Tetraedru

Tetraedru

Tip	Solid platonic
Formați fețele	Triunghiuri
Nº fețe	4
Nr. De margini	6
Numărul de vârfuri	4
Valențe în partea de sus	3
Grup de simetrie	Grup simetric $S_{4}$ ${\ displaystyle S_ {4}}$ $S_ {4}$
Dual	se
Unghiuri diedre	aproximativ 70 ° 32 ′
Proprietate	nu chirale
Planificarea dezvoltării

Manual

Model 3D (în format .stl ) al unui tetraedru

În geometrie , un tetraedru este un poliedru cu patru fețe . Un tetraedru este neapărat convex , fețele sale sunt triunghiulare , are 4 vârfuri și 6 muchii .

Tetraedrul poate fi definit și ca un simplex tridimensional, adică ca solidul tridimensional cu cele mai puține vârfuri.

Tetraedrul regulat este unul dintre cele cinci solide platonice , adică unul dintre poliedrele regulate și fețele sale sunt triunghiuri echilaterale . Are un unghi diedru de aproximativ 70 ° 31 ′ 43.606 ″ sau mai precis un unghi diedru $\textstyle \arccos {\frac {1}{3}}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ arccos {\ frac {1} {3}}}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ arccos {\ frac {1} {3}}}$ .

Parametri metrici

Unii parametri metrici ai tetraedrului regulat cu muchii de lungime $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ sunt următoarele

Înălțime (adică distanța dintre vârf și fața opusă)	$\,{\frac {{\sqrt {6}}a}{3}}$ ${\ displaystyle \, {\ frac {{\ sqrt {6}} a} {3}}}$ $\, {\ frac {{\ sqrt {6}} a} {3}}$
Unghi diedru	$\,\arccos \left({\frac {1}{3}}\right)$ ${\ displaystyle \, \ arccos \ left ({\ frac {1} {3}} \ right)}$ $\, \ arccos \ left ({\ frac {1} {3}} \ right)$ (aproximativ 71 °)
Suprafața totală	$\,a^{2}{\sqrt {3}}$ ${\ displaystyle \, a ^ {2} {\ sqrt {3}}}$ $\, a ^ {2} {\ sqrt {3}}$
Volum	$\,{\frac {1}{12}}a^{3}{\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle \, {\ frac {1} {12}} a ^ {3} {\ sqrt {2}}}$ $\, {\ frac {1} {12}} a ^ {3} {\ sqrt {2}}$

Construcția lui Euclid

Fig. 1: determinarea colțului

LA C.

{\ displaystyle AC}

B.C

a tetraedrului înscris în sfera în diametru

LA B.

{\ displaystyle AB}

AB

Fig. 2: construcția tetraedrului

În cartea XIII a Elementelor sale, Euclid descrie metoda de înscriere a unui tetraedru regulat într-o sferă cu un diametru dat. Construcția descrisă de Euclid este următoarea:

Este $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ (vezi Fig. 1) un diametru al sferei date; împărțiți-l la punct $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ astfel încât $LA D.$ ${\ displaystyle AD}$ $LA$ este dublu față de $D. B.$ ${\ displaystyle DB}$ $DB$ . Construiți un semicerc pe acest diametru, ridicați perpendicularul din $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ și denotați cu $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ punctul de intersecție dintre această perpendiculară și circumferința. În cele din urmă, conectați punctele $LA C.$ ${\ displaystyle AC}$ $B.C$ .

Replicați aceeași construcție pe două etaje care trec $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ , cu un unghi diedru de 120 ° față de planul inițial (Fig. 2). În cele din urmă, urmăriți conexiunile dintre puncte $C. ȘI$ ${\ displaystyle CE}$ $EXISTĂ$ , $C. F.$ ${\ displaystyle CF}$ $CF$ și $ȘI F.$ ${\ displaystyle EF}$ $EF$ .

Este clar că vârfurile $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ , $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ Și $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ se găsesc pe arcurile cercurilor construite pe diametru $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ , deci sunt toate pe suprafața sferei de diametru egal. Pentru construcție marginile $LA C.$ ${\ displaystyle AC}$ $B.C$ , $LA ȘI$ ${\ displaystyle AE}$ $AE$ și $LA F.$ ${\ displaystyle AF}$ $AF$ ele sunt egale între ele, la fel și marginile $C. ȘI$ ${\ displaystyle CE}$ $EXISTĂ$ , $C. F.$ ${\ displaystyle CF}$ $CF$ și $ȘI F.$ ${\ displaystyle EF}$ $EF$ (acestea din urmă determină triunghiul echilateral la baza tetraedrului). Rămâne să verificăm dacă aceste două grupuri de margini au aceeași lungime.

În partea superioară a figurii din stânga este reprodusă construcția inițială: pentru a doua teoremă a lui Euclid , segmentul $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este medie proporțională între segmente $LA D.$ ${\ displaystyle AD}$ $LA$ Și $D. B.$ ${\ displaystyle DB}$ $DB$ . Presupunând (fără pierderea generalității) că diametrul cercului este unitar, se dovedește că aceste segmente au lungimile indicate în figură, prin urmare:

AD:x=x:DB,

{\ displaystyle AD: x = x: DB,}

AD: x = x: DB,

{\frac {2}{3}}:x=x:{\frac {1}{3}},

{\ displaystyle {\ frac {2} {3}}: x = x: {\ frac {1} {3}},}

{\ frac {2} {3}}: x = x: {\ frac {1} {3}},

x^{2}={\frac {2}{9}}.

{\ displaystyle x ^ {2} = {\ frac {2} {9}}.}

x ^ {2} = {\ frac {2} {9}}.

Datorită teoremei lui Pitagora acum este posibil să se calculeze lungimea segmentului $LA C.$ ${\ displaystyle AC}$ $B.C$ sau, pentru comoditate, pătratul său:

AC^{2}=x^{2}+AD^{2}={\frac {2}{9}}+\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}={\frac {2}{9}}+{\frac {4}{9}}={\frac {6}{9}}={\frac {2}{3}}.

{\ displaystyle AC ^ {2} = x ^ {2} + AD ^ {2} = {\ frac {2} {9}} + \ left ({\ frac {2} {3}} \ right) ^ { 2} = {\ frac {2} {9}} + {\ frac {4} {9}} = {\ frac {6} {9}} = {\ frac {2} {3}}.}

AC ^ {2} = x ^ {2} + AD ^ {2} = {\ frac {2} {9}} + \ left ({\ frac {2} {3}} \ right) ^ {2} = {\ frac {2} {9}} + {\ frac {4} {9}} = {\ frac {6} {9}} = {\ frac {2} {3}}.

Partea inferioară a desenului ilustrează baza tetraedrului. Segmentul $C. F.$ ${\ displaystyle CF}$ $CF$ este catetul triunghiului $H. C. F.$ ${\ displaystyle HCF}$ $HCF$ dreptunghi în $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ , asa de:

CF^{2}=HC^{2}-HF^{2}=(2x)^{2}-x^{2}=3x^{2}=3{\frac {2}{9}}={\frac {6}{9}}={\frac {2}{3}}.

{\ displaystyle CF ^ {2} = HC ^ {2} -HF ^ {2} = (2x) ^ {2} -x ^ {2} = 3x ^ {2} = 3 {\ frac {2} {9 }} = {\ frac {6} {9}} = {\ frac {2} {3}}.}

CF ^ {2} = HC ^ {2} -HF ^ {2} = (2x) ^ {2} -x ^ {2} = 3x ^ {2} = 3 {\ frac {2} {9}} = {\ frac {6} {9}} = {\ frac {2} {3}}.

În consecință, cele trei margini de la baza tetraedrului și cele trei margini care se termină la vârf $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , toate au aceeași lungime $s=AC=CF={\sqrt {\frac {2}{3}}}$ ${\ displaystyle s = AC = CF = {\ sqrt {\ frac {2} {3}}}}$ ${\ displaystyle s = AC = CF = {\ sqrt {\ frac {2} {3}}}}$ și, prin urmare, poliedrul construit este de fapt înscris în sfera dată. De asemenea, trebuie remarcat faptul că din aceste calcule rezultă, de asemenea, că pătratul oricărei muchii a tetraedrului este egal cu $\scriptstyle {\frac {2}{3}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {2} {3}}}$ $\ scriptstyle {{\ frac {2} {3}}}$ a pătratului diametrului $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ .

Poliedru dual

Tetrahedra

Poliedrul dual al tetraedrului este încă un tetraedru. Tetraedrul regulat este singurul dintre cele cinci solide platonice care este dual de la sine: celelalte patru sunt cuplate de relația de dualitate.

Simetriile

Simetriile tetraedrului: rotații în jurul unei axe sau reflexie față de un plan.

Tetraedrul are $24$ ${\ displaystyle 24}$ $24$ simetrii : fiecare permutare a celor patru vârfuri este de fapt realizată printr-o singură simetrie. Prin urmare, grupul de simetrie este grupul $S_{4}$ ${\ displaystyle S_ {4}}$ $S_ {4}$ de permutări ale $4$ ${\ displaystyle 4}$ $4$ elemente, de cardinalitate $4!=24$ ${\ displaystyle 4! = 24}$ $4! = 24$ . Între acestea, $12$ ${\ displaystyle 12}$ $12$ sunt rotații în jurul unor axe, în timp ce celelalte $12$ ${\ displaystyle 12}$ $12$ inversează orientarea spațiului.

The $12$ ${\ displaystyle 12}$ $12$ Simetriile de rotație (inclusiv identitatea ) formează un subgrup , izomorf al grupului alternativ $A_{4}$ ${\ displaystyle A_ {4}}$ $A_ {4}$ . Axa de rotație a unei simetrii poate conecta centrul unei fețe cu un vârf opus ( $4$ ${\ displaystyle 4}$ $4$ posibilitatea), sau punctele medii ale două margini opuse ( $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ posibilitate). Rotațiile de 120 ° sau 240 ° pot fi efectuate în jurul unei axe de primul tip, în timp ce rotația este de 180 ° în jurul unei axe de al doilea tip. În total, se obțin atunci $2\cdot 4+3=11$ ${\ displaystyle 2 \ cdot 4 + 3 = 11}$ $2 \ cdot 4 + 3 = 11$ rotații, la care trebuie adăugată identitatea pentru a obține toate $12$ ${\ displaystyle 12}$ $12$ simetrii rotative.

Cele 12 simetrii de rotație ale tetraedrului. Pe lângă identitate, există

2\cdot 4=8

{\ displaystyle 2 \ cdot 4 = 8}

2 \ cdot 4 = 8

rotații de-a lungul axelor care trec prin vârfuri e

3

{\ displaystyle 3}

3

de-a lungul axelor care leagă muchii opuse.

Prin numerotarea vârfurilor tetraedrului cu $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ , $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ , $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ Și $4$ ${\ displaystyle 4}$ $4$ , rotațiile de 120 ° și 240 ° corespund permutațiilor

(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243)

{\ displaystyle (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243)}

(123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243)

adică la ciclurile ordinii $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ . Rotațiile de 180 ° corespund în schimb permutațiilor

(12)(34),(13)(24),(14)(23)

{\ displaystyle (12) (34), (13) (24), (14) (23)}

(12) (34), (13) (24), (14) (23)

obținut ca produs al $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ - cicluri independente.

De la $12$ ${\ displaystyle 12}$ $12$ simetrii care nu păstrează orientarea, $6$ ${\ displaystyle 6}$ $6$ sunt reflexii de-a lungul planurilor: fiecare plan conține o margine și punctul de mijloc al marginii opuse (ca în figura din dreapta). Acestea corespund ciclurilor de ordine $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$

(12),(13),(14),(23),(24),(34)

{\ displaystyle (12), (13), (14), (23), (24), (34)}

(12), (13), (14), (23), (24), (34)

În cele din urmă, celelalte $6$ ${\ displaystyle 6}$ $6$ Simetriile sunt compoziții de reflexii de-a lungul planurilor și rotațiilor și corespund ciclurilor de ordine $4$ ${\ displaystyle 4}$ $4$

(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432).

{\ displaystyle (1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432).}

(1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432).

Generalizări

Același subiect în detaliu: Simplex .

Simplexul este un obiect care generalizează noțiunea de tetraedru la o dimensiune arbitrară. Acesta este singurul politop $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional având $n+1$ ${\ displaystyle n + 1}$ $n + 1$ vârfuri, în timp ce orice alt politop are o cantitate mai mare. Pentru $n=1,2,3$ ${\ displaystyle n = 1,2,3}$ $n = 1,2,3$ simplexul este un segment , un triunghi și respectiv un tetraedru.

Einstein și tetraedrul

Tetraedru construit cu șase scobitori

Există o anecdotă curioasă despre Albert Einstein ^[1] : la o conferință a fizicienilor , copleșit de critici pentru concepția sa nebună despre un spațiu - timp în patru dimensiuni, el a propus următoarea problemă:

Având în vedere șase scobitori , construiți patru triunghiuri echilaterale .

Niciunul dintre cei prezenți nu a reușit să așeze scobitorii pe un plan pentru a forma triunghiurile necesare, ceea ce este de fapt imposibil, la care Einstein a compus un tetraedru cu cele șase scobitori și a spus:

Dacă nu știi cum să folosești a treia dimensiune, pe care o experimentezi în fiecare zi, cum speri să o înțelegi pe a patra?

Notă

^ Maria Toffetti, Tabără de vară pentru tineri genii , A. Mondadori, 2009.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikționarul conține dicționarul lema « tetraedru »
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre tetraedru

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Tetrahedron , în MathWorld Wolfram Research.
( EN ) Poliedre uniforme , pe mathconsult.ch .
( EN ) Poliedre în realitate virtuală , pe georgehart.com .
Modele de hârtie ale poliedrelor , pe korthalsaltes.com .

Controlul autorității	GND ( DE ) 4129555-9

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Maria Toffetti, Tabără de vară pentru tineri genii , A. Mondadori, 2009.

[1]