Topologia numerelor întregi la fel de distanțate

În topologia generală , o ramură a matematicii, topologia numerelor întregi la fel de distanțate este topologia peste setul de numere întregi generate de familia progresiilor aritmetice . ^[1] Această topologie specială a fost introdusă de Fürstenberg în 1955 pentru a demonstra infinitatea numerelor prime .

Definiție

Pentru orice pereche de numere întregi $la, b$ ${\ displaystyle a, b}$ $a, b$ sa spunem $a\mathbb {Z} +b:=\{an+b:n\in \mathbb {Z} \}$ ${\ displaystyle a \ mathbb {Z} + b: = \ {an + b: n \ in \ mathbb {Z} \}}$ ${\ displaystyle a \ mathbb {Z} + b: = \ {an + b: n \ in \ mathbb {Z} \}}$ , apoi topologia $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ dintre numerele întregi la fel de distanțate este topologia lui $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ care are ca bază $\{a\mathbb {Z} +b:a,b\in \mathbb {Z} {\mbox{ con }}a\neq 0\}$ ${\ displaystyle \ {a \ mathbb {Z} + b: a, b \ in \ mathbb {Z} {\ mbox {con}} a \ neq 0 \}}$ ${\ displaystyle \ {a \ mathbb {Z} + b: a, b \ in \ mathbb {Z} {\ mbox {con}} a \ neq 0 \}}$ . Cu alte cuvinte, cele deschise ale $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ sunt toate și singure mulțimile care sunt uniune de mulțimi de acest tip $a\mathbb {Z} +b$ ${\ displaystyle a \ mathbb {Z} + b}$ ${\ displaystyle a \ mathbb {Z} + b}$ cu $la, b$ ${\ displaystyle a, b}$ $a, b$ numere întregi și $a\neq 0$ ${\ displaystyle a \ neq 0}$ $a \ neq 0$ .

Proprietate

Spațiul topologic $(\mathbb {Z} ,\tau )$ ${\ displaystyle (\ mathbb {Z}, \ tau)}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {Z}, \ tau)}$ are câteva proprietăți interesante:

Întregul $a\mathbb {Z} +b$ ${\ displaystyle a \ mathbb {Z} + b}$ ${\ displaystyle a \ mathbb {Z} + b}$ este închis-deschis pentru fiecare $la, b$ ${\ displaystyle a, b}$ $a, b$ numere întregi cu $a\neq 0$ ${\ displaystyle a \ neq 0}$ $a \ neq 0$ ; folosind aceasta putem demonstra teorema infinitului numerelor prime , de fapt spus $\mathbb {P}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P}}$ ${\ mathbb {P}}$ se are setul primului

\mathbb {Z} \setminus \{-1,+1\}=\bigcup _{p\in \mathbb {P} }(p\mathbb {Z} +0)

{\ displaystyle \ mathbb {Z} \ setminus \ {- 1, + 1 \} = \ bigcup _ {p \ in \ mathbb {P}} (p \ mathbb {Z} +0)}

{\ displaystyle \ mathbb {Z} \ setminus \ {- 1, + 1 \} = \ bigcup _ {p \ in \ mathbb {P}} (p \ mathbb {Z} +0)}

dacă în mod absurd primele s-ar termina, atunci al doilea membru ar fi închis, prin urmare $\{-1,1\}$ ${\ displaystyle \ {- 1,1 \}}$ $\ {- 1,1 \}$ ar fi deschis, dar nu este posibil, deoarece nu este în mod clar o uniune de seturi de tip $a\mathbb {Z} +b$ ${\ displaystyle a \ mathbb {Z} + b}$ ${\ displaystyle a \ mathbb {Z} + b}$ cu $la, b$ ${\ displaystyle a, b}$ $a, b$ numere întregi și $a\neq 0$ ${\ displaystyle a \ neq 0}$ $a \ neq 0$ , fiind un set finit.

$(\mathbb {Z} ,\tau )$ ${\ displaystyle (\ mathbb {Z}, \ tau)}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {Z}, \ tau)}$ este complet deconectat , nu este nici compact, nici compact local , este metrizabil și una dintre valorile sale este cea indusă de normă