Teoria umbrelor

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Reprezentarea unui solid și a umbrei sale

Teoria umbrelor este o parte a geometriei descriptive care se ocupă cu reprezentarea, pe lângă un solid , a umbrei produse de solid în raport cu unele surse de lumină .

Unul dintre cele mai complete și fundamentale subiecte ale desenului, observarea acestuia - în natură, de exemplu - ne permite să înțelegem majoritatea conceptelor de geometrie descriptivă, cum ar fi clasificările metodelor de proiecție, problemele de incidență sau corespondența unu la unu.

Umbra produsă de un solid este reprezentată ca proiecția solidului față de o stea de linii drepte (echivalentul în spațiu al mănunchiului de linii drepte). Pentru sursele de lumină punct, considerăm steaua liniilor drepte care au centrul în acel punct; pentru sursele de lumină „la distanță infinită” considerăm steaua liniilor paralele definite de punctul corespunzător la infinit . Cele două cazuri reprezintă aproximativ umbrele generate de o lampă și respectiv de Soare.

Partea suprafeței unui K solid care nu este orientată spre sursa de lumină este umbra lui K; liniile care separă partea din umbră propriu-zisă de cea din lumină, sunt numite "separatoare de umbre" de K. Proiecția separatoarelor de umbre ale lui K pe un alt obiect, de la centrul de proiecție, în acest caz coincizând cu sursa de lumină, se numește „umbră turnată” de K. Se numește umbră autoportantă dacă această proiecție cade pe aceeași suprafață ca K.

Umbrele produse de o sursă proprie reproduc pe plan o proiecție centrală (perspectivă) a obiectului
Umbrele produse de o sursă necorespunzătoare reproduc pe plan o proiecție paralelă (axonometrie) a obiectului

Cu referire la tipurile de proiecții, umbra unui obiect poate fi produsă de o sursă naturală, aproximativ necorespunzătoare și, prin urmare, poate fi comparată cu proiecțiile paralele sau poate fi comparată cu proiecțiile centrale dacă sursa de lumină este artificială, este, produs de un punct propriu.

Cu referire la problemele de incidență, umbra unui obiect poate fi interpretată ca incidența dintre diferitele entități geometrice (între plan drept, între planuri sau între suprafață și plan). Adică, umbra poate fi interpretată ca incidența unei entități de lumină (dreaptă, plană sau de suprafață) care trece printr-o entitate obiectivă (punct, linie dreaptă, figură) cu entitatea care primește umbra (suprafață plană sau curbată).

Principalele cazuri

Aplicarea umbrelor în metodele lui Monge și în axonometria cavalierului militar
  • umbra unui punct P pe un plan alfa este determinată ca punctul de intersecție a razei de lumină l care trece prin punctul P cu planul care primește umbra alfa.
  • umbra unei linii r pe un plan alfa este determinată ca linia de intersecție a planului de lumină λ care trece prin linia r cu planul care primește umbra alfa.
    • Când r este vertical și alfa orizontal, umbra r * a r coincide cu prima proiecție a razei de lumină (sau cu imaginea primei proiecții a r, în cazul perspectivei sau în unele tipuri de axonometrie, cum ar fi cavaliera).
    • când r este paralel cu alfa, se dovedește r * // r
    • când r coincide cu o rază de lumină, r * este un punct
    • când r aparține alfa, r * coincide cu r

De asemenea, trebuie amintit că pentru a determina umbra lui r pe alfa, sunt necesare două puncte de umbră ale lui r pe alfa. Rețineți că punctul de intersecție al lui r cu alfa coincide cu umbra sa, deci de cele mai multe ori acest punct este determinat să obțină unul dintre cele două puncte de umbră menționate. Al doilea punct de umbră, al lui r pe alfa, este determinat ca punctul de intersecție al razei de lumină care trece printr-un punct al lui r cu alfa.

Exemple implicite

  • umbra unei delte conice pe un plan alfa poate fi interpretată
  • ca o secțiune plană a unui cilindru cvadric, atunci când există o sursă necorespunzătoare, în acest caz razele de lumină acționează ca generatoare pentru cilindru;
    Umbra unui cerc pe un plan, poate fi determinată, dincolo de instrumentul de desen utilizat, ca intersecție a cilindrului luminos având acest cerc ca bază și razele de lumină care trec prin punctele aceleiași circumferințe ca și generatoarele
  • ca o secțiune plană a unui con cvadric atunci când sursa îi aparține. În ambele cazuri, tocmai menționat, delta conică acționează ca bază atât pentru cilindru, cât și pentru con.
  • Umbra unei conice Delta pe un K quadric nedegenerat este, în general, interpretată ca o intersecție quartică între un con luminos având conica Delta ca bază, cu suprafața K primind umbra.

