Teoria liniară a mișcării undelor

Teoria liniară a mișcării undelor (Airy Theory) permite un tratament simplificat al cinematicii particulelor de fluid într-o poziție variată în raport cu nivelul netulburat, ajungând la relații pentru calcularea lungimii și perioadei undei și a elevației sale de la liber suprafaţă.

Demonstrație

Setarea problemei

Luați în considerare sistemul cartezian de referință poziționat pe suprafața liberă, cu axa z verticală îndreptată în sus și axa y normală spre plan. Adâncimea locală a fundului mării h (x) este definită ca distanța dintre fundul mării și suprafața liberă („legătura” apei, constantă, cu excepția cazului în care variațiile locale sunt neglijate aici) și elevația suprafeței libere ( η (x, t ) ) distanța dintre suprafața liberă și nivelul netulburat, concordă cu axa z . Apoi introducem presiunea P (x, z, t) și câmpul de viteză instantanee al apei V (x, z, t) având componente de-a lungul x și respectiv z numite u (x, z, t) și w (x, z, t) .

Ecuații și ipoteze

Principiul conservării masei

Se face ipoteza că fluidul este incompresibil din cauza suprapresiunilor modeste prezente, de aceea avem acest lucru

\nabla \cdot {\vec {V}}=0

{\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ vec {V}} = 0}

\ nabla \ cdot \ vec V = 0

adică

u_{x}+w_{z}=0

{\ displaystyle u_ {x} + w_ {z} = 0}

{\ displaystyle u_ {x} + w_ {z} = 0}

(indicele de aici indică variabila cu privire la care se operează derivata parțială a funcției ).

Principiul conservării impulsului

\rho {\frac {D{\vec {V}}}{Dt}}=\Sigma F_{m}+\Sigma F_{s}

{\ displaystyle \ rho {\ frac {D {\ vec {V}}} {Dt}} = \ Sigma F_ {m} + \ Sigma F_ {s}}

{\ displaystyle \ rho {\ frac {D {\ vec {V}}} {Dt}} = \ Sigma F_ {m} + \ Sigma F_ {s}}

, Adică, schimbarea impulsului este egală cu suma celor de masă și de suprafață forțele pe un control al volumului . Făcându-l explicit, avem:

* ∑ F _m : Forța de greutate + forța Coriolis , neglijabilă aici, deoarece nu luăm în considerare domeniile geografice extinse

* ∑ F _s : Normal, presiune, + Forțe tangențiale legate de vâscozitate . În această analiză, fricțiunea aer / apă, apă / apă, apă / fund este neglijată, prin urmare pierderea de energie cu fundul și acțiunea tangențială a vântului sunt neglijate, astfel încât a doua ipoteză este să se ia în considerare fluidul perfect .

Explicând termenii, avem următoarele:

${\begin{cases}F_{p}=-\nabla P\\F_{g}={\hat {i}}\ 0+{\hat {k}}(-\rho g)\end{cases}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} F_ {p} = - \ nabla P \\ F_ {g} = {\ hat {i}} \ 0 + {\ hat {k}} (- \ rho g) \ end {cazuri}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} F_ {p} = - \ nabla P \\ F_ {g} = {\ hat {i}} \ 0 + {\ hat {k}} (- \ rho g) \ end {cazuri}}}$

apoi prin descompunere obținem:

${\begin{cases}u_{t}+u_{x}u+u_{z}w=-{\frac {P_{x}}{\rho }}\\w_{t}+w_{x}u+w_{z}w=-{\frac {P_{z}}{\rho }}-g\end{cases}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} u_ {t} + u_ {x} u + u_ {z} w = - {\ frac {P_ {x}} {\ rho}} \\ w_ {t} + w_ { x} u + w_ {z} w = - {\ frac {P_ {z}} {\ rho}} - g \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} u_ {t} + u_ {x} u + u_ {z} w = - {\ frac {P_ {x}} {\ rho}} \\ w_ {t} + w_ { x} u + w_ {z} w = - {\ frac {P_ {z}} {\ rho}} - g \ end {cases}}}$ .

Acum facem ipoteza vorticității nule (valabilă dacă unda nu se sparge), adică - având în vedere doar axa y - $-w_{x}+u_{z}=0$ ${\ displaystyle -w_ {x} + u_ {z} = 0}$ ${\ displaystyle -w_ {x} + u_ {z} = 0}$ . De aici rezultă că mișcarea este irotațională, prin urmare câmpul de viteză admite potențialul scalar φ cunoscut în întregul domeniu care descrie câmpul cinematic, astfel încât $\phi _{x}=u$ ${\ displaystyle \ phi _ {x} = u}$ ${\ displaystyle \ phi _ {x} = u}$ Și $\phi _{z}=w$ ${\ displaystyle \ phi _ {z} = w}$ ${\ displaystyle \ phi _ {z} = w}$ .

Ecuația de continuitate se transformă apoi în laplacian $\nabla ^{2}\phi =0$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ phi = 0}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ phi = 0}$ , în timp ce rescriem ecuațiile de echilibru avem:

${\begin{cases}\phi _{t}+{\frac {u^{2}}{2}}+{\frac {w^{2}}{2}}+{\frac {P}{\rho }}+gz=C_{1}(z,t)\\\phi _{t}+{\frac {u^{2}}{2}}+{\frac {w^{2}}{2}}+{\frac {P}{\rho }}+gz=C_{2}(x,t)\end{cases}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} \ phi _ {t} + {\ frac {u ^ {2}} {2}} + {\ frac {w ^ {2}} {2}} + {\ frac { P} {\ rho}} + gz = C_ {1} (z, t) \\\ phi _ {t} + {\ frac {u ^ {2}} {2}} + {\ frac {w ^ { 2}} {2}} + {\ frac {P} {\ rho}} + gz = C_ {2} (x, t) \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} \ phi _ {t} + {\ frac {u ^ {2}} {2}} + {\ frac {w ^ {2}} {2}} + {\ frac { P} {\ rho}} + gz = C_ {1} (z, t) \\\ phi _ {t} + {\ frac {u ^ {2}} {2}} + {\ frac {w ^ { 2}} {2}} + {\ frac {P} {\ rho}} + gz = C_ {2} (x, t) \ end {cases}}}$

Primul termen al ecuațiilor este identic pentru ambele, deci constantele depind doar de timp. Apoi obținem ecuația Bernoulli :

\phi _{t}+{\frac {u^{2}}{2}}+{\frac {w^{2}}{2}}+{\frac {P}{\rho }}+gz=C(t)

{\ displaystyle \ phi _ {t} + {\ frac {u ^ {2}} {2}} + {\ frac {w ^ {2}} {2}} + {\ frac {P} {\ rho} } + gz = C (t)}

{\ displaystyle \ phi _ {t} + {\ frac {u ^ {2}} {2}} + {\ frac {w ^ {2}} {2}} + {\ frac {P} {\ rho} } + gz = C (t)}

Condiții de frontieră

Fundul mării :

Partea de jos este descrisă de toate punctele care verifică

F:z+h=0

{\ displaystyle F: z + h = 0}

{\ displaystyle F: z + h = 0}

. Este necesar să fie impermeabil și orizontal, adică particulele să se miște doar într-o direcție orizontală (altfel ar lăsa un vid sau ar crea un vortex). Rezultă că

{\frac {dF}{dt}}=0

{\ displaystyle {\ frac {dF} {dt}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {dF} {dt}} = 0}

, adică

w+h_{x}u=0

{\ displaystyle w + h_ {x} u = 0}

{\ displaystyle w + h_ {x} u = 0}

(stare cinematică ).

Suprafata libera :

Suprafața liberă este descrisă de toate punctele care verifică

F:z-\eta =0

{\ displaystyle F: z- \ age = 0}

{\ displaystyle F: z- \ age = 0}

și și aici apare

{\frac {dF}{dt}}=0

{\ displaystyle {\ frac {dF} {dt}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {dF} {dt}} = 0}

, adică

\phi _{z}-\eta _{x}\phi _{x}-\eta _{t}=0

{\ displaystyle \ phi _ {z} - \ eta _ {x} \ phi _ {x} - \ eta _ {t} = 0}

{\ displaystyle \ phi _ {z} - \ eta _ {x} \ phi _ {x} - \ eta _ {t} = 0}

. Deoarece presiunea la suprafață este egală cu presiunea atmosferică (P = P _atm = 0), înlocuind în Bernoulli avem:

\phi _{t}+{\frac {1}{2}}(u^{2}+w^{2})+g\eta =0

{\ displaystyle \ phi _ {t} + {\ frac {1} {2}} (u ^ {2} + w ^ {2}) + g \ eta = 0}

{\ displaystyle \ phi _ {t} + {\ frac {1} {2}} (u ^ {2} + w ^ {2}) + g \ eta = 0}

(stare dinamică ).

Teoria monocromatică a undelor progresive pe fundul constant :

Se consideră că undele își păstrează forma constantă și, prin urmare, se impune condiția periodicității , adică ceea ce se întâmplă pe un contur este identic cu ceea ce se întâmplă pe celălalt, prin urmare

\phi (x+L,z,T)=\phi (x,z,t)

{\ displaystyle \ phi (x + L, z, T) = \ phi (x, z, t)}

{\ displaystyle \ phi (x + L, z, T) = \ phi (x, z, t)}

.

Simplificări

Ecuațiile care guvernează fenomenul nu sunt liniare. Prin urmare, se pune ipoteza fundamentală că undele au o mică amplitudine față de adâncime și lungime, adică ${\frac {a}{L}},{\frac {a}{h}}<<1$ ${\ displaystyle {\ frac {a} {L}}, {\ frac {a} {h}} << 1}$ ${\ displaystyle {\ frac {a} {L}}, {\ frac {a} {h}} << 1}$ adică abruptitatea h / L (dată și de η _x ) este foarte mică. Din starea de pe suprafața liberă, produsul poate fi neglijat $\phi _{x}\eta _{x}$ ${\ displaystyle \ phi _ {x} \ eta _ {x}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {x} \ eta _ {x}}$ Și $\eta _{t}=\phi _{z}$ ${\ displaystyle \ eta _ {t} = \ phi _ {z}}$ ${\ displaystyle \ eta _ {t} = \ phi _ {z}}$ (apa merge mai repede dacă valul este mai mare pentru aceeași perioadă). Din condiția dinamică, fiind u și v dependente de a , puterea lor este neglijabilă. În z = 0, prin urmare, avem:

${\begin{cases}\eta _{t}-\phi _{z}=0\\\phi _{t}+g\eta =0\end{cases}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} \ eta _ {t} - \ phi _ {z} = 0 \\\ phi _ {t} + g \ eta = 0 \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} \ eta _ {t} - \ phi _ {z} = 0 \\\ phi _ {t} + g \ eta = 0 \ end {cases}}}$

unde totuși η nu este cunoscut, a devenit indistinct de nivelul netulburat.

Soluţie

Soluția problemei este:

\phi ={\frac {ag}{\omega }}\ {\frac {\cosh {k(h+z)}}{\cosh {k(h)}}}\ \sin {kx-\omega t}

{\ displaystyle \ phi = {\ frac {ag} {\ omega}} \ {\ frac {\ cosh {k (h + z)}} {\ cosh {k (h)}}} \ \ sin {kx- \ omega t}}

{\ displaystyle \ phi = {\ frac {ag} {\ omega}} \ {\ frac {\ cosh {k (h + z)}} {\ cosh {k (h)}}} \ \ sin {kx- \ omega t}}

cu $k={\frac {2\pi }{L}}$ ${\ displaystyle k = {\ frac {2 \ pi} {L}}}$ ${\ displaystyle k = {\ frac {2 \ pi} {L}}}$ Și $\omega ={\frac {2\pi }{T}}$ ${\ displaystyle \ omega = {\ frac {2 \ pi} {T}}}$ $\ omega = \ frac {2 \ pi} {T}$ , unde L este lungimea undei și T perioada sa.

Testarea ipotezei

Laplace :

\phi _{xx}=-{\frac {k^{2}ag}{\omega }}\ {\frac {\cosh {k(h+z)}}{\cosh {k(h)}}}\ \sin {kx-\omega t}=-\phi _{zz}={\frac {k^{2}ag}{\omega }}\ {\frac {\cosh {k(h+z)}}{\cosh {k(h)}}}\ \sin {kx-\omega t}

{\ displaystyle \ phi _ {xx} = - {\ frac {k ^ {2} ag} {\ omega}} \ {\ frac {\ cosh {k (h + z)}} {\ cosh {k (h )}}} \ \ sin {kx- \ omega t} = - \ phi _ {zz} = {\ frac {k ^ {2} ag} {\ omega}} \ {\ frac {\ cosh {k (h + z)}} {\ cosh {k (h)}}} \ \ sin {kx- \ omega t}}

{\ displaystyle \ phi _ {xx} = - {\ frac {k ^ {2} ag} {\ omega}} \ {\ frac {\ cosh {k (h + z)}} {\ cosh {k (h )}}} \ \ sin {kx- \ omega t} = - \ phi _ {zz} = {\ frac {k ^ {2} ag} {\ omega}} \ {\ frac {\ cosh {k (h + z)}} {\ cosh {k (h)}}} \ \ sin {kx- \ omega t}}

⇒ Verificat

Fundul mării :

\phi _{z}=0

{\ displaystyle \ phi _ {z} = 0}

{\ displaystyle \ phi _ {z} = 0}

, verificat ca

\sinh {k(h-h)}=0

{\ displaystyle \ sinh {k (hh)} = 0}

{\ displaystyle \ sinh {k (h-h)} = 0}

Suprafata libera :

Dinamica :

\phi _{t}+g\eta =0

{\ displaystyle \ phi _ {t} + g \ eta = 0}

{\ displaystyle \ phi _ {t} + g \ eta = 0}

. Din aceasta se arată că elevația suprafeței libere este descrisă de o funcție periodică a înălțimii a :

\eta =a\ \cos {kx-\omega t}

{\ displaystyle \ eta = a \ \ cos {kx- \ omega t}}

{\ displaystyle \ eta = a \ \ cos {kx- \ omega t}}

Cinematică :

\phi _{x}+\eta _{t}=0

{\ displaystyle \ phi _ {x} + \ eta _ {t} = 0}

{\ displaystyle \ phi _ {x} + \ eta _ {t} = 0}

. Din aceasta obținem relația de dispersie foarte importantă

\omega ^{2}=gk\tanh {kh}

{\ displaystyle \ omega ^ {2} = gk \ tanh {kh}}

{\ displaystyle \ omega ^ {2} = gk \ tanh {kh}}

care leagă L, h și T. Explicit față de L pe care îl avem

L={\frac {gT^{2}}{2\pi }}\tanh {2\pi {\frac {h}{L}}}

{\ displaystyle L = {\ frac {gT ^ {2}} {2 \ pi}} \ tanh {2 \ pi {\ frac {h} {L}}}}

{\ displaystyle L = {\ frac {gT ^ {2}} {2 \ pi}} \ tanh {2 \ pi {\ frac {h} {L}}}}

. Rezultă că celeritatea fazei este dată de

c={\frac {gT}{2\pi }}\tanh {2\pi {\frac {h}{L}}}

{\ displaystyle c = {\ frac {gT} {2 \ pi}} \ tanh {2 \ pi {\ frac {h} {L}}}}

{\ displaystyle c = {\ frac {gT} {2 \ pi}} \ tanh {2 \ pi {\ frac {h} {L}}}}

.

Aproximări

Relația lungimii este de tip implicit, rezolvabilă prin încercare și eroare. Cu toate acestea, se pot face unele simplificări.

Pentru h / L → ∝ , adică în apă adâncă sau unde scurte , tanh (h / L) → 1 deci, fiind g ≈ 9,81 m / s ² , $L_{0}=1,56T^{2}$ ${\ displaystyle L_ {0} = 1,56T ^ {2}}$ ${\ displaystyle L_ {0} = 1,56T ^ {2}}$ Și $c_{0}=1,56T$ ${\ displaystyle c_ {0} = 1.56T}$ ${\ displaystyle c_ {0} = 1.56T}$ .

Pentru h / L → 0 , adică în apă puțin adâncă sau valuri lungi , tanh (h / L) → h / L , prin urmare, fiind g ≈ 9,81 m / s ² , $L_{s}={\sqrt[{2}]{gh}}\ T$ ${\ displaystyle L_ {s} = {\ sqrt [{2}] {gh}} \ T}$ ${\ displaystyle L_ {s} = {\ sqrt [{2}] {gh}} \ T}$ Și $c={\sqrt[{2}]{gh}}$ ${\ displaystyle c = {\ sqrt [{2}] {gh}}}$ ${\ displaystyle c = {\ sqrt [{2}] {gh}}}$ .

Cu toate acestea, puteți utiliza următoarea relație explicită pentru lungime, care oferă erori de ordinul a 5%:

L=1,56T^{2}\tanh {(\sinh {\frac {2{\sqrt[{2}]{h}}}{T}})}

{\ displaystyle L = 1,56T ^ {2} \ tanh {(\ sinh {\ frac {2 {\ sqrt [{2}] {h}}} {T}})}}

{\ displaystyle L = 1,56T ^ {2} \ tanh {(\ sinh {\ frac {2 {\ sqrt [{2}] {h}}} {T}})}}