbită instabilă cu o perioadă de 2, iar orbite similare există pentru perioade de 4, 8, 16 etc., adică pentru toate perioadele indicate de teorema lui Sharkovsky . [10]

Teorema lui Sharkovskii stă la baza dovezii lui Li și Yorke [11] (1975) că orice sistem unidimensional care prezintă un ciclu regulat de trei perioade va afișa și cicluri regulate de orice altă lungime, precum și orbite complet haotice.

Atractor ciudat

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Atractor .
Atractorul Lorenz arată o tendință haotică. Aceste două grafice demonstrează dependența sensibilă de condițiile inițiale într-o regiune a spațiului de fază numită atractiv .

Unele sisteme dinamice, cum ar fi harta logistică unidimensională definită de x → 4 × (1 - x ), arată comportamente haotice care se extind în tot spațiul de fază, totuși este posibil ca tendința haotică să se limiteze doar la anumite regiuni ale acesteia . Cazul de cel mai mare interes apare atunci când un set mare de configurații inițiale tinde să convergă într-o regiune delimitată a spațiului, atragătorul , unde apar fenomene haotice.

Regiunea spațiului delimitat de atractiv poate avea dimensiuni complete, dar în mod surprinzător, aceasta nu este singura posibilitate. Atractorul ciudat este un atractor cu o dimensiune Hausdorff neîntreagă [12] . Mărimea atrăgătorilor este dificil de calculat analitic și este adesea estimată cu simulări pe computer. De exemplu, dimensiunea Hausdorff a atractorului generată de harta Hénon este egală cu 1,26.

O modalitate simplă de a vizualiza un atractiv haotic este de a începe cu un punct din bazinul de atracție al atractivului și apoi de a urmări traiectoria rezultată. Deoarece condiția tranzitivității topologice este valabilă, aceasta este echivalentă cu producerea unei imagini a întregului atractiv final. Un exemplu celebru al acestui atrăgător este cel al lui Lorenz , forma sa seamănă cu cea a unui fluture.

Spre deosebire de punctele fixe , adică atragătorii unidimensionali și ciclurile limită, cu două dimensiuni sau mai multe, atractorii care ies din sistemele haotice sunt bogate în detalii și complexitate și adesea seamănă cu fractali . Structurile fractale pot apărea, de asemenea, luând în considerare forma și marginea unui bazin atractiv, cum ar fi setul Julia .

Trecerea la haos

Există două tipuri principale de tranziții în care sistemele dinamice trec de la un comportament regulat la un haotic:

  • Tranziția la haos prin dublarea perioadei (de exemplu, Harta logistică ) în care avem o tranziție la haos datorită dublării perioadei ciclului limită care este creată de o bifurcație Hopf inițială. În acest caz ( Feigenbaum 1978) se întâmplă ca o orbită stabilă a perioadei 2 (ciclu limită) să apară din punctul fix stabil. Când orbita acestei perioade 2 devine instabilă, se naște o orbită a perioadei 4 și așa mai departe. Succesiunea valorilor parametrului de control al sistemului în care diferitele cicluri limită astfel create trec de la stabil la instabil are un punct de acumulare și acest punct de acumulare este punctul în care sistemul trece la haos.
  • Tranziția intermitentă la haos în care valoarea critică a parametrului de control al sistemului este depășită și sistemul se comportă în continuare în mod regulat, totuși, intercalat cu explozii haotice. Durata acestor explozii haotice crește odată cu creșterea valorii parametrului de control al sistemului. Există 3 subcategorii ale acestei tranziții: bifurcația nodului șa , bifurcația Hopf inversă și dublarea perioadei inverse .

Exemple

Comportamentele haotice se întâlnesc în meteorologie ( Lorenz attractor ), climatologie , dinamica fluidelor ( turbulențe ), teoria laserului , ecologie .

Exemple de modele matematice ale sistemelor dinamice cu tranziție la haos:

Aplicații

Teoria haosului se aplică în multe discipline: matematică , fizică , chimie , biologie , dinamica populației , informatică , geologie , inginerie , economie , finanțe , filosofie , politică , psihologie și robotică . [13]

Teoria haosului se aplică în prezent și studiului medical al epilepsiei și în mod specific predicției atacurilor aparent aleatorii prin respectarea condițiilor inițiale. [14]

Cerere în finanțe

Teoria haosului a fost folosită și în critici ale modelului de stabilire a prețurilor activelor de capital (CAPM). CAPM își bazează principiile pe modelul de piață eficient (IME), în timp ce Teoria haosului contestă principiile acestui model și figura investitorului rațional și, mai presus de toate, că prețul unui titlu de preț reduce imediat toate informațiile care vin din titlu în sine.

Potrivit teoreticienilor, investitorii nu reacționează la informații pe măsură ce le primesc, dar au o amintire a evenimentelor din trecut, a ceea ce s-a întâmplat. Piețele funcționează dintr-o perspectivă dinamică și neliniară. Indicele beta este, de asemenea, contestat din cauza dificultăților pe care le întâmpină singur în măsurarea riscului unei securități. Există prea mulți factori care îl pot afecta și diferitele metode de calcul complică și mai mult problema. Se propune necesitatea altor indicatori, cum ar fi indicatorul h care distinge o serie aleatorie de una normală. Dacă are o valoare egală cu 0,5 este aleatorie, dacă este mai mare va fi de tip non-normal.