Exemple explicite

Umbra unui punct de pe o suprafață sferică

Umbra proprie și întinderea unei sfere și umbra unui punct de pe ea, în axonometrie cavalieră militară

Umbra proprie și întinderea unei sfere și umbra unui punct de pe ea, în axonometrie cavalieră militară

Odată ce am terminat de reprezentat sfera în axonometrie militară cavalerică ( vezi figura ) și, de asemenea, punctul P, și după ce am stabilit direcția razei de lumină l și prima sa proiecție l1, procedăm la determinarea în ordine:

  • umbra punctului P de pe sferă
  • umbra propriu-zisă și întinderea sferei
  • Umbra unui punct P pe o sferă este determinată ca intersecția razei de lumină care trece prin P cu sfera. În acest scop, planul luminii λ este trecut prin punctul P, prima urmă a lui λ coincide cu prima proiecție l1 a razei de lumină l,
  • Se determină secțiunea circulară Θ dintre λ și sferă. Dar, din moment ce Θ aparține unui plan care nu este paralel cu pictura, imaginea sa axonometrică este o elipsă. A cărui construcție necesită diferite construcții geometrice, pentru a evita care prin exploatarea coincidenței dintre pictură și primul plan de proiecție, este indicat să efectuați o proiecție ortogonală pe un plan vertical paralel cu planul λ și apoi să efectuați răsturnarea pe pictură pentru a putea desena circumferința Θ în formă și dimensiune adevărate. În acest scop, linia de sol este stabilită paralel cu prima urmă a lui λ; proiectând punctele de intersecție ale circumferinței delta ecuatoriale cu t'λ, care reprezintă diametrul secțiunii circumferinței Θ. raza de lumină l este, de asemenea, proiectată pentru a identifica punctul P * 2 ca intersecție a proiecției l2 și Θ2, iar apoi acest punct P * 2 este îndreptat și axonometria este mutată pentru a identifica umbra P * a lui P pe sferă .
  • Pentru a determina umbra adecvată a sferei, se ia în considerare faptul că separatorul de umbre Σ al sferei aparține unui plan alfa ortogonal cu raza de lumină și care trece prin centrul sferei. În acest scop, în proiecția auxiliară, o linie dreaptă m2 este trecută perpendicular pe a doua proiecție l2 a razei de lumină l. Linia m reprezintă linia de pantă maximă a alfa. Punctul de intersecție M2 al liniei m2 cu conturul aparent al sferei reprezintă punctul de înălțime maximă a separatorului de umbre Σ. Care poate fi îndreptat și adus în axonometrie. Identificând astfel punctul M care reprezintă în axonometrie o extremă a unuia dintre cele două diametre conjugate ale separatorului Σ. Celălalt diametru g trece prin C și este perpendicular pe prima proiecție m1 a m.

Odată ce aveți două diametre conjugate ale unei elipse Σ, este ușor să determinați axele și să le construiți (a se vedea procedura ).

  • Pentru a determina umbra sferei, stabilim un plan obiectiv δ pe care se sprijină sfera în punctul F (extremă inferioară a axei a a sferei) și procedăm la determinarea umbrei m * g * a celor două conjugate diametrele separatorului Σ. care în acest caz reprezintă și axele elipsei Σ * umbra lui Σ.

merită spus că umbra aruncată de sferă pe planul delta corespunde intersecției acestui plan delta cu un cilindru de rotație care are ca secțiune dreaptă separatorul de umbre Σ și are ca axă raza de lumină care trece prin centrul mingea.

Umbra unui punct pe o suprafață conică

Umbra unui punct pe un con de rotație

umbra unui punct P pe o suprafață este determinată ca punctul de intersecție P * a razei de lumină l care trece prin P cu suprafața. În cazul unei suprafețe conice, determinarea punctului de intersecție P * (umbra lui P) se obține prin asumarea unui plan care trece prin raza de lumină le care taie conul K în funcție de o conică (posibil degenerată). Întrucât există planuri infinite care trec prin raza le care secționează conul și întrucât, în funcție de tipul conicii rezultate din această secțiune și în funcție de instrumentul de desen utilizat (sau mai bine zis de metoda de desen), construcția conicului secțiunea poate fi mai mult sau mai puțin laborioasă.

În toate cazurile, este necesar să se predea acele concepte de bază ale geometriei, care vizează determinarea secțiunilor simple care, în acest caz, sunt generatoarele conului. Cu atât mai mult motiv, aceste concepte sunt indispensabile din punct de vedere tehnic în toate acele operații de desen care nu oferă soluții automate imediate sau mai bune, cum ar fi desenul 2d, modelarea wireframe și modelarea suprafețelor. În acest sens și cu referire la software-ul AutoCAD , trebuie subliniat faptul că numai în modelarea solidă este posibilă obținerea automată a oricărui tip de secțiune cu singura operațiune de specificare a celor trei puncte care identifică planul secțiunii (care în acest caz specific corespunde planului luminii λ).

Pe de altă parte, în celelalte, numite metode de desen (wireframe și modelarea suprafeței), determinarea conicelor ca secțiuni ale unui con necesită multe construcții geometrice care pot avea rezultate mai mult sau mai puțin precise în funcție de instrumentul utilizat.

În general, pentru a obține rezultate precise, în metodele de desenare neautomatice, este necesar să se finalizeze construcțiile la determinarea punctelor notabile ale secțiunilor conice. De exemplu, în cazul secțiunii elipse, aceste puncte sunt extreme ale axei majore și minore.

În desenul tradițional (riglă și busolă), rezultatul este aproape întotdeauna aproximativ, deoarece numărul de puncte ale conicii de construit este aproape întotdeauna limitat. În general, designul 2d. după cum se știe, are dezavantajul de a nu permite schimbarea poziției punctului de vedere, deoarece este deja o proiecție. Pentru acest tip de desen este necesar să se definească alegerea în care metodă de reprezentare să funcționeze și apoi odată ce elementele în cauză au fost reprezentate (în acest caz acestea privesc conul, punctul P, raza de lumină l) se trece la soluția problemei, în acest caz identificarea planului luminos care trece prin secțiunea sa cu conul.

În acest sens, în modelarea wireframe și modelarea suprafețelor, există o singură fază de construcție care vizează rezolvarea problemei, deoarece reprezentarea problemei are loc automat din orice punct de vedere.

Pentru a evita determinarea unei conici care necesită o construcție geometrică laborioasă, este necesar să știm că este posibil să secționăm conul pentru a obține o secțiune simplă, reprezentată în acest caz prin două linii drepte.

În general, cea mai simplă secțiune a unei suprafețe conice (inclusiv cilindrul ca caz particular de con) se obține cu un plan care trece prin vârful acestor suprafețe. Obținerea acestor tipuri de secțiuni ajută, în desenele neautomate, să producă desene mai precise și ușor de citit.

Cu toate acestea, dincolo de metoda de desen utilizată. Problema, în general, poate fi formulată după cum urmează: care este poziția planului (în acest caz al luminii) care trece printr-o linie dreaptă (raza de lumină L care trece prin P) care secționează un con K în conformitate cu două generatoare. La această întrebare se răspunde prin faptul că planurile sunt secante la con și trec prin vârful său, disecând-o în conformitate cu două generatoare. Din punct de vedere tehnic, este necesar să se identifice planul de secțiune prin intermediul a două linii coplanare. Care poate avea în comun un punct adecvat (în cazul nostru poate fi P) sau un punct necorespunzător care este direcția paralelă cu l. În cazul nostru, întrucât este vorba de determinarea umbrei lui P pe con, una dintre aceste linii este raza de lumină l. A doua linie poate fi paralela cu raza l care trece prin vârful conului. Mai mult, trebuie știut că generatoarele de secțiuni ale unui plan λ cu conul sunt identificate, pe lângă vârf, și prin două puncte ale bazei conului. Pentru a determina aceste puncte, este necesar să se determine linia de intersecție a lui λ cu planul bazei lui K. Deoarece baza conului aparține primului plan de proiecție pigreco1, această linie este prima urmă a lui λ. Intersecția primei urme a lui λ cu baza lui K, identifică două puncte, unde trec generatoarele menționate ale conului. Aceasta este secțiunea conului cu planul λ care trece prin punctul P.

Odată ce am putut determina o secțiune simplă a conului, este suficient să identificăm punctul de intersecție P * (umbra lui P) a razei de lumină care trece prin P cu una dintre aceste două generații pentru a obține umbra lui P pe conul K.

Concluzie

Secțiunea simplă a conului este formată din două linii drepte, care se obțin cu un plan care trece prin vârful conului. Din punct de vedere didactic, diferențele dintre metodele adoptate nu trebuie să excludă acest concept important care, dimpotrivă, trebuie întotdeauna predat elevului. Cazul cu care ne-am confruntat a vizat umbra unui punct, dar acest concept poate fi adoptat pentru a rezolva alte probleme, cum ar fi cele de incidență, reprezentare, măsurare etc. De exemplu, determinarea distanței unui punct de la o suprafață conică K. În acest caz, soluția constă în determinarea unei linii drepte care trece prin r și P și astfel încât să fie ortogonală față de suprafața conică. Deoarece unghiul drept este măsurat între două linii drepte coplanare, este necesar să disecăm conul cu un plan care trece prin r și vârful lui K pentru a obține una dintre aceste drepte.

Deci, cea mai importantă parte de subliniat în această sau alte operații geometrice de construcție pentru a rezolva o problemă geometrică dată este conceptul. Desigur, aplicarea acestui concept în conformitate cu metoda utilizată poate fi mai mult sau mai puțin complexă. Fără a cunoaște conceptele de bază ale geometriei descriptive, este dificil să se rezolve chiar și cele mai banale probleme, în ciuda faptului că există cele mai sofisticate instrumente de desen disponibile. Cu aceasta nu vreau să exclud puterea instrumentelor de desen computerizate, dimpotrivă aș dori să subliniez rolul lor în facilitarea aplicării diferitelor concepte de desen și mai presus de toate noul lor mod de predare.

Alte proiecte

linkuri externe

Arhitectură Portalul Arhitecturii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu arhitectura