Teoria reprezentării grupului Lorentz

Hendrik Antoon Lorentz (dreapta), de la care își ia numele grupul Lorentz , și Albert Einstein a cărui teorie specială a relativității este principala sursă de aplicații. Fotografie făcută de Paul Ehrenfest în 1921.

Grupul Lorentz este un grup Lie de simetrii spațiu-timp în relativitate specială. Acest grup poate fi considerat ca o colecție de matrice , transformări liniare sau operatori unitari pe un anumit spațiu Hilbert ; are o mare varietate de reprezentări . f Acest grup este important deoarece relativitatea specială și mecanica cuantică sunt cele două teorii fizice cele mai bine definite, iar conjuncția acestor două teorii este studiul reprezentărilor unitare cu dimensiuni infinite ale grupului Lorentz.

Dezvoltare

Teoria completă a reprezentărilor finit dimensionale ale Lorentz grup algebra Lie este dedusă utilizând cadrul general al teoriei reprezentare a algebrelor Lie semisimple . Reprezentări finidimensionale ale componentei conectate ${\text{SO}}(3;1)^{+}$ ${\ displaystyle {\ text {SO}} (3; 1) ^ {+}}$ ${\ displaystyle {\ text {SO}} (3; 1) ^ {+}}$ din grupul complet Lorentz O (3; 1) se obțin prin aplicarea corespondenței Lie (între algebră și grup) și a matricelor exponențiale . Teoria completă a reprezentărilor cu dimensiuni finite ale grupului universal de acoperire (și, de asemenea, al grupului de spin , o acoperire dublă) ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\ displaystyle {\ text {SL}} (2, \ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle {\ text {SL}} (2, \ mathbb {C})}$ din ${\text{SO}}(3;1)^{+}$ ${\ displaystyle {\ text {SO}} (3; 1) ^ {+}}$ ${\ displaystyle {\ text {SO}} (3; 1) ^ {+}}$ este obținut și este dat în mod explicit în ceea ce privește acțiunile asupra unui spațiu funcțional în „Reprezentările lui”. ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\ displaystyle {\ text {SL}} (2, \ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle {\ text {SL}} (2, \ mathbb {C})}$ Și ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} (2, \ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} (2, \ mathbb {C})}$ ". Reprezentanții inversiunii timpului și inversării spațiului sunt dați în secțiunea" Inversiunea spațială și temporală ", completând astfel teoria finit-dimensională pentru grupul Lorentz complet. Proprietățile generale ale reprezentărilor ( m, n ) sunt conturate. Se consideră acțiunea asupra spațiilor funcționale, cu acțiunea asupra armonicelor sferice și a funcțiilor Riemann P ca exemple. Cazul infinit-dimensional al reprezentărilor unitare ireductibile este tratat pentru seria principală de ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\ displaystyle {\ text {SL}} (2, \ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle {\ text {SL}} (2, \ mathbb {C})}$ iar pentru seria complementară. În cele din urmă, formula lui Plancherel pentru ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\ displaystyle {\ text {SL}} (2, \ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle {\ text {SL}} (2, \ mathbb {C})}$ , iar reprezentările SO (3, 1) sunt clasificate și realizate pentru algebrele Lie.

Dezvoltarea teoriei reprezentării a urmat în mod istoric dezvoltarea teoriei reprezentării mai generale a grupurilor semisimple, în mare parte datorită lui Élie Cartan și Hermann Weyl , dar grupul lui Lorentz a primit o atenție deosebită datorită importanței sale în fizică. Contribuții notabili au fost fizicianul Eugene Wigner și matematicianul Valentine Bargmann cu programul lor Bargmann - Wigner, a cărui concluzie este aproximativ o clasificare a tuturor reprezentărilor unitare ale grupului Lorentz neomogen este echivalentă cu o clasificare a tuturor ecuațiilor de undă relativiste posibile . Clasificarea reprezentărilor ireductibile infinit-dimensionale ale grupului Lorentz a fost stabilită în 1947 de doctorandul în fizică teoretică de atunci, Harish-Chandra , care a devenit ulterior matematician; supraveghetorul său era Paul Dirac . Clasificarea corespunzătoare pentru $\mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )$ ${\ displaystyle \ mathrm {SL} (2, \ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle \ mathrm {SL} (2, \ mathbb {C})}$ a fost publicat independent de Bargmann și Israel Gelfand cu Mark Naimark în același an.

Aplicații

Multe dintre reprezentări, atât finite, cât și infinite, sunt importante în fizica teoretică. Reprezentările apar în descrierile câmpurilor din teoria clasică a câmpurilor, unde cel mai important exemplu este câmpul electromagnetic , al particulelor din mecanica cuantică relativistă, precum și în descrierile atât ale câmpurilor cuantice, cât și ale particulelor din teoria câmpului cuantic și ale diferitelor obiecte din teoria șirurilor și dincolo. Teoria reprezentării oferă, de asemenea, baza teoretică pentru conceptul de spin . Teoria intră și în relativitatea generală , în acele regiuni ale spațiului-timp suficient de mici pentru a fi descrise cu relativitate specială.

Reprezentările non-unitare și ireductibile cu dimensiuni finite, împreună cu reprezentările unitare și ireductibile cu dimensiuni infinite ale grupului neomogen Lorentz, grupul Poincaré, sunt reprezentări care au relevanță fizică directă.

Reprezentările unitare cu dimensiune infinită ale grupului Lorentz apar prin restricționarea reprezentărilor unitare ireductibile ale grupului Poincaré care acționează asupra spațiilor Hilbert ale mecanicii cuantice relativiste și ale teoriei câmpului cuantic . Dar acestea sunt, de asemenea, de interes matematic și potențial de importanță fizică directă în alte roluri decât cel al restricției simple. Există teorii speculative, în concordanță cu relativitatea și mecanica cuantică, dar care nu au găsit nicio aplicație fizică.

Teoria clasică a câmpului

Deși câmpul electromagnetic și câmpul gravitațional sunt singurele câmpuri clasice care oferă descrieri precise ale naturii, sunt importante și alte tipuri de câmpuri clasice. În abordarea teoriei câmpului cuantic (QFT) numită a doua cuantificare , punctul de plecare este unul sau mai multe câmpuri clasice, unde, de exemplu, funcțiile de undă care rezolvă ecuația Dirac sunt considerate câmpuri clasice înainte de (a doua) cuantificare. Deși a doua cuantificare și formalismul lagrangian asociat nu sunt un aspect fundamental al QFT, până acum toate teoriile câmpului cuantic au fost abordate în acest mod, inclusiv modelul standard . În aceste cazuri, există versiuni clasice ale ecuațiilor de câmp care decurg din ecuațiile Euler-Lagrange derivate din Lagrangian folosind principiul acțiunii minime . Aceste câmpuri trebuie să fie relativist invariante, iar soluțiile lor (care se vor califica drept funcții de undă relativiste) trebuie să se transforme sub o anumită reprezentare a grupului Lorentz.

Acțiunea grupului Lorentz asupra spațiului configurațiilor de câmp (o configurație de câmp este istoria spațiu-timp a unei soluții particulare, de exemplu câmpul electromagnetic în tot spațiul și timpul este o configurație de câmp ) seamănă cu acțiunea asupra spațiilor Hilbert de mecanică cuantică, cu excepția că parantezele comutatorului sunt înlocuite cu paranteze Poisson .

Mecanica cuantică relativistă

Se face următoarea definiție: ^[1] O funcție de undă relativistă este un set de n funcții $\psi ^{\alpha }$ ${\ displaystyle \ psi ^ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle \ psi ^ {\ alpha}}$ care se transformă sub o transformare Lorentz arbitrară propriu-zisă Λ ca

\psi '^{\alpha }(x)=D{[\Lambda ]^{\alpha }}_{\beta }\psi ^{\beta }\left(\Lambda ^{-1}x\right),

{\ displaystyle \ psi '^ {\ alpha} (x) = D {[\ Lambda] ^ {\ alpha}} _ {\ beta} \ psi ^ {\ beta} \ left (\ Lambda ^ {- 1} x \ dreapta),}

{\ displaystyle \ psi '^ {\ alpha} (x) = D {[\ Lambda] ^ {\ alpha}} _ {\ beta} \ psi ^ {\ beta} \ left (\ Lambda ^ {- 1} x \ dreapta),}

unde D [Λ] este o matrice n-dimensională reprezentând Λ aparținând unei sume directe a reprezentărilor (m, n) introduse mai jos.

Cele mai utile teorii ale mecanicii cuantice relativiste ale unei particule (nici o astfel de teorie nu este complet consecventă) sunt ecuația Klein-Gordon ^[2] și ecuația Dirac ^[3] . Ele sunt relativist invariante și soluțiile lor se transformă sub grupul Lorentz, respectiv ca scalari ( $(m,n)=(0,0)$ ${\ displaystyle (m, n) = (0,0)}$ ${\ displaystyle (m, n) = (0,0)}$ ) și bispinori ( $(0,{\tfrac {1}{2}})\oplus ({\tfrac {1}{2}},0)$ ${\ displaystyle (0, {\ tfrac {1} {2}}) \ oplus ({\ tfrac {1} {2}}, 0)}$ ${\ displaystyle (0, {\ tfrac {1} {2}}) \ oplus ({\ tfrac {1} {2}}, 0)}$ ). Câmpul electromagnetic este o funcție de undă relativistă conform acestei definiții, care se transformă mai jos $(1,0)\oplus (0,1)$ ${\ displaystyle (1,0) \ oplus (0,1)}$ ${\ displaystyle (1,0) \ oplus (0,1)}$ . ^[4]

Reprezentările cu dimensiuni infinite ar putea fi utilizate în analiza împrăștierii. ^[5]

Teoria câmpului cuantic

În teoria cuantică a câmpului , cererea de invarianță relativistă vine, printre altele, în faptul că matricea S trebuie să fie invariantă Poincaré. ^[6] Aceasta are implicația că există una sau mai multe reprezentări cu dimensiuni infinite ale grupului Lorentz care acționează asupra unui spațiu Fock . O modalitate de a garanta existența unor astfel de reprezentări este existența unei descrieri lagrangiene (cu cerințe modeste, vezi referința) sistemului folosind formalismul canonic, din care s-ar putea deduce o realizare a generatoarelor. ^[7]

Transformările operatorilor de câmp ilustrează rolul complementar jucat de reprezentările finitimensionale ale grupului Lorentz și de reprezentările infinit-dimensionale ale grupului Poincaré, mărturisind legătura profundă dintre fizică și matematică. Pentru a ilustra faptul, luați în considerare definiția unui operator de câmp n-component: Un operator de câmp relativist este un set de n funcții cu valori de operator pe spațiu-timp care se transformă sub transformări Poincaré adecvate (Λ, a) conform

\Psi ^{\alpha }(x)\to \Psi '^{\alpha }(x')=U[\Lambda ,a]\Psi ^{\alpha }(x)U^{-1}\left[\Lambda ,a\right]=D{\left[\Lambda ^{-1}\right]^{\alpha }}_{\beta }\Psi ^{\beta }(\Lambda x+a)

{\ displaystyle \ Psi ^ {\ alpha} (x) \ to \ Psi '^ {\ alpha} (x') = U [\ Lambda, a] \ Psi ^ {\ alpha} (x) U ^ {- 1 } \ left [\ Lambda, a \ right] = D {\ left [\ Lambda ^ {- 1} \ right] ^ {\ alpha}} _ {\ beta} \ Psi ^ {\ beta} (\ Lambda x + la)}

{\ displaystyle \ Psi ^ {\ alpha} (x) \ to \ Psi '^ {\ alpha} (x') = U [\ Lambda, a] \ Psi ^ {\ alpha} (x) U ^ {- 1 } \ left [\ Lambda, a \ right] = D {\ left [\ Lambda ^ {- 1} \ right] ^ {\ alpha}} _ {\ beta} \ Psi ^ {\ beta} (\ Lambda x + la)}

unde U [Λ, a] este operatorul de unitate care reprezintă (Λ, a) pe spațiul Hilbert unde este definit Ψ și D este o reprezentare n-dimensională a grupului Lorentz. Regula transformării este a doua axiomă Wightman a teoriei câmpului cuantic.

Luând în considerare constrângerile diferențiale la care este supus operatorul de câmp pentru a descrie o singură particulă cu masa și rotirea definite (sau helicitatea). deducem că ^[8] ^{[nb 1]} (echiv. X1)

\Psi ^{\alpha }(x)=\sum _{\sigma }\int dp\left(a(\mathbf {p} ,\sigma )u^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{ip\cdot x}+a^{\dagger }(\mathbf {p} ,\sigma )v^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{-ip\cdot x}\right),

{\ displaystyle \ Psi ^ {\ alpha} (x) = \ sum _ {\ sigma} \ int dp \ left (a (\ mathbf {p}, \ sigma) u ^ {\ alpha} (\ mathbf {p} , \ sigma) și ^ {ip \ cdot x} + a ^ {\ dagger} (\ mathbf {p}, \ sigma) v ^ {\ alpha} (\ mathbf {p}, \ sigma) și ^ {- ip \ cdot x} \ right),}

{\ displaystyle \ Psi ^ {\ alpha} (x) = \ sum _ {\ sigma} \ int dp \ left (a (\ mathbf {p}, \ sigma) u ^ {\ alpha} (\ mathbf {p} , \ sigma) și ^ {ip \ cdot x} + a ^ {\ dagger} (\ mathbf {p}, \ sigma) v ^ {\ alpha} (\ mathbf {p}, \ sigma) și ^ {- ip \ cdot x} \ right),}

unde este $a^{\dagger }$ ${\ displaystyle a ^ {\ dagger}}$ ${\ displaystyle a ^ {\ dagger}}$ , Și $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ acestea sunt interpretate ca operatori de creație și respectiv de distrugere . Operatorul de creație se transformă conform ^[8] ^[9]

a^{\dagger }(\mathbf {p} ,\sigma )\rightarrow a'^{\dagger }\left(\mathbf {p} ',\sigma \right)=U[\Lambda ]a^{\dagger }(\mathbf {p} ,\sigma )U\left[\Lambda ^{-1}\right]=a^{\dagger }(\Lambda \mathbf {p} ,\rho )D^{(s)}{\left[R(\Lambda ,\mathbf {p} )^{-1}\right]^{\rho }}_{\sigma },

{\ displaystyle a ^ {\ dagger} (\ mathbf {p}, \ sigma) \ rightarrow a '^ {\ dagger} \ left (\ mathbf {p}', \ sigma \ right) = U [\ Lambda] a ^ {\ dagger} (\ mathbf {p}, \ sigma) U \ left [\ Lambda ^ {- 1} \ right] = a ^ {\ dagger} (\ Lambda \ mathbf {p}, \ rho) D ^ {(s)} {\ left [R (\ Lambda, \ mathbf {p}) ^ {- 1} \ right] ^ {\ rho}} _ {\ sigma},}

{\ displaystyle a ^ {\ dagger} (\ mathbf {p}, \ sigma) \ rightarrow a '^ {\ dagger} \ left (\ mathbf {p}', \ sigma \ right) = U [\ Lambda] a ^ {\ dagger} (\ mathbf {p}, \ sigma) U \ left [\ Lambda ^ {- 1} \ right] = a ^ {\ dagger} (\ Lambda \ mathbf {p}, \ rho) D ^ {(s)} {\ left [R (\ Lambda, \ mathbf {p}) ^ {- 1} \ right] ^ {\ rho}} _ {\ sigma},}

și în mod similar pentru operatorul de distrugere. Rețineți că operatorul de câmp se transformă în funcție de o reprezentare neunitară a grupului Lorentz, în timp ce operatorul de creație se transformă sub reprezentarea unitară infinit-dimensională a grupului Poincaré caracterizat prin masa și rotirea (m, s) a particulei. Conexiunea dintre cele două este funcțiile de undă, numite și funcții de coeficient

u^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{ip\cdot x},\quad v^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{-ip\cdot x}

{\ displaystyle u ^ {\ alpha} (\ mathbf {p}, \ sigma) e ^ {ip \ cdot x}, \ quad v ^ {\ alpha} (\ mathbf {p}, \ sigma) e ^ {- ip \ cdot x}}

{\ displaystyle u ^ {\ alpha} (\ mathbf {p}, \ sigma) e ^ {ip \ cdot x}, \ quad v ^ {\ alpha} (\ mathbf {p}, \ sigma) e ^ {- ip \ cdot x}}

care ambii poartă atât indicii (x, α) asupra cărora acționează transformările Lorentz, cât și indicii (p, σ) asupra cărora acționează transformările Poincaré. Acest fapt ar putea fi numit conexiunea Lorentz - Poincaré. ^[10] Pentru a arăta conexiunea, efectuați o transformare Lorentz pe ambele părți ale ecuației (X1), ducând la

{D[\Lambda ]^{\alpha }}_{\alpha '}u^{\alpha '}(\mathbf {p} ,\lambda )={D^{(s)}[R(\Lambda ,\mathbf {p} )]^{\lambda '}}_{\lambda }u^{\alpha }\left(\Lambda \mathbf {p} ,\lambda '\right),

{\ displaystyle {D [\ Lambda] ^ {\ alpha}} _ {\ alpha '} u ^ {\ alpha'} (\ mathbf {p}, \ lambda) = {D ^ {(s)} [R ( \ Lambda, \ mathbf {p})] ^ {\ lambda '}} _ {\ lambda} u ^ {\ alpha} \ left (\ Lambda \ mathbf {p}, \ lambda' \ right),}

