Topologia produsului
Topologia produsului este o topologie naturală definită pe produsul cartezian al unor spații topologice .
Definiție
Fie eu un set (chiar infinit) de indici, iar X i un spațiu topologic, pentru tot i în I. Fie X = Π X i produsul cartezian al mulțimilor X i . Pentru fiecare i avem o proiecție p i : X → X i .
Topologia produsului pe X este definită într-unul din următoarele moduri (toate echivalente):
- Cea mai mică topologie dintre toate cele care fac proiecții p i continue.
- Topologia generată de seturi de tip p i -1 (U) , unde i este un index și U un deschis de X i (aceste seturi formează un verigile de prebaza , și toate posibilele intersecțiile lor finite sunt o bază ).
- Descrierea unei baze: pentru fiecare i din I luăm un set deschis de X i care coincide cu întregul set X i pentru aproape toți indicii (adică, cu excepția unui număr finit din aceștia). Produsul acestor seturi deschise este o topologie deschisă, iar aceste seturi deschise formează o bază.
- Topologia de pe X este singura care îndeplinește următoarea proprietate universală : pentru orice spațiu topologic Y , o funcție f: Y → X este continuă dacă și numai dacă toate compozițiile f i : Y → X i de f cu proiecțiile p eu sunt continue.
Proprietate
Proiecțiile p i , pe lângă faptul că sunt continue, sunt deschise , adică proiecția unui deschis este una deschisă. Pe de altă parte, acestea nu sunt în general închise : luăm de exemplu proiecția lui R 2 pe una dintre cele două axe; o ramură de hiperbolă (care este închisă în plan) este proiectată pe o rază deschisă de ecuație x > 0.
Topologia produsului este adesea numită în analiza topologiei convergenței punctuale pentru următorul fapt: o secvență în X converge dacă și numai dacă toate proiecțiile sale converg. În special, în spațiul X = R I al funcțiilor de la I la R , o succesiune de astfel de funcții converge dacă converge punctual.
Aici enumerăm alte proprietăți.
- Teorema lui Tychonoff : produsul spațiilor compacte este compact.
- Produsul spațiilor conectate este conectat.
- Produsul spațiilor T 0 , T 1 sau T 2 este respectiv T 0 , T 1 sau T 2 .
Bibliografie
- Marco Manetti, Topologia , Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0756-7 .
