Topologia subspatiului

În topologie , un subset al unui spațiu topologic moștenește și o topologie, numită topologie subspatiu sau mai simplu topologie indusă.

Definiție

De sine $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ este un subset al unui spațiu topologic $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , topologia indusă pe $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ de la topologie $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este după cum urmează: un subset $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ din $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ este deschis dacă și numai dacă există o deschidere $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ astfel încât $V\cap Y=U$ ${\ displaystyle V \ cap Y = U}$ ${\ displaystyle V \ cap Y = U}$ . Cu alte cuvinte, cele deschise ale $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ sunt intersecțiile seturilor deschise de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ (adică cele deschise $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ ) cu $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ . ^[1] ^[2] Topologia indusă se mai numește topologia relativă a $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

În mod normal, se presupune că un subset al unui spațiu topologic are topologia indusă. Considerat ca un spațiu topologic cu topologie relativă, $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ se numește subspatiu topologic (sau scurt subspatiu ) al $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , in timp ce $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ se numește spațiu ambiental .

Proprietatea caracteristică a topologiei subsetului.

Alternativ, topologia poate fi definită pe $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ într-unul din următoarele moduri:

Topologia activată $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ este cel mai puțin rafinat dintre toți cei care fac includerea hărții $i\colon Y\to X$ ${\ displaystyle i \ colon Y \ to X}$ ${\ displaystyle i \ colon Y \ to X}$ continuă.
Topologia activată $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ este singura care satisface următoarea proprietate universală: Pentru fiecare spațiu topologic $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ o aplicație $f\colon Z\to Y$ ${\ displaystyle f \ colon Z \ to Y}$ ${\ displaystyle f \ colon Z \ to Y}$ este continuă dacă și numai dacă compoziția sa este continuă $i\circ f\colon Z\to X$ ${\ displaystyle i \ circ f \ colon Z \ to X}$ ${\ displaystyle i \ circ f \ colon Z \ to X}$ cu incluziune $i\colon Y\to X$ ${\ displaystyle i \ colon Y \ to X}$ ${\ displaystyle i \ colon Y \ to X}$ .

Exemple

Numerele întregi $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ ele sunt considerate în mod normal cu topologia indusă de numere reale $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ . Această topologie întreagă este cea discretă .

Chiar și numerele raționale $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ ele sunt considerate în mod normal cu topologia indusă de numere reale $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ , dar acest lucru nu este discret.

Să luăm în considerare intervalul $I=[0,1]$ ${\ displaystyle I = [0,1]}$ $I = [0,1]$ cu topologia indusă de $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ . Subsetul $(0,1]$ ${\ displaystyle (0,1]}$ $(0,1]$ este deschis în $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ dar nu în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ .

Proprietate

Intersectând toate seturile deschise ale unei baze de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ cu $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ obții o bază pentru $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ .
De sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un spațiu metric , metrica limitată la $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ induce topologia subsetului.
De sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este compact și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ este închis atunci $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ este, de asemenea, compact.
De sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este și de la Hausdorff $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ este.
Seturi închise de $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ sunt intersecțiile dintre $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ cu seturi închise de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

Notă

^ E. Sernesi , p. 42 .
^ C. Kosniowski , p. 23 .

Bibliografie

Edoardo Sernesi, Geometry 2 , Turin, Bollati Boringhieri , 1994, ISBN 978-88-339-5548-3 .
Czes Kosniowski, Introducere în topologia algebrică , Zanichelli, 1988, ISBN 88-08-06440-9 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] E. Sernesi , p. 42 .

[2] C. Kosniowski , p. 23 .

[1]

[2]