{\ displaystyle {D [\ Lambda] ^ {\ alpha}} _ {\ alpha '} u ^ {\ alpha'} (\ mathbf {p}, \ lambda) = {D ^ {(s)} [R ( \ Lambda, \ mathbf {p})] ^ {\ lambda '}} _ {\ lambda} u ^ {\ alpha} \ left (\ Lambda \ mathbf {p}, \ lambda' \ right),}

unde D este un reprezentant neunitar al matricei Lorentz Λ și D (s) este un reprezentant unitar al așa-numitei rotații Wigner R asociat cu Λ și p care derivă din reprezentarea grupului Poincaré și s este spinul a particulei.

Toate formulele de mai sus, inclusiv definiția operatorului de câmp în termeni de operatori de creație și distrugere, precum și ecuațiile diferențiale satisfăcute de operatorul de câmp pentru o particulă cu masă și rotire specifice și reprezentarea (m, n) sub care ar trebui să se transforme, precum și cea a funcției de undă, poate fi derivată din considerații ale teoriei grupurilor odată ce este dat cadrul mecanicii cuantice și al relativității speciale.

Notă

Explicativ

^ Weinberg 2002 , ecuațiile 5.1.4-5. Weinberg deduce necesitatea operatorilor de creație și distrugere dintr-o altă considerație, principiul descompunerii clusterelor, cf. Weinberg 2002 , capitolul 4

Bibliografic

^ Tung 1985 , definiție 10.11 .
^ Greiner și Müller 1994 , capitolul 1 .
^ Greiner și Müller 1994 , capitolul 2 .
^ Tung 1985 , p. 203 .
^ Delbourgo, Salam și Strathdee 1967 .
^ Weinberg 2002 , secțiunea 3.3 .
^ Weinberg 2002 , secțiunea 7.4 .
^ ^a ^b Tung 1985 , ecuația 10.5-18 .
^ Weinberg 2002 , Ecuațiile 5.1.11-12.
^ Tung 1985 , secțiunea 10.5.3.

Referințe disponibile gratuit online

X. Bekaert și N. Boulanger, Reprezentările unitare ale grupului Poincare în orice dimensiune spațiu-timp ( PDF ), 2006.
TL Curtright , DB Fairlie și CK Zachos , O formulă compactă pentru rotații ca polinoame cu matrice de spin , în SIGMA , vol. 10, 2014, p. 084, Bibcode : 2014SIGMA..10..084C , DOI : 10.3842 / SIGMA.2014.084 , arXiv : 1402.3541 .

Bibliografie

R. Delbourgo , A. Salam și J. Strathdee, Analiza armonică din punct de vedere al grupului omogen Lorentz , în Physics Letters B , vol. 25, nr. 3, 1967, pp. 230–32, Bibcode : 1967 PhLB ... 25..230D , DOI : 10.1016 / 0370-2693 (67) 90050-0 .
Wu-Ki Tung, Theory Theory in Physics , 1st, New Jersey London Singapore Hong Kong, World Scientific , 1985, ISBN 978-9971-966-57-7 .
S. Weinberg , Fundamente , Teoria cuantică a câmpurilor, vol. 1, Cambridge, Cambridge University Press , 2002 [1995] , ISBN 978-0-521-55001-7 .

Portalul de fizică

Portalul de matematică

[9] Weinberg 2002 , ecuațiile 5.1.4-5. Weinberg deduce necesitatea operatorilor de creație și distrugere dintr-o altă considerație, principiul descompunerii clusterelor, cf. Weinberg 2002 , capitolul 4

[1] Tung 1985 , definiție 10.11 .

[2] Greiner și Müller 1994 , capitolul 1 .

[3] Greiner și Müller 1994 , capitolul 2 .

[4] Tung 1985 , p. 203 .

[5] Delbourgo, Salam și Strathdee 1967 .

[6] Weinberg 2002 , secțiunea 3.3 .

[7] Weinberg 2002 , secțiunea 7.4 .

[Tung_1985_loc=Equation_10.5-18-8] Tung 1985 , ecuația 10.5-18 .

[10] Weinberg 2002 , Ecuațiile 5.1.11-12.

[11] Tung 1985 , secțiunea 10.5.3.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[nb 1]

[9]

[10]