Transformată Fourier

În analiza matematică , transformata Fourier este o transformare integrală , adică un operator care transformă o funcție într-o altă funcție, dezvoltată de matematicianul francez Jean Baptiste Joseph Fourier în 1822 , în tratatul său Théorie analytique de la chaleur. Găsește numeroase aplicații în fizică și inginerie, care este unul dintre cele mai utilizate instrumente matematice în științele pure și aplicate , permițând scrierea unei funcții dependente de timp ca o combinație liniară (posibil continuă) a funcțiilor de bază exponențiale . Transformata Fourier asociază valorile coeficienților acestor dezvoltări liniare unei funcții, oferind astfel o reprezentare în domeniul frecvenței care este adesea numit spectrul funcției (relația cu conceptul de spectru al unui operator poate fi înțeleasă dacă se ia în considerare operatorul de convoluție cu funcția luată în considerare). Uneori înțelegem prin transformare Fourier funcția care rezultă din aplicarea acestui operator.

Generalitate

În cazul funcțiilor periodice , acesta poate fi simplificat prin calculul unui set discret de amplitudini complexe, numiți coeficienți ai seriei Fourier . Cea mai obișnuită utilizare a acestuia este de a transforma o funcție care variază în timp, cum ar fi un sunet, într-o funcție legată de frecvență, care este adesea mai ușor de analizat; întrucât aplicarea transformării de două ori revine la funcția originală, este de asemenea posibil să o utilizați pentru a modifica funcția originală, de exemplu „curățând” o înregistrare plină de sufluri prin eliminarea frecvențelor mai mari care sunt în mare parte legate de aceasta din urmă. Datorită transformatei Fourier, de exemplu, este posibil să se identifice un criteriu pentru efectuarea unei eșantionări capabile să digitalizeze un semnal fără a reduce conținutul informațional al acestuia : aceasta este baza întregii teorii a informației care folosește și transformata Fourier (în în special variantei sale discrete ) pentru procesarea semnalelor digitale.

Transformarea este inversabilă: pornind de la transformarea unei funcții ${\hat {x}}$ ${\ displaystyle {\ hat {x}}}$ ${\ hat x}$ este posibil să reveniți la funcție $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ prin intermediul teoremei inversiunii Fourier . În mod formal, transformata Fourier ${\mathcal {F}}\left\{x(t)\right\}(\omega )$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ left \ {x (t) \ right \} (\ omega)}$ ${\ mathcal {F}} \ left \ {x (t) \ right \} (\ omega)$ a unei funcții $x(t)$ ${\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$ este echivalent cu evaluarea transformatei Laplace pe două fețe ${\mathcal {L}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$ $\ mathcal {L}$ din $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ plasarea $s=i\omega$ ${\ displaystyle s = i \ omega}$ $s = i \ omega$ , iar această definiție este valabilă dacă și numai dacă regiunea de convergență a transformatei Laplace conține axa imaginară.

Dacă semnalul în cauză este un semnal periodic , transformata lui Fourier este un set discret de valori, care în acest caz ia numele de spectru discret sau spectru „pieptene”: cea mai mică frecvență se numește armonica fundamentală și este cea care are o valoare mai mare greutatea în recompunerea finală a semnalului, în timp ce celelalte frecvențe sunt multipli ai fundamentalului și uneori iau numele de „armonici secundare”. În acest caz, formula respectivă de sinteză inversă constituie dezvoltarea seriei Fourier a funcției sau semnalului periodic original. Dacă semnalul are o valoare medie diferită de zero, seria returnează și o componentă constantă care îl reprezintă. Dacă un semnal periodic este trunchiat în afara unui anumit interval pe abscisă rămânând definit doar într-un anumit interval de definiție, spectrul rezultat va fi cel discret în care, totuși, fiecare rând se extinde în domeniul variabilei dependente cu o valoare uniformă la inversul domeniului de definiție al semnalului în sine.

Dacă funcția nu este periodică, spectrul este continuu și cu cât este extins de-a lungul axei frecvenței, cu atât este mai limitat în domeniul original al variabilei independente și invers. Teoria transformatei și antitransformei Fourier generalizează, așadar, teoria seriei Fourier la cazul semnalelor non-periodice, inclusiv semnalele periodice ca un caz particular și împreună converg în analiza Fourier și în analiza armonică .

Transformata Laplace (introdusă pentru prima dată de Euler cu aproape un secol și jumătate mai devreme ^[1] ) este o extensie a transformatei Fourier care permite să se ocupe de anumite funcții care nu sunt integrabile Fourier, cum ar fi funcțiile continue în bucăți . Având în vedere transformata Laplace a unei funcții (sau semnal ), sub anumite ipoteze putem obține transformata lui Fourier prin setare $s=2\pi \cdot i\cdot f$ ${\ displaystyle s = 2 \ pi \ cdot i \ cdot f}$ $s = 2 \ pi \ cdot i \ cdot f$ , unde este $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ este unitatea imaginară e $f=\omega /2\pi$ ${\ displaystyle f = \ omega / 2 \ pi}$ $f = \ omega / 2 \ pi$ frecvența sinusoidelor de bază a căror combinație liniară determină transformata Fourier.

Transformata Fourier este utilizată pe scară largă în analiza de frecvență a sistemelor dinamice , în soluția ecuațiilor diferențiale și în teoria semnalului . De exemplu, în ingineria sistemelor , transformata Fourier a răspunsului la impuls caracterizează răspunsul în frecvență al sistemului în cauză. Motivul unei difuziuni atât de largi constă în faptul că este un instrument care permite descompunerea unui semnal generic într-o sumă infinită de sinusoide cu frecvențe , amplitudini și faze diferite ; și ulterior permite reconstituirea acestuia prin formula de sinteză inversă (sau „anti-transformare”). Setul de valori în funcție de frecvență, continuu sau discret, se numește spectru de amplitudine și spectru de fază .

Definiție

Luați în considerare sistemul ortonormal $\{u_{n}=e^{int},n\in \mathbb {Z} \}$ ${\ displaystyle \ {u_ {n} = e ^ {int}, n \ in \ mathbb {Z} \}}$ $\ {u_ {n} = e ^ {{int}}, n \ in {\ mathbb {Z}} \}$ în $L^{2}(T)$ ${\ displaystyle L ^ {2} (T)}$ $L ^ {2} (T)$ , unde este $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este intervalul $[-\pi ,\pi ]$ ${\ displaystyle [- \ pi, \ pi]}$ ${\ displaystyle [- \ pi, \ pi]}$ . Se numește sistem ortonormal trigonometric și este un sistem complet.

Este definită seria Fourier a unei funcții periodice $f\in L^{2}(T)$ ${\ displaystyle f \ în L ^ {2} (T)}$ $f \ în L ^ {2} (T)$ un pătrat însumabil este reprezentarea funcției prin intermediul unei combinații liniare a vectorilor de bază $u_{n}$ ${\ displaystyle u_ {n}}$ $A}$ a sistemului ortonormal trigonometric: ^[2]

\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n)u_{n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n)e^{int}.

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} f (n) u_ {n} = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} f (n) e ^ {int }.}

\ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty f (n) u_n = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty f (n) e ^ {int}.

Coeficienții combinației sunt proiecțiile ortogonale ale funcției pe spațiile generate de elementele unice ale sistemului ortonormal trigonometric:

f(n):={\frac {(f,u_{n})}{\|u_{n}\|^{2}}}=(f,u_{n})={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\,f(x)\,e^{-inx}dx,

{\ displaystyle f (n): = {\ frac {(f, u_ {n})} {\ | u_ {n} \ | ^ {2}}} = (f, u_ {n}) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \, f (x) \, e ^ {- inx} dx,}

{\ displaystyle f (n): = {\ frac {(f, u_ {n})} {\ | u_ {n} \ | ^ {2}}} = (f, u_ {n}) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \, f (x) \, e ^ {- inx} dx,}

și se numesc coeficienți Fourier ai funcției $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ . ^[3]

Să presupunem că extindeți $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ la o gamă suficient de mare pentru a suporta o funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ (evident cu suport compact) este conținut în $[-T/2,T/2]$ ${\ displaystyle [-T / 2, T / 2]}$ $[-T / 2, T / 2]$ . Apoi $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -al coeficientul $f(n)$ ${\ displaystyle f (n)}$ $f (n)$ este dat de:

f(n)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-T/2}^{T/2}f(x)\,e^{-i2\pi \left({\frac {n}{T}}\right)x}dx.

{\ displaystyle f (n) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (x) \, e ^ {- i2 \ pi \ left ({\ frac {n} {T}} \ right) x} dx.}

{\ displaystyle f (n) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (x) \, e ^ {- i2 \ pi \ left ({\ frac {n} {T}} \ right) x} dx.}

În mod informal se poate spune că pe măsură ce lățimea intervalului crește $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ pe care se calculează seria Fourier a unei funcții $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ coeficienții seriei aproximează valoarea transformatei Fourier ${\mathcal {F}}\{f\}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ {f \}}$ ${\ mathcal {F}} \ {f \}$ funcției în sine, iar suma seriei aproximează valoarea transformării inverse . În special, coeficienții seriei sunt valorile transformatei Fourier eșantionate la intervale de lățime $1/T$ ${\ displaystyle 1 / T}$ $1 / T$ , și pentru orice eventualitate $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ este identic zero în afara intervalului de integrare $[-T/2,T/2]$ ${\ displaystyle [-T / 2, T / 2]}$ $[-T / 2, T / 2]$ valoarea celui de-al n-lea coeficient Fourier este egală cu ${\mathcal {F}}\{f\}\left({n \over T}\right)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ {f \} \ left ({n \ over T} \ right)}$ ${\ mathcal {F}} \ {f \} \ left ({n \ over T} \ right)$ .

Se extinde $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ întreaga axă reală este definită ca transformată Fourier a unei funcții $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ aparținând spațiului Schwartz integral: ^[4]

{\mathcal {F}}\{f\}(t)={\hat {f}}(t):={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }f(x)e^{-ixt}\,dx,\qquad \forall t\in \mathbb {R} .

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ {f \} (t) = {\ hat {f}} (t): = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {\ mathbb {R}} f (x) e ^ {- ixt} \, dx, \ qquad \ forall t \ in \ mathbb {R}.}

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ {f \} (t) = {\ hat {f}} (t): = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {\ mathbb {R}} f (x) e ^ {- ixt} \, dx, \ qquad \ forall t \ in \ mathbb {R}.}

De cand $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ aparține lui $L^{1}(\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle L ^ {1} (\ mathbb {R})}$ $L ^ {1} (\ mathbb {R})$ , integralul este bine definit pentru orice număr real. Ca o consecință a teoremei lui Plancherel , transformarea poate fi extinsă într-un mod unic și în spațiul Hilbert $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ totuși, ca funcție punctuală, este definită aproape peste tot în acel set. ^[5]

Indicarea operației cu litera ${\mathcal {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ mathcal {F}}$ (F caligrafic), termenul transformată Fourier identifică și operatorul funcțional:

{\mathcal {F}}:f\mapsto {\hat {f}}.

{\ displaystyle {\ mathcal {F}}: f \ mapsto {\ hat {f}}.}

{\ displaystyle {\ mathcal {F}}: f \ mapsto {\ hat {f}}.}

Definiția pentru funcțiile Schwartz ale unei variabile vectoriale poate fi, de asemenea, extinsă $f(\mathbf {x} )\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ ${\ displaystyle f (\ mathbf {x}) \ în L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ $f ({\ mathbf {x}}) \ în L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {n})$ :

{\mathcal {F}}\{f\}(\mathbf {t} )={\hat {f}}(\mathbf {t} ):={\frac {1}{(2\pi )^{n \over 2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-i\mathbf {t} \cdot \mathbf {x} }f(\mathbf {x} )\,d\mathbf {x} ,\qquad \forall \mathbf {t} \in \mathbb {R} ^{n},

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ {f \} (\ mathbf {t}) = {\ hat {f}} (\ mathbf {t}): = {\ frac {1} {(2 \ pi ) ^ {n \ peste 2}}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} e ^ {- i \ mathbf {t} \ cdot \ mathbf {x}} f (\ mathbf {x}) \, d \ mathbf {x}, \ qquad \ forall \ mathbf {t} \ in \ mathbb {R} ^ {n},}

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ {f \} (\ mathbf {t}) = {\ hat {f}} (\ mathbf {t}): = {\ frac {1} {(2 \ pi ) ^ {n \ peste 2}}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} e ^ {- i \ mathbf {t} \ cdot \ mathbf {x}} f (\ mathbf {x}) \, d \ mathbf {x}, \ qquad \ forall \ mathbf {t} \ in \ mathbb {R} ^ {n},}

unde este $\mathbf {t} \cdot \mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {t} \ cdot \ mathbf {x}}$ ${\ mathbf {t}} \ cdot {\ mathbf {x}}$ reprezintă produsul scalar al celor doi vectori.

Transformata Fourier este un endomorfism al spațiului Schwartz. ^[6] În special, mapează din domeniu $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ la domeniu $t=2\pi f$ ${\ displaystyle t = 2 \ pi f}$ $t = 2 \ pi f$ , și este o funcție complexă a variabilei $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ . Prin urmare, transformarea poate fi exprimată în modul și argument prin spectrul de amplitudine și respectiv spectrul de fază .

Teorema inversiunii lui Fourier

Același subiect în detaliu: teorema inversiunii Fourier .

Teorema inversiunii lui Fourier afirmă că dacă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ iar transformarea sa aparține $L^{1}$ ${\ displaystyle L ^ {1}}$ $L ^ {1}$ apoi, pentru aproape fiecare $x\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}$ $x \ in \ mathbb {R}$ , se aplică următoarele: ^[7]

f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }{\hat {f}}(t)e^{ixt}\,dt.

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {\ mathbb {R}} {\ hat {f}} (t) e ^ {ixt} \ , dt.}

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {\ mathbb {R}} {\ hat {f}} (t) e ^ {ixt} \ , dt.}

În mod informal se poate afirma că, pe măsură ce lățimea intervalului pe care se calculează seria Fourier a unei funcții, suma seriei aproximează valoarea transformării inverse.

Se exprimă spunând că o funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ poate fi descompus ca suma infinită pe toate frecvențele sinusoidelor cu greutate egală cu transformarea. În mod echivalent, se spune în schimb că dimensiunea $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este dat de suprapunerea undelor infinite la diferite frecvențe cu greutate egală cu transformarea (sau spectrul) de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ .

Existența și unicitatea

Este $\phi \in L^{1}$ ${\ displaystyle \ phi \ în L ^ {1}}$ $\ phi \ în L ^ {1}$ un homomorfism cu valori complexe, astfel încât:

\phi (f*g)=\phi (f)\phi (g),\qquad f,g\in L^{1},

{\ displaystyle \ phi (f * g) = \ phi (f) \ phi (g), \ qquad f, g \ în L ^ {1},}

{\ displaystyle \ phi (f * g) = \ phi (f) \ phi (g), \ qquad f, g \ în L ^ {1},}

unde asteriscul denotă convoluție . Se arată că:

Există doar unul $\beta \in L^{\infty }$ ${\ displaystyle \ beta \ în L ^ {\ infty}}$ $\ beta \ în L ^ {\ infty}$ astfel încât: ^[8]

\phi (f)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\beta (x)dx.

{\ displaystyle \ phi (f) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) \ beta (x) dx. }

{\ displaystyle \ phi (f) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) \ beta (x) dx. }

Proprietatea merită:

\phi (f*g)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }g(y)\phi (f(x-y))dy.

{\ displaystyle \ phi (f * g) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} g (y) \ phi (f ( xy)) dy.}

{\ displaystyle \ phi (f * g) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} g (y) \ phi (f ( xy)) dy.}

De cand:

\phi (f)\phi (g)=\phi (f){\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }g(y)\beta (y)dy,

{\ displaystyle \ phi (f) \ phi (g) = \ phi (f) {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} g (y) \ beta (y) dy,}

{\ displaystyle \ phi (f) \ phi (g) = \ phi (f) {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} g (y) \ beta (y) dy,}

din egalitatea (prin ipoteză) a membrilor din dreapta în cele două relații anterioare rezultă că atunci este posibil să scrieți, purtând $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ în interiorul integralei în a doua și echivalând integranzii: ^[9]

\phi (f)\beta (y)=\phi (f(x-y)).

{\ displaystyle \ phi (f) \ beta (y) = \ phi (f (xy)).}

{\ displaystyle \ phi (f) \ beta (y) = \ phi (f (x-y)).}

Asumand $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ atât o funcție continuă, cât și o funcție substituitoare $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ cu $x+y$ ${\ displaystyle x + y}$ $x + y$ Și $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ cu $f(y-x)$ ${\ displaystyle f (yx)}$ $f (y-x)$ primesti:

\phi (f(z))\beta (x+y)=\phi (f(z-(x+y))=\phi (f(z-x))\beta (y)=\phi (f(z))\beta (x)\beta (y),

{\ displaystyle \ phi (f (z)) \ beta (x + y) = \ phi (f (z- (x + y)) = \ phi (f (zx)) \ beta (y) = \ phi ( f (z)) \ beta (x) \ beta (y),}

{\ displaystyle \ phi (f (z)) \ beta (x + y) = \ phi (f (z- (x + y)) = \ phi (f (zx)) \ beta (y) = \ phi ( f (z)) \ beta (x) \ beta (y),}

prin urmare:

\beta (x+y)=\beta (x)\beta (y),

{\ displaystyle \ beta (x + y) = \ beta (x) \ beta (y),}

{\ displaystyle \ beta (x + y) = \ beta (x) \ beta (y),}

ceea ce implică asta $\beta (0)=1$ ${\ displaystyle \ beta (0) = 1}$ ${\ displaystyle \ beta (0) = 1}$ . De asemenea, arată că $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ este diferențiat. Diferențierea relației anterioare cu privire la $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ și evaluarea în $y=0$ ${\ displaystyle y = 0}$ $y = 0$ primesti:

\beta '(x)=\beta '(0)\beta (x),

{\ displaystyle \ beta '(x) = \ beta' (0) \ beta (x),}

{\ displaystyle \ beta '(x) = \ beta' (0) \ beta (x),}

cu $\beta '(0)$ ${\ displaystyle \ beta '(0)}$ $\ beta '(0)$ o constantă, din care:

\beta (x)=e^{\beta '(0)x}.

{\ displaystyle \ beta (x) = e ^ {\ beta '(0) x}.}

{\ displaystyle \ beta (x) = e ^ {\ beta '(0) x}.}

Din îngustimea lui $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ rezultă că $\beta '(0)$ ${\ displaystyle \ beta '(0)}$ $\ beta '(0)$ este un număr pur imaginar. Prin urmare, există un $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ real astfel încât:

\beta '(x)=e^{-itx}.

{\ displaystyle \ beta '(x) = e ^ {- itx}.}

{\ displaystyle \ beta '(x) = e ^ {- itx}.}

Unicitatea $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ coboară având în vedere o traducere $f=e^{-|x|}$ ${\ displaystyle f = e ^ {- | x |}}$ $f = e ^ {{- | x |}}$ și observând că $s\neq t$ ${\ displaystyle s \ neq t}$ $s \ neq t$ implică transformarea ${\hat {f}}$ ${\ displaystyle {\ hat {f}}}$ ${\ hat f}$ este diferit atunci când este evaluat în $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ sau $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ . Prin urmare, este posibil să se asocieze orice omomorfism cu valori complexe care nu sunt identice zero $\phi \in L^{1}$ ${\ displaystyle \ phi \ în L ^ {1}}$ $\ phi \ în L ^ {1}$ un singur $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ real, astfel încât relația apare: ^[10]

\phi (f)={\hat {f}}(t).

{\ displaystyle \ phi (f) = {\ hat {f}} (t).}

{\ displaystyle \ phi (f) = {\ hat {f}} (t).}

Proprietate

Liniaritatea transformatei Fourier urmează imediat din liniaritatea integralei, în mod explicit:

{\mathcal {F}}(\alpha f+\beta g)=\alpha {\mathcal {F}}(f)+\beta {\mathcal {F}}(g),

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} (\ alpha f + \ beta g) = \ alpha {\ mathcal {F}} (f) + \ beta {\ mathcal {F}} (g),}

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} (\ alpha f + \ beta g) = \ alpha {\ mathcal {F}} (f) + \ beta {\ mathcal {F}} (g),}

pentru fiecare $f,g\in L^{1}(\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle f, g \ în L ^ {1} (\ mathbb {R})}$ $f, g \ în L ^ {1} ({\ mathbb {R}})$ Și $\alpha ,\beta \in \mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {C}}$ $\ alpha, \ beta \ în {\ mathbb {C}}$ .

Rezultă imediat din definiție că o traducere a funcției are ca rezultat înmulțirea transformării cu o exponențială și invers.

Lasa-i sa fie $f\in L^{1}(\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle f \ în L ^ {1} (\ mathbb {R})}$ $f \ în L ^ {1} ({\ mathbb {R}})$ Și $\alpha \in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R}}$ , apoi se mențin următoarele proprietăți: ^[11]

De sine $g(t)=f(t-\alpha )$ ${\ displaystyle g (t) = f (t- \ alpha)}$ $g (t) = f (t- \ alfa)$ asa de:

{\hat {g}}(\omega )={\hat {f}}(\omega )e^{-i\alpha \omega }

{\ displaystyle {\ hat {g}} (\ omega) = {\ hat {f}} (\ omega) e ^ {- i \ alpha \ omega}}

{\ hat {g}} (\ omega) = {\ hat {f}} (\ omega) e ^ {{- i \ alpha \ omega}}

De sine $g(t)=f(t)e^{i\alpha t}$ ${\ displaystyle g (t) = f (t) e ^ {i \ alpha t}}$ $g (t) = f (t) e ^ {{i \ alpha t}}$ asa de:

{\hat {g}}(\omega )={\hat {f}}(\omega -\alpha )

{\ displaystyle {\ hat {g}} (\ omega) = {\ hat {f}} (\ omega - \ alpha)}

{\ hat {g}} (\ omega) = {\ hat {f}} (\ omega - \ alpha)

De sine $g(t)=f(-t)$ ${\ displaystyle g (t) = f (-t)}$ $g (t) = f (-t)$ asa de:

{\hat {g}}(\omega )={\hat {f}}(-\omega )

{\ displaystyle {\ hat {g}} (\ omega) = {\ hat {f}} (- \ omega)}

{\ hat {g}} (\ omega) = {\ hat {f}} (- \ omega)

De sine $g(t)=f(-t)^{*}$ ${\ displaystyle g (t) = f (-t) ^ {*}}$ $g (t) = f (-t) ^ {*}$ asa de:

{\hat {g}}(\omega )={\hat {f}}(\omega )^{*}

{\ displaystyle {\ hat {g}} (\ omega) = {\ hat {f}} (\ omega) ^ {*}}

{\ hat {g}} (\ omega) = {\ hat {f}} (\ omega) ^ {*}

unde asteriscul denotă complexul conjugat . În special, dacă

f

{\ displaystyle f}

f

atunci este real și egal

{\hat {f}}

{\ displaystyle {\ hat {f}}}

{\ hat {f}}

este real și egal; dacă în schimb

f

{\ displaystyle f}

f

atunci este real și ciudat

{\hat {f}}

{\ displaystyle {\ hat {f}}}

{\ hat {f}}

este imaginar și ciudat.

Prin schimbarea variabilei este posibil să se obțină că dacă:

g(t)=f(t/\lambda ),

{\ displaystyle g (t) = f (t / \ lambda),}

{\ displaystyle g (t) = f (t / \ lambda),}

asa de:

{\hat {g}}(\omega )=\lambda {\hat {f}}(\lambda \omega ),\quad \lambda >0.

{\ displaystyle {\ hat {g}} (\ omega) = \ lambda {\ hat {f}} (\ lambda \ omega), \ quad \ lambda> 0.}

{\ displaystyle {\ hat {g}} (\ omega) = \ lambda {\ hat {f}} (\ lambda \ omega), \ quad \ lambda> 0.}

Teorema convoluției

Același subiect în detaliu: Convoluția și teorema convoluției .

Teorema convoluției afirmă că transformarea unei convoluții este dată de produsul transformărilor. Lasa-i sa fie $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ funcții rapide descendente în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . Convoluția lor este dată de integral: ^[12]

(f*g)(t)={\frac {i}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(t-i\omega )g(i\omega )\mathrm {d} \omega .

{\ displaystyle (f * g) (t) = {\ frac {i} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} f (ti \ omega) g ( i \ omega) \ mathrm {d} \ omega.}

{\ displaystyle (f * g) (t) = {\ frac {i} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} f (ti \ omega) g ( i \ omega) \ mathrm {d} \ omega.}

Este ${\mathcal {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ mathcal {F}}$ operatorul transformatei Fourier, deci ${\mathcal {F}}\{f\}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ {f \}}$ ${\ mathcal {F}} \ {f \}$ Și $\ {\mathcal {F}}\{g\}$ ${\ displaystyle \ {\ mathcal {F}} \ {g \}}$ $\ {\ mathcal {F}} \ {g \}$ sunt transformatele $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ respectiv. Atunci noi avem:

{\mathcal {F}}\{f*g\}={\mathcal {F}}\{f\}\cdot {\mathcal {F}}\{g\},

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ {f * g \} = {\ mathcal {F}} \ {f \} \ cdot {\ mathcal {F}} \ {g \},}

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ {f * g \} = {\ mathcal {F}} \ {f \} \ cdot {\ mathcal {F}} \ {g \},}

unde este $\cdot$ ${\ displaystyle \ cdot}$ $\ cdot$ denotă multiplicare. De asemenea, avem:

{\mathcal {F}}\{f\cdot g\}={\mathcal {F}}\{f\}*{\mathcal {F}}\{g\}.

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ {f \ cdot g \} = {\ mathcal {F}} \ {f \} * {\ mathcal {F}} \ {g \}.}

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ {f \ cdot g \} = {\ mathcal {F}} \ {f \} * {\ mathcal {F}} \ {g \}.}

Aplicând transforma inversă ${\mathcal {F}}^{-1}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {- 1}}$ ${\ mathcal {F}} ^ {{- 1}}$ , noi obținem:

f*g={\mathcal {F}}^{-1}{\big \{}{\mathcal {F}}\{f\}\cdot {\mathcal {F}}\{g\}{\big \}}.

{\ displaystyle f * g = {\ mathcal {F}} ^ {- 1} {\ big \ {} {\ mathcal {F}} \ {f \} \ cdot {\ mathcal {F}} \ {g \ } {\ big \}}.}

{\ displaystyle f * g = {\ mathcal {F}} ^ {- 1} {\ big \ {} {\ mathcal {F}} \ {f \} \ cdot {\ mathcal {F}} \ {g \ } {\ big \}}.}

Această proprietate poate fi dovedită prin aplicarea teoremei lui Fubini .

Corelarea încrucișată

Același subiect în detaliu: corelație încrucișată .

Similar cu convoluția, se arată că dacă $h(x)$ ${\ displaystyle h (x)}$ $h (x)$ este corelația încrucișată a $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ Și $g(x)$ ${\ displaystyle g (x)}$ $g (x)$ :

h(x)=(f\star g)(x)=\int _{-\infty }^{+\infty }{\overline {f(y)}}\,g(x+y)\,dy,

{\ displaystyle h (x) = (f \ star g) (x) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ overline {f (y)}} \, g (x + y) \, dy,}

{\ displaystyle h (x) = (f \ star g) (x) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ overline {f (y)}} \, g (x + y) \, dy,}

apoi transformata Fourier a $h(x)$ ${\ displaystyle h (x)}$ $h (x)$ Și:

{\mathcal {F}}\{h\}(\xi )={\overline {{\mathcal {F}}\{f\}(\xi )}}\,{\mathcal {F}}\{g\}(\xi ).

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ {h \} (\ xi) = {\ overline {{\ mathcal {F}} \ {f \} (\ xi)}} \, {\ mathcal {F} } \ {g \} (\ xi).}

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ {h \} (\ xi) = {\ overline {{\ mathcal {F}} \ {f \} (\ xi)}} \, {\ mathcal {F} } \ {g \} (\ xi).}

Ca un caz special, autocorelația $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ este dat de:

h(x)=(f\star f)(x)=\int _{-\infty }^{+\infty }{\overline {f(y)}}f(x+y)\,dy,

{\ displaystyle h (x) = (f \ star f) (x) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ overline {f (y)}} f (x + y) \, dy,}

{\ displaystyle h (x) = (f \ star f) (x) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ overline {f (y)}} f (x + y) \, dy,}

și avem:

{\mathcal {F}}\{h\}(\xi )={\overline {{\mathcal {F}}\{f\}(\xi )}}\,{\mathcal {F}}\{f\}(\xi )=|{\mathcal {F}}\{f\}(\xi )|^{2}.

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ {h \} (\ xi) = {\ overline {{\ mathcal {F}} \ {f \} (\ xi)}} \, {\ mathcal {F} } \ {f \} (\ xi) = | {\ mathcal {F}} \ {f \} (\ xi) | ^ {2}.}

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ {h \} (\ xi) = {\ overline {{\ mathcal {F}} \ {f \} (\ xi)}} \, {\ mathcal {F} } \ {f \} (\ xi) = | {\ mathcal {F}} \ {f \} (\ xi) | ^ {2}.}

Transformarea derivatei

Cu o integrare pe părți, se poate demonstra că dacă:

g(t)=-itf(t),

{\ displaystyle g (t) = - itf (t),}

{\ displaystyle g (t) = - itf (t),}

și $f,g\in L^{1}(\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle f, g \ în L ^ {1} (\ mathbb {R})}$ $f, g \ în L ^ {1} ({\ mathbb {R}})$ , asa de ${\hat {f}}$ ${\ displaystyle {\ hat {f}}}$ ${\ hat {f}}$ este diferențiat și derivatul este dat de: ^[11]

{\hat {f}}{\text{ }}'(t)={\hat {g}}(t).

{\ displaystyle {\ hat {f}} {\ text {}} '(t) = {\ hat {g}} (t).}

{\ displaystyle {\ hat {f}} {\ text {}} '(t) = {\ hat {g}} (t).}

Dacă, dimpotrivă, $f\in L^{1}(\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle f \ în L ^ {1} (\ mathbb {R})}$ $f \ în L ^ {1} ({\ mathbb {R}})$ este diferențiat și derivatul este la rândul său absolut integrabil, adică $f'\in L^{1}(\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle f '\ în L ^ {1} (\ mathbb {R})}$ $f '\ în L ^ {1} ({\ mathbb {R}})$ , atunci transformata derivatei este:

{\widehat {f'{\text{ }}}}(t)=it{\hat {f}}(t).

{\ displaystyle {\ widehat {f '{\ text {}}}} (t) = it {\ hat {f}} (t).}

{\ displaystyle {\ widehat {f '{\ text {}}}} (t) = it {\ hat {f}} (t).}

Această proprietate permite găsirea soluțiilor unor ecuații diferențiale , transformându-le în ecuații algebrice pentru transformata Fourier a soluției.

Teorema lui Plancherel

Același subiect în detaliu: teorema lui Plancherel .

Teorema lui Plancherel permite definirea transformatei Fourier în funcții care aparțin intersecției spațiului funcțiilor integrabile conform lui Lebesgue , notat cu $L^{1}$ ${\ displaystyle L ^ {1}}$ $L ^ {1}$ , și spațiul funcțiilor pătrate sumabile , notate cu $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ . În special, aplicația care își asociază transformarea, care aparține unei funcții, unei funcții $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ , este o izometrie din $L^{1}\cap L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {1} \ cap L ^ {2}}$ $L ^ {1} \ cap L ^ {2}$ în $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ care poate fi extins în mod unic la o izometrie din $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ in sinea lui.

Teorema lui Plancherel afirmă că este posibil să se asocieze cu orice funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ din $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ o functie ${\hat {f}}$ ${\ displaystyle {\ hat {f}}}$ ${\ hat f}$ din $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ astfel încât să satisfacă următoarele proprietăți: ^[13]

De sine $f\in L^{1}\cap L^{2}$ ${\ displaystyle f \ in L ^ {1} \ cap L ^ {2}}$ $f \ în L ^ {1} \ cap L ^ {2}$ , asa de ${\hat {f}}$ ${\ displaystyle {\ hat {f}}}$ ${\ hat f}$ este transformata Fourier a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ .
Pentru fiecare $f\in L^{2}$ ${\ displaystyle f \ în L ^ {2}}$ $f \ în L ^ {2}$ avem:

\|{\hat {f}}\|_{2}=\|f\|_{2}.

{\ displaystyle \ | {\ hat {f}} \ | _ {2} = \ | f \ | _ {2}.}

{\ displaystyle \ | {\ hat {f}} \ | _ {2} = \ | f \ | _ {2}.}

Aplicația $f\to {\hat {f}}$ ${\ displaystyle f \ to {\ hat {f}}}$ $f \ to {\ hat f}$ este un izomorfism din $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ în sine într-un spațiu Hilbert .
De sine:

\phi _{A}(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-A}^{A}f(x)e^{-ixt}\,dx,

{\ displaystyle \ phi _ {A} (t) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- A} ^ {A} f (x) e ^ {- ixt} \, dx,}

{\ displaystyle \ phi _ {A} (t) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- A} ^ {A} f (x) e ^ {- ixt} \, dx,}

si daca:

\psi _{A}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-A}^{A}{\hat {f}}(t)e^{ixt}\,dt,

{\ displaystyle \ psi _ {A} (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- A} ^ {A} {\ hat {f}} (t) e ^ {ixt} \, dt,}

{\ displaystyle \ psi _ {A} (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- A} ^ {A} {\ hat {f}} (t) e ^ {ixt} \, dt,}

asa de:

\lim _{A\to \infty }\|\phi _{A}-{\hat {f}}\|_{2}=0,\qquad \lim _{A\to \infty }\|\psi _{A}-f\|_{2}=0.

{\ displaystyle \ lim _ {A \ to \ infty} \ | \ phi _ {A} - {\ hat {f}} \ | _ {2} = 0, \ qquad \ lim _ {A \ to \ infty} \ | \ psi _ {A} -f \ | _ {2} = 0.}

{\ displaystyle \ lim _ {A \ to \ infty} \ | \ phi _ {A} - {\ hat {f}} \ | _ {2} = 0, \ qquad \ lim _ {A \ to \ infty} \ | \ psi _ {A} -f \ | _ {2} = 0.}

De cand $L^{1}\cap L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {1} \ cap L ^ {2}}$ $L ^ {1} \ cap L ^ {2}$ este dens în $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ , primele două proprietăți implică faptul că aplicația $f\to {\hat {f}}$ ${\ displaystyle f \ to {\ hat {f}}}$ $f \ to {\ hat f}$ este unic, în timp ce acesta din urmă se mai numește și inversiunea lui $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ .

Teorema lui Parseval

Același subiect în detaliu: teorema lui Parseval .

Lasa-i sa fie $A(x)$ ${\ displaystyle A (x)}$ $A (x)$ Și $B(x)$ ${\ displaystyle B (x)}$ $B (x)$ două funcții integrabile Riemann , cu valori complexe și definite pe $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ . Să fie periodice cu punct $2\pi$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ și lăsați reprezentarea prin intermediul seriei Fourier :

A(x)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }a_{n}e^{inx},\qquad B(x)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }b_{n}e^{inx}.

{\ displaystyle A (x) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} a_ {n} e ^ {inx}, \ qquad B (x) = \ sum _ {n = - \ infty } ^ {+ \ infty} b_ {n} și ^ {inx}.}

{\ displaystyle A (x) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} a_ {n} e ^ {inx}, \ qquad B (x) = \ sum _ {n = - \ infty } ^ {+ \ infty} b_ {n} și ^ {inx}.}

Atunci:

\sum _{n=-\infty }^{+\infty }a_{n}{\overline {b_{n}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }A(x){\overline {B(x)}}dx.

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} a_ {n} {\ overline {b_ {n}}} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ { - \ pi} ^ {\ pi} A (x) {\ overline {B (x)}} dx.}

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} a_ {n} {\ overline {b_ {n}}} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ { - \ pi} ^ {\ pi} A (x) {\ overline {B (x)}} dx.}

În cazul particular în care $A(x)=B(x)$ ${\ displaystyle A (x) = B (x)}$ $A (x) = B (x)$ teorema afirmă că, dată fiind o funcție în $C^{2}$ ${\ displaystyle C ^ {2}}$ $C ^ 2$ pe $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ cu prima și a doua derivate absolut convergente, atunci aria subtendută de modulul pătrat al funcției este egală cu cea subtendută de modulul pătrat al transformatei sale Fourier:

\sum _{n=-\infty }^{+\infty }|a_{n}|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|A(x)|^{2}dx.

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} | a_ {n} | ^ {2} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} | A (x) | ^ {2} dx.}

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} | a_ {n} | ^ {2} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} | A (x) | ^ {2} dx.}

O scriere integrală echivalentă cu relația anterioară este:

\int _{-\infty }^{+\infty }|A(t)|^{2}dt=\int _{-\infty }^{+\infty }|{\hat {A}}(\omega )|^{2}d\omega ,

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} | A (t) | ^ {2} dt = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} | {\ hat {A} } (\ omega) | ^ {2} d \ omega,}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} | A (t) | ^ {2} dt = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} | {\ hat {A} } (\ omega) | ^ {2} d \ omega,}

unde este ${\hat {A}}(\omega )={\mathcal {F}}\{A(t)\}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}} (\ omega) = {\ mathcal {F}} \ {A (t) \}}$ ${\ hat A} (\ omega) = {\ mathcal {F}} \ {A (t) \}$ este transformata Fourier normalizată a $A(x)$ ${\ displaystyle A (x)}$ $A (x)$ Și $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ frecvența $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Proprietățile dualității

O proprietate utilă a transformatei Fourier este dualitatea dintre transformat și antitransformat: deoarece diferă doar în semn, este imediat să se aplice un rezultat obținut prin transformarea din domeniul timpului în cel al frecvenței în operația duală. ^[14]

Oficial:

{\mathcal {F}}\left\{x(t)\right\}=X(\omega )

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ left \ {x (t) \ right \} = X (\ omega)}

\ mathcal {F} \ left \ {x (t) \ right \} = X (\ omega)

făcând substituirea formală între variabile $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ Și $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$

{\mathcal {F}}\left\{X(t)\right\}=x(-\omega )

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ left \ {X (t) \ right \} = x (- \ omega)}

\ mathcal {F} \ left \ {X (t) \ right \} = x (- \ omega)

în mod similar

{\mathcal {F}}^{-1}\left\{X(\omega )\right\}=x(t)

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {- 1} \ left \ {X (\ omega) \ right \} = x (t)}

\ mathcal {F} ^ {- 1} \ left \ {X (\ omega) \ right \} = x (t)

prin efectuarea substituției formale între variabile $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ Și $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$

{\mathcal {F}}^{-1}\left\{X(t)\right\}=x(-\omega )

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {- 1} \ left \ {X (t) \ right \} = x (- \ omega)}

\ mathcal {F} ^ {- 1} \ left \ {X (t) \ right \} = x (- \ omega)

această proprietate este utilă în special pentru aplicarea rezultatelor, cum ar fi formula de însumare Poisson teoremei de eșantionare sau pentru obținerea imediată a transformării unei funcții periodice generice (datorită transformării deltei Dirac ).

Lema Riemann-Lebesgue

Lo stesso argomento in dettaglio: Lemma di Riemann-Lebesgue .

Sia $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ una funzione misurabile . Se $f$ ${\displaystyle f}$ $f$ è sommabile allora:

\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-izx}\,dx\rightarrow 0{\text{ per }}z\rightarrow \pm \infty .

\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-izx}\,dx\rightarrow 0{\text{ per }}z\rightarrow \pm \infty .

\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-izx}\,dx\rightarrow 0{\text{ per }}z\rightarrow \pm \infty .

La trasformata di Fourier di $f$ ${\displaystyle f}$ $f$ tende quindi a per valori infiniti di $z$ ${\displaystyle z}$ $z$ . Il lemma si estende anche al caso pluridimensionale.

Relazione con la trasformata di Laplace

La trasformata di Fourier ${\mathcal {F}}\left\{f(t)\right\}(\omega )$ ${\mathcal {F}}\left\{f(t)\right\}(\omega )$ ${\mathcal {F}}\left\{f(t)\right\}(\omega )$ di una funzione $f(t)$ ${\displaystyle f(t)}$ $f(t)$ è uguale alla trasformata di Laplace bilatera ${\mathcal {L}}$ ${\mathcal {L}}$ $\mathcal{L}$ di $f$ ${\displaystyle f}$ $f$ valutata per $s=i\omega$ $s=i\omega$ $s=i\omega$ , ossia:

{\mathcal {F}}\left\{f(t)\right\}={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}|_{s=i\omega }=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-i\omega t}f(t)\,\mathrm {d} t.

{\mathcal {F}}\left\{f(t)\right\}={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}|_{s=i\omega }=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-i\omega t}f(t)\,\mathrm {d} t.

{\mathcal {F}}\left\{f(t)\right\}={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}|_{s=i\omega }=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-i\omega t}f(t)\,\mathrm {d} t.

Tale definizione è valida se e solo se la regione di convergenza della trasformata di Laplace contiene l'asse immaginario.

Esempi

Sia $u(t)=\chi _{[-1,+1]}(t)$ $u(t)=\chi _{[-1,+1]}(t)$ $u(t)=\chi _{{[-1,+1]}}(t)$ , cioè la funzione rettangolare di ampiezza due. Allora:

{\hat {u}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }e^{-i\omega t}\chi _{[-1,+1]}(t)\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-1}^{+1}e^{-i\omega t}\,dt=

{\hat {u}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }e^{-i\omega t}\chi _{[-1,+1]}(t)\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-1}^{+1}e^{-i\omega t}\,dt=

{\hat u}(\omega )={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}\int _{{\mathbb{R} }}e^{{-i\omega t}}\chi _{{[-1,+1]}}(t)\,dt={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}\int _{{-1}}^{{+1}}e^{{-i\omega t}}\,dt=

={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\left[{\frac {e^{-i\omega t}}{-i\omega }}\right]}_{-1}^{+1}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\frac {e^{i\omega }-e^{-i\omega }}{i\omega }}={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {\sin \omega }{\omega }}.

={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\left[{\frac {e^{-i\omega t}}{-i\omega }}\right]}_{-1}^{+1}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\frac {e^{i\omega }-e^{-i\omega }}{i\omega }}={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {\sin \omega }{\omega }}.

={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\left[{\frac {e^{-i\omega t}}{-i\omega }}\right]}_{-1}^{+1}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\frac {e^{i\omega }-e^{-i\omega }}{i\omega }}={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {\sin \omega }{\omega }}.

Sia $u(t)={\frac {1}{1+t^{2}}}$ $u(t)={\frac {1}{1+t^{2}}}$ $u(t)={\frac {1}{1+t^{2}}}$ . Allora:

{\hat {u}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }e^{-i\omega t}u(t)\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {e^{-i\omega t}}{1+t^{2}}}dt.

{\hat {u}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }e^{-i\omega t}u(t)\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {e^{-i\omega t}}{1+t^{2}}}dt.

{\hat {u}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }e^{-i\omega t}u(t)\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {e^{-i\omega t}}{1+t^{2}}}dt.

Si può usare il teorema dei residui : si estende la funzione al dominio complesso e si sceglie come cammino di integrazione

\Gamma

\Gamma

\Gamma

una semicirconferenza di raggio

R

{\displaystyle R}

R

nel semipiano inferiore centrata in

z=0

{\displaystyle z=0}

z=0

.

Si ha dunque:

{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\oint _{\Gamma }{\frac {e^{-i\omega z}}{1+z^{2}}}\,dz\rightarrow -{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }{\frac {e^{-i\omega t}}{1+t^{2}}}\,dt{\text{ per }}R\rightarrow +\infty

{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\oint _{\Gamma }{\frac {e^{-i\omega z}}{1+z^{2}}}\,dz\rightarrow -{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }{\frac {e^{-i\omega t}}{1+t^{2}}}\,dt{\text{ per }}R\rightarrow +\infty

{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\oint _{\Gamma }{\frac {e^{-i\omega z}}{1+z^{2}}}\,dz\rightarrow -{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }{\frac {e^{-i\omega t}}{1+t^{2}}}\,dt{\text{ per }}R\rightarrow +\infty

.

Si osservi che la funzione ha due poli semplici in

z=\pm i

z=\pm i

z=\pm i

, tuttavia soltanto quello in

z=-i

{\displaystyle z=-i}

z=-i

è circondato dal cammino di integrazione; esso è dunque l'unico residuo a dover essere incluso nel computo dell'integrale tramite il teorema. Il residuo in

z=-i

{\displaystyle z=-i}

z=-i

vale:

\operatorname {Res} _{z=-i}=\lim _{z\rightarrow -i}e^{-i\omega z}{\frac {1}{2z}}=-{\frac {e^{-\omega }}{2i}}.

\operatorname {Res} _{z=-i}=\lim _{z\rightarrow -i}e^{-i\omega z}{\frac {1}{2z}}=-{\frac {e^{-\omega }}{2i}}.

\operatorname {Res} _{z=-i}=\lim _{z\rightarrow -i}e^{-i\omega z}{\frac {1}{2z}}=-{\frac {e^{-\omega }}{2i}}.

Si ha, pertanto:

{\hat {u}}(\omega )=-{\frac {2\pi i}{\sqrt {2\pi }}}{\big (}-{\frac {e^{-\omega }}{2i}}{\big )}={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}e^{-\omega }.

{\hat {u}}(\omega )=-{\frac {2\pi i}{\sqrt {2\pi }}}{\big (}-{\frac {e^{-\omega }}{2i}}{\big )}={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}e^{-\omega }.

{\hat {u}}(\omega )=-{\frac {2\pi i}{\sqrt {2\pi }}}{\big (}-{\frac {e^{-\omega }}{2i}}{\big )}={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}e^{-\omega }.

Note

^ Marco Giancola, Un altro portento della matematica: la trasformata di Laplace , su Elettronica Open Source . URL consultato il 5 giugno 2021 .
^ Rudin , p. 91 .
^ Reed e Simon , p. 46 .
^ Rudin , p. 180 .
^ Rudin , p. 189 .
^ Reed e Simon , p. 319 .
^ Rudin , p. 186 .
^ Rudin , p. 193 .
^ Rudin , p. 194 .
^ Rudin , p. 195 .
^ ^a ^b Rudin , p. 181 .
^ Reed e Simon , p. 323 .
^ Rudin , p. 187 .
^ Prime proprietà della trasformata di Fourier

Bibliografia

( EN ) Walter Rudin, Real and Complex Analysis , Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1 .
( EN ) Michael Reed e Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis , 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6 .

Voci correlate

Altri progetti

Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su trasformata di Fourier

Collegamenti esterni

( EN ) Trasformata di Fourier , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
Trasformata di Fourier , in Enciclopedia della scienza e della tecnica , Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2007-2008.
( EN ) PI Lizorkin, Fourier transform , in Encyclopaedia of Mathematics , Springer e European Mathematical Society, 2002.
( EN ) The Discrete Fourier Transformation (DFT): Definition and numerical examples — A Matlab tutorial
( EN ) The Fourier Transform Tutorial Site (thefouriertransform.com)
( EN ) Fourier Series Applet (Tip: drag magnitude or phase dots up or down to change the wave form).
( EN ) Stephan Bernsee's FFTlab (Java Applet)
( EN ) Stanford Video Course on the Fourier Transform , su academicearth.org .
( EN ) The DFT “à Pied”: Mastering The Fourier Transform in One Day previously found at The DSP Dimension
( EN ) An Interactive Flash Tutorial for the Fourier Transform , su fourier-series.com . URL consultato il 7 aprile 2013 (archiviato dall' url originale l'11 gennaio 2013) .
( EN ) Alejandro Dominguez, Highlights in the History of the Fourier Transform , su pulse.embs.org , 2016. URL consultato il 27 gennaio 2018 .

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 19577 · LCCN ( EN ) sh85051094 · GND ( DE ) 4018014-1 · BNF ( FR ) cb119793260 (data) · NDL ( EN , JA ) 00562090

Portale Controlli automatici

Portale Matematica

[1] Marco Giancola, Un altro portento della matematica: la trasformata di Laplace , su Elettronica Open Source . URL consultato il 5 giugno 2021 .

[2] Rudin , p. 91 .

[3] Reed e Simon , p. 46 .

[4] Rudin , p. 180 .

[5] Rudin , p. 189 .

[6] Reed e Simon , p. 319 .

[7] Rudin , p. 186 .

[8] Rudin , p. 193 .

[9] Rudin , p. 194 .

[10] Rudin , p. 195 .

[prop-11] Rudin , p. 181 .

[12] Reed e Simon , p. 323 .

[13] Rudin , p. 187 .

[14] Prime proprietà della trasformata di Fourier

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]