Teoria elasticității

Teoria elasticității este ramura mecanicii continuumului care studiază mișcarea și deformarea corpurilor solide elastice în condiții de sarcină atribuite ( forțe sau solicitări ). Este subiectul principal de studiu al mecanicii solidelor și își găsește interesul atât în matematică , unde a dat naștere la o cantitate impresionantă de cercetări teoretice, cât și în știința construcțiilor , unde teoria își găsește orientarea aplicativă oferind o gamă destul de largă de soluții (exact sau aproximativ) la multe probleme. Prin urmare, se aplică în diverse domenii inginerești ( analiza structurală și știința materialelor , de exemplu), dar și în geofizică (interpretarea datelor seismice prin analiza undelor elastice) și în medicină (studiul proprietăților biomecanice ale organelor artificiale, de exemplu).

Generalitate

Denumirea de Teorie a elasticității este în mod obișnuit sinonimă cu teoria clasică a elasticității , care se limitează la luarea în considerare a micilor deplasări și deformări mici ale solidelor din material elasto-liniar a cărui legătură constitutivă este atribuibilă legii lui Hooke : de aceea se referă și la o teorie liniară a elasticitate . Din teoria clasică a elasticității rămâne exclusiv studiul corpurilor inelastice (elasto-plastice, materiale fragile etc.), ci și studiul corpurilor elastice în condiții de deplasări mari și / sau deformări mari. În timp ce primul câmp face obiectul unor teorii specifice ( teoria plasticității , mecanica fracturilor etc.), al doilea câmp se încadrează în interesele teoriei neliniare a elasticității și include atât studiile teoriei stabilității echilibrului elastic, cât și studiile asupra comportamentul materialelor hiperelastice neliniare, precum cauciucurile, caracterizate prin deformări mari chiar și în prezența unor solicitări modeste.

fundal

Teoria liniară a elasticității solidelor tridimensionale continue s-a născut în jurul anului 1820 cu lucrarea lui Cauchy asupra corpurilor continue tridimensionale. În același timp, Navier a dezvoltat o formulare diferită a teoriei bazată pe o reprezentare nu continuă, ci corpusculară a materiei. În anii următori, din nou de Cauchy, Navier și Poisson , cele două formulări diferite s-au confruntat în discuții științifice aprinse (controversa privind numărul de module elastice independente pentru un material izotrop ) care au dus treptat la evidențierea limitelor modelului corpuscular. . Dezvoltările ulterioare ale teoriei elasticității au fost, prin urmare, în cadrul modelului continuu. Controversa privind numărul maxim posibil de module constitutive elastice independente pentru materiale anizotrope a fost definitiv închisă de matematicianul englez George Green în 1837 , arătând că existența unei energii de deformare necesită ca, din cele 36 de constante elastice ale legăturii constitutive (dintre cele 6 componente de tensiune independente și cele 6 componente de tensiune independente), doar 21 trebuie să fie independente.

Secolul al XIX-lea marchează nu numai nașterea teoriei elasticității, ci și derivarea multora dintre principalele soluții elastice asociate cu fenomene fizice importante. În 1850 , matematicianul și inginerul francez Barré de Saint-Venant a dezvoltat soluția de torsiune pentru cilindrii cu secțiune necirculară, subliniind necesitatea ca secțiunea să se îndoaie cu deplasări în afara planului său și soluția pentru îndoirea grinzilor supuse sarcinilor transversale., clarificând definitiv semnificația teoriei fasciculului lui Jakob Bernoulli , Euler și Coulomb care permite exprimarea principalelor probleme inerente echilibrului elastic al grinzilor, arcurilor și grinzilor. În a doua jumătate a secolului, soluțiile în termeni de solicitări și deplasări induse de forțe concentrate au fost realizate de Lord Kelvin în cazul forțelor concentrate pe un punct intern al unui spațiu infinit, de matematicianul francez Joseph Boussinesq și de matematicianul italian Valentino Cerruti în cazul forțelor concentrate pe un punct de pe suprafața unui jumătate de spațiu.

Matematicianul prusac Leo August Pochhammer a analizat vibrațiile unui cilindru elastic, în timp ce matematicianul englez Horace Lamb și fizicianul prusian Paul Jaerisch au obținut în 1880 ecuația generală pentru problema vibrațiilor unui corp sferic, o soluție pe care au produs-o ulterior, în 1900 de către seismologi , modelul de reprezentare a vibrațiilor pământului . În 1863 Kelvin a obținut forma de bază a soluției problemei echilibrului elasto-static al unui solid sferic, care va permite în anii următori să reprezinte deformarea pământului indusă de mișcarea sa de rotație.

Formularea matematică

Notatie si simbolologie

${\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal B}$ : domeniu ocupat de configurația inițială a corpului,
${\mathcal {C}}_{f}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {f}}$ ${\ mathcal C} _f$ : parte gratuită a conturului ${\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal B}$ ,
${\mathcal {C}}_{u}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {u}}$ ${\ mathcal C} _u$ : parte constrânsă a graniței ${\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal B}$ ,
$\mathbf {N}$ ${\ displaystyle \ mathbf {N}}$ $\ mathbf {N}$ : ieșire normală la punctul limită,
${\boldsymbol {\sigma }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$ $\ boldsymbol {\ sigma}$ : tensorul simetric al tensiunilor Cauchy,
${\boldsymbol {\varepsilon }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}}}$ $\ boldsymbol {\ varepsilon}$ : tensor simetric al deformărilor infinitezimale,
$\mathbf {u}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ $\ mathbf {u}$ : vectorul deplasărilor,
${\bar {\mathbf {u} }}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ mathbf {u}}}}$ $\ bar {\ mathbf {u}}$ : vectorul decontărilor atribuite,
${\mathsf {C}}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {C}}}$ $\ mathsf {C}$ : tensorul de ordinul patru al coeficienților elastici,
$\lambda ,\mu$ ${\ displaystyle \ lambda, \ mu}$ $\ lambda, \ mu$ : constante elastice ale Lamé pentru materiale izotrope,
$\mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf {b}$ : forța pe unitate de volum,
$\mathbf {f}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f}}$ $\ mathbf {f}$ : forța pe unitate de suprafață,
$\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ : densitatea masei,

Operatori pe vectori, tensori / matrice:

${\dot {(\bullet )}}$ ${\ displaystyle {\ dot {(\ bullet)}}}$ $\ dot {(\ bullet)}$ : prima derivată în raport cu parametrul temporal t.
${\ddot {(\bullet )}}$ ${\ displaystyle {\ ddot {(\ bullet)}}}$ $\ ddot {(\ bullet)}$ : a doua derivată în raport cu parametrul temporal t.
${\boldsymbol {\nabla }}(\bullet )$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} (\ bullet)}$ $\ boldsymbol {\ nabla} (\ bullet)$ : operator gradient
$(\bullet )^{T}$ ${\ displaystyle (\ bullet) ^ {T}}$ $(\ bullet) ^ T$ : operator transpus ,
$\mathbf {div} (\bullet )$ ${\ displaystyle \ mathbf {div} (\ bullet)}$ $\ mathbf {div} (\ bullet)$ : operator de divergență ,
${\boldsymbol {\nabla }}^{2}(\bullet )$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} ^ {2} (\ bullet)}$ $\ boldsymbol {\ nabla} ^ 2 (\ bullet)$ : Operator laplacian ,
$\mathbf {rot} (\bullet )$ ${\ displaystyle \ mathbf {rot} (\ bullet)}$ $\ mathbf {rot} (\ bullet)$ : operator rotor ,

Problema fundamentală a teoriei elasticității este de a determina mișcarea și deformarea pe care o suferă un anumit corp elastic sub acțiunea forțelor externe atribuite, respectând relațiile de echilibru (echilibru), congruența cinematică și constituenții elasto-lineari. Teoria se referă la modelul continuu Cauchy , în ipoteza micilor deplasări (cum ar fi posibilitatea de a confunda, în scopuri de echilibru, configurație deformată și configurație inițială nedeformată) și mici deformări, presupunând o legătură elastică liniară atribuibilă generalizării. Legea lui Hooke , în cele ce urmează sunt detaliate numai pentru cazul materialelor izotrope. În domeniu ${\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal B}$ ocupată de configurația inițială a corpului, această problemă este exprimată printr-un sistem de ecuații diferențiale parțiale, reprezentat în notația tensorică clasică a mecanicii continuumului prin

Ecuația de mișcare , care exprimă prima lege bugetară a lui Euler :

\mathbf {div} \,{\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {b} =\rho ~{\ddot {\mathbf {u} }}

{\ displaystyle \ mathbf {div} \, {\ boldsymbol {\ sigma}} + \ mathbf {b} = \ rho ~ {\ ddot {\ mathbf {u}}}}

{\ displaystyle \ mathbf {div} \, {\ boldsymbol {\ sigma}} + \ mathbf {b} = \ rho ~ {\ ddot {\ mathbf {u}}}}

Ecuația de congruență cinematică:

{\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}\right]

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}} = {\ tfrac {1} {2}} \ left [{\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {u} + ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {u}) ^ {T} \ dreapta]}

\ boldsymbol {\ varepsilon} = \ tfrac {1} {2} \ left [\ boldsymbol {\ nabla} \ mathbf {u} + (\ boldsymbol {\ nabla} \ mathbf {u}) ^ T \ right]

Relații constituționale pentru materiale liniar-elastice (legea generalizată a lui Hooke ${\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {C}}:{\boldsymbol {\varepsilon }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = {\ mathsf {C}}: {\ boldsymbol {\ varepsilon}}}$ $\ boldsymbol {\ sigma} = \ mathsf {C}: \ boldsymbol {\ varepsilon}$ ) care pentru materialele izotrope se exprimă prin:

{\boldsymbol {\sigma }}=\lambda ~{\text{tr}}({\boldsymbol {\varepsilon }})~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+2~\mu ~{\boldsymbol {\varepsilon }}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = \ lambda ~ {\ text {tr}} ({\ boldsymbol {\ varepsilon}}) ~ {\ boldsymbol {\ mathit {1}}} + 2 ~ \ mu ~ {\ boldsymbol {\ varepsilon}}}

{{\ boldsymbol \ sigma}} = \ lambda ~ {\ text {tr}} ({\ boldsymbol {\ varepsilon}}) ~ {\ boldsymbol {{\ mathit {1}}}} + 2 ~ \ mu ~ { \ boldsymbol {\ varepsilon}}

cu posibile condiții la graniță

natural , de echilibru între tensiunile interne și tensiunile superficiale externe din partea liberă ${\mathcal {C}}_{f}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {f}}$ ${\ mathcal C} _f$ a conturului ${\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal B}$

{\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {n} =\mathbf {f}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} \ mathbf {n} = \ mathbf {f}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} \ mathbf {n} = \ mathbf {f}}

esențial , de congruență cinematică între deplasare și așezări pe partea constrânsă ${\mathcal {C}}_{u}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {u}}$ ${\ mathcal C} _u$ a conturului ${\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal B}$ :

\mathbf {u} ={\bar {\mathbf {u} }}

{\ displaystyle \ mathbf {u} = {\ bar {\ mathbf {u}}}}

\ mathbf {u} = \ bar {\ mathbf {u}}

și condițiile inițiale

\mathbf {u} (\cdot )|_{t=0}=\mathbf {u} ^{o}\;,\;{\dot {\mathbf {u} }}(\cdot )|_{t=0}={\dot {\mathbf {u} }}^{o}

{\ displaystyle \ mathbf {u} (\ cdot) | _ {t = 0} = \ mathbf {u} ^ {o} \ ;, \; {\ dot {\ mathbf {u}}} (\ cdot) | _ {t = 0} = {\ dot {\ mathbf {u}}} ^ {o}}

\ mathbf {u} (\ cdot) | _ {t = 0} = \ mathbf {u} ^ o \ ;, \; \ dot {\ mathbf {u}} (\ cdot) | _ {t = 0} = \ dot {\ mathbf {u}} ^ o

Reprezentarea în componentele scalare carteziene

S-a remediat un sistem de coordonate carteziene $(X_{1},X_{2},X_{3})$ ${\ displaystyle (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3})}$ $(X_1, X_2, X_3)$ denotați operația derivată parțială cu următoarea notație compactă

(\bullet ),_{i}\equiv {\frac {\partial }{\partial X_{i}}}(\bullet )

{\ displaystyle (\ bullet), _ {i} \ equiv {\ frac {\ partial} {\ partial X_ {i}}} (\ bullet)}

(\ bullet), _ i \ equiv \ frac {\ partial} {\ partial X_i} (\ bullet)

și utilizați notația lui Einstein pe indici repetați

(\bullet )_{kk}\equiv \sum _{k=1}^{3}(\bullet )_{kk}

{\ displaystyle (\ bullet) _ {kk} \ equiv \ sum _ {k = 1} ^ {3} (\ bullet) _ {kk}}

(\ bullet) _ {kk} \ equiv \ sum_ {k = 1} ^ 3 (\ bullet) _ {kk}

Principalele relații scalare din componentele scalare carteziene au apoi următoarea reprezentare:

ecuații de câmp

\sigma _{ij,j}+\rho ~{b}_{i}=\rho ~{\ddot {u}}_{i}

{\ displaystyle \ sigma _ {ij, j} + \ rho ~ {b} _ {i} = \ rho ~ {\ ddot {u}} _ {i}}

\ sigma_ {ij, j} + \ rho ~ {b} _i = \ rho ~ \ ddot {u} _i

\varepsilon _{ij}={\tfrac {1}{2}}\left[{u}_{i},_{j}+{u}_{j},_{i}\right]

{\ displaystyle \ varepsilon _ {ij} = {\ tfrac {1} {2}} \ left [{u} _ {i}, _ {j} + {u} _ {j}, _ {i} \ right ]}

\ varepsilon_ {ij} = \ tfrac {1} {2} \ left [{u} _i, _j + {u} _j, _i \ right]

\sigma _{ij}=\lambda ~\varepsilon _{kk}~\delta _{ij}+2~\mu ~{\boldsymbol {\varepsilon }}_{ij}

{\ displaystyle \ sigma _ {ij} = \ lambda ~ \ varepsilon _ {kk} ~ \ delta _ {ij} + 2 ~ \ mu ~ {\ boldsymbol {\ varepsilon}} _ {ij}}

\ sigma_ {ij} = \ lambda ~ \ varepsilon_ {kk} ~ \ delta_ {ij} + 2 ~ \ mu ~ \ boldsymbol {\ varepsilon} _ {ij}

Condiții de frontieră

{\sigma }_{ij}\,{N}_{j}={f}_{i}

{\ displaystyle {\ sigma} _ {ij} \, {N} _ {j} = {f} _ {i}}

{\ sigma} _ {ij} \, {N} _j = {f} _i

{u}_{i}={\bar {u}}_{i}

{\ displaystyle {u} _ {i} = {\ bar {u}} _ {i}}

{u} _i = \ bar {u} _i

condiții inițiale

{u}_{i}(\cdot )|_{t=0}={u}_{i}^{o}\;,\;{\dot {u}}_{i}(\cdot )|_{t=0}={\dot {u}}_{i}^{o}

{\ displaystyle {u} _ {i} (\ cdot) | _ {t = 0} = {u} _ {i} ^ {o} \ ;, \; {\ dot {u}} _ {i} ( \ cdot) | _ {t = 0} = {\ dot {u}} _ {i} ^ {o}}

{u} _i (\ cdot) | _ {t = 0} = {u} _i ^ o \ ;, \; \ dot {{u}} _ i (\ cdot) | _ {t = 0} = \ dot {{u}} _ i ^ o

În cazul forțelor externe în echilibru și în absența efectelor dinamice, soluția problemei este independentă de parametrul timp și vorbim de o problemă elastostatică . În acest caz, condițiile inițiale dispar și ecuația mișcării este transformată în următoarea ecuație de echilibru

\mathbf {div} \,{\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {b} =\mathbf {0}

{\ displaystyle \ mathbf {div} \, {\ boldsymbol {\ sigma}} + \ mathbf {b} = \ mathbf {0}}

{\ displaystyle \ mathbf {div} \, {\ boldsymbol {\ sigma}} + \ mathbf {b} = \ mathbf {0}}

Formulare de deplasare (ecuații Cauchy)

În scrierea problemei diferențiale, forțele și așezările sunt datele problemei, în timp ce necunoscutele sunt reprezentate de solicitări, deformări și deplasări ( ${\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {\varepsilon }},\mathbf {u}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}, {\ boldsymbol {\ varepsilon}}, \ mathbf {u}}$ $\ boldsymbol {\ sigma}, \ boldsymbol {\ varepsilon}, \ mathbf {u}$ ): se spune că problema este formulată într-o formă mixtă. Este posibil să obțineți o formulare a problemei doar în mișcări. În această abordare, deformările și solicitările sunt eliminate din formulare, lăsând doar deplasările ca necunoscute cu privire la care să rezolve ecuațiile problemei. Pentru ecuațiile de câmp, acest lucru se realizează pornind de la ecuațiile de echilibru, folosind legătura constitutivă pentru a înlocui variabilele de solicitare în ceea ce privește parametrii de deformare,

\mathbf {div} {\bigl (}\lambda ~{\text{tr}}({\boldsymbol {\varepsilon }})~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+2~\mu ~{\boldsymbol {\varepsilon }}{\bigr )}+\rho ~\mathbf {b} =\rho ~{\ddot {\mathbf {u} }}

{\ displaystyle \ mathbf {div} {\ bigl (} \ lambda ~ {\ text {tr}} ({\ boldsymbol {\ varepsilon}}) ~ {\ boldsymbol {\ mathit {1}}} + 2 ~ \ mu ~ {\ boldsymbol {\ varepsilon}} {\ bigr)} + ​​\ rho ~ \ mathbf {b} = \ rho ~ {\ ddot {\ mathbf {u}}}}

\ mathbf {div} \ bigl (\ lambda ~ \ text {tr} (\ boldsymbol {\ varepsilon}) ~ \ boldsymbol {\ mathit {1}} + 2 ~ \ mu ~ \ boldsymbol {\ varepsilon} \ bigr) + \ rho ~ \ mathbf {b} = \ rho ~ \ ddot {\ mathbf {u}}

și folosind ulterior legătura de congruență cinematică pentru a o înlocui pe aceasta din urmă în ceea ce privește parametrii de deplasare.

\mu {\boldsymbol {\nabla }}^{2}\mathbf {u} +(\lambda +\mu )\,{\boldsymbol {\nabla }}{\bigl (}\mathbf {div} \mathbf {u} {\bigr )}+\rho ~\mathbf {b} =\rho ~{\ddot {\mathbf {u} }}

{\ displaystyle \ mu {\ boldsymbol {\ nabla}} ^ {2} \ mathbf {u} + (\ lambda + \ mu) \, {\ boldsymbol {\ nabla}} {\ bigl (} \ mathbf {div} \ mathbf {u} {\ bigr)} + ​​\ rho ~ \ mathbf {b} = \ rho ~ {\ ddot {\ mathbf {u}}}}

\ mu \ boldsymbol {\ nabla} ^ 2 \ mathbf {u} + (\ lambda + \ mu) \, \ boldsymbol {\ nabla} \ bigl (\ mathbf {div} \ mathbf {u} \ bigr) + \ rho ~ \ mathbf {b} = \ rho ~ \ ddot {\ mathbf {u}}

O transformare similară se face pentru condițiile limită naturale, în timp ce cele esențiale sunt deja exprimate direct numai în componentele de deplasare.

În cazul elasto-static ( ${\ddot {\mathbf {u} }}=\mathbf {0}$ ${\ displaystyle {\ ddot {\ mathbf {u}}} = \ mathbf {0}}$ $\ ddot {\ mathbf {u}} = \ mathbf {0}$ ), ecuațiile astfel obținute se numesc ecuații Cauchy.

Ecuații Cauchy în componentele scalare
$\mu \,u_{i,jj}+(\mu +\lambda )\,u_{j,ij}+\rho \,b_{i}=0$ ${\ displaystyle \ mu \, u_ {i, jj} + (\ mu + \ lambda) \, u_ {j, ij} + \ rho \, b_ {i} = 0}$ $\ mu \, u_ {i, jj} + (\ mu + \ lambda) \, u_ {j, ij} + \ rho \, b_i = 0$

Același subiect în detaliu: Metoda deplasărilor .

În cazul elasto-dinamic, din ecuațiile obținute este posibil să se obțină ecuația undei , care în forma sa cea mai simplă este reprezentată de

{\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c^{2}\nabla ^{2}u,

{\ displaystyle {\ partial ^ {2} u \ over \ partial t ^ {2}} = c ^ {2} \ nabla ^ {2} u,}

{\ partial ^ 2 u \ over \ partial t ^ 2} = c ^ 2 \ nabla ^ 2 u,

unde este $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ este un câmp de deplasare scalară și c este o constantă fixă egală cu viteza de propagare a undei.

Formularea stresului (ecuațiile Beltrami-Mitchell)

Același subiect în detaliu: ecuațiile Beltrami .

Ecuațiile lui S. Venant în componentele scalare

În termeni scalari, ecuațiile S. Venant

\varepsilon _{ij,km}+\varepsilon _{km,ij}-\varepsilon _{ik,jm}-\varepsilon _{jm,ik}=0

{\ displaystyle \ varepsilon _ {ij, km} + \ varepsilon _ {km, ij} - \ varepsilon _ {ik, jm} - \ varepsilon _ {jm, ik} = 0}

\ varepsilon_ {ij, km} + \ varepsilon_ {km, ij} - \ varepsilon_ {ik, jm} - \ varepsilon_ {jm, ik} = 0

sunt reprezentate de 81 de relații scalare, dintre care doar cele 6, prezentate mai jos integral, sunt independente

{\begin{aligned}{\varepsilon }_{11},_{22}+{\varepsilon }_{22},_{11}&=2{\varepsilon }_{12},_{12}\\{\varepsilon }_{11},_{33}+{\varepsilon }_{33},_{11}&=2{\varepsilon }_{13},_{13}\\{\varepsilon }_{22},_{33}+{\varepsilon }_{33},_{22}&=2{\varepsilon }_{23},_{23}\\{\varepsilon }_{12},_{33}+{\varepsilon }_{33},_{12}&={\varepsilon }_{13},_{23}+{\varepsilon }_{23},_{13}\\{\varepsilon }_{13},_{22}+{\varepsilon }_{22},_{13}&={\varepsilon }_{12},_{23}+{\varepsilon }_{23},_{12}\\{\varepsilon }_{23},_{11}+{\varepsilon }_{11},_{23}&={\varepsilon }_{12},_{13}+{\varepsilon }_{13},_{12}\\\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ varepsilon} _ {11}, _ {22} + {\ varepsilon} _ {22}, _ {11} & = 2 {\ varepsilon} _ {12}, _ { 12} \\ {\ varepsilon} _ {11}, _ {33} + {\ varepsilon} _ {33}, _ {11} & = 2 {\ varepsilon} _ {13}, _ {13} \\ { \ varepsilon} _ {22}, _ {33} + {\ varepsilon} _ {33}, _ {22} & = 2 {\ varepsilon} _ {23}, _ {23} \\ {\ varepsilon} _ { 12}, _ {33} + {\ varepsilon} _ {33}, _ {12} & = {\ varepsilon} _ {13}, _ {23} + {\ varepsilon} _ {23}, _ {13} \\ {\ varepsilon} _ {13}, _ {22} + {\ varepsilon} _ {22}, _ {13} & = {\ varepsilon} _ {12}, _ {23} + {\ varepsilon} _ {23}, _ {12} \\ {\ varepsilon} _ {23}, _ {11} + {\ varepsilon} _ {11}, _ {23} & = {\ varepsilon} _ {12}, _ { 13} + {\ varepsilon} _ {13}, _ {12} \\\ end {align}}}

\ begin {align} {\ varepsilon} _ {11}, _ {22} + {\ varepsilon} _ {22}, _ {11} & = 2 {\ varepsilon} _ {12}, _ {12} \\ {\ varepsilon} _ {11}, _ {33} + {\ varepsilon} _ {33}, _ {11} & = 2 {\ varepsilon} _ {13}, _ {13} \\ {\ varepsilon} _ {22}, _ {33} + {\ varepsilon} _ {33}, _ {22} & = 2 {\ varepsilon} _ {23}, _ {23} \\ {\ varepsilon} _ {12}, _ {33} + {\ varepsilon} _ {33}, _ {12} & = {\ varepsilon} _ {13}, _ {23} + {\ varepsilon} _ {23}, _ {13} \\ {\ varepsilon} _ {13}, _ {22} + {\ varepsilon} _ {22}, _ {13} & = {\ varepsilon} _ {12}, _ {23} + {\ varepsilon} _ {23}, _ {12} \\ {\ varepsilon} _ {23}, _ {11} + {\ varepsilon} _ {11}, _ {23} & = {\ varepsilon} _ {12}, _ {13} + { \ varepsilon} _ {13}, _ {12} \\ \ end {align}

O formulare a problemei numai în variabilele de solicitare poate fi obținută numai în cazul static și cu condiții limită numai de tip natural, prin atribuirea solicitării pe fiecare punct al limitei domeniului. Într-o astfel de abordare, deformările și deplasările sunt eliminate din formulare, lăsând doar tensiunile ca necunoscute cu privire la care să rezolve ecuațiile problemei. Odată ce tensiunile necunoscute au fost determinate, deformările sunt calculate prin intermediul legăturii constitutive, iar deplasările prin integrarea ecuațiilor de congruență cinematică.

Ecuații de echilibru (trei ecuații scalare)

\mathbf {div} {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {b} =\mathbf {0}

{\ displaystyle \ mathbf {div} {\ boldsymbol {\ sigma}} + \ mathbf {b} = \ mathbf {0}}

\ mathbf {div} \ boldsymbol {\ sigma} + \ mathbf {b} = \ mathbf {0}

acestea sunt deja exprimate direct în tensiunile necunoscute (șase componente scalare independente), dar sunt insuficiente de la sine pentru a constitui pe deplin ecuațiile de câmp ale problemei. Ecuațiile rămase trebuie să fie derivate din relațiile de congruență și din relațiile constitutive. În acest scop, este recomandabil să faceți referire la ecuațiile explicite de congruență ale lui S. Venant și exprimate în termeni tensoriali prin

Plecând de la ecuațiile S. Venant, rescrise în termeni de variabile de tensiune folosind legătura constitutivă, obținem relațiile care completează cadrul ecuațiilor de câmp ale formulării de solicitări a problemei elasto-statice. Ecuațiile obținute se numesc ecuații de compatibilitate Beltrami-Michell

\mathbf {rot} \,\mathbf {rot} {\bigl (}{\tfrac {1}{2\mu }}\,{\boldsymbol {\sigma }}-{\tfrac {3\lambda +2\mu }{2\mu }}\,{\text{tr}}({\boldsymbol {\sigma }})\,{\boldsymbol {\mathit {1}}}{\bigr )}=\mathbf {0}

{\ displaystyle \ mathbf {rot} \, \ mathbf {rot} {\ bigl (} {\ tfrac {1} {2 \ mu}} \, {\ boldsymbol {\ sigma}} - {\ tfrac {3 \ lambda +2 \ mu} {2 \ mu}} \, {\ text {tr}} ({\ boldsymbol {\ sigma}}) \, {\ boldsymbol {\ mathit {1}}} {\ bigr)} = \ mathbf {0}}

\ mathbf {rot} \, \ mathbf {rot} \ bigl (\ tfrac {1} {2 \ mu} \, \ boldsymbol {\ sigma} - \ tfrac {3 \ lambda + 2 \ mu} {2 \ mu} \, \ text {tr} (\ boldsymbol {\ sigma}) \, \ boldsymbol {\ mathit {1}} \ bigr) = \ mathbf {0}

Acestea sunt exprimate în componente scalare, în cazul forțelor de masă constante, prin următoarele relații

\sigma _{ij,kk}+{\frac {1}{1+\nu }}\sigma _{kk,ij}=0

{\ displaystyle \ sigma _ {ij, kk} + {\ frac {1} {1+ \ nu}} \ sigma _ {kk, ij} = 0}

\ sigma_ {ij, kk} + \ frac {1} {1+ \ nu} \ sigma_ {kk, ij} = 0

Formulări integrale

Aceasta este formularea diferențială a problemei elastice. Alte formulări sunt posibile pe baza unei scrieri diferite a ecuațiilor problemei. În acest scop, principiul locurilor de muncă virtuale este util. În cele ce urmează se face trimitere numai la carcasa elasto-statică.

Principiul se bazează pe ecuația de lucru virtual, adică pe egalitatea dintre munca virtuală internă și externă,

\int _{\mathcal {B}}{\boldsymbol {\sigma }}_{1}^{t}{\boldsymbol {\varepsilon }}_{2}\,dv=\int _{\mathcal {B}}{\mathbf {q} }_{1}^{t}{\mathbf {u} }_{2}\,dv+\int _{{\mathcal {C}}_{f}}{\mathbf {f} }_{1}^{t}{\mathbf {u} }_{2}\,ds+\int _{{\mathcal {C}}_{u}}({\boldsymbol {\sigma }}_{1}{\mathbf {n} })^{t}{\bar {\mathbf {u} }}_{2}\,ds

{\ displaystyle \ int _ {\ mathcal {B}} {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {1} ^ {t} {\ boldsymbol {\ varepsilon}} _ {2} \, dv = \ int _ {\ mathcal {B}} {\ mathbf {q}} _ {1} ^ {t} {\ mathbf {u}} _ {2} \, dv + \ int _ {{\ mathcal {C}} _ ​​{ f}} {\ mathbf {f}} _ {1} ^ {t} {\ mathbf {u}} _ {2} \, ds + \ int _ {{\ mathcal {C}} _ ​​{u} } ({\ boldsymbol {\ sigma}} _ {1} {\ mathbf {n}}) ^ {t} {\ bar {\ mathbf {u}}} _ {2} \, ds}

\ int _ {\ mathcal B} \ boldsymbol {\ sigma} _1 ^ t \ boldsymbol {\ varepsilon} _2 \, dv = \ int _ {\ mathcal B} {\ mathbf q} _1 ^ t {\ mathbf u} _2 \, dv + \ int _ {{\ mathcal C} _f} {\ mathbf f} _1 ^ t {\ mathbf u} _2 \, ds + \ int _ {{\ mathcal C} _u} (\ boldsymbol {\ sigma } _1 {\ mathbf n}) ^ t \ bar {\ mathbf u} _2 \, ds

in corespondenta

a unui sistem generic de tensiuni ${\boldsymbol {\sigma }}_{1}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {1}}$ $\ boldsymbol {\ sigma} _1$ în echilibru cu un sistem generic de sarcini $(\mathbf {q} _{1},\mathbf {f} _{1})$ ${\ displaystyle (\ mathbf {q} _ {1}, \ mathbf {f} _ {1})}$ $(\ mathbf {q} _1, \ mathbf {f} _1)$
a unui sistem generic de deplasări ${\mathbf {u} }_{2}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {u}} _ {2}}$ ${\ mathbf u} _2$ congruente cu deformări interne ${\boldsymbol {\varepsilon }}_{2}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}} _ {2}}$ $\ boldsymbol {\ varepsilon} _2$ și cu un sistem de subsidență ${\bar {\mathbf {u} }}_{2}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ mathbf {u}}} _ {2}}$ $\ bar {\ mathbf u} _2$

unde este

\int _{\mathcal {B}}{\boldsymbol {\sigma }}_{1}^{t}{\boldsymbol {\varepsilon }}_{2}\,dv

{\ displaystyle \ int _ {\ mathcal {B}} {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {1} ^ {t} {\ boldsymbol {\ varepsilon}} _ {2} \, dv}

\ int _ {\ mathcal B} \ boldsymbol {\ sigma} _1 ^ t \ boldsymbol {\ varepsilon} _2 \, dv

este munca virtuală internă realizată de tensiuni

{\boldsymbol {\sigma }}_{1}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {1}}

\ boldsymbol {\ sigma} _1

pentru deformări

{\boldsymbol {\varepsilon }}_{2}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}} _ {2}}

\ boldsymbol {\ varepsilon} _2

;

\int _{\mathcal {B}}{\mathbf {q} }_{1}^{t}{\mathbf {u} }_{2}\,dv+\int _{{\mathcal {C}}_{f}}{\mathbf {f} }_{1}^{t}{\mathbf {u} }_{2}\,ds

{\ displaystyle \ int _ {\ mathcal {B}} {\ mathbf {q}} _ {1} ^ {t} {\ mathbf {u}} _ {2} \, dv + \ int _ {{\ mathcal {C}} _ ​​{f}} {\ mathbf {f}} _ {1} ^ {t} {\ mathbf {u}} _ {2} \, ds}

\ int _ {\ mathcal B} {\ mathbf q} _1 ^ t {\ mathbf u} _2 \, dv + \ int _ {{\ mathcal C} _f} {\ mathbf f} _1 ^ t {\ mathbf u} _2 \, ds

este munca virtuală externă realizată de forțe

({\mathbf {q} }_{1},{\mathbf {f} }_{1})

{\ displaystyle ({\ mathbf {q}} _ {1}, {\ mathbf {f}} _ {1})}

({\ mathbf q} _1, {\ mathbf f} _1)

pentru calatorie

{\mathbf {u} }_{2}

{\ displaystyle {\ mathbf {u}} _ {2}}

{\ mathbf u} _2

;

\int _{{\mathcal {C}}_{u}}({\boldsymbol {\sigma }}_{1}{\mathbf {n} })^{t}{\bar {\mathbf {u} }}_{2}\,ds

{\ displaystyle \ int _ {{\ mathcal {C}} _ ​​{u}} ({\ boldsymbol {\ sigma}} _ {1} {\ mathbf {n}}) ^ {t} {\ bar { \ mathbf {u}}} _ {2} \, ds}

\ int _ {{\ mathcal C} _u} (\ boldsymbol {\ sigma} _1 {\ mathbf n}) ^ t \ bar {\ mathbf u} _2 \, ds

este munca virtuală externă realizată de reacțiile de constrângere

({\boldsymbol {\sigma }}_{1}{\mathbf {n} })

{\ displaystyle ({\ boldsymbol {\ sigma}} _ {1} {\ mathbf {n}})}

(\ boldsymbol {\ sigma} _1 {\ mathbf n})

pentru așezări

{\bar {\mathbf {u} }}_{2}

{\ displaystyle {\ bar {\ mathbf {u}}} _ {2}}

\ bar {\ mathbf u} _2

.

Principiul lucrărilor virtuale permite atât condițiile de echilibru, cât și cele de congruență ale unui sistem mecanic să fie exprimate în formă integrală.

Echilibru (principiul deplasărilor virtuale)

Scris pentru fiecare posibilă variație a intervalului de deplasare $\delta {\mathbf {u} }$ ${\ displaystyle \ delta {\ mathbf {u}}}$ $\ delta {\ mathbf u}$ (sistemul virtual), congruent cu variații ale deformărilor interne $\delta {\boldsymbol {\varepsilon }}$ ${\ displaystyle \ delta {\ boldsymbol {\ varepsilon}}}$ $\ delta \ boldsymbol {\ varepsilon}$ și în conformitate cu condițiile de constrângere cinematică ale piesei ${\mathcal {C}}_{u}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {u}}$ ${\ mathcal C} _u$ a frontierei
ecuația locurilor de muncă virtuale sub forma deplasărilor virtuale

\int _{\mathcal {B}}{\boldsymbol {\sigma }}^{t}\delta {\boldsymbol {\varepsilon }}\,dv=\int _{\mathcal {B}}{\mathbf {q} }^{t}\delta {\mathbf {u} }\,dv+\int _{{\mathcal {C}}_{f}}{\mathbf {f} }^{t}\delta {\mathbf {u} }\,ds\;,\;\;\forall \delta {\mathbf {u} }

{\ displaystyle \ int _ {\ mathcal {B}} {\ boldsymbol {\ sigma}} ^ {t} \ delta {\ boldsymbol {\ varepsilon}} \, dv = \ int _ {\ mathcal {B}} { \ mathbf {q}} ^ {t} \ delta {\ mathbf {u}} \, dv + \ int _ {{\ mathcal {C}} _ ​​{f}} {\ mathbf {f}} ^ { t} \ delta {\ mathbf {u}} \, ds \ ;, \; \; \ forall \ delta {\ mathbf {u}}}

\ int _ {\ mathcal B} \ boldsymbol {\ sigma} ^ t \ delta \ boldsymbol {\ varepsilon} \, dv = \ int _ {\ mathcal B} {\ mathbf q} ^ t \ delta {\ mathbf u} \, dv + \ int _ {{\ mathcal C} _f} {\ mathbf f} ^ t \ delta {\ mathbf u} \, ds \ ;, \; \; \ forall \ delta {\ mathbf u}

impune echilibrul dintre câmpul tensiunilor interne ${\boldsymbol {\sigma }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$ $\ boldsymbol {\ sigma}$ și sistemul forțelor externe $\{{\mathbf {q} },{\mathbf {f} }\}$ ${\ displaystyle \ {{\ mathbf {q}}, {\ mathbf {f}} \}}$ $\ {{\ mathbf q}, {\ mathbf f} \}$ aplicat.

Congruență (principiul forțelor virtuale)

Scris pentru fiecare variantă posibilă a câmpului de tensiune $\delta {\boldsymbol {\sigma }}$ ${\ displaystyle \ delta {\ boldsymbol {\ sigma}}}$ $\ delta \ boldsymbol {\ sigma}$ (sistemul virtual), în conformitate cu condițiile de echilibru
ecuația lucrărilor virtuale în forma complementară sau a forțelor virtuale

\int _{\mathcal {B}}\delta {\boldsymbol {\sigma }}^{t}{\boldsymbol {\varepsilon }}\,dv=\int _{{\mathcal {C}}_{u}}(\delta {\boldsymbol {\sigma }}{\mathbf {n} })^{t}{\bar {\mathbf {u} }}\,ds\;,\;\;\forall \delta {\boldsymbol {\sigma }}

{\ displaystyle \ int _ {\ mathcal {B}} \ delta {\ boldsymbol {\ sigma}} ^ {t} {\ boldsymbol {\ varepsilon}} \, dv = \ int _ {{\ mathcal {C}} _ {u}} (\ delta {\ boldsymbol {\ sigma}} {\ mathbf {n}}) ^ {t} {\ bar {\ mathbf {u}}} \, ds \ ;, \; \; \ forall \ delta {\ boldsymbol {\ sigma}}}

\ int _ {\ mathcal B} \ delta \ boldsymbol {\ sigma} ^ t \ boldsymbol {\ varepsilon} \, dv = \ int _ {{\ mathcal C} _u} (\ delta \ boldsymbol {\ sigma} {\ mathbf n}) ^ t \ bar {\ mathbf u} \, ds \ ;, \; \; \ forall \ delta \ boldsymbol {\ sigma}

impune congruența dintre deplasări, așezări și deformări $({\mathbf {u} },{\bar {\mathbf {u} }},{\boldsymbol {\varepsilon }})$ ${\ displaystyle ({\ mathbf {u}}, {\ bar {\ mathbf {u}}}, {\ boldsymbol {\ varepsilon}})}$ $({\ mathbf u}, \ bar {\ mathbf u}, \ boldsymbol {\ varepsilon})$ care descriu cinematica reală a sistemului.

