Teoria ergodică

Teoria ergodică (din grecescul ἔργον érgon , muncă , energie și ὁδός hodós „cale, cale” ^[1] ) se referă în principal la studiul matematic al comportamentului mediu pe termen lung al sistemelor dinamice .

Descriere

Termenul ergodic a fost introdus de Ludwig Boltzmann (1844-1906) cu referire la sisteme mecanice complexe capabile să-și asume în mod spontan toate stările dinamice microscopice compatibile cu starea lor macroscopică. Cu alte cuvinte, particulele constitutive ale sistemului își asumă fiecare set de valori instantanee ale poziției și vitezei ale căror caracteristici medii corespund stării macroscopice a sistemului. Ipoteza ergodică , o formulare mai tehnică, a fost propusă de Josiah Willard Gibbs (1839-1903). Acesta prevede că media în timp a unei proprietăți a sistemului este echivalentă cu media instantanee a aceleiași proprietăți din ansamblul canonic atunci când numărul stărilor tinde spre infinit.

Dacă starea sistemului este reprezentată printr-un punct care se mișcă într-un spațiu de fază adecvat și constrâns de considerații energetice pe o anumită suprafață scufundată în el, ipoteza ergodică asigură faptul că punctul va trece în cele din urmă prin toate punctele de pe suprafață. Această presupunere s-a dovedit a fi falsă dacă s-a aplicat generalității sistemelor mecanice pentru care a fost formulată, astfel încât am început să vorbim despre sisteme cvasi-ergodice , care au proprietatea mai slabă de a trece prin stări în mod arbitrar apropiate de stări microscopice. energie totală.

Biliard bidimensional

Un model simplu de vizualizare a ipotezei ergodice îl constituie biliardul bidimensional, un sistem dinamic în care luăm în considerare mișcarea unei mingi cu o viteză atribuită într-o anumită porțiune a planului euclidian , care ricoșează elastic pe marginea acestui porţiune. Conform ipotezei ergodice, mingea ar trebui să treacă prin orice poziție posibilă pe porțiunea atribuită a podelei. Acest model este deosebit de simplu atât pentru că mișcarea are loc în plan, cât și pentru că conservarea energiei este limitată doar la considerații referitoare la energia cinetică .

Cu toate acestea, chiar și în cazul unor porțiuni foarte simple, cum ar fi biliardul triunghiular , demonstrațiile proprietăților ergodice nu sunt banale și necesită un formalism matematic destul de dezvoltat.

Notă

Bibliografie

• P. Halmos (1956): Prelegeri despre teoria ergodică , Chelsea,
• Vladimir Igorevich Arnol'd , André Avez (1968): Probleme ergodice ale mecanicii clasice , WA Benjamin,
• IP Cornfeld, Sergei Vasilievich Fomin , Yakov Grigorievich Sinai (1982): Teoria ergodică , Springer, ISBN 0-387-90580-4
• Leo Breiman (1968): Probability , Ch. 6, Addison-Wesley, retipărit de SIAM (1992), ISBN 0-89871-296-3
• Peter Walters (1982): O introducere în teoria ergodică , Springer, ISBN 0-387-95152-0
• Tim Bedford, Michael Keane, ediția Caroline Series. (1991): Teoria ergodică, dinamica simbolică și spațiile hiperbolice Oxford University Press, ISBN 0-19-853390-X
• Carlo Sempi (2005): Introducere în teoria ergodică (Caiete ale Departamentului de Matematică al Universității din Lecce)

Elemente conexe

• Mecanica statistică
• Procesul Markov
• Teorema ergodică
• Teoria haosului

linkuri externe

• ( EN ) The Ergodic Theory , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica