Răsucire

Răsucirea este una dintre solicitările elementare la care poate fi supus un corp , alături de compresie , tracțiune , îndoire și forfecare . Stresul care o provoacă se numește cuplu .

Soluția problemei de torsiune este exact pentru grinzi (sau copaci la care literatura științifică americană se referă adesea) , cu o secțiune circulară (solid sau cu goluri) în timp ce aproximații sunt necesare pentru secțiunile cu pereți subțiri, dreptunghiulare și în consecință compozite tubulare. Din subțiri dreptunghiuri ( precum profilele clasice din oțel). Aici forțele aplicate la capetele unui corp tind să le rotească în direcții opuse, răsucind materialul

Exemple de răsucire: corpul uman

Pentru a înțelege imediat conceptul de torsiune, ne putem gândi la gât , la efortul depus pentru a mișca capul , la senzația de durere în cazul în care acesta este rotit violent în jurul axei sale ( coloana vertebrală ).

Dacă capul nostru ar fi stresat de o răsucire puternică, acesta ar fi transferat în partea superioară a gâtului, care probabil ar începe să cedeze în mod vizibil cu o rotație . Mușchii și tendoanele gâtului trebuie să poată rezista acestei stresuri, contracarându-l cu un cuplu egal și opus, astfel încât echilibrul să fie restabilit.

Dacă corpul ar fi foarte rigid ( rigiditate mare la torsiune), gâtul nu ar avea posibilitatea de a amortiza torsiunea și stresul ar ajunge instantaneu la baza gâtului, fără a ne oferi suficient timp pentru a reacționa și a contracara forța noastră musculară.

Torsiunea are loc în numeroase alte aplicații, de fiecare dată când un moment de răsucire este transmis unui obiect rigid, astfel încât să transfere această acțiune de la un capăt la altul.

Soluții analitice

Tija circulară supusă cuplului Z

Acțiunea momentului de răsucire se traduce printr-un set de eforturi elementare care iau numele tensiunilor tangențiale ${\tau }$ ${\ displaystyle {\ tau}}$ ${\ tau}$ aplicat zonelor elementare care generează un moment echivalent cu acțiunea la care secțiunea este supusă local.

M_{t}=\int _{A}\rho \tau _{t}\mathop {} \!\mathrm {d} A=\int _{A}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\tau _{t}\mathop {} \!\mathrm {d} A

{\ displaystyle M_ {t} = \ int _ {A} \ rho \ tau _ {t} \ mathop {} \! \ mathrm {d} A = \ int _ {A} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \ tau _ {t} \ mathop {} \! \ mathrm {d} A}

{\ displaystyle M_ {t} = \ int _ {A} \ rho \ tau _ {t} \ mathop {} \! \ mathrm {d} A = \ int _ {A} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \ tau _ {t} \ mathop {} \! \ mathrm {d} A}

$M_{t}$ ${\ displaystyle M_ {t}}$ $M_ {t}$ : cuplul
τ _t : solicitare de forfecare
ρ : distanța zonei elementare de la centrul de torsiune
dA : zona elementară asupra căreia acționează tensiunea tangențială
A : zona secțiunii luate în considerare

Această relație trebuie satisfăcută în orice secțiune, totuși nu descrie distribuția tensiunii pentru care este necesară analiza deformării .

Mai mult, pentru echilibru vor exista și tensiuni de-a lungul axei fasciculului, deoarece pentru continuul Cauchy nu poate exista o alunecare relativă a fibrelor paralele care alcătuiesc tija.

Evident, soluțiile găsite sunt valabile pentru câmpul elastic al materialului în care sunt valabile relațiile de proporționalitate tensiune-deformare și principiul de suprapunere al efectelor .

Analogie hidrodinamică

Analogia hidrodinamică ne permite să înțelegem intuitiv tendința calitativă a tensiunilor tangențiale τ și a liniilor de curgere aferente. O linie de curgere este definită ca curba caracterizată prin faptul că în fiecare punct vectorul τ este tangent curbei în sine. Să luăm în considerare o secțiune generică cu funcția unui vas pentru un lichid fără frecare și incompresibil, cum ar fi apa; prin rotirea secțiunii în jurul propriei axe cu viteză unghiulară constantă. Putem scrie ecuațiile care reglează mișcarea fluidului care vor fi aceleași cu cele care reglează torsiunea: există o analogie între câmpul tensiunilor tangențiale și cel al vitezelor fluidului care ia numele de analogie hidrodinamică . Liniile de curgere ale fluidului vor fi aceleași cu cele ale liniilor de curgere ale solicitărilor tangențiale. Prin această analogie putem afirma că:

În secțiuni subțiri închise, solicitările tangențiale au o intensitate care este proporțional inversă cu grosimea;
Există diferențe în distribuții între secțiunile subțiri deschise și închise. Tensiunile din secțiunile deschise au, de asemenea, o tendință paralelă cu linia medie, dar variază liniar de-a lungul grosimii, cu valori zero pe linia medie și valori maxime pe margini. Secțiunile închise au solicitări tangențiale paralele cu linia medie și distribuite uniform de-a lungul grosimii.
Liniile de curgere în torsiunea uniformă sunt curbe închise, care se îngroașă în prezența constricțiilor cu creșterea relativă a intensității tensiunilor.

^[1]

Bare cu secțiune circulară

Pentru bare cu secțiune circulară, se poate determina o soluție exactă la problema exprimării tensiunii tangențiale în raport cu solicitarea aplicată.

Axa lor de simetrie și condiția de continuitate a solidului (nici ruperea, nici interpenetrarea materialului) garantează imposibilitatea deformării sau deformării secțiunii; prin urmare, există doar rotații simple în jurul axei fasciculului discurilor infinite.

Când se aplică torsiunea, secțiunea se va roti cu un unghi φ și, în același timp, fasciculul se va distorsiona, astfel încât liniile paralele cu axa vor forma un unghi γ . În ipoteza unor mici deformări, aceste două unghiuri împart același arc al unui cerc ; deci fie L lungimea grinzii și ρ raza secțiunii, relația este valabilă $\gamma L=\phi {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ ${\ displaystyle \ gamma L = \ phi {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$ $\ gamma L = \ phi \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}$ adică $\gamma ={\frac {\phi }{L}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ ${\ displaystyle \ gamma = {\ frac {\ phi} {L}} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$ $\ gamma = \ frac {\ phi} {L} \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}$ .

Interesant este că analogia cu flexia simplă ( $\epsilon =\chi y$ ${\ displaystyle \ epsilon = \ chi y}$ $\ epsilon = \ chi y$ ) în care deformarea longitudinală este proporțională cu distanța de la centrul de greutate până la curbură (aici exprimată în schimb ca gradientul unghiului de rotație).

Distribuția tensiunilor tangențiale

Din relație este clar că distorsiunea fasciculului este aceeași pentru toate punctele echidistante de axa și crește liniar cu aceasta.

Acum ia în considerare relația constitutivă $\tau _{t}=G\gamma$ ${\ displaystyle \ tau _ {t} = G \ gamma}$ $\ tau_t = G \ gamma$ . Înlocuind-o în cea anterioară, diagrama de solicitări este identică cu cea a distorsiunilor la scară ale modulului tangențial de elasticitate .

Cu ρ = c , adică la distanța maximă de centrul secțiunii, avem - folosind proporționalitatea - $\tau _{t}=\tau _{tmax}{\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{c}}$ ${\ displaystyle \ tau _ {t} = \ tau _ {tmax} {\ frac {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} {c}}}$ $\ tau_t = \ tau_ {t max} \ frac {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} {c}$ . Să ne amintim acum relația generală a momentului răsucitor

M_{t}=\int _{A}\tau _{tmax}{\frac {x^{2}+y^{2}}{c}}\mathop {} \!\mathrm {d} A={\frac {\tau _{tmax}}{c}}J_{zz}

{\ displaystyle M_ {t} = \ int _ {A} \ tau _ {tmax} {\ frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {c}} \ mathop {} \! \ mathrm {d } A = {\ frac {\ tau _ {tmax}} {c}} J_ {zz}}

{\ displaystyle M_ {t} = \ int _ {A} \ tau _ {tmax} {\ frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {c}} \ mathop {} \! \ mathrm {d } A = {\ frac {\ tau _ {tmax}} {c}} J_ {zz}}

unde este $J_{zz}=\int _{A}(x^{2}+y^{2})dA$ ${\ displaystyle J_ {zz} = \ int _ {A} (x ^ {2} + y ^ {2}) dA}$ $J_ {zz} = \ int_A (x ^ 2 + y ^ 2) dA$ este al doilea moment al zonei.

Prin inversarea relației și reamintirea celei anterioare a proporționalității, se obține soluția exactă a problemei: $\tau _{t}={\frac {M_{t}}{J_{zz}}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ ${\ displaystyle \ tau _ {t} = {\ frac {M_ {t}} {J_ {zz}}} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$ $\ tau_t = \ frac {M_t} {J_ {zz}} \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}$

în puternică analogie cu criteriul Navier pentru simpla îndoire: $\sigma ={\frac {M}{J_{xx}}}y$ ${\ displaystyle \ sigma = {\ frac {M} {J_ {xx}}} y}$ $\ sigma = \ frac {M} {J_ {xx}} y$ .

În mod similar, unghiul de torsiune poate fi obținut amintind că $\gamma =\gamma _{max}{\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{c}}$ ${\ displaystyle \ gamma = \ gamma _ {max} {\ frac {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} {c}}}$ $\ gamma = \ gamma_ {max} \ frac {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} {c}$ Și $\gamma _{max}={\frac {\tau _{tmax}}{G}}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {max} = {\ frac {\ tau _ {tmax}} {G}}}$ $\ gamma_ {max} = \ frac {\ tau_ {t max}} {G}$ .

Deci avem $\phi ={\frac {M_{t}\ L}{J_{zz}\ G}}$ ${\ displaystyle \ phi = {\ frac {M_ {t} \ L} {J_ {zz} \ G}}}$ $\ phi = \ frac {M_t \ L} {J_ {zz} \ G}$ . Prin intermediul unghiului este posibil să se determine modulul de rezistență la forfecare G cu mașini speciale care pe un epruvetă cilindrică induc o torsiune în creștere treptată până la punctul de curgere .

Secțiuni complete

Pentru secțiuni circulare solide momentul polar de inerție este dat de

J_{zz}={\frac {1}{2}}\pi C_{e}^{4}

{\ displaystyle J_ {zz} = {\ frac {1} {2}} \ pi C_ {e} ^ {4}}

J_ {zz} = \ frac {1} {2} \ pi C_e ^ 4

Secțiuni goale

Considerațiile anterioare sunt valabile și momentul polar de inerție este dat de

J_{zz}={\frac {1}{2}}\pi (C_{e}^{4}-C_{i}^{4})

{\ displaystyle J_ {zz} = {\ frac {1} {2}} \ pi (C_ {e} ^ {4} -C_ {i} ^ {4})}

J_ {zz} = \ frac {1} {2} \ pi (C_e ^ 4 - C_i ^ 4)

Deoarece grosimea foliei este foarte mică în secțiunile cele mai frecvent utilizate, se poate folosi formula aproximativă $J_{zz}=2\pi C_{m}^{3}t$ ${\ displaystyle J_ {zz} = 2 \ pi C_ {m} ^ {3} t}$ $J_ {zz} = 2 \ pi C_m ^ 3 t$ (cu raza medie C _m între cele externe și cele interne și grosimea t a foii) și luați în considerare distribuția uniformei τ _{t de} -a lungul grosimii și egală cu valoarea medie

{\tilde {\tau }}_{t}={\frac {M_{t}}{2\pi C_{m}^{3}t}}C_{m}

{\ displaystyle {\ tilde {\ tau}} _ {t} = {\ frac {M_ {t}} {2 \ pi C_ {m} ^ {3} t}} C_ {m}}

\ tilde {\ tau} _t = \ frac {M_t} {2 \ pi C_m ^ 3 t} C_m

Prin urmare, obținem relația:

\tau _{t}={\frac {M_{t}}{2A\ t}}.

{\ displaystyle \ tau _ {t} = {\ frac {M_ {t}} {2A \ t}}.}

\ tau_t = \ frac {M_t} {2 A \ t}.

Bare cu secțiuni goale de orice formă

Soluția aproximativă a tubularilor poate fi extinsă la bare cu secțiuni goale de orice formă, atâta timp cât grosimea este de dimensiuni neglijabile față de restul elementului.

Vei avea asta $M_{t}=\oint _{l}({\tilde {\tau _{t}}}t(s)\mathrm {d} S)p$ ${\ displaystyle M_ {t} = \ oint _ {l} ({\ tilde {\ tau _ {t}}} t (s) \ mathrm {d} S) p}$ ${\ displaystyle M_ {t} = \ oint _ {l} ({\ tilde {\ tau _ {t}}} t (s) \ mathrm {d} S) p}$ cu:

l : lungimea "circuitului" constituit de perimetrul secțiunii (având în vedere raza medie)
t (s): grosimea barei , care poate varia în funcție de curbiliniu abscisă s
p : brațul forței τ t dS în raport cu centrul de greutate al secțiunii

Luați în considerare acum cazul analog în hidraulică al unui canal închis în care circulă un fluid incompresibil. Pentru continuitate, debitul în oricare două secțiuni ale circuitului trebuie să fie același, adică „cantitatea” produsului după „zonă” este constantă. La fel în acest caz în care așa-numitul flux de tăiere trebuie să fie constant, adică $\tau _{t1}\ a=\tau _{t2}\ b$ ${\ displaystyle \ tau _ {t1} \ a = \ tau _ {t2} \ b}$ $\ tau_ {t1} \ a = \ tau_ {t2} \ b$ prin urmare $q={\tilde {\tau _{t}}}\ t$ ${\ displaystyle q = {\ tilde {\ tau _ {t}}} \ t}$ $q = \ tilde {\ tau_t} \ t$ este constantă.

Înlocuind în relația cuplului pe care îl avem $M_{t}={\tilde {\tau _{t}}}t\oint _{l}\mathrm {d} Sp$ ${\ displaystyle M_ {t} = {\ tilde {\ tau _ {t}}} t \ oint _ {l} \ mathrm {d} Sp}$ ${\ displaystyle M_ {t} = {\ tilde {\ tau _ {t}}} t \ oint _ {l} \ mathrm {d} Sp}$ . Funcția integrand calculată în întregul circuit este echivalentă cu dublul ariei secțiunii, prin urmare obținem relația aproximativă găsită anterior pentru secțiunile circulare goale, care ia numele formulei lui Bredt :

\tau _{t}={\frac {M_{t}}{2\Omega \ t}}

{\ displaystyle \ tau _ {t} = {\ frac {M_ {t}} {2 \ Omega \ t}}}

\ tau_t = \ frac {M_t} {2 \ Omega \ t}

Unde este $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ reprezintă zona de sub linia medie. Unghiul de torsiune poate fi exprimat prin:

\phi ={\frac {M_{t}L}{4\Omega ^{2}\ G}}\oint _{l}{\frac {dS}{t}}

{\ displaystyle \ phi = {\ frac {M_ {t} L} {4 \ Omega ^ {2} \ G}} \ oint _ {l} {\ frac {dS} {t}}}

\ phi = \ frac {M_t L} {4 \ Omega ^ 2 \ G} \ oint_l \ frac {dS} {t}

Bare de secțiune dreptunghiulară (prisme de secțiune non-circulare)

În acest caz, ipoteza anterioară a simetriei axiale cade, prin urmare relațiile demonstrate nu pot fi aplicate. De fapt, pentru prismele de secțiune necirculare, torsiunea duce la flambarea secțiunii care - în rotație - schimbă aspectul (pentru pătrat situația este evident neschimbată pentru rotații de 90º sau 180º).

În structurile izostatice, grinzile sunt libere să se închidă; în cele hiperstatice, pe de altă parte, constrângerea suplimentară blochează acest fenomen, prin urmare, împreună cu solicitările tangențiale, vor apărea tensiunile σ .

Luați în considerare secțiuni dreptunghiulare. În virtutea celor de mai sus, tensiunile nu mai pot varia liniar în secțiune.

Τ va fi zero numai în colțurile secțiunii. De fapt, considerați un paralelipiped infinitesimal pe marginea unei bare cu secțiune pătrată supusă torsiunii. Pentru echilibrul cu exteriorul (tensiuni zero pe margine), deformațiile vor fi și zero. Pe măsură ce ne îndepărtăm, ei vor crește la valoarea maximă în linia centrală a barei.

Pentru o soluție aproximativă a problemei, luați în considerare o secțiune dreptunghiulară alungită; ca urmare a torsiunii pe pereți, va apărea un „circuit” de tensiuni, similar circulației unui fluid (în partea de mijloc va fi „calm”). Pentru continuitate, produsul tensiunilor pentru brațul cuiva este constant, prin urmare tensiunile maxime apar pe cei mai lungi pereți. Se aplică echilibrul dintre cuplu și distribuția tensiunilor:

{\frac {M_{t}}{2}}=2\cdot [F]\cdot \mathrm {braccio}

{\ displaystyle {\ frac {M_ {t}} {2}} = 2 \ cdot [F] \ cdot \ mathrm {arm}}

\ frac {M_t} {2} = 2 \ cdot [F] \ cdot \ mathrm {arm}

adică τ de pe cea mai lungă margine poartă jumătate din moment. În echilibru, forța [F] este dată de rezultanta distribuției triunghiulare a τ de -a lungul secțiunii luând în considerare atât partea inferioară, cât și partea superioară ( 2 ). Fie a cea mai lungă margine și b cea mai scurtă margine. Primim:

{\frac {M_{t}}{2}}=\left({\frac {1}{2}}\tau _{tmax}{\frac {b}{2}}a\right){\frac {2}{3}}{\frac {b}{2}}\ 2

{\ displaystyle {\ frac {M_ {t}} {2}} = \ left ({\ frac {1} {2}} \ tau _ {tmax} {\ frac {b} {2}} a \ right) {\ frac {2} {3}} {\ frac {b} {2}} \ 2}

{\ displaystyle {\ frac {M_ {t}} {2}} = \ left ({\ frac {1} {2}} \ tau _ {tmax} {\ frac {b} {2}} a \ right) {\ frac {2} {3}} {\ frac {b} {2}} \ 2}

prin urmare

\tau _{tmax}=M_{t}{\frac {3}{ab^{2}}}

{\ displaystyle \ tau _ {tmax} = M_ {t} {\ frac {3} {ab ^ {2}}}}

{\ displaystyle \ tau _ {tmax} = M_ {t} {\ frac {3} {ab ^ {2}}}}

.

a / b	c ₁	c ₂
1	0,208	0.1406
1.2	0,219	0,1661
1.5	0,231	0,1958
2	0,246	0,229
2.5	0,248	0,249
3	0,267	0,263
4	0,282	0,281
5	0,291	0,291
10	0,312	0,312
∞	0,333	0,333

În calcule este adesea utilizarea relației $\tau _{t}={\frac {M_{t}}{c_{1}ab^{2}}}$ ${\ displaystyle \ tau _ {t} = {\ frac {M_ {t}} {c_ {1} ab ^ {2}}}}$ $\ tau_t = \ frac {M_t} {c_1 a b ^ 2}$ cu valoare c ₁ care depinde de relația dintre a și b . Unghiul de răsucire este egal cu $\phi ={\frac {M_{t}\ L}{c_{2}ab^{3}G}}$ ${\ displaystyle \ phi = {\ frac {M_ {t} \ L} {c_ {2} ab ^ {3} G}}}$ $\ phi = \ frac {M_t \ L} {c_2 ab ^ 3 G}$ cu c _{2 o} valoare care depinde de relația dintre a și b . Coeficienții c ₁ și c ₂ pentru bare dreptunghiulare sunt prezentate în tabel. Pentru a / b > 5 cei doi coeficienți sunt egali și oricum pot fi aproximați la 1/3.

Secțiuni compuse

În cazul secțiunilor deschise compozite (cum ar fi profilele comune utilizate pentru grinzi precum IPE sau HE) există o problemă hiperstatică internă.

Cuplul aplicat este absorbit de secțiunile prezente: $M_{t}=\sum _{i}M_{t}(i)$ ${\ displaystyle M_ {t} = \ sum _ {i} M_ {t} (i)}$ $M_t = \ sum_i M_t (i)$ . Pentru congruență, toate secțiunile trebuie să se rotească cu același unghi $\theta =\theta _{i}$ ${\ displaystyle \ theta = \ theta _ {i}}$ $\ theta = \ theta_i$ . Pentru secțiunile dreptunghiulare avem

I_{t}(i)={\frac {c_{2}ab^{3}}{L}}

{\ displaystyle I_ {t} (i) = {\ frac {c_ {2} ab ^ {3}} {L}}}

I_t (i) = \ frac {c_2 ab ^ 3} {L}

M_{t}(i)=G\theta I_{t}(i)

{\ displaystyle M_ {t} (i) = G \ theta I_ {t} (i)}

M_t (i) = G \ theta I_t (i)

apoi substituind

\theta ={\frac {M_{t}}{G\sum _{i}I_{t}(i)}}.

{\ displaystyle \ theta = {\ frac {M_ {t}} {G \ sum _ {i} I_ {t} (i)}}.}

\ theta = \ frac {M_t} {G \ sum_i I_t (i)}.

Prin urmare, este posibil să se calculeze cuplul pe fiecare secțiune dreptunghiulară:

M_{t}(i)=M_{t}{\frac {I_{t}(i)}{\sum _{i}I_{t}(i)}}

{\ displaystyle M_ {t} (i) = M_ {t} {\ frac {I_ {t} (i)} {\ sum _ {i} I_ {t} (i)}}}

M_t (i) = M_t \ frac {I_t (i)} {\ sum_i I_t (i)}

și în consecință tensiunea care acționează individual.

Secțiuni deschise formate din dreptunghiuri subțiri

Secțiunile deschise subțiri, cum ar fi secțiunile duble T, sunt alcătuite din mai multe dreptunghiuri și se caracterizează prin faptul că linia mediană nu are căi închise. Tendința calitativă a tensiunilor poate fi dedusă recurgând la analogia hidrodinamică . Pentru a calcula valorile maxime ale eforturilor tangențiale și ale inerției de torsiune, începem prin împărțirea secțiunii în dreptunghiuri subțiri, (cum ar fi cele două aripi și pânza în cazul unui fascicul dublu T), apoi împărțim cuplul în diferitele subdiviziuni și procedăm la calcularea stării de solicitare.

Având în vedere momentul de inerție al fiecărei secțiuni dreptunghiulare:

I_{t}(i)={\frac {1}{3}}a_{i}\cdot s_{i}^{3}

{\ displaystyle I_ {t} (i) = {\ frac {1} {3}} a_ {i} \ cdot s_ {i} ^ {3}}

I_t (i) = \ frac {1} {3} a_i \ cdot s_i ^ 3

Având în vedere solicitările maxime de forfecare:

\tau _{max,i}={\frac {M_{ti}}{I_{ti}}}\cdot s_{i}

{\ displaystyle \ tau _ {max, i} = {\ frac {M_ {ti}} {I_ {ti}}} \ cdot s_ {i}}

\ tau_ {max, i} = \ frac {M_ {ti}} {I_ {ti}} \ cdot s_i

În cazul în care vom nota cu lungimea dreptunghiului și e grosimea ei.

Inerția de torsiune a secțiunii

Inerția de torsiune a secțiunii este dată de suma inerției de torsiune a dreptunghiurilor unice. În cazul unei secțiuni duble T vom avea:

I_{t}=I_{t1}+I_{t2}+I_{t3}=\sum _{i=1}^{3}I_{ti}=\sum _{i=1}^{3}{\frac {1}{3}}a_{i}s_{i}^{3}

{\ displaystyle I_ {t} = I_ {t1} + I_ {t2} + I_ {t3} = \ sum _ {i = 1} ^ {3} I_ {ti} = \ sum _ {i = 1} ^ { 3} {\ frac {1} {3}} a_ {i} s_ {i} ^ {3}}

I_t = I_ {t1} + I_ {t2} + I_ {t3} = \ sum_ {i = 1} ^ 3 I_ {ti} = \ sum_ {i = 1} ^ 3 \ frac {1} {3} a_is_i ^ 3

Distribuția cuplului

Fiecare dreptunghi este supus unei fracțiuni a cuplului proporțional cu propria sa torsiune, ceea ce se demonstrează în formule:

M_{ti}=M_{t}{\frac {I_{ti}}{I_{t}}}\Rightarrow {\frac {M_{ti}}{I_{ti}}}={\frac {M_{t}}{I_{t}}}

{\ displaystyle M_ {ti} = M_ {t} {\ frac {I_ {ti}} {I_ {t}}} \ Rightarrow {\ frac {M_ {ti}} {I_ {ti}}} = {\ frac {M_ {t}} {I_ {t}}}}

M_ {ti} = M_t \ frac {I_ {ti}} {I_t} \ Rightarrow \ frac {M_ {ti}} {I_ {ti}} = \ frac {M_t} {I_t}

Tensiune tangențială maximă

Tensiunea tangențială maximă este diferită în funcție de fiecare grosime a dreptunghiului luat în considerare, cu tensiunea maximă în care este atinsă în dreptunghiul care are cea mai mare grosime.

\tau _{max,i}={\frac {M_{ti}}{I_{ti}}}\cdot s_{i}={\frac {M_{t}}{I_{t}}}\cdot s_{i}

{\ displaystyle \ tau _ {max, i} = {\ frac {M_ {ti}} {I_ {ti}}} \ cdot s_ {i} = {\ frac {M_ {t}} {I_ {t}} } \ cdot s_ {i}}

\ tau_ {max, i} = \ frac {M_ {ti}} {I_ {ti}} \ cdot s_i = \ frac {M_t} {I_t} \ cdot s_i

Care în cazul unei secțiuni duble T devine:

\tau _{max,i}={\frac {3M_{t}}{a_{1}s_{1}^{3}+a_{2}s_{2}^{3}+a_{3}s_{3}^{3}}}\cdot s_{i}

{\ displaystyle \ tau _ {max, i} = {\ frac {3M_ {t}} {a_ {1} s_ {1} ^ {3} + a_ {2} s_ {2} ^ {3} + a_ { 3} s_ {3} ^ {3}}} \ cdot s_ {i}}

\ tau_ {max, i} = \ frac {3M_ {t}} {a_1s_1 ^ 3 + a_2s_2 ^ 3 + a_3s_3 ^ 3} \ cdot s_i

Repetând calculul pentru cele 3 grosimi vom avea rezultatul efortului maxim de forfecare.

Tabel rezumat

Forma secțiunii	Eu _nu	τ	τ _max
Circular compact	$\pi {\frac {R^{4}}{32}}$ ${\ displaystyle \ pi {\ frac {R ^ {4}} {32}}}$ ${\ displaystyle \ pi {\ frac {R ^ {4}} {32}}}$	${\frac {2M_{t}}{\pi R^{4}}}r$ ${\ displaystyle {\ frac {2M_ {t}} {\ pi R ^ {4}}} r}$ $\ frac {2 M_t} {\ pi R ^ 4} r$	${\frac {2M_{t}}{\pi R^{3}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {2M_ {t}} {\ pi R ^ {3}}}}$ $\ frac {2 M_t} {\ pi R ^ 3}$
Eliptica arborilor de transmisie p> q	$\pi {\frac {p^{3}q^{3}}{p^{2}+q^{2}}}$ ${\ displaystyle \ pi {\ frac {p ^ {3} q ^ {3}} {p ^ {2} + q ^ {2}}}}$ $\ pi \ frac {p ^ 3q ^ 3} {p ^ 2 + q ^ 2}$		${\frac {2}{\pi }}{\frac {M_{t}}{pq^{2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {2} {\ pi}} {\ frac {M_ {t}} {pq ^ {2}}}}$ $\ frac {2} {\ pi} \ frac {M_t} {pq ^ 2}$
Gol circular	$\pi {\frac {R_{e}^{4}-R_{i}^{4}}{32}}$ ${\ displaystyle \ pi {\ frac {R_ {e} ^ {4} -R_ {i} ^ {4}} {32}}}$ ${\ displaystyle \ pi {\ frac {R_ {e} ^ {4} -R_ {i} ^ {4}} {32}}}$	${\frac {2M_{t}}{\pi (R_{e}^{4}-R_{i}^{4})}}r$ ${\ displaystyle {\ frac {2M_ {t}} {\ pi (R_ {e} ^ {4} -R_ {i} ^ {4})}} r}$ $\ frac {2M_t} {\ pi (R_e ^ 4 - R ^ 4_i)} r$	${\frac {2Mt}{\pi (R_{e}^{4}-R_{i}^{4})}}R_{e}$ ${\ displaystyle {\ frac {2Mt} {\ pi (R_ {e} ^ {4} -R_ {i} ^ {4})}} R_ {e}}$ $\ frac {2Mt} {\ pi (R_e ^ 4-R_i ^ 4)} R_e$
Gol subțire circular	$2\pi R^{3}s$ ${\ displaystyle 2 \ pi R ^ {3} s}$ $2 \ pi R ^ 3 s$	${\frac {M_{t}}{2\pi R^{2}s}}$ ${\ displaystyle {\ frac {M_ {t}} {2 \ pi R ^ {2} s}}}$ $\ frac {M_t} {2 \ pi R ^ 2 s}$	${\frac {M_{t}}{2\pi R^{2}s}}$ ${\ displaystyle {\ frac {M_ {t}} {2 \ pi R ^ {2} s}}}$ $\ frac {M_t} {2 \ pi R ^ 2 s}$
Subțire dreptunghiulară	${\frac {1}{3}}as^{3}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} ca ^ {3}}$ $\ frac {1} {3} ca ^ 3$	$-{\frac {6M_{t}}{as^{3}}}y$ ${\ displaystyle - {\ frac {6M_ {t}} {ca ^ {3}}} y}$ $- \ frac {6M_t} {as ^ 3} y$	${\frac {M_{t}}{I_{t}}}s={\frac {3M_{t}}{as^{2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {M_ {t}} {I_ {t}}} s = {\ frac {3M_ {t}} {as ^ {2}}}}$ $\ frac {M_t} {I_t} s = \ frac {3M_t} {ca ^ 2}$
Compus din m dreptunghiuri subțiri	$\sum _{i=1}^{m}{\frac {1}{3}}a_{i}s_{i}^{3}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {m} {\ frac {1} {3}} a_ {i} s_ {i} ^ {3}}$ $\ sum_ {i = 1} ^ m \ frac {1} {3} a_is_i ^ 3$		$\tau _{max,i}={\frac {M_{t}}{I_{t}}}s_{i}$ ${\ displaystyle \ tau _ {max, i} = {\ frac {M_ {t}} {I_ {t}}} s_ {i}}$ $\ tau_ {max, i} = \ frac {M_t} {I_t} s_i$

Eficiența secțiunilor de torsiune

Secțiunile care rezistă cel mai bine la torsiune sunt structuri tubulare, adică având o secțiune cu cavitate centrală și masă concentrată pe diametrul exterior; de fapt, cu aceeași masă specifică, acestea sunt cele care au cel mai mare moment de inerție și, prin urmare, cele care minimizează valoarea $\tau _{t}$ ${\ displaystyle \ tau _ {t}}$ $\ tau_t$ .

Notă

^ Paolo Casini și Marcello Vasta, Științele construcțiilor , edițiile Novara, Città Studi, 2001.

Bibliografie

Paolo Casini și Marcello Vasta, Științe ale construcțiilor , edițiile Novara, Città Studi, 2001.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikționarul conține lema dicționarului " twist "
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre răsucire

linkuri externe

( EN ) Twist , pe Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
starea limită de torsiune supremă în structurile de beton armat ( PDF ), pe angelomasi.it . Adus la 9 noiembrie 2013 (depus de „Adresa URL originală 9 noiembrie 2013).

Teoria și modelul lui de Saint Venant
	Stres intern - Stres extern - Compresie sau Tracțiune - Flexie dreaptă Îndoirea deviată - Tăiere - Torsiune - flambare - îndoire biaxială

Controlul autorității	Tezaur BNCF 40864

Portal de inginerie : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de inginerie

[1] Paolo Casini și Marcello Vasta, Științele construcțiilor , edițiile Novara, Città Studi, 2001.

[1]