Teoria probabilității

Teoria probabilității este studiul matematic al probabilității .

Matematicienii se referă la probabilități ca numere cuprinse între 0 și 1, atribuite „ evenimentelor ” a căror apariție este aleatorie . Probabilități $P(E)$ ${\ displaystyle P (E)}$ $P (E)$ sunt alocați evenimentelor $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ conform axiomelor probabilității .

Probabilitatea unui eveniment $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ apare având în vedere apariția cunoscută a unui eveniment $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este probabilitatea condiționată a $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ dat $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ ; valoarea sa numerică este $P(E\cap F)/P(F)$ ${\ displaystyle P (E \ cap F) / P (F)}$ $P (E \ cap F) / P (F)$ (atata timp cat $P(F)$ ${\ displaystyle P (F)}$ $P (F)$ este diferită de zero). Dacă probabilitatea condiționată de $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ dat $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este aceeași cu probabilitatea („necondiționată”) a $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ , asa de $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ și $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ se numesc evenimente independente . Că această relație între $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ Și $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este simetric, poate fi văzut mai clar observând că este la fel ca a spune $P(E\cap F)=P(E)P(F)$ ${\ displaystyle P (E \ cap F) = P (E) P (F)}$ $P (E \ cap F) = P (E) P (F)$ .

Două concepte cruciale în teoria probabilității sunt cele ale unei variabile aleatorii și distribuția probabilității unei variabile aleatoare. Cu alte cuvinte, descrierea în termeni probabilistici sau statistici a unui fenomen aleatoriu în timp, caracterizat prin urmare de o variabilă aleatorie, înseamnă descrierea acestuia în termeni de densitate de distribuție a probabilității și parametrii săi de valoare medie sau așteptată și varianță.

O viziune abstractă a probabilității

Matematicienii cred că teoria probabilității este studiul unui spațiu de probabilitate abstract (pe care, de exemplu, sunt definite variabile aleatorii sau aleatoare), o abordare introdusă de Kolmogorov în 1930 (numită și abordare axiomatică ). Un spațiu de probabilitate este un triplet $(\Omega ,{\mathfrak {F}},P)$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathfrak {F}}, P)}$ $(\ Omega, \ mathfrak {F}, P)$ , unde este:

$\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ este un set ne-gol, uneori numit spațiu eșantion , în care fiecare dintre membri poate fi gândit ca un rezultat potențial al unui experiment aleatoriu. De exemplu, dacă 100 de alegători vor fi trageți la întâmplare de la toți alegătorii dintr-un set și li se va cere pentru cine vor vota, atunci setul tuturor celor 100 de secvențe de alegători ar fi spațiul de probă $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ .

${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ este o sigma-algebră a seturilor de $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ ale cărui elemente se numesc evenimente . De exemplu, setul tuturor secvențelor a 100 de alegători, dintre care cel puțin 60 vor vota pentru un anumit candidat, este identificat cu „evenimentul” în care cel puțin 60 din cei 100 de alegători trageți vor vota în acest fel. A spune că F este o sigmă-algebră implică în mod necesar că complementul oricărui eveniment este un eveniment, iar unirea oricărei secvențe (numărabile finite sau infinite) de evenimente este un eveniment.

P este o măsură a probabilității în F , adică o măsură astfel încât P (Ω) = 1.

Este important să rețineți că P este definit în F și nu în Ω. Cu Ω numărabil putem defini F : = set de putere (Ω) care este în mod trivial o sigma-algebră și cel mai mare care poate fi creat folosind Ω. Prin urmare, într-un spațiu discret putem omite F și scrie doar (Ω, P ) pentru al defini.

Pe de altă parte, dacă Ω este de nenumărat și folosim F = set de putere (Ω) intrăm în dificultatea de a ne defini măsura de probabilitate P, deoarece F este „imens”. Deci, trebuie să folosim o sigma-algebră F mai mică (de exemplu, algebra lui Borel a lui Ω). Acest tip de spațiu probabilistic este definit ca un spațiu probabilistic continuu și ne aduce unele probleme în teoria măsurii atunci când încercăm să definim P.

O variabilă aleatorie este o funcție care poate fi măsurată cu Ω în reali. De exemplu, numărul alegătorilor care vor vota pentru un candidat dat în eșantionul de 100 din exemplul anterior este o variabilă aleatorie.

Dacă X este o variabilă aleatorie, setul {ω în Ω: X (ω) ≥ 60} este un „eveniment”, iar notația P ( X ≥ 60) este o abreviere a lui P ({ω în Ω: X (ω ) ≥ 60}).

Pentru o alternativă algebrică la abordarea Kolmogorov , a se vedea algebra variabilelor aleatorii .

Filosofia aplicațiilor probabilității

Unii statistici vor atribui probabilități doar evenimentelor despre care se crede că sunt aleatorii, pe baza frecvențelor lor relative sau pe subseturi ale populației în raport cu ansamblul; acestea sunt frecventiste . Alții atribuie probabilități unor propoziții incerte sau în funcție de grade subiective de încredere în adevărul lor sau la niveluri de încredere justificate logic în adevărul lor. Astfel de oameni sunt bayezieni . Un bayezian poate atribui o probabilitate propoziției că a existat viață pe Marte acum un miliard de ani, deoarece acest lucru este incert; un frecventist nu ar atribui o probabilitate unei astfel de propoziții, deoarece nu este un eveniment aleatoriu care are o frecvență relativă pe termen lung.

Bibliografie

Billingsley Patrick, Probabilitate și măsură, ed. A 3-a. , John Wiley & Sons , New York 1995, ISBN 0-471-00710-2 .
Jeffreys Harold (1939) Teoria probabilității
Kolmogorov Andrey N. (1933) Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitrechnung .
Laplace, Pierre S. (1812) Theorie Analytique des Probabilités .
Nelson Edward (1987) Teoria probabilității radical elementare
Yuri A. Rozanov (1995) Teoria probabilităților, procese aleatorii și statistici matematice , Kluwer, ISBN 0-7923-3764-6

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre teoria probabilităților

linkuri externe

( EN ) The Probability Theory , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	GND (DE) 4079013-7 · NDL (EN, JA) 00.564.753

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică