Transformată discretă a cosinusului

Comparație între transformarea Fourier discretă (DFT) și transformata discretă de cosinus (DCT tip II) a unei imagini. Rețineți că spectrul DFT este mai răspândit decât spectrul DCT. DCT concentrează informațiile în frecvențele joase.

Transformarea discretă a cosinusului sau DCT (din engleza Discrete Cosine Transform ), este cea mai răspândită funcție care asigură compresia spațială , capabilă să detecteze variațiile informațiilor dintre o zonă și cea contiguă a unei imagini digitale, neglijând repetările ; funcția care acceptă compresia temporală este în schimb încredințată unui „vector de mișcare” special, care identifică componentele dinamice în timp ce le lasă pe cele statice.

Descriere

Este o transformare similară cu transformata Fourier discretă (DFT), dar folosește doar numere reale . Acesta este echivalent cu o DFT de lungime aproximativ dublu, care funcționează pe reale și chiar funcții (deoarece transformata Fourier a unei funcții reale și chiar este real si egala , la rândul său), în cazul în care , în unele variante de intrare și / sau l ieșirile sunt tradus cu o jumătate de eșantion.

Cea mai comună variantă a transformării discrete a cosinusului este DCT de tip II, care este adesea numit pur și simplu „DCT”; DCT-ul său invers, de tip III, este, în mod corespunzător, adesea numit DCT invers sau „IDCT”. Două transformări înrudite sunt transformata sinusoidală discretă (DST), care este echivalentă cu o DFT pe numere reale și funcții impare , și transformata de cosinus discret modificată (MDCT), care se bazează pe un DCT de date suprapuse .

Definiție formală

DCT într-o singură dimensiune, pentru o succesiune de lungime N, este definit ca:

${\mathcal {C}}(u)=\alpha (u)\sum _{x=0}^{N-1}f(x)\cos \left[{\frac {\pi (2x+1)u}{2N}}\right]$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} (u) = \ alpha (u) \ sum _ {x = 0} ^ {N-1} f (x) \ cos \ left [{\ frac {\ pi (2x +1) u} {2N}} \ dreapta]}$ $\ mathcal {C} (u) = \ alpha (u) \ sum_ {x = 0} ^ {N-1} f (x) \ cos \ left [\ frac {\ pi (2x + 1) u} {2N } \ dreapta]$ ,

pentru $u=0,\dots ,N-1$ ${\ displaystyle u = 0, \ dots, N-1}$ $u = 0, \ dots, N-1$ unde este $\alpha (u)={\begin{cases}{\sqrt {1/N}},&{\mbox{se }}u=0\\{\sqrt {2/N}},&{\mbox{se }}u\neq 0.\end{cases}}$ ${\ displaystyle \ alpha (u) = {\ begin {cases} {\ sqrt {1 / N}} și {\ mbox {se}} u = 0 \\ {\ sqrt {2 / N}} și { \ mbox {se}} u \ neq 0. \ end {cases}}}$ $\ alpha (u) = \ begin {cases} \ sqrt {1 / N}, & \ mbox {se} u = 0 \\ \ sqrt {2 / N}, & \ mbox {se} u \ neq 0. \ sfârșit {cazuri}$

Aplicații

DCT, și în special DCT-II, este adesea utilizat în procesarea semnalului și a imaginii, în special pentru compresia cu pierderi . De exemplu, algoritmul JPEG se bazează pe transformarea discretă a cosinusului bidimensional, care se aplică pe blocuri de 8x8 pixeli și ale căror rezultate sunt apoi cuantificate și comprimate cu tehnici bazate pe entropie (cum ar fi Huffman sau codificarea aritmetică ). .

Bibliografie

Syed Ali Khayam, Transformarea discretă a cosinusului (DCT): Teorie și aplicație ( PDF ), pe egr.msu.edu .

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre Transformarea cosinusului discret

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică