Topologie co-finisată
Topologia cofinată pe un set X este topologia ale cărei închise sunt toate și numai subseturile finite, pe lângă X în sine. [1]
Un subset cofinit al unui set X este un subset A al lui X care conține toate, cu excepția unui număr finit de elemente ale lui X. Cu alte cuvinte, complementul său în X este un set finit.
Această topologie este cea mai puțin rafinată dintre toate cele care satisfac axioma T1 a separabilității; cu alte cuvinte, este cea mai mică amendă dintre toate în care fiecare punct constituie un set închis.
Proprietate
- Pe un spațiu finit topologiile discrete și cofinite coincid.
- Un spațiu cu topologia cofinitată este Hausdorff dacă și numai dacă este finit.
- Toate subseturile unui spațiu cu topologie cofinată sunt compacte , deși nu sunt neapărat închise: acest lucru este posibil deoarece spațiul nu este al lui Hausdorff.
- Spațiile topologice cu topologie cofinată până la homeomorfism sunt clasificate după cardinalitatea lor.
Demonstrație
Topologia cofinită T este de fapt o topologie, deoarece subseturile finite verifică axiomele spațiului topologic privind mulțimile închise: uniunea finită și intersecția arbitrară a mulțimilor finite este de fapt o mulțime finită.
Notă
- ^ M. Manetti , p. 39 .
Bibliografie
- Marco Manetti, Topologia , Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0756-7 .