Formulări variaționale

Plecând de la formulările integrale ale ecuațiilor (echilibru sau congruență) ale sistemului definit de principiul lucrărilor virtuale, este posibil să se genereze o gamă largă de formulări posibile ale problemei elasto-statice. În cele ce urmează, vom reaminti cele două formulări variaționale bazate pe principiul minimului energiei potențiale totale și pe principiul minimului energiei totale complementare .

Principiul staționarității (minim) al energiei potențiale totale

Această formulare se referă la o scriere a problemei numai în variabilele de deplasare cinematică și în cazul sarcinilor conservatoare, căutând soluția elastică dintre toate câmpurile de deplasare compatibile, adică verificând a priori condițiile de compatibilitate cinematică.

Dintre toate câmpurile de deplasare

{\mathbf {u} }

${\ displaystyle {\ mathbf {u}}}$ ${\ mathbf u}$ compatibil cu constrângerile cinematice, soluția problemei elastice (care, respectând legătura constitutivă, realizează și relațiile de echilibru) este cea care face funcțională energia potențială totală a sistemului staționară

\Pi [{\mathbf {u} }]={\tfrac {1}{2}}\int _{\mathcal {B}}{\boldsymbol {\varepsilon }}^{t}[{\mathbf {u} }]\,{\mathsf {C}}\,{\boldsymbol {\varepsilon }}[{\mathbf {u} }]\,dv-\int _{\mathcal {B}}{\mathbf {q} }^{t}{\mathbf {u} }\,dv-\int _{{\mathcal {C}}_{f}}{\mathbf {f} }^{t}{\mathbf {u} }\,ds={\mbox{min}}_{u}

{\ displaystyle \ Pi [{\ mathbf {u}}] = {\ tfrac {1} {2}} \ int _ {\ mathcal {B}} {\ boldsymbol {\ varepsilon}} ^ {t} [{\ mathbf {u}}] \, {\ mathsf {C}} \, {\ boldsymbol {\ varepsilon}} [{\ mathbf {u}}] \, dv- \ int _ {\ mathcal {B}} {\ mathbf {q}} ^ {t} {\ mathbf {u}} \, dv- \ int _ {{\ mathcal {C}} _ ​​{f}} {\ mathbf {f}} ^ {t} { \ mathbf {u}} \, ds = {\ mbox {min}} _ {u}}

\ Pi [{\ mathbf u}] = \ tfrac {1} {2} \ int _ {\ mathcal B} \ boldsymbol {\ varepsilon} ^ t [{\ mathbf u}] \, \ mathsf {C} \, \ boldsymbol {\ varepsilon} [{\ mathbf u}] \, dv- \ int _ {\ mathcal B} {\ mathbf q} ^ t {\ mathbf u} \, dv- \ int _ {{\ mathcal C} _f} {\ mathbf f} ^ t {\ mathbf u} \, ds = \ mbox {min} _u

unde este

$\Phi [{\mathbf {u} }]={\tfrac {1}{2}}\int _{\mathcal {B}}{\boldsymbol {\varepsilon }}^{t}[{\mathbf {u} }]\,{\mathsf {C}}\,{\boldsymbol {\varepsilon }}[{\mathbf {u} }]\,dv$ ${\ displaystyle \ Phi [{\ mathbf {u}}] = {\ tfrac {1} {2}} \ int _ {\ mathcal {B}} {\ boldsymbol {\ varepsilon}} ^ {t} [{\ mathbf {u}}] \, {\ mathsf {C}} \, {\ boldsymbol {\ varepsilon}} [{\ mathbf {u}}] \, dv}$ $\ Phi [{\ mathbf u}] = \ tfrac {1} {2} \ int _ {\ mathcal B} \ boldsymbol {\ varepsilon} ^ t [{\ mathbf u}] \, \ mathsf {C} \, \ boldsymbol {\ varepsilon} [{\ mathbf u}] \, dv$ indică energia de deformare a sistemului (adică energia acumulată intern de sistem în timpul procesului de deformare),
$-\int _{\mathcal {B}}{\mathbf {q} }^{t}{\mathbf {u} }\,dv-\int _{{\mathcal {C}}_{f}}{\mathbf {f} }^{t}{\mathbf {u} }\,ds$ ${\ displaystyle - \ int _ {\ mathcal {B}} {\ mathbf {q}} ^ {t} {\ mathbf {u}} \, dv- \ int _ {{\ mathcal {C}} _ {f}} {\ mathbf {f}} ^ {t} {\ mathbf {u}} \, ds}$ $- \ int _ {\ mathcal B} {\ mathbf q} ^ t {\ mathbf u} \, dv- \ int _ {{\ mathcal C} _f} {\ mathbf f} ^ t {\ mathbf u} \, ds$ este energia potențială a sarcinilor externe.

Condiția de staționaritate este, de asemenea, minimă pentru funcțional, dacă energia de deformare este admisă pozitivă definitivă. Această condiție face parte din fizica problemei, măsurând energia de deformare a muncii pozitive necesare cheltuite de forțe externe pentru a deforma, într-o cale cvasi-statică, un sistem elastic.

Principiul staționarității (minim) al energiei complementare totale

Această formulare variațională se referă la o scriere a problemei elasto-statice numai în variabilele statice interne, căutând soluția elastică între toate câmpurile de tensiune. ${\boldsymbol {\sigma }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$ $\ boldsymbol {\ sigma}$ care verifică a priori condițiile de echilibru cu sarcini externe.

Dintre toate câmpurile de tensiune echilibrate cu sarcinile, soluția problemei elastice (care, respectând legătura constitutivă, realizează și relațiile cinematice) este cea care minimizează funcționalitatea energiei complementare totale a sistemului

\Pi _{c}[{\boldsymbol {\sigma }}]={\tfrac {1}{2}}\int _{\mathcal {B}}{\boldsymbol {\sigma }}^{t}\,{\mathsf {C}}^{-1}\,{\boldsymbol {\sigma }}\,dv-\int _{C_{u}}({\boldsymbol {\sigma }}{\mathbf {n} })^{t}{\bar {\mathbf {u} }}\,ds={\mbox{min}}_{\sigma }

{\ displaystyle \ Pi _ {c} [{\ boldsymbol {\ sigma}}] = {\ tfrac {1} {2}} \ int _ {\ mathcal {B}} {\ boldsymbol {\ sigma}} ^ { t} \, {\ mathsf {C}} ^ {- 1} \, {\ boldsymbol {\ sigma}} \, dv- \ int _ {C_ {u}} ({\ boldsymbol {\ sigma}} {\ mathbf {n}}) ^ {t} {\ bar {\ mathbf {u}}} \, ds = {\ mbox {min}} _ {\ sigma}}

\ Pi_c [\ boldsymbol {\ sigma}] = \ tfrac {1} {2} \ int _ {\ mathcal B} \ boldsymbol {\ sigma} ^ t \, \ mathsf {C} ^ {- 1} \, \ boldsymbol {\ sigma} \, dv - \ int_ {C_u} (\ boldsymbol {\ sigma} {\ mathbf n}) ^ t \ bar {\ mathbf u} \, ds = \ mbox {min} _ {\ sigma}

unde este

$\Phi [{\boldsymbol {\sigma }}]=\int _{\mathcal {B}}{\boldsymbol {\sigma }}^{t}\,{\mathsf {C}}^{-1}\,{\boldsymbol {\sigma }}\,dv$ ${\ displaystyle \ Phi [{\ boldsymbol {\ sigma}}] = \ int _ {\ mathcal {B}} {\ boldsymbol {\ sigma}} ^ {t} \, {\ mathsf {C}} ^ {- 1} \, {\ boldsymbol {\ sigma}} \, dv}$ $\ Phi [\ boldsymbol {\ sigma}] = \ int _ {\ mathcal B} \ boldsymbol {\ sigma} ^ t \, \ mathsf {C} ^ {- 1} \, \ boldsymbol {\ sigma} \, dv$ indică energia de deformare a sistemului în formă complementară,
$\int _{C_{u}}({\boldsymbol {\sigma }}{\mathbf {n} })^{t}{\bar {\mathbf {u} }}\,ds$ $\int _{C_{u}}({\boldsymbol {\sigma }}{\mathbf {n} })^{t}{\bar {\mathbf {u} }}\,ds$ $\int_{C_u} (\boldsymbol{\sigma} {\mathbf n})^t \bar{\mathbf u} \,ds$ è il lavoro compliuto dalle reazioni vincolari sui cedimenti assegnati.

La condizione di stazionarietà risulta anche di minimo per il funzionale ammettendo la positività dell'energia di deformazione.

Proprietà della soluzione

La sinteticità della formulazione variazionale rispetto a quella differenziale del problema elasto-lineare permette di indagare in maniera relativamente agevole alcuni caratteri qualitativi della soluzione.

Esistenza della soluzione: Sulla base di alcune restrizioni sulle proprietà elastiche del sistema, si dimostra, anche se in modo non proprio immediato, l'esistenza della soluzione del problema elasto-statico.
Unicità della soluzione: Teorema di Kirchhoff di unicità della soluzione elastica: se il tensore elastico è definito positivo allora esiste un'unica soluzione del problema elastico.
Principio di sovrapposizione degli effetti: Data la linearità delle relazioni del problema, si determina una diretta proporzionalità (linearità) tra le cause (forze ei cedimenti) e gli effetti (spostamenti, deformazioni e tensioni). Conseguenza di tale linearità è il principio di sovrapposizione degli effetti, per il quale la soluzione corrispondente ad una somma di cause è pari alla somma delle soluzioni corrispondenti ad ognuna delle cause agenti singolarmente.

Ricerca della soluzione

Precisati gli aspetti qualitativi del problema elasto-lineare, rimane il non semplice problema di ricercarne la soluzione. Se affrontato nella sua generalità, per generiche geometrie, carichi, ecc., tale problema presenta difficoltà insuperabili. Sono infatti disponibili soluzioni per un numero molto limitato di casi.

Lo stesso argomento in dettaglio: Problema di Saint Venant .

I vantaggi della formulazione variazionale rispetto alla formulazione differenziale sono evidenti, in termini operativi, soprattutto quando si è interessati non alla soluzione esatta del problema elastico-lineare, ma alla generazione di una soluzione approssimata dello stesso, per esempio mediantetecniche di discretizzazione ad elementi finiti . Tale obiettivo risulta ottenibile in modo relativamente agevole sia sulla base del minimo dell'energia potenziale totale, sia sulla base del minimo dell'energia complementare totale.

Ancora, l'approccio variazionale si dimostra estremamente potente nella generazione dei modelli approssimati di corpi alla base della meccanica delle strutture .

Bibliografia

LD Landau, EM Lifshitz, Teoria dell'elasticità (2 ed.), Editori riuniti, Roma, 1999. ISBN 8835947588
SP Timoshenko, JN Goodier, Theory of Elasticity , (3 ed.), McGraw Hill reprint 1970 (org. 1934).
ME Gurtin, An Introduction to Continuum Mechanics , Academic Press, New York, 1981. ISBN 0-12-309750-9
R. Baldacci, Scienza delle Costruzioni , vol I, Utet, Torino, 1984. ISBN 8802038376
Cesaro E. Introduzione alla teoria matematica dell'elasticità , Fratelli Bocca, 1894
Marcolongo, R. Teoria matematica dello equilibrio dei corpi elastici Hoepli, 1904
P. Podio-Guidugli, A Primer in Elasticity , Kluwer Academic Press, London, 2000. ISBN 0-7923-6642-5

Voci correlate

Altri progetti

Wikiversità contiene risorse su teoria dell'elasticità

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 54769 · NDL ( EN , JA ) 00561259

Portale Materiali

Portale Meccanica

V · D · M Meccanica classica e meccanica del continuo
Grandezze intensive	Densità · Velocità macroscopica · Campo medio · Tensione interna · Temperatura · Deformazione · Densità termica
Grandezze estensive	Massa · Portata · Quantità di moto · Forza esterna · Energia interna · Calore · Dissipazione · Lavoro termodinamico
Bilanci	Conservazione della massa · Bilancio della quantità di moto · Bilancio di energia interna
Approssimazioni	Equazioni di Eulero · Equazioni di Navier-Stokes · Equazioni di Burnett
Leggi	Legge di Pascal · Legge di Newton · Legge di Fourier · Legge di Stokes · Legge di Hooke
Meccanica dei solidi	Solido · Teoria dell'elasticità · Teoria della plasticità · Reologia · Viscoelasticità
Meccanica dei fluidi	Fluido · Fluidostatica · Fluidodinamica · Viscosità · Fluido newtoniano · Fluido non newtoniano