Taur (geometrie)

În geometrie , torusul (din latinescul torus , pernă în formă de gogoașă) este o suprafață de rotație obținută prin revoluția unei circumferințe într-un spațiu tridimensional în jurul unei axe coplanare la aceasta.

Torul în geometria euclidiană

Reprezentare folosind ecuații parametrice

O reprezentare parametrică a torului, în spațiul euclidian obișnuit tridimensional, este dată de:

{\begin{cases}x(u,v)=(R+r\cos u)\cos v\\y(u,v)=(R+r\cos u)\sin v\\z(u,v)=r\sin u,\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x (u, v) = (R + r \ cos u) \ cos v \\ y (u, v) = (R + r \ cos u) \ sin v \\ z (u, v) = r \ sin u, \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x (u, v) = (R + r \ cos u) \ cos v \\ y (u, v) = (R + r \ cos u) \ sin v \\ z (u, v) = r \ sin u, \ end {cases}}}

unde este $R>0$ ${\ displaystyle R> 0}$ ${\ displaystyle R> 0}$ este distanța de la centrul tubului la centrul torului, $r>0$ ${\ displaystyle r> 0}$ $r> 0$ este raza tubului e $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ Și $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ variază în $[0,2\pi ).$ ${\ displaystyle [0.2 \ pi).}$ ${\ displaystyle [0.2 \ pi).}$

Ecuația în coordonate carteziene , care identifică un tor a cărui axă de simetrie coincide cu axa $z,$ ${\ displaystyle z,}$ ${\ displaystyle z,}$ este dat de:

\left(R-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}=r^{2}.

{\ displaystyle \ left (R - {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \ right) ^ {2} + z ^ {2} = r ^ {2}.}

{\ displaystyle \ left (R - {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \ right) ^ {2} + z ^ {2} = r ^ {2}.}

Proprietăți metrice

Extern Zona și volumul Torus sunt date , respectiv prin:

A=2\pi r\ 2\pi R=4\pi ^{2}Rr,

{\ displaystyle A = 2 \ pi r \ 2 \ pi R = 4 \ pi ^ {2} Rr,}

{\ displaystyle A = 2 \ pi r \ 2 \ pi R = 4 \ pi ^ {2} Rr,}

V=\pi r^{2}\ 2\pi R=2\pi ^{2}Rr^{2}.

{\ displaystyle V = \ pi r ^ {2} \ 2 \ pi R = 2 \ pi ^ {2} Rr ^ {2}.}

{\ displaystyle V = \ pi r ^ {2} \ 2 \ pi R = 2 \ pi ^ {2} Rr ^ {2}.}

Rezultatele derivă direct din cele două teoreme Pappo-Guldino .

Topologia torului

Constructie

Un tor topologic este un spațiu topologic homeomorf pentru un tor în spațiul euclidian. Poate fi definit ca produsul a două cercuri $S^{1}\times S^{1}.$ ${\ displaystyle S ^ {1} \ times S ^ {1}.}$ ${\ displaystyle S ^ {1} \ times S ^ {1}.}$ Ecuațiile parametrice pe care le-am dat pentru tor în $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ identifică un homeomorfism cu întregul $S^{1}\times S^{1}.$ ${\ displaystyle S ^ {1} \ times S ^ {1}.}$ ${\ displaystyle S ^ {1} \ times S ^ {1}.}$

O modalitate echivalentă de a construi un tor topologic este de a considera un pătrat și „lipiți” părțile opuse împreună. Aceasta corespunde definirii pe pătrat

Q=[0,1]\times [0,1]\subseteq \mathbb {R} ^{2},

{\ displaystyle Q = [0,1] \ times [0,1] \ subseteq \ mathbb {R} ^ {2},}

{\ displaystyle Q = [0,1] \ times [0,1] \ subseteq \ mathbb {R} ^ {2},}

relația de echivalență $\sim _{T}$ ${\ displaystyle \ sim _ {T}}$ ${\ displaystyle \ sim _ {T}}$ astfel încât $x\sim _{T}y$ ${\ displaystyle x \ sim _ {T} y}$ ${\ displaystyle x \ sim _ {T} y}$ dacă și numai dacă $x=y$ ${\ displaystyle x = y}$ $x = y$ este un singur punct intern sau $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ sunt pe două laturi opuse și au o coordonată egală. Cu această relație de echivalență putem defini spațiul coeficient $Q/\sim _{T}$ ${\ displaystyle Q / \ sim _ {T}}$ ${\ displaystyle Q / \ sim _ {T}}$ care este tocmai un tor topologic.

O altă modalitate de a defini torul topologic este de a construi spațiul coeficient al $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ R ^ 2$ cu privire la subgrup $\mathbb {Z} ^{2}.$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {2}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {2}.}$

Proprietăți topologice

Torul este o suprafață , deci o varietate diferențiată de dimensiunea 2.
Taurul este compact , conectat , dar nu pur și simplu conectat . De fapt grupul său fundamental este $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z}}$ .
Stratul universal al torului este homeomorf a $\mathbb {R} ^{2}.$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}.}$ Prin urmare, grupurile de homotopie de grad mai mare de 1 ale torului sunt toate banale.
Caracteristica Euler a torului este zero.
Genul taurului este 1.

Subdiviziunea torului care necesită 7 culori

Nu sunt multe teoremele geometriei plane pentru tor. De exemplu, teorema celor patru culori nu se menține. În desenul alăturat, torul a fost împărțit în șapte regiuni, două câte două, toate învecinate: de aceea sunt necesare șapte culori diferite, astfel încât două regiuni învecinate să nu aibă aceeași culoare. S - a dovedit o generalizare a teoremei celor patru culori din care rezultă că șapte culori sunt suficiente pentru a colora orice subdiviziune a torului.
Torul, cu excepția difeomorfismelor , este singura suprafață compactă orientabilă conectată pe care este posibil să se definească un câmp vector continuu fără puncte critice (vezi colectoare combabile ).

Taurul solid

Torul solid este obiectul tridimensional delimitat de tor (torul inclus). Adică, este porțiunea de spațiu conținută în tor, inclusiv partea de spațiu care o delimitează. Topologic, este un spațiu homeomorf al produsului $D\times S^{1}$ ${\ displaystyle D \ times S ^ {1}}$ ${\ displaystyle D \ times S ^ {1}}$ a discului bidimensional

D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}\leq 1\},

{\ displaystyle D = \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ | \ x ^ {2} + y ^ {2} \ leq 1 \},}

{\ displaystyle D = \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ | \ x ^ {2} + y ^ {2} \ leq 1 \},}

cu circumferința $S^{1}$ ${\ displaystyle S ^ {1}}$ $S ^ {1}$ . Este un soi cu 3 tăișuri ; marginea constă tocmai în tor. Grupul său de bază este $\mathbb {Z} .$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}.}$ În cele din urmă, este corpul cu mânere cu genul 1.

Torusul solid este un obiect important în studiul manifoldurilor 3 și mai general în topologia dimensiunii joase .

Valorile simbolice

În contextul filozofiilor new age , torul este adesea identificat ca un element de reînnoire energetică continuă ^[1] și referințele la acesta sunt atribuite geometriilor sacre ale popoarelor antice, ^[2] ^[3] ^[4] ^[5] nu rareori cu referințe care se învecinează cu pseudostiința .

Notă

^ alicecristallo.com "Sacred Geometry Art Studio" - "SIMBOLURI - Toroid: Înțeles"
^ Consapevoli.net - "Teoria Totului Nassim Haramein"
^ ( EN ) rationalwiki.org - „O comunitate care lucrează împreună pentru a explora și furniza informații despre o serie de subiecte axate pe știință, scepticism și gândire critică” - pagina „Nassim Haramein”
^ ilsapere.org "Magia energetică a inimii noastre: Toroidul"
^(EN) sciencebasedmedicine.org - "Medicină bazată pe energie - pseudosciență zgomotoasă" - Steven Novella pe 12 decembrie 2012

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre taur

linkuri externe

Secțiunile circulare ale unui taur , pe dhallewin.it .
Jocuri Torus: Jocuri (descărcabile gratuit) care ilustrează topologia torului și a sticlei Klein , la geometrygames.org .

Controlul autorității	GND ( DE ) 4185738-0

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] alicecristallo.com "Sacred Geometry Art Studio" - "SIMBOLURI - Toroid: Înțeles"

[2] Consapevoli.net - "Teoria Totului Nassim Haramein"

[3] ( EN ) rationalwiki.org - „O comunitate care lucrează împreună pentru a explora și furniza informații despre o serie de subiecte axate pe știință, scepticism și gândire critică” - pagina „Nassim Haramein”

[4] ilsapere.org "Magia energetică a inimii noastre: Toroidul"

[5] (EN) sciencebasedmedicine.org - "Medicină bazată pe energie - pseudosciență zgomotoasă" - Steven Novella pe 12 decembrie 2012

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]