Teoria gabaritului

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

Teoriile gabaritului (pron. [ˈꞬeiʤ] ), sau teoriile la scară , sunt o clasă de teorii de câmp bazate pe ipoteza că unele simetrii , adică transformări care lasă neschimbat Lagrangianul sistemului, sunt posibile nu numai la nivel global, ci și local.

Majoritatea teoriilor fizicii sunt descrise de lagrangieni care sunt invarianți sub anumite transformări ale sistemului de coordonate efectuate identic în fiecare punct din spațiu-timp : se spune că au simetrii globale . Există simetrii globale particulare, care nu depind de punct, care sunt încă simetrii dacă acționează local, adică în orice punct al sistemului, cu condiția ca acțiunile de la un punct la altul să fie independente (conform teoriilor Yang-Mills ). Conceptul care stă la baza teoriilor ecartamentului este tocmai acela de a postula că Lagrangienii trebuie să posede și simetrii locale, adică este posibil să se efectueze aceste transformări de simetrie numai într-o regiune particulară și limitată a spațiului-timp fără a afecta restul Universului . Această cerință poate fi privită, în sens filosofic, ca o versiune generalizată a principiului echivalenței relativității generale . [ neclar ]

Importanța teoriilor gabaritului pentru fizică provine din succesul enorm al acestui formalism matematic în descrierea într-un cadru teoretic unificat a teoriilor cuantice ale câmpului a trei dintre cele patru forțe fundamentale ale naturii: electromagnetism , interacțiune nucleară slabă și interacțiune nucleară puternică . Acest cadru teoretic, cunoscut sub numele de model standard , este o teorie a ecartamentului cu un grup de ecartament SU (3) × SU (2) × U (1) .

Alte teorii moderne, cum ar fi teoria șirurilor și anumite formulări ale relativității generale, sunt, într-un fel sau altul, teorii de măsurare.

Istorie

Prima teorie fizică care a prezentat simetria gabaritului a fost teoria electrodinamică a lui Maxwell ; totuși importanța acestei simetrii a ecuațiilor lui Maxwell nu a fost subliniată în primele formulări. După Einstein pentru dezvoltare ale relativității generalizate , Hermann Weyl , în încercarea de a unifica această teorie cu electromagnetismul, emis ipoteza ca Eichinvarianz sau invarianță ca scala de măsurare variază (gauge în limba engleză ) ar putea fi , de asemenea , o simetrie locală a teoriei generale relativitatea; din păcate, evoluția acestei conjecturi a dus la rezultate inacceptabile fizic. Cu toate acestea, după apariția mecanicii cuantice , Weyl, Fock și Londra au descoperit că aceeași idee ar putea fi dezvoltată în lumina noilor concepte: schimbarea factorului de scară cu o cantitate complexă și înlocuirea transformării scării cu o transformare de fază , adică o simetrie gauge U (1) , a explicat elegant efectul unui câmp electromagnetic asupra funcției de undă a unei particule cuantice încărcate electric . Aceasta a fost prima teorie a ecartamentului din istorie.

În anii 1950 , într-o încercare de a aduce ordine în marele haos al fenomenelor încă neexplicate ale fizicii elementare a particulelor , Chen Ning Yang și Robert Mills au introdus teorii ale gabaritului non-abelian ca modele de înțelegere a interacțiunii puternice care ține împreună nucleonii în nucleul atomic. . Generalizând invarianța gabaritului electromagnetismului, au încercat să construiască o teorie, bazată pe acțiunea grupului de simetrie non-abelian SU (2) asupra dubletului proton- neutron al izospinului , care era similar cu teoria lui Weyl, Fock și Londra pe acțiunea grupului U (1) asupra câmpurilor de spinori ale electrodinamicii cuantice . Această idee și-a găsit aplicarea, mai târziu, în teoria câmpului de interacțiune slabă și în unificarea acestei teorii cu electromagnetismul în teoria electrovară .

Interesul pentru teoriile gabaritului a devenit și mai mare când s-a arătat că versiunile lor non-abeliene posedă o proprietate numită libertate asimptotică , care trebuia să fie o caracteristică cheie a interacțiunii puternice. Acest fapt a început cercetarea unei teorii gauge pentru această din urmă interacțiune, care a condus la formularea cromodinamicii cuantice ; aceasta este o teorie a gabaritului pentru acțiunea grupului SU (3) asupra triplelor de culoare ale quark-urilor . Modelul standard unifică descrierile electromagnetismului , interacțiunilor slabe și interacțiunilor puternice în formalismul teoriilor gabaritului.

În 1983, Simon Donaldson a folosit instrumente dezvoltate în teoria ecartamentelor ( instantonii ) pentru a arăta că clasificarea diferențiată a varietăților cu patru dimensiuni netede este foarte diferită de clasificarea lor, cu excepția homeomorfismelor și prezintă structuri diferențiate exotice într-un spațiu euclidian cu patru dimensiuni. Acest lucru i-a determinat pe matematicieni să se intereseze singuri de teoriile ecartamentului, indiferent de succesul lor în fizica teoretică. În 1994 Edward Witten și Nathan Seiberg au dezvoltat câteva tehnici pentru teoriile ecartamentului bazate pe supersimetrie , care au permis calcularea unor invarianți topologici ; aceste contribuții la matematică din teoriile ecartamentului au condus la un interes reînnoit pentru studiile în acest domeniu.

Teoria

Matematic, un indicator este un anumit grad de libertate în cadrul unei teorii ale cărei efecte externe nu sunt observabile. O transformare a ecartamentului este deci o transformare a acestui grad de libertate care nu schimbă nici o proprietate fizică observabilă. Teoriile ecartamentului sunt de obicei elaborate și discutate cu instrumentele matematice ale geometriei diferențiale . Mai precis, o alegere a gabaritului este alegerea unei secțiuni (locale) dintr-un anumit pachet principal . O transformare a gabaritului este, de asemenea, o transformare între două secțiuni diferite.

Am un pachet principal a cărui bază spațiu este tridimensional spațiu sau spațiu - timp și ei grup structural este un grup Lie , atunci o acțiune a grupului gauge pe spațiul de secțiuni netede ale .

Este posibil să se definească o conexiune (conexiune gauge) pe pachetul principal, obținând o formă 1 cu valori pe o algebră Lie , care în fizică se numește potențial gauge . Cu acest formular 1 puteți crea un formular 2 , numită forță de câmp , cu:

unde este înseamnă derivatul extern e înseamnă produsul extern .

Transformările infinitezimale ale gabaritului formează o algebră Lie care este caracterizată de una scalar continuu [ neclar ] la valorile incluse într-o algebră Lie . Sub aceste transformări infinitezimale ale ecartamentului:

unde este denotă produsul Lie .

Un fapt valoros este că înseamnă că , unde este este derivatul covariant :

În plus, , si asta inseamnă se transformă într-un mod covariant.

Trebuie remarcat faptul că, în general, nu toate transformările ecartamentului pot fi generate de transformări ecartament infinitesimale: de exemplu, atunci când colectorul de bază este un colector compact fără o limită astfel încât clasa de homotopie a aplicațiilor colectorului respectiv pe grupul Lie este este non-banal. Vezi, de exemplu, instantonii .

Acțiunea Yang-Mills este dată acum de:

unde * reprezintă Hodge dual și integralul este definit ca în geometria diferențială .

O cantitate gabarit-invariantă , adică invariantă sub transformări gabarit, este o linie Wilson , care este definită pe orice cale închisă asa de:

unde este este caracterul unei reprezentări complexe , Și reprezintă operatorul de cale ordonat.

Teoria clasică a ecartamentului

În cele ce urmează sunt prezentate câteva aspecte ale teoriei clasice, definind conceptele de grup gauge, câmp gauge, interacțiune lagrangiană și boson gauge.

O (n) teoria gabaritului scalar

Următorul arată cum se postulează invarianța gabaritului local din proprietățile de simetrie globală și cum aceasta duce la o interacțiune între câmpuri care nu interacționează inițial.

Luați un set de n câmpuri scalare care nu interacționează, cu mase egale m . Acest sistem este descris printr-o acțiune egală cu suma acțiunilor normale pentru diferitele câmpuri scalare :

Prin introducerea unui vector de câmpuri:

Lagrangianul poate fi rescris după cum urmează:

Acum este clar că când este o matrice constantă aparținând grupului ortogonal n- dimensional , Lagrangianul este invariant sub transformare:

Aceasta este simetria globală a acestui Lagrangian particular, iar grupul de simetrie este adesea numit grupul de ecartament . Rețineți întâmplător că teorema lui Noether implică faptul că invarianța față de acest grup particular de transformări duce la conservarea curentului :

unde matricile ei sunt generatorii grupului . Există un curent stocat pentru fiecare generator.

Acum, postulează că acest lagrangian trebuie să aibă o invarianță local: aceasta implică matrici , pe care le-am văzut anterior a fi constante) ar trebui să poată deveni funcții ale coordonatelor spațiu-timp .

Din păcate matricile nu "trec prin derivare", adică când avem:

Acest lucru sugerează definirea unei derivate astfel încât:

Se poate verifica cu ușurință că o derivată cu această proprietate (numită derivată covariantă ) este:

unde câmpul gabaritului este definit ca:

Și este cunoscută sub numele de sarcină , o constantă de cuplare care definește puterea unei interacțiuni.

În acest moment, am identificat un lagrangian local invariant de gabarit :

Diferența dintre aceasta și Lagrangianul original, care era global gauge-invariant , se numește interacțiune Lagrangian :

Acest termen introduce interacțiuni între câmpurile n scalare ca urmare a impunerii invarianței gabaritului local. În versiunea cuantificată a acestei teorii de câmp clasice, cuantele câmpului gabaritului se numesc bosoni de ecartament . Interpretarea interacțiunii lagrangiene în teoria câmpului cuantic se referă la bosonii scalari care interacționează prin schimbul de bosoni gauge.

Lagrangianul pentru câmpul ecartamentului

Imaginea teoriei clasice a ecartamentului este aproape completă: trebuie doar să cunoască valoarea câmpului ecartamentului în orice moment al spațiului-timp, așa cum este cerut de definiția derivatelor covariante . În loc de a specifica manual câmpul din fiecare punct manual, adică atribuirea valorilor în toate punctele, acesta poate fi exprimat ca soluția unei ecuații de câmp: în plus, stabilind cerința suplimentară ca Lagrangianul care generează ecuația câmpului să fie local gauge-invariant, forma mai generală a Lagrangianului pentru câmpul gauge poate fi scrisă în mod convențional ca:

cu:

și luând urmele pe spațiul vectorial al câmpurilor n .

În acest moment, Lagrangianul completează teoria gabaritului poti sa scrii:

Electrodinamică

Ca o simplă aplicare a formalismului dezvoltat până acum, luați în considerare cazul electrodinamicii , cu doar câmpul de electroni . În cele din urmă, acțiunea care generează ecuația Dirac a câmpului de electroni este, prin convenție:

Simetria globală a acestui sistem este:

Aici grupul de ecartament este U (1) , adică grupul cu un singur parametru care corespunde doar unghiului de fază al câmpului, cu constantă în spațiu.

Localizarea acestei simetrii implică substituirea constantei cu .

Un derivat covariant adecvat este atunci:

Identificarea taxei cu sarcina electrică obișnuită (aceasta este originea utilizării termenului „sarcină” în teoriile ecartamentului) și câmpului ecartamentului cu potențialul cu patru vectori ai câmpului electromagnetic , se obține o interacțiune lagrangiană:

unde este este densitatea de curent obișnuită cu patru vectori . Astfel, principiul ecartamentului are ca efect introducerea naturală a așa-numitei cuplări minime a câmpului electromagnetic cu câmpul de electroni.

Adăugarea unui Lagrangian pentru câmpul gabaritului construit cu tensorul de forță al câmpului , exact ca în electrodinamică, obținem Lagrangianul care este utilizat ca punct de plecare în electrodinamica cuantică :

Bibliografie

Elemente conexe

linkuri externe

Controlul autorității Thesaurus BNCF 37810 · NDL (RO, JA) 00575700
Fizică Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica