Teoria stabilității

În matematică , teoria stabilității se referă la stabilitatea în timp a sistemelor dinamice , evaluată în termeni de limitare a ieșirilor (de exemplu, în cazul unei rețele liniare ) sau prin analiza comportamentului orbitelor (soluțiilor) diferențialului ecuație care descrie sistemul, mai ales în cazul în care acesta se află într-o stare de echilibru .

Studiul stabilității unui sistem dinamic este o problemă larg răspândită în diferite domenii ale științei , cum ar fi ingineria , chimia , fizica , economia sau farmacologia . În special, în cazul sistemelor fizice, sistemul atinge o configurație care nu variază în timp, atunci când coincide cu un minim de energie deținută de sistem ( teorema Lagrange-Dirichlet ).

Descriere

O minge din fundul unei văi se află într-o poziție de echilibru stabilă, în timp ce o minge din vârful unui deal se află într-o poziție de echilibru instabilă.

Există mai multe metode matematice pentru a caracteriza stabilitatea unui sistem, principalele fiind:

Stabilitatea externă sau stabilitatea BIBO (din acronimul englez Bounded Input, Bounded Output ) este capacitatea sistemului de a-și menține cantitățile de ieșire în valori limitate în fața valorilor limitate ale intrărilor, indiferent de starea inițială. De obicei, este studiat pentru sistemele LTI folosind reprezentarea (în frecvență) a sistemului oferit de funcția de transfer : dacă și numai dacă toți polii săi au o parte negativă reală, atunci sistemul este extern extern.
Stabilitatea internă sau stabilitatea Lyapunov, de la Lyapunov care a introdus-o în a doua jumătate a secolului al XX-lea, ia în considerare perturbări la starea inițială a sistemului în vecinătatea unui punct de echilibru și evaluează dacă ieșirea (sau traiectoria în spațiul fazelor ) rămâne acolo pentru toate timpurile ulterioare. Mai exact, folosind reprezentarea spațiului de stare al unui sistem dinamic, un punct de echilibru pentru un sistem dinamic se numește punct de echilibru stabil (conform lui Ljapunov) dacă, în fața perturbărilor limitate ale stării inițiale a sistemului, evoluția ulterioară a acestuia rămâne aproape de punct, în timp ce este numit punct de echilibru asimptotic stabil (conform lui Ljapunov) dacă traiectoria stării perturbate tinde spre punct, adică dacă distanța dintre punct și traiectorie dispare pentru timpul care tinde catre infinit.
Stabilitatea structurală analizează comportamentul orbitelor în urma unor perturbări de clasă mică $C^{1}$ ${\ displaystyle C ^ {1}}$ $C ^ 1$ .

Un sistem liniar dinamic care este intern stabil în origine (adică starea inițială nulă este stabilă) este, de asemenea, stabil extern, în timp ce inversul este verificat numai dacă, pe lângă stabilitatea externă, sistemul se bucură și de proprietatea de observabilitate și controlabilitate .

Bibliografie

( EN ) AM Lyapunov, Lucrări colecționate , 1–5 , Moscova-Leningrad (1954–1965)
(EN) RE Bellman, Teoria stabilității ecuațiilor diferențiale, Dover, retipărire (1969)
( EN ) BP Demidovich, Prelegeri despre teoria matematică a stabilității , Moscova (1967)
( EN ) Yu.L. Daletskii, MG Kerin, Stabilitatea soluțiilor de ecuații diferențiale în spațiul Banach , Amer. Matematica. Soc. (1974)
( EN ) J. La Salle, S. Lefschetz, Stability by Lyapunov's direct method with applications , Acad. Presă (1961)
(EN) VI Zubov, Methods of AM Lyapunov and their application, Noordhoff (1964)
( EN ) CC Lin, Teoria stabilității hidrodinamice , Cambridge University Press (1955)
( EN ) D. Joseph, Stabilitatea mișcărilor fluide , 1-2 , Springer (1976)
( EN ) VV Bolotin, Probleme neconservative ale teoriei stabilității elastice , Pergamon (1963)
( EN ) AS Vol'mir, Stabilitatea sistemelor deformabile , Moscova (1967)
( EN ) VD Klushnikov, Stabilitatea elasticului-plastic , Moscova (1980)