Măsură (matematică)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În analiza matematică , o măsură , uneori numită măsură pozitivă , este o funcție care atribuie un număr real anumitor subseturi ale unui set dat pentru a face noțiunea extinderii lor cantitativă. În special, lungimile sunt atribuite segmentelor curbei, ariilor la suprafețe, volumelor la figurile tridimensionale și probabilităților la evenimente .

Teoria măsurătorilor este ramura analizei reale și complexe care studiază sigma-algebre , spații măsurabile , seturi măsurabile , măsuri, funcții măsurabile și integrale . Teoria abstractă a măsurii are ca cazuri particulare teoria probabilității și găsește numeroase aplicații în diferite domenii ale matematicii pure și aplicate.

Noțiunea de măsurare și cele legate de aceasta s-au născut la începutul secolului al XIX-lea și al secolului al XX-lea , tocmai în contextul formalizării teoriei măsurării . [1]

Definiție

Este o σ-algebră definită pe un set . O măsură este definită ca o funcție (vezi linia reală extinsă ), cu pentru cel puțin unul , astfel încât să fie numeric aditiv . [2]

Aditivitatea numărabilă sau σ-aditivitatea înseamnă că dacă este o succesiune de seturi disjuncte reciproc, apoi:

Elementele din sunt numite seturi măsurabile , iar structura se numește spațiu de măsurare .

O măsură complexă este o funcție de valoare complexă aditivă numeric definită pe o σ-algebră.

Proprietate

Următoarele proprietăți pot fi derivate din definiție:

  • De sine și sunt seturi măsurabile atunci dacă da ai .
  • De sine sunt seturi măsurabile și , apoi unirea seturilor este măsurabil:
  • De sine sunt seturi măsurabile și , apoi intersecția mulțimilor este măsurabilă. Mai mult, dacă cel puțin unul dintre aceste seturi are măsură finită atunci:

Măsurători ale produsului

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Măsurarea produsului .

Lasa-i sa fie Și două spații de măsurare . La fiecare funcție definit pe și la fiecare puteți lega funcția definit în , și pentru fiecare puteți lega funcția . [3] Pentru fiecare set deschis este, de asemenea, definit:

Se arată că dacă:

asa de Și -măsurabil e Și -măsurabil și avem: [4]

Măsura este definită produs al celor două măsuri Și integral: [5]

Continuitate absolută

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Continuitate absolută .

De sine Și sunt măsuri pe aceeași sigma-algebră , măsura se spune că este absolut continuu în ceea ce privește de sine pentru fiecare set pentru care . Această situație este prezentată cu scrierea . [6]

Dacă există și o colecție astfel încât:

pentru fiecare set de sigma-algebră, atunci se spune că această măsură este concentrată asupra . Măsurătorile concentrate pe seturi disjuncte sunt denumite reciproc singulare . În special, dacă Și sunt reciproc singular este scris .

O teoremă de o importanță deosebită în contextul continuității absolute a măsurilor afirmă că dacă Și sunt două măsuri limitate, apoi există o singură pereche de măsuri pozitive astfel încât:

Teorema Radon-Nikodym afirmă în continuare că există o singură funcție astfel încât:

pentru fiecare set de sigma-algebră. Descompunere:

se numește descompunerea Lebesgue a relativ la , și este unic. [7] Funcția se mai spune că este derivat din Radon-Nikodym din respect .

Teorema poate fi extinsă la cazul mai general în care este o măsură complexă și este sigma-finit și pozitiv. [8]

Diferențialitatea unei măsuri

Este o măsură complexă a lui Borel pe . Luați în considerare o familie de seturi din astfel încât diametrul de e mai puțin decât și astfel încât să existe o minge conținând a cărei măsură Lebesgue este mai mică decât măsura lui înmulțit cu o constantă finită.

Este un număr complex. Se spune că este diferențiat în și scriem: [9]

dacă, a spus măsura Lebesgue , pentru fiecare există astfel încât:

Această expresie este echivalentă cu limita în care diametrul setului dispare, aceasta este limita în care mulțimea coincide cu punctul .

Derivatul superior este, de asemenea, definit:

și derivata inferioară , obținută luând în considerare limita inferioară în relația anterioară. Masura este diferențiat dacă derivatele superioare și inferioare coincid și sunt finite, iar în acest caz sunt egale cu . [10]

Integrală nedefinită

Se arată că în masura este diferențiat aproape peste tot în ceea ce privește și că derivata sa este integrabilă Lebesgue . Mai mult, se poate defini o măsură astfel încât:

unde este indică faptul că măsurile sunt reciproc unice. Pentru fiecare set de Borel atunci avem: [11]

Ca o consecință a acestui fapt, o condiție necesară și suficientă pentru singularitatea reciprocă este faptul că aproape peste tot. În general, două măsuri sunt reciproc singulare dacă derivata uneia față de cealaltă este zero aproape peste tot. [12]

În plus, aproape peste tot coincide cu derivatul lui Radon-Nikodym dacă și numai dacă este absolut continuu în ceea ce privește și, în acest caz: [13]

În sfârșit, dacă definim integralul nedefinit al lui expresia: [14]

atunci derivata unei integrale nedeterminate coincide cu funcția integrand și, de asemenea, fiecare măsură ceea ce este absolut continuu în ceea ce privește coincide cu integralul derivatei sale.

În general, dacă asa de:

pentru aproape toate punctele .

Sigma-limitate

Un spațiu de măsurare se spune terminat dacă este un număr real finit, în timp ce spunem σ-finit dacă este uniunea numărabilă a seturilor măsurabile de măsură finită. Se spune că o mulțime într-un spațiu de măsură are σ- măsură finită dacă este o uniune numărabilă de seturi de măsuri finite.

De exemplu, numerele reale cu măsura Lebesgue obișnuită sunt σ-finite, dar nu finite. Luați în considerare intervalele închise pentru toate numerele întregi : există o cantitate numărabilă a acestor intervale, fiecare având măsura 1, iar unirea lor este întreaga linie reală. Alternativ, luați în considerare numerele reale cumăsura de numărare , care atribuie fiecărui set finit de numere reale numărul de puncte din set. Această măsură nu este σ-finită, deoarece fiecare set cu măsură finită conține doar un set finit de puncte și ar fi necesară o cantitate nenumărată de astfel de seturi pentru a acoperi întreaga linie reală. Spațiile de măsură σ-finită se dovedesc a avea unele proprietăți foarte apreciabile, iar σ-finitudinea poate fi comparată cu separabilitatea spațiilor topologice.

Completitudine

O masura se spune că este complet dacă fiecare subset al unui set de măsuri zero este măsurabil. Teorema care stă la baza definiției afirmă că dacă este un spațiu de măsurare și ansamblul tuturor seturilor pentru care există două seturi Și din astfel încât:

apoi, definitorie , este o σ-algebră e o măsură pe el. [15]

Masura extins în acest fel se spune că este complet și ia numele de - finalizarea . Din teoremă rezultă că orice măsurare poate fi finalizată.

Regularitate

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: măsurare regulată .

Generalizări

În unele zone este util să aveți variante ale măsurii definite anterior care pot presupune valori infinite sau valori care nu sunt restricționate la câmpul real.

  • Funcțiile pe seturi aditive numerice care iau valori date de numere reale se numesc măsuri semnate .
  • Funcțiile pe seturi aditive numerice care pot presupune valori complexe se numesc măsuri complexe .
  • Măsurile aditive finite sunt măsuri care, în loc de aditivitate numărabilă, posedă doar aditivitate finită. Din punct de vedere istoric, această definiție a măsurii a fost folosită mai întâi, dar nu s-a dovedit suficient de utilă. În general, măsurile finitive aditive sunt legate de noțiuni precum cea a limitelor Banach , dual al spațiului L și al compactificării Stone-Čech .

Pentru a distinge o măsură obișnuită cu valori pozitive de posibilele sale generalizări, termenul măsură pozitivă este frecvent utilizat.

Un rezultat important al geometriei integrale , cunoscut sub numele de teorema lui Hadwiger , stabilește că spațiul funcțiilor de mulțimi nu neapărat non-negative, invariante de traducere și aditiv finit, care sunt definite în setul uniunilor finite ale mulțimilor convexe compacte din constă (cu excepția multiplilor scalari) dintr-o măsură care este omogenă în grade pentru orice și combinații liniare ale unor astfel de măsuri. Specificația „omogenă de grad "înseamnă redimensionarea prin orice factor toate seturile înmulțesc măsura setată cu . Măsura omogenă a gradului este volumul obișnuit -dimensional, cel omogen de grad este volumul suprafeței, omogenul de gradul 1 este o funcție numită "amplitudine medie" în timp ce măsura omogenă a gradului 0 este în sfârșit caracteristica Euler .

Exemple

  • Măsura de numărare este definită de numărul de elemente din set .
  • Măsura Lebesgue este singura măsură completă invariantă de traducere peste o algebră sigma care conține intervalele în astfel încât .
  • Măsura Haar pentru un grup topologic compact local este o generalizare a măsurii Lebesgue și are o proprietate de unicitate similară celei anterioare
  • Măsura zero este definită de pentru fiecare set .
  • Fiecare spațiu de probabilitate este asociat cu o măsură care își asumă valoarea 1 pe întregul spațiu (și, prin urmare, își asumă toate valorile sale în intervalul unitar ). Această măsură se numește măsură de probabilitate (a se vedea și axiomele probabilității ).

Notă

  1. ^ O scurtă relatare a dezvoltării istorice a teoriei măsurătorii și integrării se găsește în Boyer History of Mathematics
  2. ^ W. Rudin , pagina 16 .
  3. ^ W. Rudin , pagina 138 .
  4. ^ W. Rudin , pagina 139 .
  5. ^ W. Rudin , pagina 140 .
  6. ^ W. Rudin , pagina 121 .
  7. ^ W. Rudin , pagina 122 .
  8. ^ W. Rudin , pagina 124 .
  9. ^ W. Rudin , pagina 153 .
  10. ^ W. Rudin , pagina 152 .
  11. ^ W. Rudin , pagina 154 .
  12. ^ W. Rudin , pagina 156 .
  13. ^ W. Rudin , pagina 155 .
  14. ^ W. Rudin , pagina 157 .
  15. ^ W. Rudin , Pagina 27 .

Bibliografie

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Controlul autorității Thesaurus BNCF 24181 · NDL (EN, JA) 00.571.392
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică