Teorie naivă a mulțimilor

Teoria naivă a mulțimilor ^[1] diferă de teoria axiomatică a mulțimilor prin aceea că prima consideră mulțimile ca colecții de obiecte, numite elemente sau membri ai mulțimii, în timp ce cea din urmă consideră mulțimi acelea care satisfac anumite axiome. Seturile au o mare importanță în matematică ; de fapt, în tratamentul formal modern, majoritatea obiectelor matematice ( numere , relații , funcții etc.) sunt definite în termeni de mulțimi.

Introducere

Teoria naivă a mulțimilor a fost creată la sfârșitul secolului al XIX-lea de Georg Cantor pentru a permite matematicienilor să lucreze în mod consecvent cu mulțimi infinite .

După cum sa dovedit mai târziu, presupunerea că orice operație setată poate fi efectuată duce la antinomii precum paradoxul lui Russell . Teoria mulțimilor axiomatice a fost dezvoltată pentru a determina cu exactitate ce operații sunt permise și când. Astăzi, când matematicienii vorbesc despre „teoria mulțimilor” ca un domeniu de studiu, aceștia înseamnă, în general, teoria axiomatică a mulțimilor, dar când vorbesc despre teoria mulțimilor ca un instrument care trebuie aplicat în alte domenii ale matematicii, înseamnă teoria naivă a mulțimilor.

Teoria mulțimilor axiomatice este de obicei abstractă și are puțină influență asupra matematicii obișnuite. Prin urmare, este util să studiați seturile în sensul naiv original pentru a dezvolta abilități de lucru cu ele. Mai mult, o bună cunoaștere a teoriei naive a mulțimilor este necesară pentru înțelegerea motivației pentru teoria axiomatică.

Acest articol descrie teoria naivă. Seturile sunt definite informal și unele dintre proprietățile lor sunt examinate. Legăturile din acest articol cu axiomele specifice ale teoriei mulțimilor arată câteva dintre legăturile dintre discuția informală prezentă aici și axiomatizarea ulterioară a teoriei mulțimilor, dar nu fiecare afirmație este justificată pe această bază.

Întreguri, apartenență și egalitate

În teoria naivă a mulțimilor, un set este descris ca o colecție bine definită de obiecte. Aceste obiecte sunt numite elemente sau membri ai colecției. Obiectele pot fi orice: numere, oameni, alte seturi etc. De exemplu, 4 este un element al setului de numere întregi pare . După cum se vede din acest exemplu, seturile pot avea un număr infinit de elemente.

Dacă x este un element al lui A , atunci spunem că x aparține lui A , sau că x este în A și scriem x ∈ A. (Simbolul " $\in$ ${\ displaystyle \ in}$ $\în$ „provine din litera greacă epsilon ,„ ε ”, introdusă de Peano în 1888. ) Simbolul $\notin$ ${\ displaystyle \ notin}$ ${\ displaystyle \ notin}$ este uneori folosit pentru a scrie x ∉ A sau „x nu este în A”.

Se spune că două mulțimi A și B sunt egale atunci când au aceleași elemente, adică dacă fiecare element al lui A este un element al lui B și fiecare element al lui B este un element al lui A. (A se vedea axioma extensionalității ). Un set este determinat de elementele sale; descrierea este irelevantă. De exemplu, mulțimea cu elementele 2, 3 și 5 este egală cu mulțimea numerelor prime mai mici de 6. Faptul că A și B sunt egale este simbolic indicat prin A = B.

Admitem, de asemenea, un set gol , adesea notat cu $\varnothing$ ${\ displaystyle \ varnothing}$ $\ varnothing$ : un set lipsit de elemente. Deoarece un set este determinat de elementele sale, poate exista doar un set gol. (Vezi axioma setului gol )

Specificarea seturilor

Cel mai simplu mod de a descrie un set este de a lista elementele acestuia între paranteze. Prin urmare, {1,2} denotă mulțimea ale cărei elemente sunt 1 și 2. (A se vedea axioma de pereche .) Observați următoarele puncte:

Ordinea elementelor nu este importantă; de exemplu {1,2} = {2,1}.
Repetarea (multiplicitatea) elementelor este irelevantă; de exemplu, {1,2,2} = {1,1,1,2} = {1,2}.

(Acestea sunt consecințele definiției egalității din secțiunea anterioară.)

Această notație poate fi abuzată folosind o expresie ca {câini} pentru a desemna setul de câini, dar acest exemplu ar fi interpretat de un matematician ca „setul care conține elementul câini ”.

Un exemplu extrem, dar corect al acestei notații este {}, care denotă setul gol.

De asemenea, putem folosi notația { x : P ( x )} (sau uneori { x | P ( x )}) pentru a indica setul care conține obiectele pentru care se menține condiția P. De exemplu, { x : x este un număr real} indică setul de numere reale , { x : x are părul blond} reprezintă setul de păr blond și { x : x este un câine} reprezintă ansamblul tuturor câinilor.

Această notație se numește notație tabulară (sau „ notație prin incluziune ”, în special în programarea funcțională ). Unele variante ale notației tabulare sunt:

{ x ∈ A : P ( x )} reprezintă ansamblul tuturor elementelor x ale lui A astfel încât condiția P să fie valabilă pentru x . De exemplu, dacă Z este mulțimea numerelor întregi , atunci { x ∈ Z : x este par} este mulțimea tuturor numerelor întregi . (A se vedea axioma specificațiilor .)
{ F ( x ): x ∈ A } reprezintă ansamblul tuturor obiectelor obținute prin aplicarea formulei F elementelor lui A. De exemplu, {2 x : x ∈ Z } este încă setul tuturor numerelor întregi. (A se vedea axioma substituției .)
{ F ( x ): P ( x )} este forma cea mai generală pentru notația tabelară. De exemplu, {proprietarul lui x : x este un câine} este ansamblul tuturor proprietarilor de câini.

Subseturi

Având în vedere două mulțimi A și B spunem că A este un subset al lui B dacă fiecare element al lui A este, de asemenea, un element al lui B. Rețineți că, în special, B este un subset al său; un subset al lui B care nu este egal cu B se numește subset corespunzător .

Dacă A este un subset al lui B , atunci se poate spune, de asemenea, că B este un superset al lui A , că A este conținut în B sau că B conține A. În simboluri, A ⊆ B înseamnă că A este un subset al lui B , iar B ⊇ A înseamnă că B este un superset al lui A. Unii autori folosesc simbolurile „⊂” și „⊃” pentru subseturi, în timp ce alții folosesc aceste simboluri doar pentru propriile subseturi. În această enciclopedie, „⊆” și „⊇” sunt utilizate pentru subseturi, în timp ce „⊂” și „⊃” sunt rezervate pentru subseturi adecvate.

Cu titlu ilustrativ, fie A setul de numere reale, fie B setul de numere întregi, fie C setul de numere întregi impare și fie D setul actualului sau anterior președintelui Italiei . Atunci C este un subset al lui B , B este un subset al lui A și C este un subset al lui A. Rețineți că nu toate seturile sunt comparabile în acest fel. De exemplu, A nu este un subset al lui D , dar nici D nu este un subset al lui A.

Urmează imediat din definiția anterioară a egalității mulțimilor că, date două mulțimi A și B , A = B dacă și numai dacă A ⊆ B și B ⊆ A. De fapt, acest lucru este adesea folosit ca definiție a egalității.

Setul tuturor subseturilor unui set dat A se numește setul de putere (sau set de părți ) al lui A și este notat cu $2^{A}$ ${\ displaystyle 2 ^ {A}}$ $2 ^ {A}$ sau cu $P(A)$ ${\ displaystyle P (A)}$ $P (A)$ . Dacă mulțimea A are n elemente, atunci $P(A)$ ${\ displaystyle P (A)}$ $P (A)$ vom avea $2^{n}$ ${\ displaystyle 2 ^ {n}}$ $2 ^ {n}$ elemente. Rețineți că setul gol este un subset al tuturor seturilor.

Împreună universul și complementele absolute

În anumite contexte putem trata seturile luate în considerare ca subseturi ale unui set de univers dat. De exemplu, dacă examinăm proprietățile numerelor reale R (și subseturile lui R ), putem lua R ca set de universuri. Este important să înțelegem că un set de universuri este definit doar temporar de context; nu există așa ceva ca setul universului „universal”, „setul tuturor” (vezi secțiunea „paradoxuri” de mai jos ).

Dat fiind un set de univers U și un subset A de U , putem defini complementul lui A (în U ) ca

A ^C : = { x ∈ U : ¬ ( x ∈ A )},

unde ¬ este operatorul de negație . Cu alte cuvinte, A ^C (uneori pur și simplu A ' ) este ansamblul tuturor elementelor lui U care nu sunt elemente ale lui A. Prin urmare, cu A , B și C definite în secțiunea subseturilor, dacă B este setul universului, atunci C ' este setul de numere întregi par, în timp ce dacă A este setul universului, atunci C' este setul tuturor numerelor reale care sunt fie numere întregi, fie care nu sunt numere întregi.

Colecția { A : A ⊆ U } de subseturi ale unui univers U se numește puterea setată a lui U. (A se vedea axioma setului de putere .) Este notată cu P ( U ); „ P ” este scris uneori cu un font decorat.

Sindicatele, intersecțiile și complementele relative

Având în vedere două seturi A și B , putem construi uniunea lor. Acesta este ansamblul tuturor obiectelor care sunt elemente ale lui A sau B sau ale ambelor (a se vedea axioma uniunii ). Este indicat de A ∪ B.

Intersecția lui A și B este ansamblul tuturor obiectelor găsite atât în A cât și în B. Este indicat de A ∩ B.

În cele din urmă, complementul relativ al lui B față de A , cunoscut și ca diferența setată a lui A și B , este mulțimea tuturor obiectelor care aparțin lui A, dar nu lui B. Este scris ca A \ B. Simbolic, definițiile sunt respectiv

A ∪ B: = { x : ( x ∈ A ) sau ( x ∈ B )};

A ∩ B : = { x : ( x ∈ A ) și ( x ∈ B )} = { x ∈ A : x ∈ B } = { x ∈ B : x ∈ A };

A \ B : = { x : ( x ∈ A ) și nu ( x ∈ B )} = { x ∈ A : nu ( x ∈ B )}.

Rețineți că A nu trebuie să fie un subset al lui B pentru ca B \ A să aibă sens; aceasta este diferența dintre complementul relativ și complementul absolut descris în secțiunea anterioară.

Pentru a ilustra aceste idei, să fie A setul de oameni stângaci și B să fie setul de oameni blond. Apoi A ∩ B este ansamblul tuturor persoanelor stângace blonde, în timp ce A ∪ B este setul persoanelor care sunt fie stângaci, fie blond sau ambele. A \ B , pe de altă parte, este setul de stângaci, dar nu și blonde, în timp ce B \ A este setul de blonde care nu sunt stângaci.

Acum, E să fie ansamblul ființelor umane și F să fie ansamblul ființelor umane vechi de peste 1.000 de ani. Ce este E ∩ F în acest caz? Nici o ființă umană nu are mai mult de 1.000 de ani, deci E ∩ ' F este setul gol {}.

Pentru fiecare set A , puterea setată $P(A)$ ${\ displaystyle P (A)}$ $P (A)$ este o algebră booleană sub operațiile de unire și intersecție.

Perechi comandate și produs cartezian

Intuitiv, o pereche ordonată este o colecție de două obiecte, astfel încât unul poate fi identificat ca „primul element” și celălalt ca „al doilea element”, și având proprietatea că două perechi sunt egale dacă și numai dacă „primele elemente” sunt egale și „al doilea element” al acestora sunt egale.

În mod formal, o pereche ordonată cu prima coordonată a și a doua coordonată b , de obicei notată cu ( a , b ), este definită ca setul {{ a }, { a , b }}.

Rezultă că două perechi ordonate ( a , b ) și ( c , d ) sunt egale dacă și numai dacă a = c și b = d .

Alternativ, o pereche ordonată poate fi considerată formal ca un set {a, b} dotat cu o ordine totală .

(Notația (a, b) este, de asemenea, utilizată pentru a indica un interval deschis pe linia reală, dar contextul ar trebui să clarifice care este semnificația intenționată.)

Dacă A și B sunt seturi, atunci produsul cartezian (sau pur și simplu produsul ) este definit ca:

A × B = {( a , b ): a este în A și b este în B }.

Adică, A × B este ansamblul tuturor perechilor ordonate pentru care prima coordonată este un element al lui A și a doua coordonată este un element al lui B.

Putem extinde această definiție la un set A × B × C al tripletelor ordonate și, mai general, la seturile de n-tupluri ordonate pentru fiecare număr întreg pozitiv n . Este chiar posibil să se definească produse carteziene infinite, dar pentru a face acest lucru avem nevoie de o definiție mai complicată a produsului.

Produsele carteziene au fost dezvoltate pentru prima dată de René Descartes în contextul geometriei analitice . Dacă R reprezintă mulțimea tuturor numerelor reale , atunci R ² : = R × R reprezintă planul euclidian și R ³ : = R × R × R reprezintă spațiul euclidian tridimensional.

Câteva seturi importante

Notă: În această secțiune, a , b și c sunt numere naturale , iar r și s sunt numere reale .

Numerele naturale sunt folosite pentru numărare. Pentru a indica acest set este adesea folosită o literă majusculă îngroșată N ( $\mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ $\ mathbb {N}$ ).
Numerele întregi apar ca soluții pentru x în ecuații de tipul x + a = b . Pentru a indica acest set se folosește adesea un Z cu majuscule aldine ( $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ ) (din limba germană Zahlen , care înseamnă cifre ).
Numerele raționale apar ca soluții de ecuații de tip a + bx = c . O literă majusculă aldină Q este adesea utilizată pentru a indica acest set ( $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ ) (din coeficient , deoarece R este utilizat pentru mulțimea numerelor reale).
Numerele algebrice apar ca soluții ale ecuațiilor polinomiale (cu coeficienți întregi) și pot implica radicali și un alt număr irațional . Un Q cu suprasolicitare este adesea folosit pentru a desemna acest ansamblu.
Numerele reale includ numere algebrice, precum și numere transcendente , care nu se pot prezenta ca soluții de ecuații polinomiale cu coeficienți raționali. Pentru a indica acest set este adesea folosită o literă majusculă îngroșată R ( $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ ).
Numerele imaginare apar ca soluții de ecuații de tip x ² + r = 0 unde r> 0.
Numerele complexe sunt sume ale unui număr imaginar și al unui număr real: r + s i. Aici atât r cât și s pot fi egale cu zero; prin urmare, mulțimea numerelor reale și mulțimea numerelor imaginare sunt subseturi ale mulțimii numerelor complexe. Pentru a indica acest set, pe tablă se folosește adesea un C îndrăzneț cu majuscule ( $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ ).

Paradoxuri

Ne-am referit mai devreme la necesitatea unei abordări axiomatice și formale. Ce problemă apare în discuția pe care am dat-o? Problema este legată de compoziția seturilor. Prima intuiție este că putem construi câte seturi dorim, dar acest lucru duce la neconcordanțe. Pentru orice set putem întreba dacă x este un element din sine. Se definește pe sine

Z = { x : x nu este un element al lui x }.

Acum problema: Z este un element al lui Z ? Dacă da, atunci prin definiția lui Z , Z nu este un element în sine, adică Z nu este un element al lui Z. Acest lucru ne obligă să afirmăm că Z nu este un element al lui Z. Atunci Z nu este un element de la sine, și astfel, din nou prin definiția lui Z , Z este un element al lui Z. Deci ambele opțiuni ne conduc la o contradicție și avem o teorie inconsistentă. Dezvoltările axiomatice pun restricții asupra tipului de seturi care sunt permise să fie construite și astfel împiedică apariția unor probleme precum setul nostru Z (acest paradox special este paradoxul lui Russell ).

Dezavantajul este o dezvoltare mult mai dificilă. În special, este imposibil să vorbim despre un set de totul sau, pentru a fi puțin mai ambițios, chiar despre un set de toate seturile . De fapt, în axiomatizarea standard a teoriei mulțimilor, mulțimea tuturor mulțimilor nu există. În domeniile matematicii care par să necesite un set de toate mulțimile (cum ar fi teoria categoriilor ), se poate folosi un set universal atât de mare încât toată matematica obișnuită se poate face în el (vezi universul ). Alternativ, puteți utiliza propriile clase . Sau poate fi utilizată o altă axiomatizare a teoriei mulțimilor, cum ar fi Noua Fundație a lui WV Quine , care permite un set de toate mulțimile și evită paradoxul lui Russell în alt mod. Soluția particulară aleasă duce rar la diferențe majore.

Notă

^ În ceea ce privește originea expresiei „teoria naivă a mulțimilor”, Jeff Miller [1] spune acest lucru: „ teoria naivă a mulțimilor (spre deosebire de teoria axiomatică a mulțimilor) a fost folosită ocazional în anii 1940 și a devenit un termen înrădăcinat în 1950. apare în The Philosophy of Bertrand Russell de PA Schilpp (ed.) în American Mathematical Monthly , 53., No. 4. (1946), p. 210 și în The Paradox of Kleene and Rosser de Laszlo Kalmar în Journal of Symbolic Logic , 11 , Nr. 4. (1946), p. 136. (JSTOR). " Termenul a fost popularizat ulterior de cartea lui Paul Halmos , Naive Set Theory (1960).

Bibliografie

( IT ) Luca Barbieri Viale, Ce este un număr? , Milano, Raffaello Cortina, 2013, ISBN 9788860306043 .
( EN ) Paul Halmos , Naive set theory . Princeton, NJ: Compania D. Van Nostrand, 1960. Retipărit din Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (ediția Springer-Verlag).

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Începuturile teoriei mulțimilor ; pagină în St. Andrews
( RO ) Cele mai vechi utilizări cunoscute ale unor cuvinte ale matematicii (S) (pe site-ul Jeff Miller - recomandat)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] În ceea ce privește originea expresiei „teoria naivă a mulțimilor”, Jeff Miller [1] spune acest lucru: „ teoria naivă a mulțimilor (spre deosebire de teoria axiomatică a mulțimilor) a fost folosită ocazional în anii 1940 și a devenit un termen înrădăcinat în 1950. apare în The Philosophy of Bertrand Russell de PA Schilpp (ed.) în American Mathematical Monthly , 53., No. 4. (1946), p. 210 și în The Paradox of Kleene and Rosser de Laszlo Kalmar în Journal of Symbolic Logic , 11 , Nr. 4. (1946), p. 136. (JSTOR). " Termenul a fost popularizat ulterior de cartea lui Paul Halmos , Naive Set Theory (1960).

[1]

V · D · M Teoria mulțimilor
Seturi numerice	Natural · Întreg · Rațional · Real · Complex
Teoria naivă a mulțimilor (sau a lui Cantor )	Set gol · univers Împreună · Subset · Putere împreună · complement Împreună · Unire · Intersecție · Cuplu comandat · Produs cartezian · Paradoxul lui Russell · Paradox Burali-Forti
Teoria axiomatică a mulțimilor	Axioma · Axiome Peano · Zermelo teoria mulțimilor · teoria mulțimilor Zermelo-Fraenkel · axioma Choice · Zorn Lema · teoria mulțimilor Von Neumann-Bernays-Gödel