Topologia cotientului

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În topologie , topologia coeficientului este intuitiv cea obținută dintr-un spațiu topologic prin „atașarea” unor puncte între ele. Spațiul topologic rezultat este numit și spațiu coeficient .

Definiție

Este un spațiu topologic e o relație de echivalență pe . Definim o topologie pe setul de coeficient (care constă din toate clasele de echivalență a ) în modul următor: un set de clase de echivalență în este deschis dacă și numai dacă uniunea lor este deschisă în .

Este proiecția care trimite fiecare element al în clasa sa. Enumerăm câteva definiții echivalente ale topologiei coeficientului pe set :

Proprietatea universală a topologiei coeficientului
  • Un set în este deschis dacă și numai dacă contra-imaginea sa este deschisă în .
  • Topologia activată Topologia este sfârșitul tuturor celor care realizează harta continuă.
  • În mod similar, putem defini topologia coeficientului prin exploatarea „proprietății sale universale”.

Topologia coeficientului este singura topologie cu această proprietate: if este o funcție setată (oricare) astfel încât implica pentru fiecare Și în , atunci există o singură funcție astfel încât pentru care se aplică: este continuu dacă și numai dacă și continuă.

În ultima definiție, spunem asta coboară la coeficientul .

Exemple

  • Legătură. În topologie, sunt construite numeroase spații pentru „lipire”. Dacă X este un spațiu topologic și două puncte x și y din X sunt lipite, spațiul coeficient este construit folosind următoarea relație simplă de echivalență: a ~ b dacă și numai dacă a = b sau a = x, b = y (sau a = y, b = x ). Colonul devine apoi un singur punct. De exemplu, în acest mod, un spațiu conectat poate fi obținut de la unul care are două componente conectate .
  • În general, dacă A este un subset al unui spațiu topologic X , se construiește un spațiu coeficient care „identifică A la un singur punct” prin intermediul relației de echivalență a ~ b dacă și numai dacă a și b sunt elemente ale lui A. Acest spațiu este uneori denumit X / A
  • Considerăm X = R mulțimea tuturor numerelor reale și lăsăm x ~ y dacă și numai x - y este un număr întreg . Spațiul coeficient X / ~ este homeomorf la cercul S 1 prin harta care trimite clasa de echivalență a lui x la exp (2π ix ).
  • Exemplul anterior poate fi extins la o dimensiune arbitrară. Considerăm X = R n și stabilim x ~ y dacă și numai dacă coordonatele i -a vectorilor x și y diferă cu un număr întreg, pentru fiecare i . Spațiul coeficient este homeomorf pentru tor dacă n = 2 și se numește un tor n- dimensional pentru orice n . Torul n- dimensional este homeomorf pentru produsul a n cercuri.
  • Sticla Klein poate fi obținută prin citarea avionului printr-o relație de echivalență adecvată.
  • Banda Möbius poate fi obținută prin citarea unui dreptunghi prin intermediul unei relații de echivalență adecvate.
  • Spațiul proiectiv se obține prin citarea unui spațiu vectorial lipsit de origine prin următoarea relație: dacă și numai dacă există astfel încât , acesta este Și sunt pe aceeași linie.

Proprietate

  • Dacă X satisface o anumită axiomă de separare , spațiul coeficient X / ~ poate să nu o satisfacă. De exemplu, X / ~ este T1 dacă și numai dacă fiecare clasă de echivalență a lui ~ este închisă în X.

Deoarece proiecția pe coeficient este continuă, topologia acestuia din urmă moștenește unele proprietăți ale spațiului inițial. Prin urmare:

Bibliografie

Elemente conexe

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică