Topologie

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Grafic
Grafic
Nodul
Nodul
Banda Moebius

Benzi Mobius
Taur
Taur
Hopf Fibration.png
Fibrarea Hopf
Sfera Cornului lui Alexandru
Sfera Cornului lui Alexandru
Set cantor
Set cantor
3-colector (o hipersferă)
3 soiuri (o hipersferă )

Topologia (din greaca τόπος, tópos , „loc”, și λόγος, lógos , „studiu”, însemnând astfel „studiu de locuri”) este o ramură a geometriei care studiază proprietățile figurilor și obiectelor în general matematice, care fac nu se schimbă atunci când se efectuează o deformare fără „rupere”, „suprapunere” sau „lipire”.

Este una dintre cele mai importante ramuri ale matematicii moderne. Conceptele fundamentale precum convergența , limita , continuitatea , conexiunea sau compactitatea își găsesc cea mai bună formalizare în topologie. Se bazează în esență pe conceptele de spațiu topologic , funcție continuă și homeomorfism .

Termenul topologie indică și colecția de seturi deschise care definește un spațiu topologic . De exemplu, un cub și o sferă sunt obiecte echivalente topologic (adică homeomorfe ), deoarece pot fi deformate unele în altele fără a recurge la nicio lipire, rupere sau suprapunere; pe de altă parte, o sferă și un tor nu sunt, deoarece torul conține o „gaură” care nu poate fi eliminată printr-o deformare.

Istorie

Cele șapte poduri din Königsberg, una dintre primele probleme topologice

Strămoșul topologiei este geometria veche. Articolul lui Euler din 1736 despre cele șapte poduri din Königsberg [1] este văzut ca unul dintre primele rezultate care nu depind de niciun fel de măsurare, adică unul dintre primele rezultate topologice.

Georg Cantor , inventatorul teoriei mulțimilor , a început studierea teoriei mulțimilor a punctelor din spațiul euclidian către sfârșitul secolului al XIX-lea .

În 1895 , în analiza sa Situs [2] , Henri Poincaré a introdus conceptele de homotopie și omologie , considerate acum parte a topologiei algebrice . Corespondența dintre matematicienii italieni Enrico Betti și Placido Tardy , colectată de André Weil , datează de la mijlocul secolului al XIX-lea și s-a axat în special pe conexiunea spațiilor topologice. [3]

Maurice Fréchet , unificând lucrarea asupra spațiilor funcționale de Cantor, Vito Volterra , Arzelà, Hadamard , Ascoli și alții, a introdus în 1906 conceptul de spațiu metric [4] .

În 1914, Felix Hausdorff , generalizând noțiunea de spațiu metric, a inventat termenul de spațiu topologic și a definit ceea ce se numește acum spațiu Hausdorff [5] .

În cele din urmă, în 1922 Kuratowski , cu o ușoară generalizare în continuare, a furnizat conceptul actual de spațiu topologic.

Introducere elementară

Spațiile topologice sunt folosite zilnic de analiza matematică , algebră abstractă , geometrie : acest lucru face din topologie una dintre marile idei unificatoare ale matematicii. Topologia generală (sau topologia seturilor de puncte ) definește și studiază câteva proprietăți utile ale spațiilor și hărților, cum ar fi conexiunea , compactitatea și continuitatea acestora . Topologia algebrică, pe de altă parte, este un instrument puternic pentru studierea spațiilor topologice și a hărților dintre ele: le atribuie invarianți „discreți” (de exemplu, numere, grupuri sau inele ), care sunt mai calculabili, folosind deseori funcții . Ideile topologiei algebrice au avut o mare influență asupra algebrei și geometriei algebrice .

Dacă trei seturi închise acoperă o sferă, cel puțin unul dintre ele conține două puncte antipodale : acest fapt poate fi demonstrat cu instrumente topologice. O afirmație analogă este oferită de teorema Borsuk-Ulam : există întotdeauna două puncte antipodale pe Pământ având aceeași temperatură și aceeași presiune atmosferică .

Rațiunea profundă a topologiei este că unele probleme geometrice nu depind de forma exactă a obiectelor implicate, ci mai degrabă „de modul în care sunt conectate”. De exemplu, teorema sferei păroase a topologiei algebrice spune că „nu se poate pieptăna continuu părul unei sfere păroase”. Acest fapt este evident pentru mulți oameni, chiar dacă probabil nu l-ar recunoaște citind afirmația formală a teoremei, și anume că nu există câmp vector continuu și nenul de vectori tangenți la sfera însăși. În ceea ce privește Podurile Königsberg , rezultatul nu depinde de forma exactă a sferei, ci se aplică și formelor sferice neregulate și, în general, oricărui tip de obiect (atâta timp cât suprafața sa satisface anumite cerințe de continuitate și regularitate) care nu are găuri.

Pentru a face față problemelor care nu iau în considerare forma exactă a obiectelor, este necesar să clarificăm care sunt proprietățile obiectelor pe care ne putem baza: din această nevoie rezultă noțiunea de echivalență topologică . Imposibilitatea de a traversa fiecare pod o singură dată este adevărată pentru fiecare configurație a podului echivalentă topologic cu cele din Königsberg, iar problema sferei păroase se aplică fiecărui spațiu echivalent topologic unei sfere. În mod formal, două spații sunt echivalente topologic dacă există un homeomorfism între ele: în acest caz ele sunt numite homeomorfe și sunt, în scopuri topologice, exact identice.

O deformare continuă a unei cești de cafea într-un tor . Deformațiile continue sunt formalizate în noțiunile de homeomorfism și homotopie .

Un homeomorfism este definit formal ca o funcție bijectivă continuă cu invers continuu, care nu este foarte intuitiv nici măcar pentru cei care cunosc deja semnificația cuvintelor din definiție. O definiție mai puțin formală dă un sens mai bun al celor de mai sus: două spații sunt echivalente din punct de vedere topologic dacă este posibil să se transforme unul în celălalt fără a tăia sau lipi bucăți ale celor două. De exemplu, o ceașcă și o gogoașă sunt homeomorfe, așa cum sugerează animația opusă.

Un exercițiu introductiv simplu este clasificarea literelor majuscule ale alfabetului pe clase de echivalență topologică. Se obține următorul rezultat:

Alfabet homeo.png

Există o noțiune mai slabă de echivalență decât homeomorfismul, numit homotopie . În mod informal, această noțiune permite ca obiectele să fie transformate între ele într-un mod ușor mai liber: de exemplu, este posibil să transformăm un Q într-un O scurtând progresiv piciorul literei Q până când acesta dispare. Veți primi următoarele clase:

Alfabet homotopy.png

Această ultimă noțiune distinge literele în esență prin numărul de "găuri": {A, R, D, O, P, Q} au una, {B} are două, toate celelalte litere niciuna. Numărul de găuri este deci un invariant , o cantitate utilă pentru a distinge obiecte. Această cantitate este realizată formal cu conceptul grupului fundamental .

Doi hoți împart un colier furat, cu perle de două tipuri diferite: există întotdeauna o modalitate de a tăia colierul în două bucăți, conținând același număr de bile din cele două tipuri.

Topologia se pretează, de asemenea, foarte bine unei abordări elementare a studiului geometriei. „Problema cu 7 punți” menționată mai sus, de exemplu, duce la reflecții asupra rețelelor din plan, cu noduri, arcuri și suprafețe. „ Problema celor 4 culori ” se referă la modul în care o suprafață împărțită în regiuni separate poate fi colorată cu cel mai mic număr posibil de culori diferite, așa cum ar putea fi și harta Italiei politice. Aceeași bandă Möbius construită cu hârtie, cu fața sa unică și marginea sa unică, tăiată în lungime în diferite moduri, permite observații interesante, care aproape uimesc, cum ar fi strălucirea mâinii.

Noțiuni de bază

Noțiunea fundamentală în topologie este cea a spațiului topologic . Un spațiu topologic este un întreg de puncte, echipate cu o structură care realizează conceptele de proximitate și distanță între ele. Structura constă dintr-o colecție de seturi de , numite deschise , care satisfac proprietăți similare cu cele ale seturilor deschise ale liniei reale .

Spațiul topologic

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Spațiul topologic .
Un spațiu topologic este un întreg de puncte pe care sunt definite anumite subseturi, numite deschise . Cu toate acestea, aceste subseturi trebuie să satisfacă unele proprietăți. Aici sunt prezentate șase opțiuni diferite pentru setul de trei puncte : doar primele patru dau naștere într-adevăr unui spațiu topologic (în al cincilea lipsește uniunea dintre {2} și {3}, în a șasea lipsesc intersecția dintre {1,2} și {2,3}).

O colecție este definită ca o topologie de subseturi ale unui set astfel încât: [6]

  • Setul gol și apartine : Și
  • Unirea unei cantități arbitrare de mulțimi aparținând aparține lui :
  • Intersecția a două mulțimi aparținând aparține lui :

Un spațiu topologic este o pereche ( , ), unde este este un set și o topologie. Într-un spațiu topologic se spune că mulțimile care constituie T sunt deschise în . [6] Complementarele seturilor deschise se numesc închise , din nou în analogie cu seturile închise ale

Mai mult, din a treia condiție topologică și prin inducție, deducem că intersecția unui număr finit de mulțimi aparținând aparține lui .

Un spațiu metric este un spațiu topologic particular, în care două puncte au o distanță definită , care cuantifică în mod concret apropierea (sau distanța) dintre cele două puncte. Cu toate acestea, este important să subliniem că noțiunea de spațiu topologic este mai generală și mai flexibilă, deoarece nu trebuie să definească cu precizie distanța dintre două puncte.

Spațiul euclidian in marime este un spațiu metric și deci topologic. În special, planul cartezian și spațiul tridimensional sunt spații topologice.

Fiecare subset al unui spațiu topologic este, de asemenea, în mod natural, un spațiu topologic. Rezultă că orice obiect conținut în plan sau în spațiu este un spațiu topologic: de exemplu un poligon , o coroană circulară sau obiecte mult mai complexe, cum ar fi fractalii, sunt spații topologice conținute în plan; o ceașcă, o gogoasă, o bandă Mobius sunt spații topologice conținute în spațiu. Multe spații topologice nu sunt conținute nici în plan, nici în spațiu: un exemplu este sticla Klein (care totuși este conținută în spațiul 4-dimensional).

Funcții continue

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: funcție continuă .

Noțiunea de funcție continuă este utilă pentru modelarea riguroasă a „deformațiilor permise” care, de exemplu, transformă o cană într-o gogoasă. O funcție

între două spații topologice este continuă dacă contraimaginea unui set deschis de este un set deschis de . Această noțiune folosește singura structură disponibilă (seturi deschise) și, deși exprimată într-un mod total diferit, coincide (pentru funcții de la în ) cu noțiunea mai obișnuită de funcție continuă definită în analiza matematică cu ajutorul calculului infinitesimal , adică a și zei .

Două spații topologice Și sunt deci homeomorfe dacă există două funcții continue

care sunt inversul celuilalt. Cu alte cuvinte, există o corespondență unu-la-unu între Și care se potrivește cu seturile deschise de cu cele ale .

Două spații topologice homeomorfe sunt așadar într-un anumit sens „egale” (din punct de vedere topologic). De exemplu, cupa și gogoasa sunt homeomorfe. Pătratul și cercul sunt homeomorfe. Evident, astfel de spații nu pot fi „egale” dacă sunt considerate din alte puncte de vedere: ca spații metrice , pătratul și cercul nu sunt egale.

Spațiu conectat

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Spațiul conectat .
Spațiul A este conectat, spațiul B nu (are 4 componente conectate).
Acest spațiu este conectat prin arcuri: orice pereche de puncte poate fi conectată printr-un arc continuu.

Un spațiu topologic este conectat dacă este „făcut dintr-o singură bucată”. În mod formal, cere acest lucru nu este uniunea a două seturi deschise disjuncte (ambele ne-goale). O noțiune puțin mai puternică este cea a conexiunii prin șiruri : este conectat prin arcuri dacă fiecare pereche de puncte este conectată printr-un arc continuu .

Un spațiu topologic este întotdeauna o uniune disjunctă a unor spații naturale conectate, numite componente conectate .

Spațiu compact

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: spațiu compact .

În topologie, noțiunea de compactitate joacă un rol foarte important. Un spațiu topologic cuprins în este compact dacă este închis și delimitat : de exemplu, gogoasa este compactă, în timp ce o linie dreaptă nu este (deoarece este nelimitată); o minge care conține și ea janta este compactă, o minge fără jantă nu este (pentru că nu este închisă).

Noțiunea de compactitate este definită pentru un spațiu arbitrar în felul următor: este compact dacă fiecare acoperire deschisă conține un acoperire finit . Pentru spațiile metrice , această noțiune este echivalentă cu următoarea definiție utilizată în analiză: un spațiu este compact dacă fiecare secvență admite o subsecvență convergentă. În mod informal, un spațiu este compact dacă orice succesiune de puncte converge (într-un sens ...) la ceva.

Ipoteza conexiunii pentru un spațiu topologic nu este foarte puternic: dacă nu este conectat, poate fi încă rupt în componentele sale conectate și acest lucru în multe contexte nu cauzează probleme majore. Cu toate acestea, ipoteza compactității este mai puternică: multe rezultate (cum ar fi teorema Weierstrass ) sunt valabile numai pentru spațiile compacte și nu se extind cu ușurință la spațiile necompacte.

Axiome de separare și numărabilitate

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Axioma separării și Axioma numărabilității .
În definiția sa din 1914 , Felix Hausdorff cere ca un spațiu topologic să satisfacă această axiomă suplimentară, numită acum T2: pentru fiecare pereche de puncte de spațiu există două deschideri disjuncte care le conțin respectiv. Această axiomă este satisfăcută de multe spații topologice (de exemplu, toate spațiile metrice ), dar nu de toate (de exemplu, de topologia Zariski utilizată în geometria algebrică ).

Definiția spațiului topologic este foarte generală și include și tratarea obiectelor foarte departe de intuiția noastră comună dată de spațiul tridimensional în care trăim. Pentru a evita spațiile topologice prea „exotice”, în unele cazuri acestea sunt puse în definiția axiomelor suplimentare. Cele mai utilizate axiome sunt de două tipuri.

Axiomele separării privesc modul în care punctele sau închiderile unui spațiu sunt „separate” de topologie. Nomenclatura standard codifică aceste axiome cu simbolurile T0 , T1 , T2 , T3 și T4 (și alte variante). Dintre acestea, cea mai utilizată axiomă este T2, numită și a lui Hausdorff, deoarece a fost inclusă de Felix Hausdorff în 1914 în definiția sa a spațiului topologic.

Axiomele contabilității necesită ca spațiul topologic să nu fie „prea mare”. Aceste axiome nu presupun că spațiul este numărabil, deoarece ar fi o condiție prea puternică, deoarece ar elimina spațiul euclidian din teorie. care are cardinalitatea continuumului . Cu toate acestea, ele necesită ca un set numărabil de seturi deschise să fie suficient pentru a determina întreaga topologie a spațiului.

Soi topologic

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Varietate (geometrie) .
Circumferința este o varietate topologică de dimensiunea 1: fiecare punct are un vecinătate homeomorfă la un interval deschis de .

O varietate topologică de dimensiuni este un spațiu topologic în care fiecare punct are o vecinătate homeomorfă cu un set deschis de . Noțiunea de varietate este foarte importantă în geometria contemporană, deoarece este obiectul de bază folosit pentru a defini noțiunea de „spațiu curbat de mărime arbitrară” utilă de exemplu pentru modelarea universului în funcție de relativitatea generală .

Această suprafață, considerată goală în interior ca și cum ar fi un balon, are o varietate de mărimea 2.

De exemplu, cu Și se obțin curbe (cum ar fi circumferința ) și suprafețe (cum ar fi sfera , torul și alte suprafețe mai exotice, cum ar fi banda Möbius , sticla Klein , ...). Soiurile dimensiunii 3, numite 3-manifolds , sunt mai dificil de vizualizat. Printre acestea găsim hipersfera .

Aplicații

Teoria graficelor

Problema celor șapte poduri Königsberg, tradusă în limbajul teoriei graficelor, întreabă dacă există un circuit eulerian , adică o cale închisă care trece prin toate marginile o singură dată.

Un grafic este un obiect format din vârfuri (sau noduri ) conectate prin segmente numite margini . Marginile nu au lungime sau curbură: singurele date utile ale fiecărei margini sunt perechea de vârfuri pe care le conectează. Un grafic poate fi descris într-un mod aproape echivalent folosind limbajul combinatoriei sau topologiei.

Problema podurilor Königsberg , considerată istoric una dintre primele probleme topologice, este o problemă clasică a teoriei graficelor. În același context, teorema celor patru culori este o teoremă importantă modelată și demonstrată recent folosind grafice.

În topologie, un grafic este un spațiu topologic relativ simplu. Grupul fundamental sau omologia măsoară numărul de cicluri („găuri”) ale graficului. Există o noțiune de dimensiune topologică , conform căreia graficele au dimensiunea 1. Obiectele cu dimensiuni superioare care generalizează graficele sunt complexe celulare (sau simpliciale ).

Calcul diferențial

Un set deschis este adesea studiat în calcul diferențial și integral din , care poate fi de exemplu domeniul unei funcții, al unui câmp vector sau al unei forme diferențiale . Topologia oferă o mulțime de informații despre existența și proprietatea unor astfel de obiecte: de exemplu, dacă „nu are găuri”, atunci fiecare formă diferențială închisă este de faptexactă ; cu toate acestea, noțiunea adecvată de „gaură” nu este banală în acest context și este riguros codificată de omologie (în acest context, de cohomologia lui De Rham ).

Calculul diferențial este, de asemenea, utilizat pentru a studia alte obiecte, cum ar fi suprafețele din . Topologia acestor suprafețe oferă, de asemenea, informații importante aici. De exemplu, un câmp vector tangent niciodată zero pe o suprafață închisă în spațiu există dacă și numai dacă anulăm un invariant topologic important al suprafeței, caracteristica Euler . În special, nu există un astfel de câmp pe sferă, în timp ce acesta există pe tor (acest rezultat este cunoscut și sub numele de teorema sferei păroase ).

În analiza complexă , funcțiile meromorfe sunt adesea utilizate, definite pe un set deschis obținută prin îndepărtarea unor puncte din planul complex . Studiul unor astfel de funcții și noțiuni precum rezidual , pol , integral de linie etc. sunt strâns legate de noțiunea topologică a grupului fundamental al .

Analiza funcțională

Secvența de funcții prezentată în figură converge, într-un spațiu vector topologic adecvat, la o anumită „funcție” care este infinită în zero și zero în celelalte puncte. Această „funcție”, numită delta Dirac , nu este de fapt o funcție, ci un obiect mai general, numit distribuție .

Analiza funcțională este ramura analizei care studiază spațiile funcțiilor , în general cu scopul de a rezolva o ecuație diferențială , adică de a găsi o anumită funcție ale cărei derivate satisfac anumite proprietăți.

Spațiul funcțional considerat este în general un spațiu vector topologic de dimensiune infinită. Topologia joacă un rol important aici: pe același spațiu de funcții există adesea mai multe topologii diferite, iar alegerea celei mai potrivite pentru problema luată în considerare este un aspect crucial al teoriei. Unele topologii sunt induse de o normă completă : în acest caz obținem spații Banach sau Hilbert , cum ar fi spațiile Lp sau Sobolev . În alte cazuri, se folosește o topologie mai slabă , de exemplu cu distribuții .

Geometrii neeuclidiene

O geometrie neeuclidiană este o geometrie care satisface primele 4 postulate ale lui Euclid , dar nu și a cincea . Existența unor astfel de geometrii a fost arătată pentru prima dată în secolul al XIX-lea ; ulterior, aceeași noțiune de „geometrie” a fost rediscutată de mai multe ori. Astăzi, o noțiune care descrie în mod eficient și într-un mod foarte general o „geometrie” este cea a unui soi riemannian , adică un obiect topologic (o varietate) dotat cu structuri adecvate moștenite din calculul infinitezimal care permit definirea noțiunilor unei drepte linie (mai precis, geodezică ), unghi, volum etc. În acest context, geometria euclidiană este geometria planului (și mai general a spațiului euclidian de dimensiune ), care poate fi caracterizat ca singurul colector simplu conectat având curbură zero. Alte geometrii fundamentale sunt geometria sferică și geometria hiperbolică , cu curbură secțională constantă pozitivă și negativă.

Geometrie algebrică

Topologia Zariski din avion este diferit de cel obișnuit. Se spune că este mai puțin fin , deoarece conține mai puțin deschis (și, prin urmare, mai puțin închis!). Seturile închise ale acestei topologii sunt doar varietățile afine , adică mulțimile care sunt zerouri de polinoame în două variabile: aici, de exemplu, sunt prezentate două cercuri , o parabolă , o hiperbolă , un cub (definit printr-o ecuație de gradul III ).

Geometria algebrică este o ramură importantă a matematicii care combină algebra cu geometria. Principalul obiect de studiu sunt soiurile algebrice , adică locul punctelor care sunt zerouri ale unor polinoame cu coeficienți într-un câmp , care poate fi, de exemplu, câmpul numerelor reale sau numere complexe .

În acest context este util să se definească o topologie particulară, numită topologia Zariski , în care seturile închise sunt furnizate tocmai de soiuri algebrice (iar cele deschise sunt complementarele lor). Această topologie este foarte departe de topologia euclidiană obișnuită: deschise și închise sunt în cantități mai mici și, prin urmare, spațiul nu este al lui Hausdorff .

Noțiunea de varietate algebrică a fost, prin urmare, extinsă la cea mai abstractă și intrinsecă a schemei : și ea este un spațiu topologic particular cu structuri algebrice suplimentare.

Relativitatea generală

Relativitatea generală a lui Einstein modelează întregul spațiu-timp ca un „spațiu curbat de dimensiunea 4”. Spațiul 4-dimensional este definit topologic ca o varietate 4-dimensională; curbura sa depinde în fiecare punct de masă / energie (conform ecuației câmpului lui Einstein ) și este codificată prin intermediul unei structuri suplimentare destul de complexe ( tensorul Riemann ) tipice geometriei diferențiale . Obiectul rezultat este o varietate pseudoriemanniană .

Instrumente

Tăiat și lipiți

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Cut (topologie) .

Una dintre ideile cheie ale teoriei constă în faptul că un spațiu topologic nu se schimbă dacă este deformat fără rupere. Lacrimile și repararea pot, de fapt, schimba drastic topologia unui spațiu: aceste operațiuni de „croitorie” sunt totuși utile în multe ocazii, deoarece permit crearea de noi spații topologice pornind de la spații date.

Un tor poate fi obținut pornind de la un pătrat, prin lipirea mai întâi a laturilor opuse de tip A și apoi a laturilor opuse de tip B (ordinea în care sunt lipite nu este importantă).
Dacă laturile opuse ale tipului A sunt lipite cu orientare inversată, suprafața rezultată este în schimb o sticlă Klein .

Ad esempio, un oggetto complesso come il toro può essere ottenuto da un oggetto più semplice, il quadrato , incollando i lati opposti come suggerito in figura. Incollando i lati in modo lievemente diverso si ottiene una superficie ben più complessa, la bottiglia di Klein . Molte delle proprietà di questi oggetti complessi possono essere studiate direttamente sul quadrato, tenendo bene a mente le identificazioni (codificate dalle frecce di colore diverso). L'operazione di incollamento è un'operazione molto generale, che permette di costruire unospazio topologico quoziente a partire da qualsiasi relazione di equivalenza fra punti.

Compattificazioni

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Compattificazione .
La proiezione stereografica mostra come ottenere una sfera (compatta) da un piano (non compatto) aggiungendo un "punto all'infinito". Questa operazione può essere effettuata su qualsiasi spazio topologico e si chiama compattificazione di Alexandroff .

In molti contesti è utile aggiungere ad uno spazio topologico i suoi "punti all'infinito". Spesso questa operazione trasforma uno spazio non compatto in uno compatto, ed è quindi detta compattificazione .

Una compattificazione può però essere fatta in vari modi diversi. Ad esempio, alla retta reale si possono aggiungere i due infiniti e ed ottenere la retta estesa . Topologicamente la retta reale è omeomorfa all' intervallo aperto [7] , e quindi la retta estesa è omeomorfa all'intervallo chiuso . Alternativamente, si può aggiungere a un infinito solo e ottenere , che è omeomorfo alla circonferenza tramite proiezione stereografica .

La compattificazione che aggiunge un punto solo è la compattificazione di Alexandroff . Un'altra compattificazione, che aggiunge generalmente molti più punti, è la compattificazione di Stone-Čech . La proiezione stereografica mostra che la compattificazione di Alexandroff dello spazio euclideo è un' ipersfera . Un'altra compattificazione molto importante di è lo spazio proiettivo , che aggiunge un punto per ogni "direzione all'infinito".

Gruppo fondamentale

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Gruppo fondamentale .
Il gruppo fondamentale dello spazio ottenuto rimuovendo un punto dal piano è isomorfo a . La curva che fa due giri mostrata in figura corrisponde al valore intero "2".
Il gruppo fondamentale di un toro è : i due generatori e , corrispondenti a e , sono mostrati in figura. La scelta del punto base è ininfluente perché il toro è connesso.

Il gruppo fondamentale di uno spazio topologico è un oggetto algebrico (un gruppo ) che codifica in modo efficiente i "buchi" presenti in . Tale gruppo è definito fissando un punto di (detto punto base ) e considerando tutti i cammini continui che partono dal punto base, si muovono in e quindi tornano nel punto base. Questi cammini sono considerati a meno di spostamenti continui (cioè omotopie ) e possono essere concatenati; con questa operazione di concatenamento, i cammini formano effettivamente un gruppo.

Uno spazio connesso avente gruppo fondamentale banale è detto semplicemente connesso . Sono semplicemente connessi , la sfera con , il disco . In uno spazio semplicemente connesso ogni cammino chiuso può essere strizzato ad un punto (sempre tramite omotopia ).

La nozione di gruppo fondamentale, associata a quella di rivestimento , è uno strumento fondamentale in topologia.

Omologia

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Omologia (topologia) .
La sfera (vuota al suo interno) ha solo un "buco 2-dimensionale". Infatti il gruppo fondamentale (che misura i buchi 1-dimensionali) è banale, ma il secondo gruppo di omologia è .

I gruppi di omologia di uno spazio topologico sono dei gruppi abeliani che similmente al gruppo fondamentale codificano i "buchi" dello spazio topologico . In un certo senso, il gruppo fondamentale fa uso dei cammini, che sono oggetti 1-dimensionali, e quindi codifica solo i "buchi 1-dimensionali". I gruppi di omologia usano anche oggetti di dimensione superiore e quindi codificano i "buchi -dimensionali" per ogni ecc. Per ciascun è quindi definito un gruppo di omologia .

Ad esempio, la sfera ha un "buco -dimensionale" al suo interno. Il gruppo fondamentale si accorge di questo buco soltanto per la circonferenza , cioè per : in questo caso il gruppo fondamentale è , mentre per ogni è banale. L'omologia però si accorge dell'esistenza di questo buco per ogni valore di : infatti è sempre .

Nel caso 1-dimensionale, il gruppo fondamentale è però uno strumento più raffinato (e generalmente più utile) del gruppo di omologia ; in effetti, è isomorfo alla versione abelianizzata del gruppo fondamentale di ( teorema di Hurewicz ) [8] .

Omotopia

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Omotopia .
Un piano tangente al punto di una sfera. La nozione di piano tangente a una superficie è definita solo se questa ha una struttura differenziabile .

Un' omotopia è una deformazione continua fra oggetti, o più generalmente fra funzioni . Applicata ai cammini continui, permette di definire il gruppo fondamentale di uno spazio topologico e di studiarne molte proprietà. Applicata agli spazi topologici, permette di trasformare uno spazio topologico in un altro con più libertà di quanto offerto dalla più rigida nozione di omeomorfismo . Ad esempio, permette di "contrarre" alcune parti dello spazio topologico trasformandole (con continuità!) ad un punto. Ad esempio, un disco, un segmento e un punto sono tutti omotopicamente equivalenti, anche se non sono omeomorfi. [9]

Le relazioni fra le due nozioni di omotopia e omeomorfismo sono spesso non banali. Ad esempio, la congettura di Poincaré , formulata nel 1904 e dimostrata solo nel 2003 , asserisce che una varietà topologica di dimensione 3, omotopicamente equivalente all' ipersfera , è in realtà omeomorfa a questa.

Omotopia e logica classica

Copertina del libro Homotopy type theory Univalent Foundations of Mathematics.

L'introduzione del libro Homotopy Type Theory: Univalent Foundations of Mathematics , per la prima volta pubblicato nel 2013, afferma che introducendo l' assioma della scelta e dell' assioma del terzo escluso nella teoria dei tipi omotopici, è possibile costruire un continuo degli n -tipi possibili , del quale la logica classica e la logica costruttivista sono rispettivamente l'estremo inferiore e superiore (p. 9) [10] .

Esiste una tabella di equivalenza fra i tipi e gli operatori definibili nelle teorie logica, topologica, omotopici (p. 11). Vale quanto segue:

  • in numerosi sistemi è vantaggioso applicare un sottoinsieme di tipi per cui valgono gli assiomi della scelta e del terzo escluso, lasciando i restanti nel campo della generale logica costruttivista;
  • la teoria del tipi omotopici fornisce solidi motivi per limitare l'uso dei principi della logica classica ai soli casi effettivamente necessari [10] .

Struttura differenziabile

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Varietà differenziabile .

Nella moltitudine di spazi topologici esistenti, le varietà giocano un ruolo centrale. Una varietà di dimensione è un oggetto in cui ogni punto ha un intorno aperto omeomorfo a . Esempi classici sono le superfici in , come la sfera o il toro. In queste superfici, un piccolo intorno di un punto è come un disco bidimensionale, però leggermente incurvato.

La nozione di curvatura non è però una nozione topologica. Per poter dare un senso a domande del tipo "quanto è curva la superficie?", "esiste un campo vettoriale tangente?", "cosa è la derivata (più precisamente, il differenziale ) di una funzione fra due varietà?" è necessario attrezzare le varietà topologiche di alcune strutture aggiuntive, che fanno uso del calcolo infinitesimale . Senza queste strutture aggiuntive queste domande non hanno senso.

Una varietà dotata di una struttura aggiuntiva di questo tipo è una varietà differenziabile . In una varietà differenziabile sono definite le nozioni di vettore tangente, di funzione differenziabile , ecc. Per definire una nozione di curvatura è però necessaria un'ulteriore (e ben più complicata) struttura, quella di varietà riemanniana .

Teoremi

Sulla compattezza

Teorema di Heine-Borel

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di Heine-Borel .

Un sottoinsieme di è compatto se e solo se è chiuso e limitato. Sono quindi compatti i poligoni, i poliedri , una ellisse , un ellissoide . Non sono compatti rette, piani e gli altri sottospazi affini (perché non limitati), né una palla aperta (perché non chiusa). Il teorema non si estende però a spazi vettoriali topologici arbitrari di dimensione infinita, come gli spazi Lp .

Teorema di Weierstrass

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di Weierstrass .
Una funzione reale continua definita sull'intervallo chiuso ha sempre un punto di massimo e uno di minimo. Questo teorema può essere esteso ad ogni funzione continua fra spazi topologici nel modo seguente: l'immagine di un compatto è sempre compatta.

Il teorema di Weierstrass è un risultato classico di analisi matematica che ha una naturale generalizzazione in topologia. Il teorema asserisce che ogni funzione continua

ammette un massimo ed un minimo. Da un punto di vista topologico, questo è conseguenza di un fatto più generale: per ogni funzione continua

fra spazi topologici, se il dominio è compatto allora anche l'immagine è compatta. Informalmente, una funzione continua manda compatti in compatti.

Nel caso in cui il codominio sia , l'immagine è un compatto in , e per il teorema di Heine-Borel è un chiuso e limitato. L'insieme ha quindi un massimo e un minimo. Quindi una funzione continua a valori reali definita su un qualsiasi spazio compatto ha sempre punti di massimo e minimo.

Teorema di Tychonoff

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di Tychonoff .

Il teorema di Tychonoff assicura che il prodotto di due o più spazi topologici compatti è compatto. Ad esempio, il prodotto di due circonferenze è compatto (si tratta in realtà di un toro). Il teorema di Tychonoff è valido per un prodotto avente una quantità arbitraria (anche infinita) di fattori.

Sulle funzioni continue

Teorema del punto fisso di Brouwer

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema del punto fisso di Brouwer .
Una conseguenza del teorema del punto fisso di Brouwer: non è possibile estendere questo campo vettoriale all'interno del disco senza produrre una singolarità , ovvero un punto in cui il vettore è nullo.

Un teorema di punto fisso è un teorema che garantisce che una data funzione abbia un punto fisso , ovvero un tale che . Interpretando come funzione che sposta i punti, un punto fisso è un punto che non si muove. I teoremi di punto fisso sono utili in molte aree della matematica, ad esempio in analisi possono essere utili per dimostrare l'esistenza di una soluzione di una particolare equazione differenziale .

Il teorema del punto fisso di Brouwer asserisce che se è una palla chiusa di dimensione arbitraria e è continua, allora un punto fisso esiste sempre. Il teorema è intrinsecamente topologico e resta quindi valido per ogni spazio omeomorfo a una palla chiusa, quale un quadrato, un poliedro convesso , ecc. Il teorema può essere dimostrato con l' omologia .

Due teoremi correlati sono il teorema di Borsuk-Ulam e il teorema del panino al prosciutto .

Sugli assiomi di separazione

Gli assiomi di separazione T0, T1, T2, ... sono degli assiomi aggiuntivi che garantiscono una maggiore "regolarità" allo spazio topologico in esame. Ciascun assioma è un raffinamento del precedente. Ci sono in topologia vari teoremi molto generali, che hanno però bisogno che alcuni di questi assiomi siano soddisfatti.

Lemma di Urysohn

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Lemma di Urysohn .

Se lo spazio topologico in esame è T4 , gli insiemi chiusi possono essere "separati" tramite una funzione continua a valori in un intervallo reale. Cioè, per ogni coppia di chiusi disgiunti esiste una funzione continua

che valga 1 su e 0 su . Il lemma di Urysohn è considerato spesso il primo risultato non banale in topologia. [11] Può essere usato (se sono validi anche gli assiomi di numerabilità ) per dare a una struttura di spazio metrico .

Teorema di estensione di Tietze

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di estensione di Tietze .

Se lo spazio topologico è T4 , ogni funzione continua a valori reali definita su un sottoinsieme chiuso può essere estesa ad una funzione continua su . Questo teorema è conseguenza del lemma di Urysohn.

Sugli spazi metrici

Teorema delle categorie di Baire

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema delle categorie di Baire .

Uno spazio metrico completo è sempre uno spazio di Baire . Questo risultato implica in particolare che non può essere unione numerabile di chiusi con parte interna vuota (ma sì).

Settori

Topologia generale

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Topologia generale .

La topologia generale è il settore di base. Si occupa degli spazi topologici e delle loro proprietà generali ed è il più vicino alla teoria degli insiemi . Si interessa quindi in particolare delle nozioni di intorno , parte interna , chiusura , compattezza , connessione , successioni , reti , spazi metrici , funzioni continue , assiomi di separazione e di numerabilità .

Topologia algebrica

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Topologia algebrica .

La topologia algebrica applica gli strumenti dell' algebra alla topologia. La nozione fondamentale è quella di invariante topologico , un oggetto algebrico che caratterizza alcune proprietà dello spazio topologico in esame. Fra gli invarianti più usati ci sono il gruppo fondamentale (ei più generali gruppi di omotopia ) e l' omologia . La topologia algebrica studia più in generale la nozione di omotopia e vari concetti correlati quali il grado topologico .

Topologia differenziale

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Topologia differenziale .

La topologia differenziale si occupa essenzialmente di varietà differenziabili e applica gli strumenti del calcolo infinitesimale al loro studio. Con questi strumenti si definiscono e studiano campi vettoriali , spazio tangente , fibrati vettoriali , forme differenziali ei più generali tensori .

Topologia in dimensione bassa

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Topologia in dimensione bassa .

La topologia in dimensione bassa è un settore più recente, esploso alla fine degli anni settanta . Gli oggetti studiati sono le varietà di dimensione bassa , ovvero 1,2,3,4. Una branca importante è la teoria dei nodi .

Note

  1. ^ Eulero, Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis
  2. ^ Poincaré, Henri, "Analysis situs", Journal de l'École Polytechnique ser 2, 1 (1895) pp. 1–123
  3. ^ ( EN , FR ) Weil,A., Riemann, Betti and the birth of topology , in Archive for History of Exact Sciences , vol. 20, n. 2, 1979, pp. 91–96, DOI : 10.1007/BF00327626 , ISSN 0003-9519 ( WC · ACNP ) , OCLC 5653932475 . Ospitato su archive.is . Citato in amslaurea.unibo.it/11438 , p. 2.
  4. ^ Fréchet, Maurice, Sur quelques points du calcul fonctionnel , Tesi di dottorato, 1906
  5. ^ Hausdorff, Felix, "Grundzüge der Mengenlehre", Leipzig: Veit. In (Hausdorff Werke, II (2002), 91–576)
  6. ^ a b W. Rudin , Pag. 8 .
  7. ^ Un omeomorfismo tra e è realizzato dalla funzione arcotangente opportunamente riscalata, e cioè . Si noti che un omeomorfismo può mandare un insieme illimitato in uno limitato, e viceversa.
  8. ^ ( EN ) Vick, Homology Theory - An Introduction to Algebraic Topology , 2ª ed., New York, Springer, 1994, p. 108, ISBN 9780387941264 .
  9. ^ Due insiemi con cardinalità differenti come un punto ed un segmento possono essere omotopicamente equivalenti. Non possono però essere omeomorfi.
  10. ^ a b ( EN ) Homotopy Type Theory: Univalent Foundations of Mathematics , prima ed.ne, Princeton, The Univalent Foundation Program Institute for Advanced Study, Aprile 2013, pp. 9-11, 192 (di 451). URL consultato il 29 luglio 2018 (archiviato dall' url originale il 13 agosto 2018) . Ospitato su google.com/Libri .
    «classificazione MSC 2010:03-02, 55-02, 03B15. Rilasciato con licenza Creative Commons BY-SA 3.0» .
    .
  11. ^ L'ipotesi che lo spazio sia T4 può in realtà essere indebolita: è sufficiente che lo spazio sia normale .

Bibliografia

Voci correlate

Altri progetti

Collegamenti esterni

Controllo di autorità Thesaurus BNCF 4969 · LCCN ( EN ) sh85136089 · GND ( DE ) 4060425-1 · BNF ( FR ) cb119445977 (data) · NDL ( EN , JA ) 00573284
Matematica Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica