Track (matrice)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În algebra liniară , urma unei matrice pătrate este definită ca suma tuturor elementelor diagonalei sale principale .

În cazul endomorfismelor unui spațiu vectorial , este posibil să se definească urmele unui endomorfism luând în considerare urmele matricei sale asociate cu privire la orice bază a spațiului. Deoarece urmele sunt invariante prin similitudine , această valoare nu depinde de baza aleasă.

Definiție

Se numește o urmă a unei matrice suma tuturor elementelor de pe diagonala sa principală :

unde este reprezintă elementul plasat pe -alea linie e -a coloana a .

Din definiție rezultă că o matrice hermitiană are o urmă reală, deoarece elementele sale de pe diagonala principală sunt reale, în timp ce o matrice antisimetrică are o urmă zero, deoarece toate elementele de pe diagonala principală sunt nule.

Setul de matrice a cărui urmă este zero este, de asemenea, un spațiu vectorial .

Proprietate

Printre cele mai imediate proprietăți ale urmelor sunt următoarele:

  • O matrice și transpunerea acestuia au aceeași urmă:
așa cum se poate vedea din faptul că transpunerea reprezintă rotația elementelor matricei față de diagonală, care reprezintă un invariant al acestei transformări.
  • Având în vedere matricea de identitate , urma este dimensiunea spațiului, adică . Urma unei matrice idempotente (astfel încât ) este rangul de , în timp ce urmele matricei nilpotente sunt zero.
  • De sine este o matrice simetrică și este o matrice antisimetrică , atunci:
  • Având în vedere o matrice in marime și a doua matrice in marime , avem:
Aceasta este o consecință imediată a procedurii de multiplicare a matricei , de fapt:
Adică, urma este invariantă în raport cu o permutare ciclică :
Rețineți că nu este permisă o permutare generică:
Urmele unui produs pot fi scrise ca o sumă precum:
în care observăm asemănarea cu produsul intern între vectori.
  • Urma este invariantă prin similitudine , adică două matrice similare au aceeași urmă:
  • Având în vedere o matrice in marime și a doua matrice in marime , avem:

Urma este, cu excepția semnului, coeficientul de în polinomul caracteristic unei matrice. Urma este, de asemenea, egală cu suma valorilor proprii ale matricei, deoarece o matrice este întotdeauna similară cu o formă canonică Jordan , o matrice triunghiulară superioară , care are, de asemenea, valorile proprii pe diagonala principală.

În cazul unei matrice diagonalizabile , în special, aceasta rezultă din invarianța prin similitudine și din faptul că o matrice diagonală are propriile sale valori pe diagonală.

Într-o matrice pătrată de ordinul doi, valorile proprii depind doar de urmele și de determinantul matricei, deoarece în acest caz polinomul caracteristic este dat de:

Urma corespunde derivatei determinantului. De sine este o funcție diferențiată de la spațiul matricilor de dimensiune n :

unde este este matricea adăugată a . Aceasta este formula Jacobi .

Produs intern

Pentru o matrice in marime cu intrări reale sau complexe, care indică transpunerea conjugată complexă cu un asterisc, avem:

unde egalitatea este valabilă dacă și numai dacă . Atribuirea:

definește un produs interior pe spațiul matricei (real sau complex). Norma indusă de acest produs intern se numește norma Frobenius .

Rezultă că dacă Și sunt semi-pozitive definite și au aceeași dimensiune, atunci:

așa cum se poate demonstra folosind inegalitatea Cauchy-Schwarz .

Generalizări

În cazul operatorilor compacti din spațiile Hilbert , se introduce noțiunea de operator de clasă de urmărire .

De sine este o algebră asociativă pe un câmp apoi urma lui este adesea denumită și o hartă generică care anulează comutatorul pentru fiecare cuplu . Este o urmă definită dacă nu este înmulțită cu un scalar diferit de zero.

O supertrack este o generalizare a urmelor în cadrul teoriei superalgebrelor .

Operația de contracție a unui tensor generalizează urmele la cazul tensorilor generici.

Operatori de clasă de urmărire

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Trace class .

Să fie dat un operator liniar limitat pe un spațiu Hilbert separabil . Având în vedere o bază ortonormală din , se numește o urmă de numărul: [1]

se spune că este de urmă de clasă dacă urma modulului său este finită, adică dacă suma anterioară este absolut convergentă și independentă de alegerea bazei. [2]

Urmele unui operator pot fi scrise echivalent ca suma termenilor pozitivi:

Este o funcționalitate liniară pe spațiul operatorilor clasei de urmărire. De sine are dimensiune finită, fiecare operator este de clasă și suma anterioară este echivalentă cu definiția urmelor unei matrice.

Un operator non-negativ și autoadjunct este de clasă dacă:

De asemenea, un operator autoadjunct este de clasă trace dacă partea sa pozitivă este și negativ .

În acest context, analogul normei Frobenius se numește norma Hilbert-Schmidt .

Exemple

Notă

  1. ^ Reed, Simon , Pagina 206
  2. ^ Reed, Simon , Pagina 207

Bibliografie

  • ( EN ) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis , ed. A II-a, San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6 .
  • ( EN ) N. Jacobson, Algebra de bază , 1, Freeman (1985)
  • (EN) S. Lang, Algebra, Addison-Wesley (1965)
  • ( EN ) PM Cohn, Algebra , 1 , Wiley (1982) pp. 336
  • ( EN ) FR Gantmacher, The theory of matrices , 1 , Chelsea, retipărire (1959)

Elemente conexe

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică