Teoria câmpului cuantic

Teoria cuantică a câmpului (în engleză Quantum field theory sau QFT) dezvoltă mecanica cuantică prin aplicarea acesteia la conceptul fizic de câmp și prin urmare modificând conceptul de particulă ca entitate unică, dând sensul stării excitate a unui punct de câmpul.

Introdus în domeniul fizicii particulelor cu prelucrarea electrodinamicii cuantice , pentru a face mecanica cuantică coerentă cu relativitatea specială, a găsit apoi o aplicare extinsă și în fizica materiei condensate , deoarece câmpurile, entitățile fizice reprezentate în orice punct din spațiu-timp , poate descrie atât radiația, cât și materia , cum ar fi fluidele sau cristalele .

Bazele teoriei au fost dezvoltate la sfârșitul anilor douăzeci și cincizeci ai secolului XX, în principal de Paul Dirac , Wolfgang Pauli , Sin-Itiro Tomonaga , Julian Schwinger , Richard P. Feynman , Freeman Dyson .

Istorie

Dezvoltarea teoriei câmpului cuantic s-a produs în același timp cu cea a mecanicii cuantice „obișnuite”, cu scopul de a explica fenomenele atomice luând în considerare și legile teoriei relativității . ^[1] Între 1926 și 1928 au fost făcute primele încercări, datorate lui Erwin Schrödinger și Paul Dirac , de a găsi o ecuație relativistică de undă care să descrie mișcarea unei particule cuantice. Cu toate acestea, aceste ecuații s-au dovedit a fi inconsistente.

Pe de altă parte, în 1926 Werner Heisenberg , Pascual Jordan și Max Born au aprofundat studiul problemei corpului negru , adică studiul comportamentului radiației electromagnetice în interiorul unei cavități, în absența sarcinilor. Acesta a fost primul exemplu de teorie a câmpului cuantic, în acest caz aplicând reguli de cuantificare câmpului electromagnetic. Din aceasta rezultă că radiația se comportă ca un set de particule, fotoni , în conformitate cu ipoteza cuantelor de lumină formulată de Einstein în 1905. După acest exemplu, ecuațiile relativistice ale undelor au fost studiate dintr-un nou punct de vedere: în loc să interpreteze ca funcții de undă , au fost tratați cu regulile de cuantificare ale unui câmp clasic, obținând ecuații pentru particulele cuantice care respectau legile relativității și erau consistente. Acest proces, cunoscut sub numele de a doua cuantificare , a fost conceput de Heisenberg, Wolfgang Pauli , Vladimir Fock , Wendell Furry , Robert Oppenheimer și Victor Weisskopf .

Richard Feynman , Shin'ichirō Tomonaga și Julian Schwinger au primit premiul Nobel pentru fizică în 1965 pentru dezvoltarea electrodinamicii cuantice .

În ciuda succeselor sale inițiale, teoria cuantică a câmpului a avut probleme teoretice foarte grave, deoarece calculul multor mărimi fizice aparent obișnuite a dus la infinit, fără sens din punct de vedere fizic. Un exemplu în acest sens au fost micile diferențe dintre anumite niveluri de energie ale atomului de hidrogen , așa - numita structură fină . Această „problemă de divergență” a fost rezolvată în anii 1930 și 1940 de Julian Schwinger , Freeman Dyson , Richard Feynman și Shin'ichiro Tomonaga , printre altele, printr-o tehnică numită renormalizare , care a condus la dezvoltarea electrodinamicii cuantice moderne (sau QED, din Quantum Electrodinamică ). Pornind de la aceasta, tehnica diagramelor Feynman , o procedură de calcul utilizând grafice dezvoltate de omul de știință american, a devenit unul dintre instrumentele fundamentale ale teoriei câmpului cuantic.

În anii 1950, QED a fost generalizată la o clasă mai generală de teorii cunoscute sub numele de teorii ale gabaritului , datorită muncii lui Chen Ning Yang și Robert Mills . ^[2] Pe această bază, la sfârșitul anilor 1960, Sheldon Glashow , Abdus Salam și Steven Weinberg au unificat interacțiunile electromagnetice și slabe în teoria electrovară prin aplicarea conceptului de rupere spontană a simetriei , introdus inițial pentru a explica superconductivitatea. ^[3]

Cu toate acestea, modelul de unificare electrolabă nu a primit prea multă atenție până în 1971, Gerardus 't Hooft și Martinus Veltman au demonstrat că teoriile simetriilor sparte spontan pot fi normalizate, începând formularea modelului standard de fizică a particulelor. ^[4] Pe de altă parte, intensitatea interacțiunilor puternice dintre hadroni a fost înțeleasă numai datorită dezvoltării conceptului de libertate asimptotică de către Frank Wilczek , David Gross și Hugh David Politzer în 1973. ^[5]

În anii 1970, teoria cuantică a câmpului „a rupt cătușele diagramelor Feynman”, cu descoperirea că soluțiile non- perturbative la ecuațiile de câmp clasice joacă un rol crucial la nivel cuantic. ^[6] Mai mult, atitudinea față de tehnica renormalizării și față de teoria cuantică a câmpului în general se schimba progresiv, datorită progreselor, printre altele, de Kenneth Wilson , în fizica materiei condensate. Apariția infinitelor a trecut de la a fi considerată o „patologie” la „doar un memento al unei limite practice: nu știm ce se întâmplă la distanțe mult mai mici decât putem observa direct”. ^[7]

Principii

Pentru simplitate, unitățile naturale vor fi utilizate în următoarele secțiuni, în care constanta Planck este redusă $\hbar$ ${\ displaystyle \ hbar}$ $\ hbar$ iar viteza luminii sunt ambele setate egale cu una.

Câmpuri clasice

Același subiect în detaliu: teoria câmpului clasic .

Un câmp clasic este o funcție a coordonatelor spațiale și a timpului. ^[8] Câteva exemple sunt câmpul gravitațional al teoriei newtoniene și câmpul electric și câmpul magnetic în electromagnetismul clasic . Un câmp clasic poate fi gândit ca o mărime numerică atribuită fiecărui punct din spațiu, care este variabil în timp. Prin urmare, are grade infinite de libertate . ^[8]

Multe fenomene care prezintă proprietăți cuantice nu pot fi explicate prin intermediul câmpurilor clasice. Fenomene precum efectul fotoelectric sunt cel mai bine descrise de particule discrete ( fotoni ) mai degrabă decât de un câmp continuu în spațiu. Scopul teoriei câmpului cuantic este de a descrie diverse fenomene cuantice folosind un concept modificat al unui câmp.

Cuantificarea canonică și integrala de cale sunt două formulări comune ale QFT. ^[9] Pentru a justifica bazele QFT, este necesar să se facă o privire de ansamblu asupra teoriei câmpului clasic.

Cel mai simplu câmp clasic este un câmp scalar real: un număr real care variază în timp asociat cu fiecare punct din spațiu. Este indicat cu $\varphi (\mathbf {x} ,t)$ ${\ displaystyle \ varphi (\ mathbf {x}, t)}$ ${\ displaystyle \ varphi (\ mathbf {x}, t)}$ , unde este $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf {x}$ este vectorul de poziție și $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ este timpul. Să presupunem că Lagrangianul câmpului, $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ , este

L=\int d^{3}x\,{\mathcal {L}}=\int d^{3}x\,\left[{\frac {1}{2}}{\dot {\phi }}^{2}-{\frac {1}{2}}(\nabla \phi )^{2}-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right],

{\ displaystyle L = \ int d ^ {3} x \, {\ mathcal {L}} = \ int d ^ {3} x \, \ left [{\ frac {1} {2}} {\ dot { \ phi}} ^ {2} - {\ frac {1} {2}} (\ nabla \ phi) ^ {2} - {\ frac {1} {2}} m ^ {2} \ phi ^ {2 } \ dreapta],}

{\ displaystyle L = \ int d ^ {3} x \, {\ mathcal {L}} = \ int d ^ {3} x \, \ left [{\ frac {1} {2}} {\ dot { \ phi}} ^ {2} - {\ frac {1} {2}} (\ nabla \ phi) ^ {2} - {\ frac {1} {2}} m ^ {2} \ phi ^ {2 } \ dreapta],}

unde este ${\mathcal {L}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$ $\ mathcal {L}$ este densitatea Lagrangiană, ${\dot {\phi }}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ phi}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ phi}}}$ este derivata în timp a câmpului, $\nabla$ ${\ displaystyle \ nabla}$ $\ nabla$ este operatorul de gradient și $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ este un parametru real („masa” câmpului). Aplicarea ecuațiilor Euler-Lagrange pe Lagrangian: ^[10]

{\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \phi /\partial t)}}\right]+\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \phi /\partial x^{i})}}\right]-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}=0,

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left [{\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial \ phi / \ partial t)}} \ right ] + \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {i}}} \ left [{\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial \ phi / \ partial x ^ {i})}} \ right] - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ phi}} = 0,}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left [{\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial \ phi / \ partial t)}} \ right ] + \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {i}}} \ left [{\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial \ phi / \ partial x ^ {i})}} \ right] - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ phi}} = 0,}

obținem ecuațiile de mișcare pentru acest câmp, care descriu modul în care variază în timp și spațiu:

\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}+m^{2}\right)\phi =0.

{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2} + m ^ {2} \ right) \ phi = 0.}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2} + m ^ {2} \ right) \ phi = 0.}

Aceasta se numește ecuația Klein-Gordon . ^[11]

Ecuația Klein-Gordon este o ecuație de undă , deci soluțiile sale pot fi exprimate ca suma modurilor normale (obținute din transformata Fourier ) în modul următor:

\phi (\mathbf {x} ,t)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2\omega _{\mathbf {p} }}}}\left(a_{\mathbf {p} }e^{-i\omega _{\mathbf {p} }t+i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }+a_{\mathbf {p} }^{*}e^{i\omega _{\mathbf {p} }t-i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }\right),

{\ displaystyle \ phi (\ mathbf {x}, t) = \ int {\ frac {d ^ {3} p} {(2 \ pi) ^ {3}}} {\ frac {1} {\ sqrt { 2 \ omega _ {\ mathbf {p}}}}} \ left (a _ {\ mathbf {p}} e ^ {- i \ omega _ {\ mathbf {p}} t + i \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x}} + a _ {\ mathbf {p}} ^ {*} e ^ {i \ omega _ {\ mathbf {p}} ti \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x}} \ dreapta),}

{\ displaystyle \ phi (\ mathbf {x}, t) = \ int {\ frac {d ^ {3} p} {(2 \ pi) ^ {3}}} {\ frac {1} {\ sqrt { 2 \ omega _ {\ mathbf {p}}}}} \ left (a _ {\ mathbf {p}} e ^ {- i \ omega _ {\ mathbf {p}} t + i \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x}} + a _ {\ mathbf {p}} ^ {*} e ^ {i \ omega _ {\ mathbf {p}} ti \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x}} \ dreapta),}

unde este $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este un număr complex (normalizat prin convenție), * indică conjugarea complexă și $\omega _{\mathbf {p} }$ ${\ displaystyle \ omega _ {\ mathbf {p}}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {\ mathbf {p}}}$ este frecvența modului normal:

\omega _{\mathbf {p} }={\sqrt {|\mathbf {p} |^{2}+m^{2}}}.

{\ displaystyle \ omega _ {\ mathbf {p}} = {\ sqrt {| \ mathbf {p} | ^ {2} + m ^ {2}}}.}

{\ displaystyle \ omega _ {\ mathbf {p}} = {\ sqrt {| \ mathbf {p} | ^ {2} + m ^ {2}}}.}

Și, prin urmare, fiecare mod normal corespunzător unui singur $\mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ $\ mathbf {p}$ poate fi văzut ca un oscilator armonic clasic cu frecvență $\omega _{\mathbf {p} }$ ${\ displaystyle \ omega _ {\ mathbf {p}}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {\ mathbf {p}}}$ . ^[12]

Cuantizarea canonică

Același subiect în detaliu: cuantificarea canonică .

Procedura de cuantificare pentru câmpul clasic de mai sus este analogă promovării oscilatorului armonic clasic la un oscilator armonic cuantic .

Deplasarea unui oscilator armonic clasic este descrisă de

x(t)={\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}ae^{-i\omega t}+{\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}a^{*}e^{i\omega t},

{\ displaystyle x (t) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ omega}}} ae ^ {- i \ omega t} + {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ omega}}} a ^ {*} e ^ {i \ omega t},}

{\ displaystyle x (t) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ omega}}} ae ^ {- i \ omega t} + {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ omega}}} a ^ {*} e ^ {i \ omega t},}

unde este $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este un număr complex (normalizat prin convenție) și $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ este frecvența oscilatorului. Rețineți că $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este deplasarea unei particule în mișcare armonică simplă din poziția de echilibru, care nu trebuie confundată cu eticheta spațială $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf {x}$ a unui câmp.

Pentru un oscilator armonic cuantic, $x/t)$ ${\ displaystyle x / t)}$ ${\ displaystyle x / t)}$ este promovat la un operator liniar ${\hat {x}}(t)$ ${\ displaystyle {\ hat {x}} (t)}$ ${\ displaystyle {\ hat {x}} (t)}$ :

{\hat {x}}(t)={\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}{\hat {a}}e^{-i\omega t}+{\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}{\hat {a}}^{\dagger }e^{i\omega t}.

{\ displaystyle {\ hat {x}} (t) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ omega}}} {\ hat {a}} e ^ {- i \ omega t} + {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ omega}}} {\ hat {a}} ^ {\ dagger} și ^ {i \ omega t}.}

{\ displaystyle {\ hat {x}} (t) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ omega}}} {\ hat {a}} e ^ {- i \ omega t} + {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ omega}}} {\ hat {a}} ^ {\ dagger} și ^ {i \ omega t}.}

Numere complexe $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $a^{*}$ ${\ displaystyle a ^ {*}}$ ${\ displaystyle a ^ {*}}$ sunt înlocuite de operatorul de distrugere respectiv ${\hat {a}}$ ${\ displaystyle {\ hat {a}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {a}}}$ și de către operatorul de creație ${\hat {a}}^{\dagger }$ ${\ displaystyle {\ hat {a}} ^ {\ dagger}}$ ${\ displaystyle {\ hat {a}} ^ {\ dagger}}$ , unde este $\dagger$ ${\ displaystyle \ dagger}$ $\ dagger$ indică conjugarea hermitiană . Relația de comutare dintre cele două este

[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]=1.

{\ displaystyle [{\ hat {a}}, {\ hat {a}} ^ {\ dagger}] = 1.}

{\ displaystyle [{\ hat {a}}, {\ hat {a}} ^ {\ dagger}] = 1.}

Starea de gol $|0\rangle$ ${\ displaystyle | 0 \ rangle}$ ${\ displaystyle | 0 \ rangle}$ , care este starea cu cea mai mică energie, este definită de

{\hat {a}}|0\rangle =0.

{\ displaystyle {\ hat {a}} | 0 \ rangle = 0.}

{\ displaystyle {\ hat {a}} | 0 \ rangle = 0.}

O stare cuantică a unui singur oscilator armonic poate fi obținută de la $|0\rangle$ ${\ displaystyle | 0 \ rangle}$ ${\ displaystyle | 0 \ rangle}$ aplicând succesiv operatorul de creație ${\hat {a}}^{\dagger }$ ${\ displaystyle {\ hat {a}} ^ {\ dagger}}$ ${\ displaystyle {\ hat {a}} ^ {\ dagger}}$ : ^[13]

|n\rangle =({\hat {a}}^{\dagger })^{n}|0\rangle .

{\ displaystyle | n \ rangle = ({\ hat {a}} ^ {\ dagger}) ^ {n} | 0 \ rangle.}

{\ displaystyle | n \ rangle = ({\ hat {a}} ^ {\ dagger}) ^ {n} | 0 \ rangle.}

La fel, câmpul scalar real este, de asemenea $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ , care corespunde $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în oscilatorul unic armonic, este promovat la operator de câmp ${\hat {\phi }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ phi}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ phi}}}$ , în timp ce operatorul de distrugere ${\hat {a}}_{\mathbf {p} }$ ${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {\ mathbf {p}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {\ mathbf {p}}}$ , operatorul de creație ${\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }$ ${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {\ mathbf {p}} ^ {\ dagger}}$ ${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {\ mathbf {p}} ^ {\ dagger}}$ iar frecvența unghiulară $w_{\mathbf {p} }$ ${\ displaystyle w _ {\ mathbf {p}}}$ ${\ displaystyle w _ {\ mathbf {p}}}$ acestea sunt acum asociate cu un anumit $\mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ $\ mathbf {p}$ :

{\hat {\phi }}(\mathbf {x} ,t)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2\omega _{\mathbf {p} }}}}\left({\hat {a}}_{\mathbf {p} }e^{-i\omega _{\mathbf {p} }t+i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }+{\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }e^{i\omega _{\mathbf {p} }t-i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }\right).

{\ displaystyle {\ hat {\ phi}} (\ mathbf {x}, t) = \ int {\ frac {d ^ {3} p} {(2 \ pi) ^ {3}}} {\ frac { 1} {\ sqrt {2 \ omega _ {\ mathbf {p}}}}} \ left ({\ hat {a}} _ {\ mathbf {p}} e ^ {- i \ omega _ {\ mathbf { p}} t + i \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x}} + {\ hat {a}} _ {\ mathbf {p}} ^ {\ dagger} e ^ {i \ omega _ {\ mathbf {p}} ti \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x}} \ right).}

{\ displaystyle {\ hat {\ phi}} (\ mathbf {x}, t) = \ int {\ frac {d ^ {3} p} {(2 \ pi) ^ {3}}} {\ frac { 1} {\ sqrt {2 \ omega _ {\ mathbf {p}}}}} \ left ({\ hat {a}} _ {\ mathbf {p}} e ^ {- i \ omega _ {\ mathbf { p}} t + i \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x}} + {\ hat {a}} _ {\ mathbf {p}} ^ {\ dagger} e ^ {i \ omega _ {\ mathbf {p}} ti \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x}} \ right).}

Relațiile lor de comutare sunt: ^[14]

[{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }]=(2\pi )^{3}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {q} ),\quad [{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }]=[{\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }]=0,

{\ displaystyle [{\ hat {a}} _ {\ mathbf {p}}, {\ hat {a}} _ {\ mathbf {q}} ^ {\ dagger}] = (2 \ pi) ^ {3 } \ delta (\ mathbf {p} - \ mathbf {q}), \ quad [{\ hat {a}} _ {\ mathbf {p}}, {\ hat {a}} _ {\ mathbf {q} }] = [{\ hat {a}} _ {\ mathbf {p}} ^ {\ dagger}, {\ hat {a}} _ {\ mathbf {q}} ^ {\ dagger}] = 0,}

{\ displaystyle [{\ hat {a}} _ {\ mathbf {p}}, {\ hat {a}} _ {\ mathbf {q}} ^ {\ dagger}] = (2 \ pi) ^ {3 } \ delta (\ mathbf {p} - \ mathbf {q}), \ quad [{\ hat {a}} _ {\ mathbf {p}}, {\ hat {a}} _ {\ mathbf {q} }] = [{\ hat {a}} _ {\ mathbf {p}} ^ {\ dagger}, {\ hat {a}} _ {\ mathbf {q}} ^ {\ dagger}] = 0,}

unde este $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ este delta Dirac . Starea de gol $|0\rangle$ ${\ displaystyle | 0 \ rangle}$ ${\ displaystyle | 0 \ rangle}$ este definit de

{\hat {a}}_{\mathbf {p} }|0\rangle =0,\quad {\text{per ogni }}\mathbf {p} .

{\ displaystyle {\ hat {a}} _ {\ mathbf {p}} | 0 \ rangle = 0, \ quad {\ text {pentru fiecare}} \ mathbf {p}.}

{\ displaystyle {\ hat {a}} _ {\ mathbf {p}} | 0 \ rangle = 0, \ quad {\ text {pentru fiecare}} \ mathbf {p}.}

Fiecare stare a câmpului poate fi obținută de la $|0\rangle$ ${\ displaystyle | 0 \ rangle}$ ${\ displaystyle | 0 \ rangle}$ aplicând succesiv operatorii de creație ${\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }$ ${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {\ mathbf {p}} ^ {\ dagger}}$ ${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {\ mathbf {p}} ^ {\ dagger}}$ , de exemplu ^[15]

({\hat {a}}_{\mathbf {p} _{3}}^{\dagger })^{3}{\hat {a}}_{\mathbf {p} _{2}}^{\dagger }({\hat {a}}_{\mathbf {p} _{1}}^{\dagger })^{2}|0\rangle .

{\ displaystyle ({\ hat {a}} _ {\ mathbf {p} _ {3}} ^ {\ dagger}) ^ {3} {\ hat {a}} _ {\ mathbf {p} _ {2 }} ^ {\ dagger} ({\ hat {a}} _ {\ mathbf {p} _ {1}} ^ {\ dagger}) ^ {2} | 0 \ rangle.}

{\ displaystyle ({\ hat {a}} _ {\ mathbf {p} _ {3}} ^ {\ dagger}) ^ {3} {\ hat {a}} _ {\ mathbf {p} _ {2 }} ^ {\ dagger} ({\ hat {a}} _ {\ mathbf {p} _ {1}} ^ {\ dagger}) ^ {2} | 0 \ rangle.}

Deși câmpul din Lagrangian este continuu în spațiu, stările cuantice sunt discrete. În timp ce spațiul de stare al unui singur oscilator armonic conține toate stările discrete de energie ale unei particule oscilante, spațiul de stare al unui câmp conține nivelurile discrete de energie ale unui număr arbitrar de particule. Acesta din urmă se numește spațiu Fock , care poate lua în considerare faptul că numărul de particule nu este fixat în sistemele cuantice relativiste. ^[16] Procesul de cuantificare a unui număr arbitrar de particule în loc de o singură particulă este adesea numit și a doua cuantificare . ^[17]

Procedura de mai sus este o aplicație directă a mecanicii cuantice non-relativiste și poate fi utilizată pentru a cuantifica câmpuri scalare (complexe) , câmpuri Dirac , ^[18] câmpuri vectoriale (de exemplu, câmpul electromagnetic) și chiar șiruri . ^[19] Cu toate acestea, operatorii de creație și distrugere sunt bine definiți doar în cele mai simple teorii care nu conțin interacțiuni (așa-numitele teorii libere). În cazul câmpului scalar real, existența acestor operatori a fost o consecință a descompunerii soluției ecuațiilor clasice de mișcare într-o sumă de moduri normale. Pentru a efectua calcule cu privire la orice teorie realistă de interacțiune, este necesar să se utilizeze teoria perturbării .

Lagrangianul oricărui câmp cuantic din natură ar conține termeni de interacțiune în plus față de termenii teoriei libere. De exemplu, am putea introduce un termen de interacțiune quartic în lagrangianul câmpului scalar real: ^[20]

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi )(\partial ^{\mu }\phi )-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-{\frac {\lambda }{4!}}\phi ^{4},

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ frac {1} {2}} (\ partial _ {\ mu} \ phi) (\ partial ^ {\ mu} \ phi) - {\ frac {1} {2}} m ^ {2} \ phi ^ {2} - {\ frac {\ lambda} {4!}} \ Phi ^ {4},}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ frac {1} {2}} (\ partial _ {\ mu} \ phi) (\ partial ^ {\ mu} \ phi) - {\ frac {1} {2}} m ^ {2} \ phi ^ {2} - {\ frac {\ lambda} {4!}} \ Phi ^ {4},}

unde este $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este indicele spațiu-timp, $\partial _{0}=\partial /\partial t,\ \partial _{1}=\partial /\partial x^{1}$ ${\ displaystyle \ partial _ {0} = \ partial / \ partial t, \ \ partial _ {1} = \ partial / \ partial x ^ {1}}$ ${\ displaystyle \ partial _ {0} = \ partial / \ partial t, \ \ partial _ {1} = \ partial / \ partial x ^ {1}}$ , etc. Suma pe index $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este omis conform notației lui Einstein . Dacă parametrul $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ este suficient de mică, atunci teoria interacțiunii descrisă de Lagrangianul de mai sus poate fi considerată ca o mică perturbare a teoriei libere.

Integral de cale

Același subiect în detaliu: Integrale de cale .

Formularea integralei pe căile QFT se referă la calcularea directă a amplitudinii de împrăștiere a unui anumit proces de interacțiune, mai degrabă decât la definirea operatorilor și a spațiilor de stare. Pentru a calcula amplitudinea probabilității ca un sistem să evolueze din starea inițială $|\phi _{I}\rangle$ ${\ displaystyle | \ phi _ {I} \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ phi _ {I} \ rangle}$ la momentul $t=0$ ${\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ la o anumită stare finală $|\phi _{F}\rangle$ ${\ displaystyle | \ phi _ {F} \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ phi _ {F} \ rangle}$ la $t=T$ ${\ displaystyle t = T}$ ${\ displaystyle t = T}$ , timpul total $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este împărțit în $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ intervale mici. Amplitudinea totală este produsul amplitudinilor evoluției în cadrul fiecărui interval, integrat pe toate stările intermediare. Este $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ Hamiltonianul (adică generatorul evoluției timpului ), apoi ^[21]

\langle \phi _{F}|e^{-iHT}|\phi _{I}\rangle =\int d\phi _{1}\int d\phi _{2}\cdots \int d\phi _{N-1}\,\langle \phi _{F}|e^{-iHT/N}|\phi _{N-1}\rangle \cdots \langle \phi _{2}|e^{-iHT/N}|\phi _{1}\rangle \langle \phi _{1}|e^{-iHT/N}|\phi _{I}\rangle .

{\ displaystyle \ langle \ phi _ {F} | e ^ {- iHT} | \ phi _ {I} \ rangle = \ int d \ phi _ {1} \ int d \ phi _ {2} \ cdots \ int d \ phi _ {N-1} \, \ langle \ phi _ {F} | e ^ {- iHT / N} | \ phi _ {N-1} \ rangle \ cdots \ langle \ phi _ {2} | e ^ {- iHT / N} | \ phi _ {1} \ rangle \ langle \ phi _ {1} | e ^ {- iHT / N} | \ phi _ {I} \ rangle.}

{\ displaystyle \ langle \ phi _ {F} | e ^ {- iHT} | \ phi _ {I} \ rangle = \ int d \ phi _ {1} \ int d \ phi _ {2} \ cdots \ int d \ phi _ {N-1} \, \ langle \ phi _ {F} | e ^ {- iHT / N} | \ phi _ {N-1} \ rangle \ cdots \ langle \ phi _ {2} | e ^ {- iHT / N} | \ phi _ {1} \ rangle \ langle \ phi _ {1} | e ^ {- iHT / N} | \ phi _ {I} \ rangle.}

Stabilirea limitei pentru $N\to \infty$ ${\ displaystyle N \ to \ infty}$ ${\ displaystyle N \ to \ infty}$ , produsul anterior al integralului devine integral pe căile Feynman: ^[22]

\langle \phi _{F}|e^{-iHT}|\phi _{I}\rangle =\int {\mathcal {D}}\phi (t)\,\exp \left\{i\int _{0}^{T}dt\,L\right\},

{\ displaystyle \ langle \ phi _ {F} | e ^ {- iHT} | \ phi _ {I} \ rangle = \ int {\ mathcal {D}} \ phi (t) \, \ exp \ left \ { i \ int _ {0} ^ {T} dt \, L \ right \},}

{\ displaystyle \ langle \ phi _ {F} | e ^ {- iHT} | \ phi _ {I} \ rangle = \ int {\ mathcal {D}} \ phi (t) \, \ exp \ left \ { i \ int _ {0} ^ {T} dt \, L \ right \},}

unde este $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ este Lagrangianul dependent de $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ și derivatele sale în ceea ce privește coordonatele spațiale și temporale, obținute de la Hamiltonian $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ printr-o transformare Legendre . Condițiile inițiale și finale ale integralei căii sunt respectiv

\phi (0)=\phi _{I},\quad \phi (T)=\phi _{F}.

{\ displaystyle \ phi (0) = \ phi _ {I}, \ quad \ phi (T) = \ phi _ {F}.}

{\ displaystyle \ phi (0) = \ phi _ {I}, \ quad \ phi (T) = \ phi _ {F}.}

Cu alte cuvinte, lățimea totală este suma peste lățimea fiecărei căi posibile între stările inițiale și finale, unde lățimea unei căi este dată de exponențialul din integrand.

Funcția de corelație în două puncte

Același subiect în detaliu: Funcția de corelare .

Acum presupunem că teoria conține interacțiuni ale căror termeni ai Lagrangianului sunt o mică perturbare din teoria liberă.

În calcule, aceste expresii sunt adesea întâlnite:

\langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle ,

{\ displaystyle \ langle \ Omega | T \ {\ phi (x) \ phi (y) \} | \ Omega \ rangle,}

{\ displaystyle \ langle \ Omega | T \ {\ phi (x) \ phi (y) \} | \ Omega \ rangle,}

unde este $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ sunt poziția cu patru vectori , $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este operatorul de sortare temporală (în mod specific, sort $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ în funcție de componenta lor temporală, în ordine descrescătoare de la stânga la dreapta), e $|\Omega \rangle$ ${\ displaystyle | \ Omega \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ Omega \ rangle}$ este starea de bază (starea de vid) a teoriei interacțiunii. Această expresie, numită funcția de corelație în două puncte sau funcția verde în două puncte, reprezintă amplitudinea probabilității ca câmpul să se propage din $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ la $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . ^[23]

În cuantificarea canonică, funcția de corelație în două puncte poate fi scrisă ca: ^[24]

\langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle =\lim _{T\to \infty (1-i\epsilon )}{\frac {\langle 0|T\left\{\phi _{I}(x)\phi _{I}(y)\exp \left[-i\int _{-T}^{T}dt\,H_{I}(t)\right]\right\}|0\rangle }{\langle 0|T\left\{\exp \left[-i\int _{-T}^{T}dt\,H_{I}(t)\right]\right\}|0\rangle }},

{\ displaystyle \ langle \ Omega | T \ {\ phi (x) \ phi (y) \} | \ Omega \ rangle = \ lim _ {T \ to \ infty (1-i \ epsilon)} {\ frac { \ langle 0 | T \ left \ {\ phi _ {I} (x) \ phi _ {I} (y) \ exp \ left [-i \ int _ {- T} ^ {T} dt \, H_ { I} (t) \ right] \ right \} | 0 \ rangle} {\ langle 0 | T \ left \ {\ exp \ left [-i \ int _ {- T} ^ {T} dt \, H_ { I} (t) \ right] \ right \} | 0 \ rangle}},}

{\ displaystyle \ langle \ Omega | T \ {\ phi (x) \ phi (y) \} | \ Omega \ rangle = \ lim _ {T \ to \ infty (1-i \ epsilon)} {\ frac { \ langle 0 | T \ left \ {\ phi _ {I} (x) \ phi _ {I} (y) \ exp \ left [-i \ int _ {- T} ^ {T} dt \, H_ { I} (t) \ right] \ right \} | 0 \ rangle} {\ langle 0 | T \ left \ {\ exp \ left [-i \ int _ {- T} ^ {T} dt \, H_ { I} (t) \ right] \ right \} | 0 \ rangle}},}

unde este $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ este un număr infinitesimal , $\phi _{I}$ ${\ displaystyle \ phi _ {I}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {I}}$ este operatorul de teren în teoria liberă și $H_{I}$ ${\ displaystyle H_ {I}}$ ${\ displaystyle H_ {I}}$ este termenul de interacțiune al hamiltonianului. Pentru teorie $\phi ^{4}$ ${\ displaystyle \ phi ^ {4}}$ ${\ displaystyle \ phi ^ {4}}$ , este ^[25]

H_{I}(t)=\int d^{3}x\,{\frac {\lambda }{4!}}\phi _{I}(x)^{4}.

{\ displaystyle H_ {I} (t) = \ int d ^ {3} x \, {\ frac {\ lambda} {4!}} \ phi _ {I} (x) ^ {4}.}

{\ displaystyle H_ {I} (t) = \ int d ^ {3} x \, {\ frac {\ lambda} {4!}} \ phi _ {I} (x) ^ {4}.}

De cand $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ este un parametru mic, funcția exponențială poate fi dezvoltată în seria Taylor în $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ . Această ecuație este utilă deoarece exprimă operatorul de câmp și starea de bază în teoria interacțiunii (care sunt dificil de definit) în termeni de omologi în teoria liberă, care sunt bine definite.

În formularea integralei de cale, funcția de corelație în două puncte poate fi scrisă ca: ^[26]

\langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle =\lim _{T\to \infty (1-i\epsilon )}{\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \,\phi (x)\phi (y)\exp \left[i\int _{-T}^{T}d^{4}z\,{\mathcal {L}}\right]}{\int {\mathcal {D}}\phi \,\exp \left[i\int _{-T}^{T}d^{4}z\,{\mathcal {L}}\right]}},

{\ displaystyle \ langle \ Omega | T \ {\ phi (x) \ phi (y) \} | \ Omega \ rangle = \ lim _ {T \ to \ infty (1-i \ epsilon)} {\ frac { \ int {\ mathcal {D}} \ phi \, \ phi (x) \ phi (y) \ exp \ left [i \ int _ {- T} ^ {T} d ^ {4} z \, {\ mathcal {L}} \ right]} {\ int {\ mathcal {D}} \ phi \, \ exp \ left [i \ int _ {- T} ^ {T} d ^ {4} z \, {\ mathcal {L}} \ right]}},}

{\ displaystyle \ langle \ Omega | T \ {\ phi (x) \ phi (y) \} | \ Omega \ rangle = \ lim _ {T \ to \ infty (1-i \ epsilon)} {\ frac { \ int {\ mathcal {D}} \ phi \, \ phi (x) \ phi (y) \ exp \ left [i \ int _ {- T} ^ {T} d ^ {4} z \, {\ mathcal {L}} \ right]} {\ int {\ mathcal {D}} \ phi \, \ exp \ left [i \ int _ {- T} ^ {T} d ^ {4} z \, {\ mathcal {L}} \ right]}},}

unde este ${\mathcal {L}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$ $\ mathcal {L}$ este densitatea Lagrangiană. Ca și în ultimul caz, exponențialul poate fi dezvoltat în serie $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ .

Conform teoremei lui Wick , orice funcție de corelație a $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ punctele din teoria liberă pot fi scrise ca suma produselor funcțiilor de corelație în două puncte. De exemplu,

{\begin{aligned}\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{2})\phi (x_{3})\phi (x_{4})\}|0\rangle =&\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{2})\}|0\rangle \langle 0|T\{\phi (x_{3})\phi (x_{4})\}|0\rangle \\&+\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{3})\}|0\rangle \langle 0|T\{\phi (x_{2})\phi (x_{4})\}|0\rangle \\&+\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{4})\}|0\rangle \langle 0|T\{\phi (x_{2})\phi (x_{3})\}|0\rangle .\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ langle 0 | T \ {\ phi (x_ {1}) \ phi (x_ {2}) \ phi (x_ {3}) \ phi (x_ {4}) \} | 0 \ rangle = & \ langle 0 | T \ {\ phi (x_ {1}) \ phi (x_ {2}) \} | 0 \ rangle \ langle 0 | T \ {\ phi (x_ {3}) \ phi (x_ {4}) \} | 0 \ rangle \\ & + \ langle 0 | T \ {\ phi (x_ {1}) \ phi (x_ {3}) \} | 0 \ rangle \ langle 0 | T \ {\ phi (x_ {2}) \ phi (x_ {4}) \} | 0 \ rangle \\ & + \ langle 0 | T \ {\ phi (x_ {1}) \ phi (x_ { 4}) \} | 0 \ rangle \ langle 0 | T \ {\ phi (x_ {2}) \ phi (x_ {3}) \} | 0 \ rangle. \ End {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ langle 0 | T \ {\ phi (x_ {1}) \ phi (x_ {2}) \ phi (x_ {3}) \ phi (x_ {4}) \} | 0 \ rangle = & \ langle 0 | T \ {\ phi (x_ {1}) \ phi (x_ {2}) \} | 0 \ rangle \ langle 0 | T \ {\ phi (x_ {3}) \ phi (x_ {4}) \} | 0 \ rangle \\ & + \ langle 0 | T \ {\ phi (x_ {1}) \ phi (x_ {3}) \} | 0 \ rangle \ langle 0 | T \ {\ phi (x_ {2}) \ phi (x_ {4}) \} | 0 \ rangle \\ & + \ langle 0 | T \ {\ phi (x_ {1}) \ phi (x_ { 4}) \} | 0 \ rangle \ langle 0 | T \ {\ phi (x_ {2}) \ phi (x_ {3}) \} | 0 \ rangle. \ End {align}}}

Deoarece funcțiile de corelație din teoria interacțiunii pot fi exprimate în termenii celor din teoria liberă, numai acestea din urmă trebuie evaluate pentru a calcula toate mărimile fizice din teoria interacțiunii (perturbative). ^[27]

Fie că este prin cuantificare canonică sau prin integrală pe căi, obținem:

D_{F}(x-y)\equiv \langle 0|T\{\phi (x)\phi (y)\}|0\rangle =\lim _{\epsilon \to 0}\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i}{p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}+i\epsilon }}e^{-ip_{\mu }(x^{\mu }-y^{\mu })}.

{\ displaystyle D_ {F} (xy) \ equiv \ langle 0 | T \ {\ phi (x) \ phi (y) \} | 0 \ rangle = \ lim _ {\ epsilon \ to 0} \ int {\ frac {d ^ {4} p} {(2 \ pi) ^ {4}}} {\ frac {i} {p _ {\ mu} p ^ {\ mu} -m ^ {2} + i \ epsilon }} și ^ {- ip _ {\ mu} (x ^ {\ mu} -y ^ {\ mu})}.}

{\ displaystyle D_ {F} (xy) \ equiv \ langle 0 | T \ {\ phi (x) \ phi (y) \} | 0 \ rangle = \ lim _ {\ epsilon \ to 0} \ int {\ frac {d ^ {4} p} {(2 \ pi) ^ {4}}} {\ frac {i} {p _ {\ mu} p ^ {\ mu} -m ^ {2} + i \ epsilon }} și ^ {- ip _ {\ mu} (x ^ {\ mu} -y ^ {\ mu})}.}

Acesta se numește propagatorul Feynman pentru câmpul scalar real. ^[28]

Diagrama Feynman

Același subiect în detaliu: diagrama Feynman .

Funcțiile de corelație din teoria interacțiunii pot fi scrise ca o serie perturbativă. Ciascun termine della serie è un prodotto di propagatori di Feynman nella teoria libera e possono essere rappresentati visivamente da un diagramma di Feynman . Per esempio, il termine $\lambda ^{1}$ $\lambda ^{1}$ $\lambda ^{1}$ nella funzione di correlazione a due punti nella teoria $\phi ^{4}$ $\phi ^{4}$ $\phi ^{4}$ è

{\frac {-i\lambda }{4!}}\langle 0|T\{\phi (x)\phi (y)\int d^{4}z\,\phi (z)\phi (z)\phi (z)\phi (z)\}|0\rangle .

{\frac {-i\lambda }{4!}}\langle 0|T\{\phi (x)\phi (y)\int d^{4}z\,\phi (z)\phi (z)\phi (z)\phi (z)\}|0\rangle .

{\frac {-i\lambda }{4!}}\langle 0|T\{\phi (x)\phi (y)\int d^{4}z\,\phi (z)\phi (z)\phi (z)\phi (z)\}|0\rangle .

Dopo aver applicato il teorema di Wick , uno dei termini è

12\cdot {\frac {-i\lambda }{4!}}\int d^{4}z\,D_{F}(x-z)D_{F}(y-z)D_{F}(z-z),

12\cdot {\frac {-i\lambda }{4!}}\int d^{4}z\,D_{F}(xz)D_{F}(yz)D_{F}(zz),

12\cdot {\frac {-i\lambda }{4!}}\int d^{4}z\,D_{F}(x-z)D_{F}(y-z)D_{F}(z-z),

il cui corrispondente diagramma di Feynman è

Ogni punto corrisponde a un singolo fattore di campo $\varphi$ $\varphi$ $\varphi$ . I punti etichettati con $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ e $y$ ${\displaystyle y}$ $y$ sono chiamati punti esterni, mentre all'interno sono detti punti interni o vertici (ce n'è uno in questo diagramma). Il valore del termine corrispondente può essere ottenuto dal diagramma seguendo le "regole di Feynman": si assegna $\textstyle -i\lambda \int d^{4}z$ $\textstyle -i\lambda \int d^{4}z$ $\textstyle -i\lambda \int d^{4}z$ a ogni vertice e il propagatore di Feynman $D_{F}(x_{1}-x_{2})$ $D_{F}(x_{1}-x_{2})$ $D_{F}(x_{1}-x_{2})$ a ogni linea con estremi $x_{1}$ $x_{1}$ $x_1$ e $x_{2}$ $x_{2}$ $x_2$ . Il prodotto dei fattori corrispondente a ogni elemento nel diagramma, diviso dal "fattore di simmetria" (2 per questo diagramma), dà l'espressione per il termine nella serie perturbativa. ^[29]

Al fine di calcolare la funzione di correlazione a $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ punti all'ordine $k$ ${\displaystyle k}$ $k$ -esimo, si elencano tutti i diagrammi di Feynman validi con $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ punti esterni e $k$ ${\displaystyle k}$ $k$ o meno vertici, e poi si usano le regole di Feynman per ottenere l'espressione di ciascun termine. Per la precisione,

\langle \Omega |T\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|\Omega \rangle

\langle \Omega |T\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|\Omega \rangle

\langle \Omega |T\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|\Omega \rangle

è uguale alla somma di (espressioni corrispondenti a) tutti i diagrammi connessi con $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ punti esterni. (I diagrammi connessi sono quelli in cui ogni vertice è connesso a un punto esterno attraverso linee. Le componenti che sono totalmente sconnessi dalle linee esterne sono talvolta chiamate "bolle di vuoto".) Nella teoria di interazione $\phi ^{4}$ $\phi ^{4}$ $\phi ^{4}$ discussa di cui sopra, ogni vertice deve avere quattro gambe. ^[30]

In applicazioni realistiche, l'ampiezza di scattering di una certa interazione o il tasso di decadimento di una particella può essere calcolata dalla matrice S , che essa stessa può essere trovata con il metodo dei diagrammi di Feynman. ^[31]

I diagrammi di Feynman senza "loop" sono detti diagrammi tree-level, che descrivono i processi di interazione al minimo ordine; quelli contenenti $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ loop sono detti diagrammi a $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ loop, che descrivono contributi degli ordini superiori, o correzioni radiative, all'interazione. ^[32] Le linee i cui estremi sono vertici possono essere pensati come la propagazione delle particelle virtuali . ^[33]

Rinormalizzazione

Lo stesso argomento in dettaglio: Rinormalizzazione .

Le regole di Feynman possono essere utilizzare per valutare direttamente i diagrammi tree-level. Tuttavia, l'ingenuo calcolo dei diagrammi a loop come quello mostrato sopra risulterà in integral sull'impulso divergenti, il che sembra implicare che quasi tutti i termini nello sviluppo perturbativo siano infiniti. La procedura di rinormalizzazione è un processo sistematico per rimuovere questi infiniti.

I parametri che appaiono nella lagrangiana, come la massa $m$ ${\displaystyle m}$ $m$ e la costante di accoppiamento $\lambda$ $\lambda$ $\lambda$ , non hanno significato fisico ( $m$ ${\displaystyle m}$ $m$ , $\lambda$ $\lambda$ $\lambda$ , e il campo $\phi$ $\phi$ $\phi$ non sono quantità sperimentalmente misurabili sono chiamate in questa sezione quantità nude ). La massa e la costante di accoppiamento fisiche sono misurate in qualche processo di interazione e sono generalmente diverse dalle quantità nude. Per calcolare quantità fisiche per questo processo di interazione, si può limitare il dominio di integrali sull'impulso divergenti a un certo impulso di taglio $\Lambda$ $\Lambda$ $\Lambda$ , ottenere un'espressione per le quantità fisiche, e quindi fare il limite per $\Lambda \to +\infty$ $\Lambda \to +\infty$ $\Lambda \to +\infty$ . Questo è un esempio di regolarizzazione , una classe di metodi per trattare le divergenze in teoria dei campi; $\Lambda$ $\Lambda$ $\Lambda$ prende il nome di regolatore .

L'approccio illustrato sopra è chiamata teoria perturbativa nuda, dato che i calcoli coinvolgono solo le quantità nude come la massa e la costante di accoppiamento. Un diverso approccio, chiamata teoria perturbativa rinormalizzata, è usare quantità fisicamente significative dall'inizio. Nel caso della teoria $\phi ^{4}$ $\phi ^{4}$ $\phi ^{4}$ il campo è quindi ridefinito:

\phi =Z^{1/2}\phi _{r},

\phi =Z^{1/2}\phi _{r},

\phi =Z^{1/2}\phi _{r},

dove $\phi$ $\phi$ $\phi$ è il campo nudo, $\phi _{r}$ $\phi _{r}$ $\phi _{r}$ è il campo rinormalizzato, e $Z$ ${\displaystyle Z}$ $Z$ è una costante da determinare. La densità lagrangiana diventa:

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi _{r})(\partial ^{\mu }\phi _{r})-{\frac {1}{2}}m_{r}^{2}\phi _{r}^{2}-{\frac {\lambda _{r}}{4!}}\phi _{r}^{4}+{\frac {1}{2}}\delta _{Z}(\partial _{\mu }\phi _{r})(\partial ^{\mu }\phi _{r})-{\frac {1}{2}}\delta _{m}\phi _{r}^{2}-{\frac {\delta _{\lambda }}{4!}}\phi _{r}^{4},

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi _{r})(\partial ^{\mu }\phi _{r})-{\frac {1}{2}}m_{r}^{2}\phi _{r}^{2}-{\frac {\lambda _{r}}{4!}}\phi _{r}^{4}+{\frac {1}{2}}\delta _{Z}(\partial _{\mu }\phi _{r})(\partial ^{\mu }\phi _{r})-{\frac {1}{2}}\delta _{m}\phi _{r}^{2}-{\frac {\delta _{\lambda }}{4!}}\phi _{r}^{4},

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi _{r})(\partial ^{\mu }\phi _{r})-{\frac {1}{2}}m_{r}^{2}\phi _{r}^{2}-{\frac {\lambda _{r}}{4!}}\phi _{r}^{4}+{\frac {1}{2}}\delta _{Z}(\partial _{\mu }\phi _{r})(\partial ^{\mu }\phi _{r})-{\frac {1}{2}}\delta _{m}\phi _{r}^{2}-{\frac {\delta _{\lambda }}{4!}}\phi _{r}^{4},

dove m _r e λ _r sono rispettivamente la massa e la costante di accoppiamento, rinormalizzate e misurabili sperimentalmente, e

\delta _{Z}=Z-1,\quad \delta _{m}=m^{2}Z-m_{r}^{2},\quad \delta _{\lambda }=\lambda Z^{2}-\lambda _{r}

\delta _{Z}=Z-1,\quad \delta _{m}=m^{2}Z-m_{r}^{2},\quad \delta _{\lambda }=\lambda Z^{2}-\lambda _{r}

\delta _{Z}=Z-1,\quad \delta _{m}=m^{2}Z-m_{r}^{2},\quad \delta _{\lambda }=\lambda Z^{2}-\lambda _{r}

sono costanti da determinare. I primi tre termini sono la densità di lagrangiana $\phi ^{4}$ $\phi ^{4}$ $\phi ^{4}$ scritta in termini delle quantità rinormalizzate, mentre gli ultimi tre sono detti "contro-termini" ( counterterms in inglese). Siccome ora la lagrangiana contiene più termini, anche i diagrammi di Feynman dovranno comprendere elementi aggiuntivi, ciascuno dei quali con le proprie regole. La procedura è riportata di seguito. Prima si sceglie uno schema di regolarizzazione (come il taglio introdotto sopra o una regolarizzazione dimensionale). Si calcolano i diagrammi di Feynman, nei quali i termini divergenti dipenderanno dal regolatore $\Lambda$ $\Lambda$ $\Lambda$ . Quindi, si definiscono $\delta _{Z}$ $\delta _{Z}$ $\delta _{Z}$ , $\delta _{m}$ $\delta _{m}$ $\delta _{m}$ , e $\delta _{\lambda }$ $\delta _{\lambda }$ $\delta _{\lambda }$ tali che i diagrammi di Feynman per i contro-termini cancellino esattamente i termini divergenti nei diagrammi normali quando si fa il limite per $\Lambda \to +\infty$ $\Lambda \to +\infty$ $\Lambda \to +\infty$ . In questo modo, si ottengono quantità finite significative. ^[34]

È solamente possibile eliminare tutti gli infiniti e ottenere quindi risultati finiti nelle teorie rinormalizzabili, mentre nelle teorie non rinormalizzabili ciò non è possibile. Il modello standard delle particelle elementari è una teoria quantistica di campo rinormalizzabile, ^[35] mentre la gravità quantistica non lo è. ^[36]

Gruppo di rinormalizzazione

Lo stesso argomento in dettaglio: Gruppo di rinormalizzazione .

Il gruppo di rinormalizzazione, sviluppato da Kenneth Wilson , è un apparato matematico usato per studiare le variazioni dei parametri fisici (coefficienti nella lagrangiana) quando il sistema viene studiato a scale diverse. ^[37] Il modo in cui ciascun parametro varia con la scala è descritto con la funzione beta . ^[38] Le funzioni di correlazione, che stanno alla base di predizioni fisiche quantitative, variano con la scala secondo l' equazione di Callan-Symanzik . ^[39]

Come esempio, la costante di accoppiamento nella QED, nella fattispecie la carica elementare $e$ ${\displaystyle e}$ $e$ , ha la seguente funzione $\beta$ $\beta$ $\beta$ :

\beta (e)\equiv {\frac {1}{\Lambda }}{\frac {de}{d\Lambda }}={\frac {e^{3}}{12\pi ^{2}}}+O(e^{5}),

\beta (e)\equiv {\frac {1}{\Lambda }}{\frac {de}{d\Lambda }}={\frac {e^{3}}{12\pi ^{2}}}+O(e^{5}),

\beta (e)\equiv {\frac {1}{\Lambda }}{\frac {de}{d\Lambda }}={\frac {e^{3}}{12\pi ^{2}}}+O(e^{5}),

dove $\Lambda$ $\Lambda$ $\Lambda$ è la scala di energia alla quale si effettua la misura di $e$ ${\displaystyle e}$ $e$ . Questa equazione differenziale implica che la carica elementare osservata aumenta all'aumentare della scala. ^[40] La costante di accoppiamento rinormalizzata, che varia con la scala di energia, è anche detta la costante di accoppiamento corrente ( running coupling constant ). ^[41]

La costante di accoppiamento $g$ ${\displaystyle g}$ $g$ in cromodinamica quantistica , una teoria di gauge non abeliana basata sul gruppo di simmetria SU(3) , ha la seguente funzione $\beta$ $\beta$ $\beta$ :

\beta (g)\equiv {\frac {1}{\Lambda }}{\frac {dg}{d\Lambda }}={\frac {g^{3}}{16\pi ^{2}}}\left(-11+{\frac {2}{3}}N_{f}\right)+O(g^{5}),

\beta (g)\equiv {\frac {1}{\Lambda }}{\frac {dg}{d\Lambda }}={\frac {g^{3}}{16\pi ^{2}}}\left(-11+{\frac {2}{3}}N_{f}\right)+O(g^{5}),

\beta (g)\equiv {\frac {1}{\Lambda }}{\frac {dg}{d\Lambda }}={\frac {g^{3}}{16\pi ^{2}}}\left(-11+{\frac {2}{3}}N_{f}\right)+O(g^{5}),

dove $N_{f}$ $N_{f}$ $N_{f}$ è il numero dei sapori dei quark . Nel caso in cui $N_{f}\leq 16$ $N_{f}\leq 16$ $N_{f}\leq 16$ (il modello standard ha $N_{f}=6$ $N_{f}=6$ $N_{f}=6$ ), la costante $g$ ${\displaystyle g}$ $g$ diminuisce all'aumentare della scala di energia. Perciò, mentre l' interazione forte è forte a basse energie, diventa molto debole nelle interazione ad alta energia: un fenomeno chiamato libertà asintotica . ^[42]

Le teorie di campo confomi (CFT in inglese) sono QFT speciali che ammettono la simmetria conforme . Non risentono delle variazioni della scala, siccome tutte le loro costanti di accoppiamento hanno funzioni beta che si annullano. (Il contrario non è vero: il fatto che le funzioni beta si annullino non implica la simmetria conforme della teoria.) ^[43] Alcuni esempi sono la teoria delle stringhe ^[44] e la teoria di Yang-Mills supersimmetrica a $N=4$ ${\displaystyle N=4}$ $N=4$ . ^[45]

Secondo la rappresentazione di Wilson, ogni QFT è fondamentalmente accompagnata dalla sua energia di taglio $\Lambda$ $\Lambda$ $\Lambda$ , il che significa che la teoria non è più valida a energie maggiori di $\Lambda$ $\Lambda$ $\Lambda$ , e tutti i gradi di libertà sopra la scala $\Lambda$ $\Lambda$ $\Lambda$ vanno omessi. Per esempio, il taglio potrebbe essere l'inverso della spaziatura atomica in un sistema di materia condensata, mentre in fisica delle particelle elementari potrebbe essere associata alla fondamentale "granularità" dello spaziotempo causata dalle fluttuazioni quantistiche della gravità. La scala di taglio delle teorie delle interazioni particellari è molto oltre l'energia degli attuali esperimenti. Anche se la teoria fosse molto complicata a quella scala, a patto che gli accoppiamenti siano sufficientemente deboli, deve essere descritta a basse energie da una teoria di campo efficace rinormalizzabile. ^[46] La differenza tra le teorie rinormalizzabili e quelle non rinormalizzabili è che le prime non risentono dei dettagli alle alte energie, mentre le seconde dipendono da questi. ^[47] Secondo questo punto di vista, le teorie non rinormalizzabili sono da considerarsi come teorie efficaci a basse energie di una teoria più fondamentale. Non riuscire a rimuovere il valore di taglio Λ dai calcoli in una tale teoria indica semplicemente che appaiono nuovi fenomeni fisici a scale sopra $\Lambda$ $\Lambda$ $\Lambda$ , dove è quindi necessaria una nuova teoria. ^[48]

Altre teorie

Le procedure di quantizzazione e di rinormalizzazione riportate nelle sezioni precedenti valgono per la teoria libera e la teoria $\phi ^{4}$ $\phi ^{4}$ $\phi ^{4}$ del campo scalare reale. Un procedimento simile può essere fatto per altri tipi di campi, tra cui il campo scalare complesso, il campo vettoriale e il campo di Dirac , nonché altri tipi di termini di interazione, come l' interazione elettromagnetica e l' interazione di Yukawa .

Ad esempio, l'elettrodinamica quantistica contiene un campo di Dirac $\psi$ $\psi$ $\psi$ che rappresenta il campo di elettroni e un campo vettoriale $A^{\mu }$ $A^{\mu }$ $A^{{\mu }}$ che rappresenta il campo elettromagnetico (campo di fotoni ). (A dispetto del nome, il "campo" elettromagnetico quantistico corrisponde al quadripotenziale, invece che ai campi classici: elettrico e magnetico.) La densità di lagrangiana completa della QED è:

{\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }-e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu },

{\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }-e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu },

{\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }-e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu },

dove $\gamma ^{\mu }$ $\gamma ^{\mu }$ $\gamma ^{\mu }$ sono le matrici di Dirac , ${\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$ ${\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$ ${\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$ , e $F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }$ $F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }$ $F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }$ è il tensore elettromagnetico . I parametri di questa teoria sono la massa (nuda) dell'elettrone e la carica elementare (nuda) $e$ ${\displaystyle e}$ $e$ . Il primo e il secondo termine della lagrangiana corrispondono rispettivamente al campo di Dirac libero ea campi vettoriali liberi. L'ultimo termine descrive l'interazione tra il campo dell'elettrone e quello del fotone, che viene trattata come perturbazione della teoria libera. ^[49]

Qui sopra è mostrato un esempio di un diagramma di Feynman tree-level in QED. Descrive l'annichilazione di un elettrone e un positrone, con la creazione di un fotone off shell , che poi decade in una nuova coppia elettrone-positrone. Il tempo scorre da sinistra verso destra. Le frecce che puntano avanti nel tempo rappresentano la propagazione dei positroni, mentre quelle dirette indietro nel tempo rappresentano la propagazione degli elettroni. La linea ondulata rappresenta la propagazione di un fotone. Ogni vertice nei diagrammi della QED deve avere un ramo con un fermione entrante, uno con un fermione uscente (positrone/elettrone) e un ramo con un fotone.

Simmetria di gauge

Lo stesso argomento in dettaglio: Teoria di gauge .

Se la seguente trasformazione dei campi viene fatta in ogni punto dello spaziotempo $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ (una trasformazione locale), allora la lagrangiana della QED rimane invariata (si dice che è invariante rispetto a questa trasformazione):

\psi (x)\to e^{i\alpha (x)}\psi (x),\quad A_{\mu }(x)\to A_{\mu }(x)+ie^{-1}e^{-i\alpha (x)}\partial _{\mu }e^{i\alpha (x)},

\psi (x)\to e^{i\alpha (x)}\psi (x),\quad A_{\mu }(x)\to A_{\mu }(x)+ie^{-1}e^{-i\alpha (x)}\partial _{\mu }e^{i\alpha (x)},

\psi (x)\to e^{i\alpha (x)}\psi (x),\quad A_{\mu }(x)\to A_{\mu }(x)+ie^{-1}e^{-i\alpha (x)}\partial _{\mu }e^{i\alpha (x)},

dove $\alpha (x)$ $\alpha (x)$ $\alpha (x)$ è una qualsiasi funzione delle coordinate spaziotemporali. Se la lagrangiana (o più precisamente l' azione ) di una teoria è invariante rispetto a una certa trasformazione locale, allora la trasformazione è detta una simmetria di gauge della teoria. ^[50] le simmetrie di gauge formano un gruppo in ogni punto dello spaziotempo. Nel caso della QED, l'applicazione in successione delle due diverse trasformazioni locali $e^{i\alpha (x)}$ $e^{i\alpha (x)}$ $e^{i\alpha (x)}$ e $e^{i\alpha '(x)}$ $e^{i\alpha '(x)}$ $e^{i\alpha '(x)}$ è ancora un'altra trasformazione $e^{i[\alpha (x)+\alpha '(x)]}$ $e^{i[\alpha (x)+\alpha '(x)]}$ $e^{i[\alpha (x)+\alpha '(x)]}$ . Per ogni $\alpha (x)$ $\alpha (x)$ $\alpha (x)$ , $e^{i\alpha (x)}$ $e^{i\alpha (x)}$ $e^{i\alpha (x)}$ è un elemento del gruppo U(1) , quindi si dice che la QED abbia una simmetria di gauge U(1). ^[51] Il campo di fotoni A _μ potrebbe essere chiamato il bosone di gauge U(1).

U(1) è un gruppo abeliano , il che significa che gli elementi del gruppo godono della proprietà commutativa (il risultato è lo stesso a prescindere dall'ordine in cui vengono applicati gli elementi). Le QFT possono essere costruite anche da gruppi non abeliani , che danno origine a teorie di gauge non abeliane (anche dette teorie di Yang-Mills ). ^[52] La cromodinamica quantistica , che descrive l'interazione forte, è una teoria di gauge non abeliana con una simmetria di gauge SU(3) . Contiene tre campi di Dirac $\psi ^{i}$ $\psi ^{i}$ $\psi ^{i}$ , $i=1,\;2,\;3$ $i=1,\;2,\;3$ $i=1,\;2,\;3$ rappresentanti i campi di quark nonché otto campi vettoriali A ^a,μ , $a=1,\;2,\;\ldots ,\;8$ $a=1,\;2,\;\ldots ,\;8$ $a=1,\;2,\;\ldots ,\;8$ rappresentanti i campi dei gluoni , che sono i bosoni di gauge SU(3). ^[53] La densità di lagrangiana della QCD: ^[54]

{\mathcal {L}}=i{\bar {\psi }}^{i}\gamma ^{\mu }(D_{\mu })^{ij}\psi ^{j}-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F^{a,\mu \nu }-m{\bar {\psi }}^{i}\psi ^{i},

{\mathcal {L}}=i{\bar {\psi }}^{i}\gamma ^{\mu }(D_{\mu })^{ij}\psi ^{j}-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F^{a,\mu \nu }-m{\bar {\psi }}^{i}\psi ^{i},

{\mathcal {L}}=i{\bar {\psi }}^{i}\gamma ^{\mu }(D_{\mu })^{ij}\psi ^{j}-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F^{a,\mu \nu }-m{\bar {\psi }}^{i}\psi ^{i},

dove $D_{\mu }$ $D_{\mu }$ $D_{\mu }$ è la derivata covariante di gauge:

D_{\mu }=\partial _{\mu }-igA_{\mu }^{a}t^{a},

D_{\mu }=\partial _{\mu }-igA_{\mu }^{a}t^{a},

D_{\mu }=\partial _{\mu }-igA_{\mu }^{a}t^{a},

dove $g$ ${\displaystyle g}$ $g$ è la costante di accoppiamento, $t^{a}$ $t^{a}$ $t^{a}$ sono gli otto generatori di SU(3) nella sua rappresentazione fondamentale (matrici 3×3),

F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+gf^{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c},

F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+gf^{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c},

F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+gf^{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c},

e $f^{abc}$ $f^{abc}$ $f^{abc}$ sono le costanti di struttura della SU(3). Gli indici ripetuti $i,\;j$ $i,\;j$ $i,\;j$ , e $a$ ${\displaystyle a}$ $a$ sono implicitamente sommati secondo la notazione di Einstein. Questa lagrangiana è invariante rispetto alla trasformazione:

\psi ^{i}(x)\to U^{ij}(x)\psi ^{j}(x),\quad A_{\mu }^{a}(x)t^{a}\to U(x)\left[A_{\mu }^{a}(x)t^{a}+ig^{-1}\partial _{\mu }\right]U^{\dagger }(x),

\psi ^{i}(x)\to U^{ij}(x)\psi ^{j}(x),\quad A_{\mu }^{a}(x)t^{a}\to U(x)\left[A_{\mu }^{a}(x)t^{a}+ig^{-1}\partial _{\mu }\right]U^{\dagger }(x),

\psi ^{i}(x)\to U^{ij}(x)\psi ^{j}(x),\quad A_{\mu }^{a}(x)t^{a}\to U(x)\left[A_{\mu }^{a}(x)t^{a}+ig^{-1}\partial _{\mu }\right]U^{\dagger }(x),

dove U ( x ) è un elemento di SU(3) in ogni punto dello spaziotempo $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ :

U(x)=e^{i\alpha (x)^{a}t^{a}}.

U(x)=e^{i\alpha (x)^{a}t^{a}}.

U(x)=e^{i\alpha (x)^{a}t^{a}}.

La discussione precedente sulle simmetrie a livello della lagrangiana. In altre, queste sono simmetrie "classiche". Dopo la quantizzazione, alcune teorie non avranno più le loro simmetrie classiche, un fenomeno detto anomalia . Per esempio, nella formulazione dell'integrale dei cammini, nonostante la densità lagrangiana ${\mathcal {L}}[\phi ,\partial _{\mu }\phi ]$ ${\mathcal {L}}[\phi ,\partial _{\mu }\phi ]$ ${\mathcal {L}}[\phi ,\partial _{\mu }\phi ]$ sia invariante rispetto a una certa trasformazione locale dei campi, la misura $\textstyle \int {\mathcal {D}}\phi$ $\textstyle \int {\mathcal {D}}\phi$ $\textstyle \int {\mathcal {D}}\phi$ dell'integrale sui cammini potrebbe cambiare. ^[55] Affinché una teoria della natura sia coerente, non deve contenere anomalie nella sua simmetria di gauge. Il modello standard è una teoria di gauge basata sul gruppo SU(3) × SU(2) × U(1), nel quale tutte le anomalie si cancellano esattamente. ^[56]

Il fondamento teorico della relatività generale , il principio di equivalenza , può essere pensato anche come una forma di simmetria di gauge, rendendo la relatività generale una teoria di gauge basata sul gruppo di Lorentz . ^[57]

Il teorema di Noether afferma che a ogni simmetria continua (ovvero con il parametro della trasformazione continuo e non discreto) corrisponde una legge di conservazione . ^[58] Per esempio, la simmetria U(1) della QED implica la conservazione della carica . ^[59]

Le trasformazioni di gauge non mettono in relazione stati quantistici distinti. Piuttosto, mettono in relazione due descrizioni matematiche equivalenti dello stesso stato quantistico. Ad esempio, il campo dei fotoni A ^μ , essendo un quadrivettore , ha quattro gradi di libertà apparenti, ma l'effettivo stato del fotone è descritto dai due gradi di libertà corrispondenti alla polarizzazione . I restanti due gradi di libertà sono detti "ridondanti"— apparentemente diversi modi di scrivere A ^μ possono essere correlati mediante una trasformazione di gauge e di fatto descrivono lo stesso stato del campo di fotoni. In questo senso, l'invarianza di gauge non è una simmetria "reale", ma una conseguenza della "ridondanza" della descrizione matematica scelta. ^[60]

Per tener conto della ridondanza di gauge nella formulazione dell'integrale sui cammini, si deve effettuare la procedura di Faddeev-Popov . Nelle teorie di gauge non abeliane, tale procedura introduce nuovi campi detti "ghost". Le particelle corrispondenti a campi ghost sono dette particelle ghost, che non possono essere rivelate esternamente. ^[61] Una generalizzazione più rigorosa della procedura di Faddeev-Popov è data dalla quantizzazione BRST . ^[62]

Rottura spontanea di simmetria

Lo stesso argomento in dettaglio: Rottura spontanea di simmetria .

La rottura spontanea di simmetria è un meccanismo nel quale la simmetria della lagrangiana è violata dal sistema descritto da essa. ^[63]

Per illustrare il meccanismo, si consideri un modello sigma lineare contenente N campi scalari reali, descritto dalla densità lagrangiana:

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi ^{i})(\partial ^{\mu }\phi ^{i})+{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\phi ^{i}\phi ^{i}-{\frac {\lambda }{4}}(\phi ^{i}\phi ^{i})^{2},

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi ^{i})(\partial ^{\mu }\phi ^{i})+{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\phi ^{i}\phi ^{i}-{\frac {\lambda }{4}}(\phi ^{i}\phi ^{i})^{2},

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi ^{i})(\partial ^{\mu }\phi ^{i})+{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\phi ^{i}\phi ^{i}-{\frac {\lambda }{4}}(\phi ^{i}\phi ^{i})^{2},

dove $\mu$ $\mu$ $\mu$ e $\lambda$ $\lambda$ $\lambda$ sono parametri reali. La teoria ammette una simmetria globale O( N ) :

\phi ^{i}\to R^{ij}\phi ^{j},\quad R\in \mathrm {O} (N).

\phi ^{i}\to R^{ij}\phi ^{j},\quad R\in \mathrm {O} (N).

\phi ^{i}\to R^{ij}\phi ^{j},\quad R\in \mathrm {O} (N).

Lo stato a energia finita (stato fondamentale o stato di vuoto) della teoria classica è un qualsiasi campo uniforme $\phi _{0}$ $\phi _{0}$ $\phi _{0}$ che soddisfa

\phi _{0}^{i}\phi _{0}^{i}={\frac {\mu ^{2}}{\lambda }}.

\phi _{0}^{i}\phi _{0}^{i}={\frac {\mu ^{2}}{\lambda }}.

\phi _{0}^{i}\phi _{0}^{i}={\frac {\mu ^{2}}{\lambda }}.

Senza perdita di generalità, si supponga che lo stato fondamentale sia nella direzione $N$ ${\displaystyle N}$ $N$ -esima:

\phi _{0}^{i}=\left(0,\cdots ,0,{\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}\right).

\phi _{0}^{i}=\left(0,\cdots ,0,{\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}\right).

\phi _{0}^{i}=\left(0,\cdots ,0,{\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}\right).

Gli $N$ ${\displaystyle N}$ $N$ campi originari possono essere riscritti come:

\phi ^{i}(x)=\left(\pi ^{1}(x),\cdots ,\pi ^{N-1}(x),{\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}+\sigma (x)\right),

\phi ^{i}(x)=\left(\pi ^{1}(x),\cdots ,\pi ^{N-1}(x),{\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}+\sigma (x)\right),

\phi ^{i}(x)=\left(\pi ^{1}(x),\cdots ,\pi ^{N-1}(x),{\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}+\sigma (x)\right),

e la densità lagrangiana originaria diventa:

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\pi ^{k})(\partial ^{\mu }\pi ^{k})+{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\sigma )(\partial ^{\mu }\sigma )-{\frac {1}{2}}(2\mu ^{2})\sigma ^{2}-{\sqrt {\lambda }}\mu \sigma ^{3}-{\sqrt {\lambda }}\mu \pi ^{k}\pi ^{k}\sigma -{\frac {\lambda }{2}}\pi ^{k}\pi ^{k}\sigma ^{2}-{\frac {\lambda }{4}}(\pi ^{k}\pi ^{k})^{2},

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\pi ^{k})(\partial ^{\mu }\pi ^{k})+{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\sigma )(\partial ^{\mu }\sigma )-{\frac {1}{2}}(2\mu ^{2})\sigma ^{2}-{\sqrt {\lambda }}\mu \sigma ^{3}-{\sqrt {\lambda }}\mu \pi ^{k}\pi ^{k}\sigma -{\frac {\lambda }{2}}\pi ^{k}\pi ^{k}\sigma ^{2}-{\frac {\lambda }{4}}(\pi ^{k}\pi ^{k})^{2},

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\pi ^{k})(\partial ^{\mu }\pi ^{k})+{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\sigma )(\partial ^{\mu }\sigma )-{\frac {1}{2}}(2\mu ^{2})\sigma ^{2}-{\sqrt {\lambda }}\mu \sigma ^{3}-{\sqrt {\lambda }}\mu \pi ^{k}\pi ^{k}\sigma -{\frac {\lambda }{2}}\pi ^{k}\pi ^{k}\sigma ^{2}-{\frac {\lambda }{4}}(\pi ^{k}\pi ^{k})^{2},

dove $k=1,\;2,\;\ldots ,\;N-1$ $k=1,\;2,\;\ldots ,\;N-1$ $k=1,\;2,\;\ldots ,\;N-1$ . La simmetria globale originaria $O(N)$ ${\displaystyle O(N)}$ $O(N)$ non è più evidente, lasciando il sottogruppo $O(N-1)$ ${\displaystyle O(N-1)}$ $O(N-1)$ . La simmetria più grande prima della rottura spontanea è detta "nascosta" o rotta spontaneamente. ^[64]

Il teorema di Goldstone afferma che rispetto alla rottura spontanea, ogni simmetria globale continua rotta porta a un campo privo di massa detto bosone di Goldstone . Nell'esempio di cui sopra, la $O(N)$ ${\displaystyle O(N)}$ $O(N)$ ha ${\frac {N(N-1)}{2}}$ ${\frac {N(N-1)}{2}}$ ${\frac {N(N-1)}{2}}$ simmetrie continue (la dimensione della sua algebra di Lie ), mentre $O(N-1)$ ${\displaystyle O(N-1)}$ $O(N-1)$ ne ha ${\frac {(N-1)(N-2)}{2}}$ ${\frac {(N-1)(N-2)}{2}}$ ${\frac {(N-1)(N-2)}{2}}$ . Il numero di simmetrie rotte è la differenza, $N-1$ ${\displaystyle N-1}$ $N-1$ , che corrisponde a $N-1$ ${\displaystyle N-1}$ $N-1$ campi privi di massa $\pi ^{k}$ $\pi ^{k}$ $\pi ^{k}$ . ^[65]

D'altra parte, quando viene rotta spontaneamente una simmetria di gauge (non globale) il bosone di Goldstone risultante è "mangiato" dal corrispondente bosone di gauge diventando un grado di libertà aggiuntivo per quest'ultimo. Il teorema di equivalenza dei bosoni di Goldstone afferma che ad alte energie, l'ampiezza di emissione e assorbimento di una bosone di gauge massivo polarizzato longitudinalmente diventa uguale all'ampiezza di emissione e assorbimento del bosone di Goldstone mangiato dal bosone di gauge. ^[66]

Nella teoria quantistica del ferromagnetismo , la rottura spontanea di simmetria può spiegare l'allineamento dei dipoli magnetici a basse temperature. ^[67] Nel modello standard delle particelle elementari, i bosoni W e Z , che sarebbero privi di massa per la simmetria di gauge, acquisiscono massa tramite la rottura spontanea di simmetria del bosone di Higgs , un processo chiamato meccanismo di Brout-Englert-Higgs . ^[68]

Supersimmetria

Lo stesso argomento in dettaglio: Supersimmetria .

Tutte le simmetrie conosciute sperimentalmente mettono in relazione bosoni con bosoni e fermioni con fermioni. I teorici hanno ipotizzato che esista un tipo di simmetria, detto supersimmetria , che correla bosoni e fermioni. ^[69]

Il modello standard obbedisce alla simmetria di Poincaré , i cui generatori sono le traslazioni spaziotemporali $P^{\mu }$ $P^{\mu }$ $P^{\mu }$ e le trasformazioni di Lorentz $J_{\mu \nu }$ $J_{\mu \nu }$ $J_{\mu \nu }$ . ^[70] In aggiunta a questi generatori, la supersimmetria in $(3+1)$ ${\displaystyle (3+1)}$ $(3+1)$ dimensioni comporta altri generatori $Q_{\alpha }$ $Q_{\alpha }$ $Q_{\alpha }$ , dette supercariche , che trasformano come fermioni di Weyl . ^[71] Il gruppo di simmetria generato da tutti questi generatori è chiamato supergruppo di Poincaré (o algebra di Super-Poincaré ). In generale ci possono essere più di un insieme di generatori di supersimmetria, $Q_{\alpha }^{I}$ $Q_{\alpha }^{I}$ $Q_{\alpha }^{I}$ , $I=1,\;\ldots ,\;N$ $I=1,\;\ldots ,\;N$ $I=1,\;\ldots ,\;N$ , che generano le corrispondenti supersimmetrie $N=1$ ${\displaystyle N=1}$ $N=1$ , $N=2$ ${\displaystyle N=2}$ $N=2$ e così via. ^[72] La supersimmetria può essere costruita anche in altre dimensioni, ^[73] ad esempio in (1+1) dimensioni per la sua applicazione nella teoria delle superstringhe . ^[74]

La lagrangiana della teoria supersimmetrica deve essere invariante rispetto all'azione del supergruppo di Poincaré. ^[75] Alcuni esempi di tali teorie sono il modello standard supersimmetrico minimale (MSSM da Minimal Supersymmetric Standard Model), la teoria di Yang-Mills supersimmetrica a $N=4$ ${\displaystyle N=4}$ $N=4$ , ^[76] e la teoria delle superstringhe. In una teoria supersimmetrica, ogni fermione ha un superpartner bosonico, e viceversa. ^[77]

Se la supersimmetria è promossa a una simmetria locale, allora la teoria di gauge risultante è un'estensione della relatività generale detta supergravità . ^[78]

La supersimmetria potrebbe essere una soluzione a molti problemi attuali della fisica. Ad esempio, il problema della gerarchia del modello standard—perché la massa del bosone di Higgs non è radiativamente corretta (sotto rinormalizzazione) alla scala molto alta come la scala della grande unificazione o la scala di Planck —può essere risolto mettendo in relazione il campo di Higgs con il suo superpartner, l' higgsino . Le correzioni radiative dovute ai loop del bosone di Higgs nei diagrammi di Feynman sono cancellati dai corrispondenti loop dell'higgsino. La supersimmetria offre anche risposte alla grande unificazione di tutte le costanti di accoppiamento di gauge nel modello standard, nonché alla natura della materia oscura . ^[79] ^[80]

Cionondimeno, al 2018, gli esperimento devono ancora fornire prove dell'esistenza delle particelle supersimmetriche. Se la supersimmetria fosse una vera simmetria della natura, allora deve essere una simmetria rotta, e l'energia di tale rottura deve essere maggiore di quelle raggiunte negli esperimenti attuali. ^[81]

Altri spaziotempi

La teoria $\phi ^{4}$ $\phi ^{4}$ $\phi ^{4}$ , la QED, e la QCD, nonché tutto il modello standard, assumono uno spazio di Minkowski $(3+1)-$ ${\displaystyle (3+1)-}$ $(3+1)-$ dimensionale (3 spaziali + 1 temporale) come sfondo sul quale i campi sono definiti. Tuttavia, la teoria quantistica dei campi non impone a priori alcuna restrizione sul numero di dimensioni né sulla geometria dello spaziotempo.

In fisica della materia condensata , la QFT è usata per descrivere gas di elettroni $(2+1)-$ ${\displaystyle (2+1)-}$ $(2+1)-$ dimensionali. ^[82] Nella fisica delle alte energie , la teoria delle stringhe è un tipo di QFT $(1+1)-$ ${\displaystyle (1+1)-}$ $(1+1)-$ dimensionale, ^[44] ^[83] mentre la teoria di Kaluza-Klein usa la gravità in dimensioni extra per produrre a dimensioni più basse teorie di gauge. ^[84]

Nello spaziotempo di Minkowski, la metrica piatta $\eta _{\mu \nu }$ $\eta _{\mu \nu }$ $\eta _{\mu \nu }$ è usata per alzare e abbassare gli indici nella lagrangiana, ad esempio

A_{\mu }A^{\mu }=\eta _{\mu \nu }A^{\mu }A^{\nu },\quad \partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi =\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi ,

A_{\mu }A^{\mu }=\eta _{\mu \nu }A^{\mu }A^{\nu },\quad \partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi =\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi ,

A_{\mu }A^{\mu }=\eta _{\mu \nu }A^{\mu }A^{\nu },\quad \partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi =\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi ,

dove $\eta ^{\mu \nu }$ $\eta ^{\mu \nu }$ $\eta ^{\mu \nu }$ è l'inversa di $\eta _{\mu \nu }$ $\eta _{\mu \nu }$ $\eta _{\mu \nu }$ che soddisfa $\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\rho \nu }=\delta _{\nu }^{\mu }$ $\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\rho \nu }=\delta _{\nu }^{\mu }$ $\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\rho \nu }=\delta _{\nu }^{\mu }$ . Per le QFT nello spaziotempo curvo , invece, si usa una metrica generale (come la metrica di Schwarzschild che descrive un buco nero ):

A_{\mu }A^{\mu }=g_{\mu \nu }A^{\mu }A^{\nu },\quad \partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi =g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi ,

A_{\mu }A^{\mu }=g_{\mu \nu }A^{\mu }A^{\nu },\quad \partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi =g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi ,

A_{\mu }A^{\mu }=g_{\mu \nu }A^{\mu }A^{\nu },\quad \partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi =g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi ,

dove $g^{\mu \nu }$ $g^{\mu \nu }$ $g^{\mu \nu}$ è l'inversa di $g_{\mu \nu }$ $g_{\mu \nu }$ $g_{\mu \nu}$ . Per un campo scalare reale, la densità lagrangiana in uno spaziotempo generico è

{\mathcal {L}}={\sqrt {|g|}}\left({\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\phi \nabla _{\nu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right),

{\mathcal {L}}={\sqrt {|g|}}\left({\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\phi \nabla _{\nu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right),

{\mathcal {L}}={\sqrt {|g|}}\left({\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\phi \nabla _{\nu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right),

dove $g=\mathrm {det} (g_{\mu \nu })$ $g=\mathrm {det} (g_{\mu \nu })$ $g=\mathrm {det} (g_{\mu \nu })$ , e $\nabla _{\mu }$ $\nabla _{\mu }$ $\nabla _{\mu }$ indica la derivata covariante . ^[85] La lagrangiana di una QFT, quindi i suoi risultati e le previsioni fisiche, dipende dalla geometria dello spaziotempo scelto come sfondo.

Teoria quantistica dei campi topologica

Le funzioni di correlazione e le previsioni fisiche di una QFT dipendono dalla metrica dello spaziotempo $g_{\mu \nu }$ $g_{\mu \nu }$ $g_{\mu \nu}$ . Per una classe particolare di QFT, dette teorie quantistiche dei campi topologiche (TQFT), tutte le funzioni di correlazione sono indipendenti da variazioni continue della metrica. ^[86] Le QFT nello spaziotempo curvo in generale variano secondo la geometria (struttura locale) dello spaziotempo, mentre le TQFT sono invarianti rispetto a diffeomorfismi ma risentono della topologia (struttura globale) dello spaziotempo. Ciò significa che tutti i risultati delle TQFTs sono invarianti topologici dello spaziotempo soggiacente. La teoria di Chern-Simons è un esempio di TQFT ed è stata usata per costruire modelli di gravità quantistica. ^[87] Le applicazioni della TQFT comprendono l' effetto Hall quantistico frazionario ei computer quantistici topologici . ^[88] Le teorie quantistiche dei campi topologiche applicabili alla ricerca di frontiera della materia quantistica topologica comprendono le teorie gauge Chern-Simons in $2+1$ ${\displaystyle 2+1}$ $2+1$ dimensioni, altre TQFT in $3+1$ ${\displaystyle 3+1}$ $3+1$ dimensioni e oltre. ^[89]

Metodi perturbativi e non perturbativi

Usando la teoria perturbativa , l'effetto totale di un piccolo termine di interazione può essere approssimato ordine per ordine da uno sviluppo nel numero di particelle virtuali partecipanti nella interazione. Ogni termine nello sviluppo può essere compreso come un possibile modo per l'interazione delle particelle (fisiche) tra di loro tramite particelle virtuali, espressi visivamente usando il diagramma di Feynman . La forza elettromagnetica tra due elettroni in QED è rappresentata (al primo ordine in teoria perturbativa) dalla propagazione di un fotone virtuale. In un modo simile, i bosoni W e Z portano l'interazione debole, mentre i gluoni portano l'interazione forte. L'interpretazione di un'interazione come somma di stati intermedi coinvolgono lo scambio di varie particelle virtuali ha solo senso nel quadro della teoria perturbativa. In confronto, metodi non perturbativi in QFT trattano la lagrangiana interagente senza sviluppi in serie. Invece di particelle che portano interazioni, questi metodi hanno originato concetti come il monopolo di 't Hooft-Polyakov, il domain wall , il tubo di flusso, e l' istantone . ^[90] Esempi di QFT che sono completamente risolvibili non perturbativamente sono i modelli minimali della teoria di campo conforme ^[91] e il modello di Thirring . ^[92]

Note

^ Questa prima parte—prima del 1950— si basa su Weinberg 1995 , §1 .
^ Cao 1997 , §9.2 .
^ Vedere Zee , §VI.8 e ( EN ) Steven Weinberg, From BCS to the LHC , su cerncourier.com . URL consultato il 29 ottobre 2020 ( archiviato il 12 marzo 2012) .
^ Cao 1997 , p. 323 .
^ Weinberg 1996 , §18.7 .
^ Zee 2003 , §V.6 .
^ Kuhlmann 2009 , §3.4 . Vedere anche Zee 2003 , §VIII.3
^ ^a ^b Tong 2015 , capitolo 1 .
^ Zee .
^ Peskin , p. 16 .
^ Peskin , p. 17 .
^ Peskin , pp. 21,26 .
^ Peskin , p. 20 .
^ Peskin , p. 21 .
^ Peskin , p. 22 .
^ ( DE ) V. Fock , Konfigurationsraum und zweite Quantelung , in Zeitschrift für Physik , vol. 75, 9–10, 10 marzo 1932, pp. 622-647, Bibcode : 1932ZPhy...75..622F , DOI : 10.1007/BF01344458 .
^ Peskin , p. 19 .
^ Peskin , p. 52 .
^ Katrin Becker, Melanie Becker e John H. Schwarz , String Theory and M-Theory , Cambridge University Press, 2007, p. 36 , ISBN 978-0-521-86069-7 .
^ Peskin , p. 77 .
^ Zee , p. 10 .
^ Peskin , p. 282 , Zee , p. 12 .
^ Peskin , p. 82 .
^ Peskin , p. 87 .
^ Peskin , p. 84 .
^ Peskin , p. 284 .
^ Peskin , p. 90 .
^ Peskin , pp. 31, 288 , Zee , p. 23
^ Peskin , pp. 91-94 .
^ Peskin , p. 98 .
^ Peskin , pp. 102-115 .
^ Zee , p. 44 .
^ Peskin , p. 31 .
^ Peskin , pp. 323-326 .
^ Peskin , pp. 719-727 .
^ Peskin , p. 798 Zee , p. 421
^ Peskin , p. 393 .
^ Peskin , p. 417 .
^ Peskin , pp. 410-411 .
^ Takehisa Fujita, Physics of Renormalization Group Equation in QED , 1º febbraio 2008.
^ Peskin , p. 420 .
^ Peskin , p. 531 .
^ Ofer Aharony, Guy Gur-Ari e Nizan Klinghoffer, The Holographic Dictionary for Beta Functions of Multi-trace Coupling Constants , in Journal of High Energy Physics , vol. 2015, n. 5, 19 maggio 2015, p. 31, Bibcode : 2015JHEP...05..031A , DOI : 10.1007/JHEP05(2015)031 , arXiv : 1501.06664 .
^ ^a ^b Joseph Polchinski , String Theory , vol. 1, Cambridge University Press, 2005, ISBN 978-0-521-67227-6 .
^ Stefano Kovacs, N = 4 supersymmetric Yang–Mills theory and the AdS/SCFT correspondence , 26 agosto 1999.
^ Peskin , pp. 402-403 .
^ Shifman , p. 2 .
^ Zee , p. 156 .
^ Peskin , p. 78 .
^ Peskin , pp. 482-483 .
^ Peskin , p. 496 .
^ Peskin , p. 489 .
^ Peskin , p. 547 .
^ Peskin , pp. 490-491 .
^ Zee , p. 243 .
^ Peskin , pp. 705-707 .
^ Martinus Veltman, Methods in Field Theory , in Proceedings of the Les Houches Summer School 1975 , Les Houches, 1976.
^ Peskin , pp. 17-18 , Zee , p. 73 .
^ Katherine A. Brading, Which symmetry? Noether, Weyl, and conservation of electric charge , in Studies in History and Philosophy of Science Part B: Studies in History and Philosophy of Modern Physics , vol. 33, n. 1, marzo 2002, pp. 3-22, Bibcode : 2002SHPMP..33....3B , DOI : 10.1016/S1355-2198(01)00033-8 , citeseerx 10.1.1.569.106.
^ Zee , p. 168 .
^ Peskin , pp. 512-515 .
^ Peskin , p. 517 .
^ Peskin , p. 347 .
^ Peskin , pp. 349-350 .
^ Peskin , p. 351 .
^ Peskin , pp. 743-744 .
^ Zee , p. 199 .
^ Peskin , p. 690 .
^ Peskin , p. 795 , Zee , p. 443
^ Weinberg 1995 , pp. 58-60 .
^ Peskin , p. 795 , Zee , p. 444
^ Peskin , p. 795 , Zee , p. 450
^ Bernard de Wit e Jan Louis, Supersymmetry and Dualities in various dimensions , 18 febbraio 1998.
^ Joseph Polchinski , String Theory , vol. 2, Cambridge University Press, 2005, ISBN 978-0-521-67228-3 .
^ Zee , p. 448 .
^ Zee , p. 450 .
^ Zee , p. 444 .
^ P. Nath e R. Arnowitt, Generalized Super-Gauge Symmetry as a New Framework for Unified Gauge Theories , in Physics Letters B , vol. 56, n. 2, 1975, p. 177, Bibcode : 1975PhLB...56..177N , DOI : 10.1016/0370-2693(75)90297-x .
^ Peskin , pp. 796-797 .
^ Carlos Munoz, Models of Supersymmetry for Dark Matter , in EPJ Web of Conferences , vol. 136, 18 gennaio 2017, p. 01002, Bibcode : 2017EPJWC.13601002M , DOI : 10.1051/epjconf/201713601002 , arXiv : 1701.05259 .
^ Peskin , p. 797 , Zee , p. 443
^ G. Morandi, P. Sodano, A. Tagliacozzo e V. Tognetti, Field Theories for Low-Dimensional Condensed Matter Systems , Springer, 2000, ISBN 978-3-662-04273-1 .
^ Zee , p. 452 .
^ Zee , pp. 428-429 .
^ Leonard E. Parker e David J. Toms, Quantum Field Theory in Curved Spacetime , Cambridge University Press, 2009, p. 43 , ISBN 978-0-521-87787-9 .
^ Vladimir G. Ivancevic e Tijana T. Ivancevic, Undergraduate Lecture Notes in Topological Quantum Field Theory ( PDF ), 11 dicembre 2008. pagina 36
^ Steven Carlip , Quantum Gravity in 2+1 Dimensions , Cambridge University Press, 1998, pp. 27-29, DOI : 10.1017/CBO9780511564192 , ISBN 9780511564192 .
^ Nils Carqueville e Ingo Runkel, Physics of Renormalization Group Equation in QED , 16 maggio 2017. pagine 1–5
^ Pavel Putrov, Juven Wang e Shing-Tung Yau, Braiding Statistics and Link Invariants of Bosonic/Fermionic Topological Quantum Matter in 2+1 and 3+1 dimensions , in Annals of Physics , vol. 384, C, 2017, pp. 254-287, DOI : 10.1016/j.aop.2017.06.019 , arXiv : 1612.09298 .
^ Shifman .
^ Philippe Di Francesco, Pierre Mathieu e David Sénéchal, Conformal Field Theory , Springer, 1997, ISBN 978-1-4612-7475-9 .
^ W. Thirring , A Soluble Relativistic Field Theory? , in Annals of Physics , vol. 3, n. 1, 1958, pp. 91-112, Bibcode : 1958AnPhy...3...91T , DOI : 10.1016/0003-4916(58)90015-0 .

Bibliografia

( EN ) Tian Yu Cao, Conceptual developments of 20th century field theories , Cambridge University Press, 1997, ISBN 0521431786 .
Meinard Kuhlmann, Quantum field theory , in The Stanford Encyclopedia of Philosophy , Edward N. Zalta, primavera 2009. URL consultato il 29 ottobre 2020 ( archiviato il 12 marzo 2012) .
( EN ) Michael Peskin e Daniel Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory , Westview Press, 1995, ISBN 978-0-201-50397-5 .
( EN ) M. Shifman, Advanced Topics in Quantum Field Theory , Cambridge University Press, 2012, ISBN 978-0-521-19084-8 .
David Tong, Lectures on Quantum Field Theory , su damtp.cam.ac.uk , 2015. URL consultato il 3 novembre 2020 .
( EN ) Steven Weinberg , The Quantum Theory of Fields: Volume 1, Foundations , Cambridge, Cambridge University Press, 1995, ISBN 978-05-21-67053-1 .
( EN ) Steven Weinberg, The Quantum Theory of Fields: Volume 2, Modern applications , Cambridge, Cambridge University Press, 1996, ISBN 978-05-21-55002-4 .
( EN ) A. Zee, Quantum field theory in a nutshell , Princeton University Press , 2003, ISBN 0-691-01019-6 .

Approfondimenti

Steven Weinberg , La teoria quantistica dei campi , Bologna, Zanichelli, 1998, ISBN 88-08-17894-3 .
( EN ) Steven Weinberg, The Quantum Theory of Fields: Volume 3, Supersymmetry , Cambridge, Cambridge University Press, 2005, ISBN 978-05-21-67056-2 .
( EN ) C. Itzykson e JB Zuber, Quantum Field Theory , Dover, 2006, ISBN 978-04-86-44568-7 .
( EN ) Nikolaj N. Bogoljubov e D. Shirkov, Introduction to the theory of quantized fields , New York, Wiley-Intersceince, 1959.
Lev D. Landau e Evgenij M. Lifšic , Meccanica quantistica. Teoria non relativistica , Roma, Editori Riuniti, 2010, ISBN 978-88-64-73208-4 .
Giuseppe Mussardo, Il Modello di Ising. Introduzione alla Teoria dei Campi e delle Transizioni di Fase , Torino, Bollati-Boringhieri, 2007, ISBN 978-88-33-95785-2 .
( EN ) Robin Ticciati, Quantum Field Theory for Mathematicians , Cambridge University Press, 1999, ISBN 978-05-21-63265-2 .
( EN ) F. Mandl e G. Shaw, Quantum Field Theory , John Wiley & Sons, 1993, ISBN 978-04-71-49684-7 .
( EN ) Franz Gross, Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory , Wiley-Interscience, 1993, ISBN 978-04-71-35386-7 .

Voci correlate

Altri progetti

Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su teoria quantistica dei campi

Collegamenti esterni

( EN ) Teoria quantistica dei campi , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( EN ) FJ Dyson 1951 Lectures on Advanced Quantum Mechanics Second Edition
( EN ) S. Coleman Corso di teoria dei campi, prima parte (Università Harvard)
( EN ) S. Coleman Corso di teoria dei campi, seconda parte
( EN ) W. Siegel Fields
Appunti di Meccanica Quantistica Relativistica ( Sapienza Università di Roma )
Elettrodinamica Quantistica (Sapienza Università di Roma)
Teorie di Gauge (Sapienza Università di Roma)

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 4961 · LCCN ( EN ) sh85109461 · GND ( DE ) 4047984-5 · BNF ( FR ) cb11938428w (data) · NDL ( EN , JA ) 00560512

Portale Quantistica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di quantistica

[1] Questa prima parte—prima del 1950— si basa su Weinberg 1995 , §1 .

[2] Cao 1997 , §9.2 .

[super-3] Vedere Zee , §VI.8 e ( EN ) Steven Weinberg, From BCS to the LHC , su cerncourier.com . URL consultato il 29 ottobre 2020 ( archiviato il 12 marzo 2012) .

[4] Cao 1997 , p. 323 .

[5] Weinberg 1996 , §18.7 .

[6] Zee 2003 , §V.6 .

[7] Kuhlmann 2009 , §3.4 . Vedere anche Zee 2003 , §VIII.3

[tong1-8] Tong 2015 , capitolo 1 .

[zee-9] Zee .

[10] Peskin , p. 16 .

[11] Peskin , p. 17 .

[12] Peskin , pp. 21,26 .

[13] Peskin , p. 20 .

[14] Peskin , p. 21 .

[15] Peskin , p. 22 .

[16] ( DE ) V. Fock , Konfigurationsraum und zweite Quantelung , in Zeitschrift für Physik , vol. 75, 9–10, 10 marzo 1932, pp. 622-647, Bibcode : 1932ZPhy...75..622F , DOI : 10.1007/BF01344458 .

[17] Peskin , p. 19 .

[18] Peskin , p. 52 .

[19] Katrin Becker, Melanie Becker e John H. Schwarz , String Theory and M-Theory , Cambridge University Press, 2007, p. 36 , ISBN 978-0-521-86069-7 .

[20] Peskin , p. 77 .

[21] Zee , p. 10 .

[22] Peskin , p. 282 , Zee , p. 12 .

[23] Peskin , p. 82 .

[24] Peskin , p. 87 .

[25] Peskin , p. 84 .

[26] Peskin , p. 284 .

[27] Peskin , p. 90 .

[28] Peskin , pp. 31, 288 , Zee , p. 23

[29] Peskin , pp. 91-94 .

[30] Peskin , p. 98 .

[31] Peskin , pp. 102-115 .

[32] Zee , p. 44 .

[33] Peskin , p. 31 .

[34] Peskin , pp. 323-326 .

[35] Peskin , pp. 719-727 .

[36] Peskin , p. 798 Zee , p. 421

[37] Peskin , p. 393 .

[38] Peskin , p. 417 .

[39] Peskin , pp. 410-411 .

[40] Takehisa Fujita, Physics of Renormalization Group Equation in QED , 1º febbraio 2008.

[41] Peskin , p. 420 .

[42] Peskin , p. 531 .

[43] Ofer Aharony, Guy Gur-Ari e Nizan Klinghoffer, The Holographic Dictionary for Beta Functions of Multi-trace Coupling Constants , in Journal of High Energy Physics , vol. 2015, n. 5, 19 maggio 2015, p. 31, Bibcode : 2015JHEP...05..031A , DOI : 10.1007/JHEP05(2015)031 , arXiv : 1501.06664 .

[polchinski1-44] Joseph Polchinski , String Theory , vol. 1, Cambridge University Press, 2005, ISBN 978-0-521-67227-6 .

[45] Stefano Kovacs, N = 4 supersymmetric Yang–Mills theory and the AdS/SCFT correspondence , 26 agosto 1999.

[46] Peskin , pp. 402-403 .

[47] Shifman , p. 2 .

[48] Zee , p. 156 .

[49] Peskin , p. 78 .

[50] Peskin , pp. 482-483 .

[51] Peskin , p. 496 .

[52] Peskin , p. 489 .

[53] Peskin , p. 547 .

[54] Peskin , pp. 490-491 .

[55] Zee , p. 243 .

[56] Peskin , pp. 705-707 .

[57] Martinus Veltman, Methods in Field Theory , in Proceedings of the Les Houches Summer School 1975 , Les Houches, 1976.

[58] Peskin , pp. 17-18 , Zee , p. 73 .

[59] Katherine A. Brading, Which symmetry? Noether, Weyl, and conservation of electric charge , in Studies in History and Philosophy of Science Part B: Studies in History and Philosophy of Modern Physics , vol. 33, n. 1, marzo 2002, pp. 3-22, Bibcode : 2002SHPMP..33....3B , DOI : 10.1016/S1355-2198(01)00033-8 , citeseerx 10.1.1.569.106.

[60] Zee , p. 168 .

[61] Peskin , pp. 512-515 .

[62] Peskin , p. 517 .

[63] Peskin , p. 347 .

[64] Peskin , pp. 349-350 .

[65] Peskin , p. 351 .

[66] Peskin , pp. 743-744 .

[67] Zee , p. 199 .

[68] Peskin , p. 690 .

[69] Peskin , p. 795 , Zee , p. 443

[W95p5860-70] Weinberg 1995 , pp. 58-60 .

[71] Peskin , p. 795 , Zee , p. 444

[72] Peskin , p. 795 , Zee , p. 450

[73] Bernard de Wit e Jan Louis, Supersymmetry and Dualities in various dimensions , 18 febbraio 1998.

[74] Joseph Polchinski , String Theory , vol. 2, Cambridge University Press, 2005, ISBN 978-0-521-67228-3 .

[75] Zee , p. 448 .

[76] Zee , p. 450 .

[77] Zee , p. 444 .

[NathArnowitt-78] P. Nath e R. Arnowitt, Generalized Super-Gauge Symmetry as a New Framework for Unified Gauge Theories , in Physics Letters B , vol. 56, n. 2, 1975, p. 177, Bibcode : 1975PhLB...56..177N , DOI : 10.1016/0370-2693(75)90297-x .

[79] Peskin , pp. 796-797 .

[80] Carlos Munoz, Models of Supersymmetry for Dark Matter , in EPJ Web of Conferences , vol. 136, 18 gennaio 2017, p. 01002, Bibcode : 2017EPJWC.13601002M , DOI : 10.1051/epjconf/201713601002 , arXiv : 1701.05259 .

[81] Peskin , p. 797 , Zee , p. 443

[82] G. Morandi, P. Sodano, A. Tagliacozzo e V. Tognetti, Field Theories for Low-Dimensional Condensed Matter Systems , Springer, 2000, ISBN 978-3-662-04273-1 .

[83] Zee , p. 452 .

[84] Zee , pp. 428-429 .

[85] Leonard E. Parker e David J. Toms, Quantum Field Theory in Curved Spacetime , Cambridge University Press, 2009, p. 43 , ISBN 978-0-521-87787-9 .

[86] Vladimir G. Ivancevic e Tijana T. Ivancevic, Undergraduate Lecture Notes in Topological Quantum Field Theory ( PDF ), 11 dicembre 2008. pagina 36

[87] Steven Carlip , Quantum Gravity in 2+1 Dimensions , Cambridge University Press, 1998, pp. 27-29, DOI : 10.1017/CBO9780511564192 , ISBN 9780511564192 .

[88] Nils Carqueville e Ingo Runkel, Physics of Renormalization Group Equation in QED , 16 maggio 2017. pagine 1–5

[89] Pavel Putrov, Juven Wang e Shing-Tung Yau, Braiding Statistics and Link Invariants of Bosonic/Fermionic Topological Quantum Matter in 2+1 and 3+1 dimensions , in Annals of Physics , vol. 384, C, 2017, pp. 254-287, DOI : 10.1016/j.aop.2017.06.019 , arXiv : 1612.09298 .

[shifman-90] Shifman .

[91] Philippe Di Francesco, Pierre Mathieu e David Sénéchal, Conformal Field Theory , Springer, 1997, ISBN 978-1-4612-7475-9 .

[92] W. Thirring , A Soluble Relativistic Field Theory? , in Annals of Physics , vol. 3, n. 1, 1958, pp. 91-112, Bibcode : 1958AnPhy...3...91T , DOI : 10.1016/0003-4916(58)90015-0 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]

[63]

[64]

[65]

[66]

[67]

[68]

[69]

[70]

[71]

[72]

[73]

[74]

[75]

[76]

[77]

[78]

[79]

[80]

[81]

[82]

[83]

[84]

[85]

[86]

[87]

[88]

[89]

[90]

[91]

[92]

V · D · M Meccanica quantistica
Formalismo matematico	Notazione bra-ket · Spazio di Hilbert ·Postulati della meccanica quantistica · Operatore normale · Interferenza (fisica)
Fondamenti e principi	Principio di indeterminazione di Heisenberg · Principio di complementarità · Funzione d'onda · Collasso della funzione d'onda · Interpretazione di Copenaghen · Spin · Vecchia teoria dei quanti · Interpretazione di Bohm
Operatori	Operatore impulso · Operatore posizione · Operatore hamiltoniano · Operatore momento angolare · Operatore densità
Formulazioni	Meccanica ondulatoria · Meccanica delle matrici · Integrale sui cammini
Equazioni	Equazione di Dirac · Equazione di Klein-Gordon · Equazione di Pauli · Equazione di Schrödinger
Paradossi	Paradosso del gatto di Schrödinger · Paradosso di Einstein-Podolsky-Rosen · Suicidio quantistico

V · D · M Teoria quantistica dei campi
Diagramma di Feynman · Storia della teoria quantistica dei campi
Premesse	Teoria di gauge · Teoria dei campi · Simmetria di Poincaré · Meccanica quantistica · Rottura spontanea di simmetria · Effetto Casimir
Simmetria in fisica	Crossing · Coniugazione di carica · Parità · Simmetria temporale
Strumenti	Anomalia · Teoria di campo efficace · Valore di aspettazione · Ghost di Faddeev-Popov · Diagramma di Feynman · Formula di riduzione LSZ · Funzione di partizione · Propagatore · Quantizzazione · Rinormalizzazione · Regolarizzazione · Vuoto quantistico · Teorema di Wick · Assiomi di Wightman
Equazioni	Equazione di Dirac · Equazione di Klein-Gordon · Equazione di Proca · Equazione Wheeler-DeWitt
Modello standard	Interazione elettrodebole · Meccanismo di Higgs · Cromodinamica quantistica · Elettrodinamica quantistica · Teoria di Yang-Mills
Teorie incomplete	Gravità quantistica · Teoria delle stringhe · Supersimmetria · Technicolor · Teoria del tutto
Scienziati	Bethe · Bogoljubov · Callan · Coleman · DeWitt · Dirac · Dyson · Fermi · Feynman · Fierz · Fröhlich · Gell-Mann · Goldstone · Gross · Haag · 't Hooft · Jackiw · Klein · Landau · Lee · Lehmann · Majorana · Nambu · Parisi · Poljakov · Salam · Schwinger · Skyrme · Stueckelberg · Symanzik · Tomonaga · Veltman · Weinberg · Weisskopf · Wightman · Wilson · Witten · Yang · Yukawa · Wilczek · Zimmermann