Topologie cu dimensiuni reduse
Topologia cu dimensiuni reduse este o ramură a topologiei (și, prin urmare, a geometriei ) care studiază „spațiile de dimensiune 1, 2, 3 și 4”.
Topologia cu dimensiuni reduse studiază în principal varietăți , din mai multe puncte de vedere. Începând cu anii 1960 , particularitatea acestor dimensiuni a apărut din ce în ce mai mult, studiul căruia necesită instrumente ad hoc , mai specifice decât tehnicile generale oferite de topologia algebrică și topologia diferențială . De aici nașterea în anii 60/70 a unui sector special, care a studiat tehnici adecvate, în special pentru dimensiunile 3 și 4.
Un exemplu izbitor al acestui fenomen este dovada lui Stephen Smale a Conjecturii Poincaré : argumentele folosite de matematicianul american lucrează pentru toate dimensiunile peste 4, dar nu și pentru celelalte. Aceeași conjectură a fost dovedită mai târziu cu tehnici complexe și foarte specifice în dimensiunea 4 de Michael Freedman în 1982 și în dimensiunea 3 de Grigori Perelman în 2003 (cazurile 1 și 2 sunt foarte ușoare, așa cum a remarcat deja Henri Poincaré la sfârșitul secolului al XIX-lea ).
Rezultatele surprinzătoare obținute de William Thurston , Simon Donaldson , Michael Freedman , Vaughan Jones și Edward Witten în domeniul soiurilor de dimensiunea 3 și 4, obținute între sfârșitul anilor șaptezeci și toți anii optzeci , le-au adus o medalie Fields , și a adus câmpul în prim plan în geometrie și toată matematica . Grigori Perelman , de asemenea câștigător al unei medalii Fields, închide în cele din urmă conjectura Poincaré în 2003 , nerezolvată de mai bine de un secol.
Mărimea unu
Există doar două varietăți de dimensiune 1 mai puțin decât homeomorfismul : linia dreaptă și circumferința . Cu toate acestea, o circumferință în spațiul tridimensional poate fi înnodată și este posibil să se dea un sens matematic precis acestui concept: ramura topologiei care se ocupă de aceasta este teoria nodurilor .
Mărimea doi
O varietate de mărimea 2 este o suprafață . Suprafețele compacte și orientabile sunt clasificate după genul lor, intuitiv egal cu „numărul de găuri”. Mai general, există o clasificare a suprafeței pentru fiecare suprafață de tip finit . Din punct de vedere topologic, aceste suprafețe sunt, prin urmare, complet clasificate. Cu toate acestea, acestea devin un obiect de studiu important dacă sunt îmbogățite cu o altă structură.
Suprafețele Riemann sunt suprafețe dotate cu o structură complexă multiplă de dimensiune una: aceste obiecte au fost deja studiate pe larg în secolul al XIX-lea , cu mult înainte de definirea spațiului topologic , ca locus al zerourilor funcțiilor polinomiale cu coeficienți complecși . Având dimensiunea complexă 1, aceste obiecte sunt exemple de curbe algebrice . Studiul lor folosește tehnici de analiză complexă și geometrie algebrică .
Prin teorema uniformizării Riemann , o suprafață poate fi prevăzută și cu o metrică cu curbură gaussiană constantă: această curbură este neapărat pozitivă pe sferă, zero pe torus și negativă pentru toate suprafețele genului major. Datorită metricei, prin urmare, geodezica , distanța dintre puncte, unghiuri , zone sunt definite. Prin urmare, geometria suprafeței este eliptică pe sferă, plană (adică similară cu cea euclidiană ) pe tor, hiperbolică în toate celelalte cazuri. Ca și în alte contexte, geometria hiperbolică este mai bogată și, prin urmare, face obiectul unui studiu mai aprofundat.
Mărimea trei
Un colector 3 este intuitiv un „posibil univers”. Spre deosebire de ceea ce se întâmplă în dimensiunile 1 și 2, nu există încă o clasificare satisfăcătoare a varietăților de dimensiune 3. Manifoldurile tridimensionale sunt construite cu diverse tehnici, de exemplu prin intermediul unor triangulații .
Imaginea generală este oferită de conjectura de geometrizare , enunțată de William Thurston la sfârșitul anilor 1970 și dovedită de Grigori Perelman în 2003 . Această conjectură conține conjectura Poincaré ca un caz special. Conform acestei conjecturi, fiecare 3-colector se descompune în „piese geometrice”, separate de niște „pereți”: fiecare perete este o sferă sau un tor (ambele obiecte bidimensionale). Fiecare dintre aceste „piese geometrice” are o metrică , care nu este de curbură constantă, ci aproape: este una dintre cele 8 metrici posibile derivate din spații tridimensionale omogene . Ca și în cazul suprafețelor, cea mai interesantă valoare, de departe cea mai studiată, este hiperbolică .
Mărimea patru
O varietate de mărimea 4 este un obiect dificil de vizualizat. Există multe varietăți de dimensiunea 4: de exemplu, astfel de soiuri pot avea ca grup fundamental orice grup . Din acest motiv, o clasificare completă a unor astfel de soiuri este imposibilă.
Dimensiunea 4 prezintă o cantitate extraordinară de fapte deosebite, care o fac subiectul unui interes atât de mare pentru comunitatea matematiciană. În primul rând, este prima dimensiune în care noțiunile de homeomorfism și difeomorfism diverg radical: există soiuri 4-homeomorfe, dar nu difeomorfe, și 4- soiuri topologice care nu au o structură diferențiată . Chiar și cel mai simplu dintre cele 4 manifolduri, spațiul euclidian , admite o infinitate de nenumărate structuri diferențiale diferite (fapt care nu apare în nicio altă dimensiune).
Studiul 4-varietăților topologice este, prin urmare, foarte diferit de cel al 4- varietăților diferențiate . De exemplu, varietățile topologice compacte și simplu conectate sunt clasificate grație lucrărilor lui Michael Freedman , în timp ce diferențialele formează un set mult mai bogat, al cărui studiu este extrem de dificil și încă incomplet, necesitând utilizarea unor instrumente puternice, cum ar fi invarianții de către Seiberg-Witten .
Bibliografie
- Alexandru Scorpan, The Wild World of 4-Manifolds , American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3749-4 .
- William Thurston , Geometrie și topologie tridimensională. Vol. 1 , seria matematică Princeton, nr. 35, Princeton, Princeton University Press, 1997, ISBN 0-691-08304-5 .
Elemente conexe
Alte proiecte
-
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere cu topologie de dimensiuni reduse
