Teoria percolării

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În fizica statistică și matematică , teoria percolării descrie comportamentul unei rețele atunci când nodurile sau legăturile sunt eliminate. Acesta este un caz de tranziție de fază geometrică, deoarece prin valoarea critică a fracției îndepărtate, rețeaua se rupe în clustere conectate semnificativ mai mici. Această teorie s-a născut într-o încercare de a descrie matematic fenomenul chimico - fizic al percolării .

Introducere

Un grafic tridimensional în percolația site-ului
Percolarea legăturii într-o rețea pătrată de la p = 0,3 la p = 0,52

Teoria Flory-Stockmayer a fost prima încercare de a studia procesele de percolație. [1]

Problema de bază (de unde și originea numelui) este următoarea. Să presupunem că lichidul este turnat peste un material poros . Se va deplasa lichidul din gaură în gaură până ajunge în fund? Această întrebare fizică poate fi modelată matematic ca o rețea tridimensională de vârfuri n × n × n , numite de obicei „site-uri”, în care marginea sau „legăturile” dintre oricare două site-uri vecine pot fi deschise (permițând trecerea lichidului) cu probabilitatea p sau închis cu probabilitatea 1 - p și se presupune că sunt independenți. Deci, pentru o anumită valoare p, care este probabilitatea ca există o cale deschisă (adică o cale în care fiecare legătură este o legătură „deschisă”) de sus în jos? În special, ne interesează comportamentul pentru valori mari ale lui n . Această problemă, numită acum percolarea legăturilor , a fost introdusă în literatura matematică de Boradbent și Hammersley (1957) [2] și de atunci a fost intens studiată de matematicieni și fizicieni.

Într-un model matematic ușor diferit, un site este „ocupat” cu probabilitatea p și „gol” (caz în care marginile sale sunt eliminate) cu probabilitatea 1 - p ; problema corespunzătoare se numește percolarea sitului . Întrebarea este aceeași: pentru un p dat, care este probabilitatea ca o cale să conecteze partea de sus și partea de jos? În același mod, ne putem întreba, având un grafic conectat, ce valoare 1 - p graficul se va deconecta (adică dispare calea care traversează întregul grafic).

Aceleași întrebări pot fi adresate pentru orice dimensiune a rețelei. Așa cum este destul de obișnuit, este de fapt mai ușor să analizăm rețele infinite decât pur și simplu cele mari. În acest caz, întrebarea corespunzătoare este: există un cluster deschis infinit? Adică, există o cale de puncte conectate, de lungime infinită, care traversează rețeaua? Prin legea zero-unu a lui Kolmogorov, pentru orice p dat, probabilitatea existenței unui cluster infinit este zero sau una. Deoarece această probabilitate trebuie să fie o funcție crescândă a lui p , trebuie să existe un p critic (notat cu p c ) sub care probabilitatea este întotdeauna 0 și peste care probabilitatea este întotdeauna 1. În practică, această criticitate este foarte ușor de observat, chiar fără a avea n infinit. Chiar și pentru o valoare relativ mică de n, cum ar fi 100, probabilitatea unei căi deschise de sus în jos crește brusc de la o valoare foarte apropiată de 0 la una foarte apropiată de 1 într-un interval scurt de valori p .

Detaliul unei percolații de legătură pe o rețea pătrată bidimensională cu probabilitate de percolație p = 0,51

Pentru majoritatea graficelor cu rețea infinită, valoarea lui p c nu poate fi calculată exact, deși în unele cazuri p c poate. De exemplu:

  • pentru rețeaua pătrată ℤ 2 în două dimensiuni, p c = pentru percolarea legăturilor, această problemă a rămas o întrebare deschisă mai mult de 20 de ani și a fost rezolvată în cele din urmă de Harry Kesten în 1982 . [3] În cazul percolării sitului, valoarea lui p c nu poate fi obținută analitic, ci doar din simulări numerice de rețele suficient de mari.
  • Un caz limitativ pentru rețelele de dimensiuni mari este dat de rețeaua Bethe , al cărei prag este p c = 1 / ( z - 1), pentru numărul de coordonare z. Cu alte cuvinte: pentru un arbore regulat de grad z , p c este egal cu 1 / ( z - 1).
Frontul de percolare pe o rețea pătrată la valoarea prag.
  • Pentru rețelele aleatorii de Erdős - Rényi de grad mediu , p c = . [4] [5] [6]

Universalitate

Principiul universalității afirmă că valoarea numerică a lui p c este determinată de structura locală a graficului, în timp ce comportamentul apropiat de pragul critic, p c , este caracterizat de exponenți critici universali. De exemplu, distribuția mărimii clusterului la punctul critic se descompune ca o lege a puterii cu același exponent pentru toate rețelele bidimensionale. Această universalitate înseamnă că, pentru o dimensiune dată, dimensiunea fractală a clusterelor din p c este independentă de tipul rețelei și de tipul de percolație (de exemplu, legătură sau sit). Cu toate acestea, recent percolația a fost simulată pe o rețea stochastică plană ponderată (WPSL) și s-a descoperit că, deși dimensiunea WPSL coincide cu dimensiunea spațiului în care este încorporat, clasa sa de universalitate este diferită de cea dintre toate.rețelele planare cunoscute. [7] [8]

Etape

Subcritic și supercritic

Principalul aspect al fazei subcritice este „descompunerea exponențială”. Adică, atunci când p < p c , probabilitatea ca un anumit punct (de exemplu, originea) să fie conținut într-un cluster deschis (adică un set maxim conectat de margini „deschise” ale graficului) de dimensiune r se descompune exponențial la zero ca funcție de r . Acest lucru a fost demonstrat pentru percolare în trei sau mai multe dimensiuni de Menshikov (1986) și independent de Ainzenman și Barsky (1987). În două dimensiuni, a făcut parte din dovada lui Kesten că p c = 1/2. [9]

Graficul dual al rețelei pătrate ℤ 2 este la rândul său rețeaua pătrată. Rezultă că, în două dimensiuni, faza supercritică este duală cu un proces de percolație subcritică. Aceasta oferă în esență informațiile complete despre modelul supercritic cu d = 2. Rezultatul principal pentru faza supercritică în trei și mai multe dimensiuni este că, pentru N suficient de mare, există un cluster deschis infinit în secțiunea bidimensională ℤ 2 × [0, N ] d - 2 . Acest lucru a fost demonstrat de Grimmet și Marstrand (1990). [10]

În două dimensiuni cu p <1/2, există, cu probabilitatea 1, un singur cluster închis infinit (un cluster închis este un set maxim de margini „închise” conectate ale graficului). Prin urmare, faza subcritică poate fi descrisă ca insule deschise finite într-un ocean închis infinit. Când p> 1/2 apare exact opusul, cu insulele închise care se termină într-un ocean deschis infinit. Imaginea este mai complicată când d ≥ 3, deoarece p c <1/2 și există coexistența unor clustere infinite deschise și închise pentru p între p c și 1 - p c . Pentru natura tranziției fazei de percolare, vezi Stauffer și Aharony [11] și Bunde și Havlin [12] . Pentru percolarea plaselor, vezi Cohen și Havlin. [13]

Probleme critice

Măriți un cluster de percolație critic (faceți clic pentru a anima)

Percolarea are o singularitate în punctul critic p = p c și multe proprietăți urmează o lege a puterii de p - p c , apropiată de p c . Teoria scalării prezice existența exponenților critici , în funcție de numărul d de dimensiuni, care determină clasa singularității . Când d = 2 aceste predicții sunt susținute de argumente din teoria câmpului conform și evoluția lui Schramm-Loewner și includ valorile numerice așteptate pentru exponenți. Valorile exponenților sunt date în [11] și [12] . Majoritatea acestor predicții sunt conjecturale, cu excepția cazului în care numărul d de dimensiuni satisface d = 2 sau d ≥ 6. Ei includ:

  • Nu există clustere infinite (deschise sau închise)
  • Probabilitatea că există o cale deschisă de la un punct fix (de exemplu, la origine) la o distanță de r scade polinomial , adică este de ordinul lui r α pentru anumite α, astfel încât
    • α nu depinde de rețeaua particulară aleasă sau de alți parametri locali. Depinde doar de dimensiunea d (acesta este un exemplu al principiului universalității ).
    • α d scade de la d = 2 la d = 6 și apoi rămâne constantă.
    • α 2 = - 5/48
    • α 6 = −1.
  • Forma unui mare grup bidimensional se bucură de invarianță conformală .

Vezi Grimmett [14] . În 11 sau mai multe dimensiuni, aceste fapte sunt amplu demonstrate folosind o tehnică cunoscută sub numele de expansiune a dantelelor. Se crede că o versiune a expansiunii dantelelor ar trebui să fie valabilă pentru 7 sau mai multe dimensiuni, probabil cu implicații și pentru cazul limită cu 6 dimensiuni. Legătura de percolație cu expansiunea dantelelor se găsește în Hara și Slade [15] .

În două dimensiuni, primul fapt („fără percolare în faza critică”) a fost demonstrat pentru multe rețele, exploatând dualitatea. S-au făcut progrese semnificative în ceea ce privește percolarea bidimensională prin intermediul conjecturii lui Oded Schramm conform căreia limita de scalare a unui cluster mare poate fi descrisă în termenii unei evoluții Schramm-Loewner . Această conjectură a fost dovedită de Smirnov în 2001 [16] în cazul special al percolării sitului pe o rețea triunghiulară.

Diferite modele

  • Sunt definite modele de percolație directă în care este prezent și efectul forței gravitaționale care acționează asupra lichidului, au fost introduse în Broadbent la Hammersley [2] și au conexiuni cu procesele de contact.
  • Primul model care trebuie studiat este percolația Bernoulli. În acest model toate legăturile sunt independente. Acest model este numit percolarea legăturilor de către fizicieni.
  • Ulterior, a fost introdusă o generalizare ca model de cluster aleatoriu Fortuin - Kasteleyn, care are multe conexiuni cu modelul Ising și alte modele Potts.
  • Percolarea (legătura) Bernoulli în grafice complete este un exemplu de grafic aleatoriu . Probabilitatea critică este p = 1 / N , unde N este numărul de vârfuri (situri) ale graficului.
  • Percolarea bootstrap elimină site-urile active din cluster atunci când există prea puține site-uri vecine active și analizează conectivitatea site-urilor rămase. [17]
  • Percolarea dependentă de legătură a fost introdusă de Parshani și colab. [18]
  • Percolarea și modele de difuzare a opiniilor. [19]
  • Percolarea sub atacuri localizate a fost introdusă de Berezin și colab. [20] A se vedea, de asemenea, Shao și colab. [21]
  • Percolarea pe rețele modulare a fost studiată de Shay și colab. [22] și Dong și colab. [23]
  • Percolarea pentru traficul orașului a fost introdusă de Daqing Li și colab. [24]
  • Introducerea recuperării nodurilor și a legăturilor de percolare. [25]
  • Percolare 2d cu o lungime caracteristică a legăturii. [26] Această percolație arată un nou caz de fenomene critice de întindere în apropierea punctului critic al percolației. [27]
  • Un model de percolație generalizată și descentralizată care introduce o fracțiune de noduri întărite într-o rețea care își poate opera și întreține propriul cartier a fost introdus de Yanqing Hu și colab. [28]

Aplicații

În biologie, biochimie și virologie fizică

Teoria percolării a fost utilizată pentru a prezice cu succes fragmentarea cochiliilor de virus biologic (capside), [29] cu pragul de fragmentare a capsei virusului hepatitei B prevăzut și detectat experimental. [30] Atunci când un număr critic de subunități au fost îndepărtate în mod aleatoriu din învelișul nanoscopic, acesta se fragmentează și această fragmentare poate fi detectată folosind spectroscopia de masă (CDMS) prin detectare a sarcinii, printre alte tehnici cu particule simple. Acesta este un analog molecular al jocului de masă comun Jenga și are relevanță pentru dezasamblarea virusului.

În ecologie

Teoria percolării a fost aplicată în studii privind impactul fragmentării mediului asupra habitatelor animale [31] și asupra modelelor de răspândire a bacteriei de ciumă Yersinia pestis . [32]

Percolarea rețelelor multistrat interdependente

Buldyrev și colab. [33] a dezvoltat un model pentru studierea percolării în rețele multistrat cu legături de dependență între straturi. Au fost găsite noi fenomene fizice, inclusiv tranziții bruște și eșecuri în cascadă. [34] Când rețelele sunt încorporate în spațiu, ele devin extrem de vulnerabile chiar și pentru o fracțiune foarte mică a legăturilor de dependență [35] și pentru atacuri localizate pe o fracțiune zero de noduri. [36] [37] Când se introduce recuperarea nodului, se găsește o diagramă de fază bogată care include puncte multicritice, histerezis și regimuri metastabile . [38] [39]

In trafic

În articolele recente, teoria percolării a fost aplicată pentru a studia traficul într-un oraș. Calitatea traficului global într-un oraș la un moment dat poate fi caracterizată printr-un singur parametru, pragul critic de percolare. Pragul critic reprezintă viteza sub care puteți călători într-o fracțiune mare din rețeaua orașului. Peste acest prag, rețeaua orașului se împarte în grupuri de mai multe dimensiuni și se poate călători în cartiere relativ mici. Această nouă metodă este, de asemenea, capabilă să identifice blocajele repetate ale traficului. [40] Exponenții critici care caracterizează distribuția mărimii clusterului unui trafic bun sunt similare cu cei ai teoriei percolării. [41] De asemenea, s-a constatat că în timpul orelor de vârf, rețeaua de trafic poate avea mai multe stări metastabile de diferite dimensiuni ale rețelei și se poate observa, de asemenea, că alternează între aceste stări. [42] Un studiu empiric privind distribuția spațio-temporală a blocajelor de trafic a fost realizat de Zhang și colab. [43] Au găsit o lege a puterii universale aproximative pentru distribuția mărimii blocajelor de trafic în diferite orașe. Serok și colab. A dezvoltat o metodă pentru identificarea grupurilor funcționale de străzi spațio-temporale care reprezintă fluxul de trafic care circulă într-un oraș. [44]

Punct critic

Notă

  1. ^ (EN) Sahini M. și M. Sahimi, Applications Of Percolation Theory , CRC Press, 13 iulie 2003, ISBN 978-0-203-22153-2 .
  2. ^ a b Simon Broadbent și John Hammersley , Procese de percolare I. Cristale și labirinturi , în Matematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , vol. 53, nr. 3, 1957, pp. 629-641, Bibcode : 1957PCPS ... 53..629B , DOI : 10.1017 / S0305004100032680 , ISSN 0305-0041 ( WC ACNP ) .
  3. ^ Béla Bollobás și Oliver Riordan, Praguri ascuțite și percolație în plan , în Structuri și algoritmi aleatori , vol. 29, nr. 4, 2006, pp. 524-548, DOI : 10.1002 / rsa.20134 , ISSN 1042-9832 ( WC ACNP ) , arXiv : math / 0412510 .
  4. ^ Erdős, P. și Rényi, A., On random graphs I. , în Publ. Matematica. , Nu. 6, 1959, pp. 290-297.
  5. ^ Erdős, P. și Rényi, A., Evoluția graficelor aleatorii , în Publ. Matematica. Inst. Spânzurat. Acad. Știință , N. 5, 1960, pp. 17-61.
  6. ^ Bolloba's, B., Random Graphs , în Academic , 1985.
  7. ^ MK Hassan și MM Rahman, Percolation on a multifractal-free-scale planar stochastic planar reticle and its universality class , in Phys. Rev. E , vol. 92, nr. 4, 2015, p. 040101, Bibcode : 2015PhRvE..92d0101H , DOI : 10.1103 / PhysRevE.92.040101 , PMID 26565145 , arXiv : 1504.06389 .
  8. ^ MK Hassan și MM Rahman, clasa de universalitate a situsului și a percolării legăturilor pe rețea stochastică plană fără scară multi-multifractală , în Phys. Rev. E , vol. 94, nr. 4, 2016, p. 042109, Bibcode : 2016PhRvE..94d2109H , DOI : 10.1103 / PhysRevE.94.042109 , PMID 27841467 , arXiv : 1604.08699 .
  9. ^ Harry Kesten , Teoria percolării pentru matematicieni , Birkhauser, 1982, DOI : 10.1007 / 978-1-4899-2730-9 , ISBN 978-0-8176-3107-9 .
  10. ^ Geoffrey Grimmett și John Marstrand, Faza supercritică a percolării este bine purtată , în Proceedings of the Royal Society A : Mathematical, Physical and Engineering Sciences , vol. 430, n. 1879, 1990, pp. 439-457, Bibcode : 1990RSPSA.430..439G , DOI : 10.1098 / rspa.1990.0100 , ISSN 1364-5021 ( WC ACNP ) .
  11. ^ a b Dietrich Stauffer și Anthony Aharony, Introduction to Percolation Theory , 2nd, CRC Press, 1994, ISBN 978-0-7484-0253-3 .
  12. ^ a b Bunde, A. și Havlin, S. , Fractals and Disordered Systems , Springer, 1996.
  13. ^ Cohen, R. și Havlin, S. , Complex Networks: Structure, Robustness and Function , Cambridge University Press, 2010.
  14. ^ Geoffrey Grimmett , infiltrație , în Grundlehren der stiinte matematice, vol. 321, Berlin, Springer, 1999, DOI : 10.1007 / 978-3-662-03981-6 , ISBN 978-3-642-08442-3 , ISSN 0072-7830 ( WC ACNP ) .
  15. ^ Takashi Hara și Gordon Slade, Comportamentul critic al câmpului mediu pentru percolarea în dimensiuni înalte , în Comunicări în fizică matematică , vol. 128, nr. 2, 1990, pp. 333-391, Bibcode : 1990CMaPh.128..333H , DOI : 10.1007 / BF02108785 , ISSN 0010-3616 ( WC ACNP ) .
  16. ^ Stanislav Smirnov , Percolation Critical in the plane: conformal invariance, Cardy formula, scaling limits , în Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , I, vol. 333, nr. 3, 2001, pp. 239-244, Bibcode : 2001CRASM.333..239S , DOI : 10.1016 / S0764-4442 (01) 01991-7 , ISSN 0764-4442 ( WC ACNP ) , arXiv : 0909.4499 .
  17. ^ vol. 171, 1991, Bibcode : 1991 PhyA..171..453A , DOI : 10.1016 / 0378-4371 (91) 90295-n . .
  18. ^ R. Parshani, SV Buldyrev și S. Havlin, Efectul critic al grupurilor de dependență asupra funcției rețelelor , în Proceedings of the National Academy of Sciences , vol. 108, nr. 3, 2010, pp. 1007-1010, Bibcode : 2011PNAS..108.1007P , DOI : 10.1073 / pnas.1008404108 , ISSN 0027-8424 ( WC ACNP ) , PMID 21191103 , arXiv : 1010.4498 .
  19. ^ Jia Shao, Shlomo Havlin și H. Eugene Stanley, Dynamic Opinion Model and Invasion Percolation , în Physical Review Letters , vol. 103, nr. 1, 2009, p. 018701, Bibcode : 2009PhRvL.103a8701S , DOI : 10.1103 / PhysRevLett.103.018701 , ISSN 0031-9007 ( WC ACNP ) , PMID 19659181 .
  20. ^ Yehiel Berezin, Amir Bashan și Michael M. Danziger, Atacuri localizate asupra rețelelor încorporate spațial cu dependențe , în Scientific Reports , vol. 5, nr. 1, 2015, p. 8934, cod bib : 2015NatSR ... 5E8934B , DOI : 10.1038 / srep08934 , ISSN 2045-2322 ( WC · ACNP ), PMID 25757572 .
  21. ^ S. Shao, X. Huang și HE Stanley, Percolation of localized attack on complex networks , în New J. Phys. , vol. 17, n. 2, 2015, p. 023049, Bibcode : 2015NJPh ... 17b3049S , DOI : 10.1088 / 1367-2630 / 17/2/023049 , arXiv : 1412.3124 .
  22. ^ Shai, S, Kenett, DY și Kenett, YN, "Punct critic de vârf care distinge două tipuri de tranziții în structurile de rețea modulare" , în Phys. Pr. E. , voi. 92, 2015, p. 062805.
  23. ^ Dong, Gaogao, Fan, Jingfang și Shekhtman, Louis M, „Reziliența rețelelor cu structură comunitară se comportă ca și cum ar fi sub un câmp extern”. , în Proceedings of the National Academy of Sciences. , vol. 115, nr. 27, 2018, pp. 6911-6915.
  24. ^ Daqing Li, Bowen Fu și Yunpeng Wang, tranziția de percolare în rețeaua de trafic dinamic cu blocaje critice în evoluție , în Proceedings of the National Academy of Sciences , vol. 112, nr. 3, 2015, pp. 669-672, Bibcode : 2015PNAS..112..669L , DOI : 10.1073 / pnas.1419185112 , ISSN 0027-8424 ( WC ACNP ) , PMID 25552558 .
  25. ^ Antonio Majdandzic, Boris Podobnik și Sergey V. Buldyrev, Recuperare spontană în rețele dinamice , în Nature Physics , vol. 10, nr. 1, 2013, pp. 34-38, Bibcode : 2014NatPh..10 ... 34M , DOI : 10.1038 / nphys2819 , ISSN 1745-2473 ( WC ACNP ) .
  26. ^ (EN) Michael M. Danziger, Louis M. Shekhtman și Yehiel Berezin, The effect of spatiality on multiplex networks in EPL (Europhysics Letters), vol. 115, nr. 3, 2016, p. 36002, Bibcode : 2016EL .... 11536002D , DOI :10.1209 / 0295-5075 / 115/36002 , ISSN 0295-5075 ( WC ACNP ) , arXiv : 1505.01688 .
  27. ^ Ivan Bonamassa, Bnaya Gross și Michael M Danziger, Întinderea critică a regimurilor de câmp mediu în rețelele spațiale , în Phys. Rev. Lett. , Vol. 123, n. 8, 2019, p. 088301, DOI : 10.1103 / PhysRevLett.123.088301 , PMID 31491213 .
  28. ^ (EN) Xin Yuan, Hu Yanqing și H. Eugene Stanley, Eradicarea prăbușirii catastrofale în rețelele interdependente prin intermediul nodurilor întărite , în Proceedings of the National Academy of Sciences, vol. 114, nr. 13, 28 martie 2017, pp. 3311-3315, cod bib : 2017PNAS..114.3311Y , DOI : 10.1073 / pnas.1621369114 , ISSN 0027-8424 ( WC · ACNP ), PMID 28289204 , arXiv : 1605.04217 .
  29. ^ NE Brunk, LS Lee și JA Glazier, Molecular Jenga: tranziția fazei de percolație (colaps) în capsidele virusului , în Physical Biology , vol. 15, nr. 5, 2018, p. 056005, DOI : 10.1088 / 1478-3975 / aac194 , PMID 29714713 .
  30. ^ LS Lee, N. Brunk și DG Haywood, O placă moleculară: îndepărtarea și înlocuirea subunităților într-o capsidă a virusului hepatitei B , în Protein Science , vol. 26, n. 11, 2017, pp. 2170-2180, DOI : 10.1002 / pro.3265 , PMID 28795465 .
  31. ^ (EN) Boswell GP, NF Britton și NR Franks, Fragmentarea habitatului, teoria percolării și conservarea unei specii cheie , în Proceedings of the Royal Society of London B: Biological Sciences, vol. 265, nr. 1409, 22 octombrie 1998, pp. 1921-1925, DOI : 10.1098 / rspb.1998.0521 , ISSN 0962-8452 ( WC ACNP ) .
  32. ^ S. Davis, P. Trapman și H. Leirs, Pragul abundenței pentru ciumă ca fenomen critic de percolare , în Nature , vol. 454, nr. 7204, 31 iulie 2008, pp. 634-637, DOI : 10.1038 / nature07053 , ISSN 1476-4687 ( WC ACNP ) , PMID 18668107 .
  33. ^ Buldyrev, SV, Parshani, R. și Paul, G., " Cascadă catastrofală de eșecuri în rețelele interdependente". , în Nature , vol. 464, nr. 08932, 2010.
  34. ^ Gao, J., Buldyrev, SV și Stanley, HE, „Rețele formate din rețele interdependente”. , în Fizica naturii , vol. 8, nr. 1, 2012, pp. 40-48.
  35. ^ Bashan, A., Berezin, Y. și Buldyrev, SV, „Vulnerabilitatea extremă a rețelelor interdependente spațial încorporate”. , în Fizica naturii. , vol. 9, nr. 10, 2013, p. 667.
  36. ^ Berezin, Y., Bashan, A. și Danziger, MM, Atacuri localizate asupra rețelelor încorporate spațial cu dependențe , în Scientific Reports , vol. 5, 2015, p. 8934.
  37. ^ D Vaknin, MM Danziger și S Havlin, „Răspândirea atacurilor localizate în rețelele spațiale multiplex”. , în New J. Phys. , vol. 19, 2017, p. 073037.
  38. ^ Majdandzic, Antonio, Podobnik, Boris și Buldyrev, Serghei V., „Recuperare spontană în rețele dinamice”. , în Fizica naturii , vol. 10, nr. 1, 2013, pp. 34-38.
  39. ^ Majdandzic, Antonio, Braunstein, Lidia A. și Curme, Chester, „Multiple tipping points and optimal reparing in interacting networks” , în Nature Communications. , vol. 7, 2016, p. 10850.
  40. ^ D. Li, B. Fu și Y. Wang, tranziția de percolare în rețeaua de trafic dinamic cu blocaje critice în evoluție , în PNAS , vol. 112, 2015, p. 669.
  41. ^ G Zeng, D Li și S Guo, Comutați între modurile critice de percolare în dinamica traficului orașului , în Proceedings of the National Academy of Sciences , vol. 116, nr. 1, 2019, pp. 23-28.
  42. ^ G Zeng, J Gao și L Shekhtman, „Mai multe stări de rețea metastabile în traficul urban”. , în Proceedings of the National Academy of Sciences , vol. 117, nr. 30, 2020, pp. 17528-17534.
  43. ^ Limiao Zhang, Guanwen Zeng și Daqing Li, „Rezistența fără scară a blocajelor reale de trafic”. , în Proceedings of the National Academy of Sciences. , vol. 116, nr. 18, 2019, pp. 8673-8678.
  44. ^ Nimrod Serok, Orr Levy și Shlomo Havlin, „Dezvăluirea inter-relațiilor dintre rețeaua de străzi urbane și fluxurile sale dinamice de trafic: implicația planificării”. , în SAGE Publications , vol. 46, nr. 7, 2019, p. 1362.

Elemente conexe

linkuri externe