În mass-media și în ficțiune

Termenul „teoria haosului” a lovit o parte din imaginația colectivă și a devenit parte a culturii pop, alături de efectul fluture . Aceasta din urmă (înțeleasă ca influența faptelor minime asupra cursului evenimentelor) a fost deja reprezentată într-o nuvelă de Ray Bradbury , Rumore di thunder , publicată în 1952 și, prin urmare, anterior teoriei. Această poveste este considerată de unii printre „precursorii”. O altă referință literară relevantă este apoi romanul lui James Joyce Finnegans Wake , pentru crearea haosmozei neologismului, un concept folosit apoi pe scară largă în filozofia contemporană și extrem de interesant pentru posibila sa funcționalizare teoretică. [ citație necesară ] Un alt exemplu este unul dintre personajele din cartea lui Michael Crichton Jurassic Park și filmul care a fost realizat din ea , Ian Malcolm, un matematician specializat în teoria haosului.

Notă

  1. ^ a b Oct Edward, Haos în sisteme dinamice , Cambridge University Press, 2002, pp. 15-19.
  2. ^ teoria haosului , pe britannica.com . Adus la 22 ianuarie 2012 .
  3. ^ Hasselblatt, Boris, Anatole Katok, A First Course in Dynamics: With a Panorama of Recent Developments , Cambridge University Press, 2003, ISBN 0-521-58750-6 .
  4. ^ Edward Norton Lorenz, 1972 / Lorenz ( PDF ), pe eaps4.mit.edu , 21 mai 2015. Accesat la 21 mai 2015 (arhivat din original la 12 iunie 2013) .
  5. ^ Elaydi, Saber N., Haos discret , Chapman & Hall / CRC, 1999, p. 117, ISBN 1-58488-002-3 .
  6. ^ Basener, William F., Topologie și aplicațiile sale , Wiley, 2006, p. 42, ISBN 0-471-68755-3 .
  7. ^ Vellekoop, Michel; Berglund, Raoul, Despre intervale, tranzitivitate = haos , în The American Mathematical Monthly , vol. 101, ediția a 4-a, aprilie 1994, pp. 353-5, DOI : 10.2307 / 2975629 , JSTOR 2975629 .
  8. ^ Mijloc, Alfredo; Lines, Marji, Nonlinear Dynamics: A Primer , Cambridge University Press, 2001, p. 165, ISBN 0-521-55874-3 .
  9. ^ Watts, Robert G., Încălzirea globală și viitorul pământului , Morgan & Claypool, 2007, p. 17.
  10. ^ Alligood, Sauer și Yorke
  11. ^ Li, TY, Yorke, JA, Perioada trei implică haosul ( PDF ), în American Mathematical Monthly , vol. 82, nr. 10, 1975, pp. 985–92, DOI : 10.2307 / 2318254 . Adus la 21 mai 2015 (arhivat din original la 29 decembrie 2009) .
  12. ^ Edward Ott, Atragători ciudați și mișcări haotice ale sistemelor dinamice ( PDF ), su users-phys.au.dk , 1981, p. 15. Adus la 26 ianuarie 2012 (arhivat din original la 5 martie 2016) .
  13. ^ Metaculture.net, metalinks: Applied Chaos Arhivat 28 noiembrie 2007 la Internet Archive ., 2007.
  14. ^ Comdig.org,Complexity Digest 199.06

Bibliografie

  • Badii R., Politi A., Complexitate: structuri ierarhice și fizica scalării , Cambridge University Press, 1997 , pe cambridge.org .
  • Bergé P., Pomeau Y. , Vidal C., L'ordre dans le chaos: vers une approche déterministe de la turbulence , Herrmann, 1984
  • Bertagna A., Controlul indeterminatului. Satele Potëmkin și alte non-locuri , Quodlibet, Macerata 2010
  • Bertuglia CS, Vaio F., Non linearitate, haos, complexitate , Torino, Bollati Boringhieri, 2003
  • Bischi GI, Carini R., Gardini L., Tenti P., Pe urmele haosului. Comportamente complexe în modele matematice simple , Mondadori, 2004
  • Coli M., Ercolani A., Falco G. Modele de sisteme dinamice și evoluție către haos . Inginerie 2000, 2001 ISBN 88-86658-14-1
  • Deleuze, G., Guattari, F., De la haos la creier , în Ce este filozofia? , Torino, Einaudi, 1996
  • De Toni AF, Comello L., Prede sau păianjeni , Torino, Utet Libreria, 2005
  • De Toni AF, Comello L., Călătorie în complexitate , Veneția, Marsilio Editori, 2007
  • Ekeland Ivar, Haosul . Milano, testatorul, 1997
  • Smith Leonard, Haos , ed. Cod, 2008
  • Vulpiani Angelo, Determinism și haos , Roma, Noua Italia științifică, 1994
  • Gleick James:Haos. Nașterea unei noi științe , BUR Biblioteca Univ. Rizzoli 2000
  • ( EN ) Hao Bai-Lin, Chaos II, un volum de introducere și reeditare (actualizare a Haosului (1984)) , World Scientific Publishing Co., 1990
  • (EN) Heinz Pagels , Visele rațiunii. Calculatorul și ascensiunea științelor complexității . Bantam Books, New York 1989
  • ( EN ) Ott Edward , Haos în sisteme dinamice , Cambridge University Press, 1993
  • ( EN ) Schuster Heinz Georg și Just Wolfram Haos determinist. An Introduction , Wiley-VCH, Berlin, 2005 ISBN 3-527-40415-5

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Controlul autorității Tezaur BNCF 67606 · LCCN (EN) sh85022562 · GND (DE) 4009754-7 · BNF (FR) cb119954481 (data)