Teoria categoriilor

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

Teoria categoriilor este o teorie matematică care studiază structurile matematice și relațiile dintre ele într-un mod abstract. Noțiunea de categorie a fost introdusă pentru prima dată de Samuel Eilenberg și Saunders Mac Lane în 1945 în contextul topologiei algebrice . Categoriile apar acum în multe discipline ale matematicii și în unele domenii ale informaticii teoretice și fizicii matematice, formând o noțiune unificatoare . În mod informal, o categorie constă din anumite structuri matematice și hărțile dintre ele care le păstrează operațiunile.

Categorii

Definiție

O categorie constă din următoarele.

  • O clasă ale cărui elemente se numesc obiecte .
  • O sala de clasa ale cărui elemente se numesc morfisme , hărți sau săgeți . Fiecare morfism are un singur obiect sursă asociat și un singur obiect țintă în . Scris indică faptul că este un morfism cu sursă și destinație . Ansamblul morfismelor din la este indicat cu .
  • Pentru fiecare triplet de obiecte , Și din , este definită o funcție , numită compoziția morfismelor . Compoziția cu este indicat cu (uneori este indicat pur și simplu ).

Compoziția trebuie să îndeplinească următoarele axiome:

  • ( asociativitate ) if , Și , asa de
  • ( identitate ) pentru fiecare obiect există un morfism , numit morfism identitar pe , astfel încât pentru fiecare morfism merita iar pentru fiecare morfism da ai .

Din axiome se poate deduce că fiecare obiect este asociat cu un singur morfism identitar. Aceasta permite să se dea o definiție diferită a categoriei, dată doar de clasa morfismelor: obiectele sunt identificate a posteriori cu morfismele identitare corespunzătoare.

O categorie se spune că este mică dacă clasa obiect este un set și mare dacă este o clasă proprie . Multe categorii importante sunt mari.

Exemple

În exemple, categoriile sunt indicate de obiectele lor și de morfismele corespunzătoare.

  • Fiecare monoid formează o categorie mică cu un singur obiect (monoidul în sine) având ca morfisme traducerile asociate cu elementele monoidului. (Acțiunea unui element de X asupra oricărui alt element este definită de operația binară a monoidului).
  • Dacă I este un set, categoria discretă de pe I este categoria mică care are elementele lui I ca obiecte și numai morfismele identitare ca morfisme.
  • Din fiecare categorie C se poate defini o nouă categorie, categoria duală care are pentru obiecte aceleași obiecte ca C , dar care inversează direcția morfismelor (mulțimea devine întregul ).
  • Dacă ( C , o ') și ( D , o ") sunt categorii, putem defini categoria de produse , ale cărei obiecte sunt perechi ( c , d ) având ca prim element un obiect al lui C și al doilea un obiect al lui D , morfismele sunt perechi analoage de morfisme; compoziția este definită componentă după componentă: .

Deși există „morfisme” între categorii (functori) nu este posibil să se definească „categoria categoriilor”, deoarece categoriile care sunt clase proprii nu pot aparține altor clase (prin definiție). În schimb, este posibil să vorbim despre categoria categoriilor mici, care, fiind mulțimi, pot aparține unei clase și, prin urmare, pot fi obiecte ale unei categorii.

Tipuri de morfisme

Un morfism f : AB se numește

  • monomorfism dacă pentru toate morfismele .
  • epimorfism dacă g 1 f = g 2 f implică g 1 = g 2 pentru toate morfismele g 1 , g 2 : BX.
  • izomorfism dacă există un morfism g : BA cu fg = id B și gf = id A.
  • endomorfism dacă A = B.
  • automorfism dacă f este atât un endomorfism cât și un izomorfism.

Funcționari

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Functor (matematică) .

Functorii sunt hărți între categorii care își păstrează structurile.

Un functor covariant de la categoria C la categoria D este o hartă care asociază:

  • pentru fiecare obiect X din C un obiect F (X) în D
  • pentru fiecare morfism f: X → Y un morfism F (f): F (X) → F (Y)

în așa fel încât să dețină următoarele proprietăți:

  • F (id X ) = id F (X) pentru fiecare obiect X din C.
  • F (g f) = F (g) F (f) pentru toate morfismele f: X → Y și g: Y → Z.

Un functor contravariant este definit în mod similar, dar inversează morfismele, adică dacă f: X → Y, atunci F (f): F (Y) → F (X). Dat fiind un functor covariant de la C la D, functorul corespunzător de la C * la D este contravariant.

Transformări naturale și izomorfisme

Doi functori F , G : CD ne dau două reprezentări ale lui C în D. O transformare naturală este o asociere care ne permite să „traducem” imaginea pe care F o dă în cea pe care i-o dă G.

Dacă F și G sunt functori (covarianți) între categoriile C și D , atunci o transformare naturală de la F la G asociază la fiecare obiect X al lui C un morfism η X : F ( X ) → G ( X ) în D astfel încât pentru fiecare morfismul f : XY în C avem η Y F ( f ) = G ( f ) η X ; adică η face diagrama comutativă

Diagrama comutativă care definește transformările naturale

Se spune că cei doi funcționori F și G sunt izomorfi dacă există o transformare naturală de la F la G astfel încât η X este un izomorfism între obiectele din D pentru fiecare obiect X din C.

Bibliografie

  • ( EN ) Jiří Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker (1990): Categorii abstracte și concrete , John Wiley & Sons ISBN 0-471-60922-6
  • ( EN ) Francis Borceux (1994): Manual de algebră categorică I. Teoria categoriilor de bază , Cambridge University Press, ISBN 0-521-44178-1
  • ( EN ) Francis Borceux (1994): Handbook of Categorical Algebra II. Categorii și structuri , Cambridge University Press, ISBN 0-521-44179-X
  • ( EN ) Francis Borceux (1994): Handbook of Categorical Algebra III. Categories of Sheaves , Cambridge University Press, ISBN 0-521-44180-3
  • ( EN ) Robert Goldblatt (1984): Topoi: Analiza categorică a logicii , Dover
  • William Lawvere , Steve Schanuel (1994): Teoria categoriilor: o introducere în matematică , Franco Muzzio
  • ( EN ) William Lawvere , Steve Schanuel (1997): Matematică conceptuală: o primă introducere în categorii , Cambridge University Press
  • ( EN ) Saunders Mac Lane (1998): Categorii pentru matematicianul de lucru (ediția a doua), Springer ISBN 0-387-98403-8
  • (EN) Michael Barr, Charles Wells (2002): Topoze, tripluri și teorii

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Controlul autorității GND ( DE ) 4120552-2
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică