Transformarea liniară

În matematică , mai precis în algebră liniară , o transformare liniară , numită și aplicație liniară sau hartă liniară , este o funcție liniară între două spații vectoriale pe același câmp, adică o funcție care păstrează operațiile de adunare a vectorilor și înmulțirea cu un scalar. Cu alte cuvinte, o transformare liniară păstrează combinații liniare. În limbajul algebrei abstracte , o transformare liniară este un omomorfism al spațiilor vectoriale, deoarece păstrează operațiile care caracterizează spațiile vectoriale.

În analiza funcțională, o transformare liniară este adesea numită operator liniar . În acest context, operatorii liniari continui între spațiile vectoriale topologice , cum ar fi spațiile Banach, sunt de o importanță deosebită.

Definiție

Lasa-i sa fie $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Și $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ două spații vectoriale pe același câmp $K. .$ ${\ displaystyle K.}$ ${\ displaystyle K.}$ O functie $f\colon V\to W$ ${\ displaystyle f \ colon V \ to W}$ ${\ displaystyle f \ colon V \ to W}$ este o transformare liniară dacă îndeplinește următoarele proprietăți: ^[1] ^[2]

$f(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=f(\mathbf {x} )+f(\mathbf {y} ),$ ${\ displaystyle f (\ mathbf {x} + \ mathbf {y}) = f (\ mathbf {x}) + f (\ mathbf {y}),}$ ${\ displaystyle f (\ mathbf {x} + \ mathbf {y}) = f (\ mathbf {x}) + f (\ mathbf {y}),}$
$f(a\mathbf {x} )=af(\mathbf {x} ),$ ${\ displaystyle f (a \ mathbf {x}) = af (\ mathbf {x}),}$ ${\ displaystyle f (a \ mathbf {x}) = af (\ mathbf {x}),}$

pentru fiecare pereche de vectori $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ Și $\mathbf {y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y}}$ ${\ mathbf y}$ în $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ iar pentru fiecare urcare $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ în $K. .$ ${\ displaystyle K.}$ ${\ displaystyle K.}$ Prima proprietate se numește aditivitate , gradul al doilea omogenitate 1 .

Echivalent, $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este liniar dacă „păstrează combinații liniare ” ( principiul suprapunerii ), adică dacă:

f(a_{1}\mathbf {x} _{1}+\cdots +a_{m}\mathbf {x} _{m})=a_{1}f(\mathbf {x} _{1})+\cdots +a_{m}f(\mathbf {x} _{m}),

{\ displaystyle f (a_ {1} \ mathbf {x} _ {1} + \ cdots + a_ {m} \ mathbf {x} _ {m}) = a_ {1} f (\ mathbf {x} _ { 1}) + \ cdots + a_ {m} f (\ mathbf {x} _ {m}),}

{\ displaystyle f (a_ {1} \ mathbf {x} _ {1} + \ cdots + a_ {m} \ mathbf {x} _ {m}) = a_ {1} f (\ mathbf {x} _ { 1}) + \ cdots + a_ {m} f (\ mathbf {x} _ {m}),}

pentru fiecare număr întreg pozitiv $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ și orice alegere de transportatori $\mathbf {x} _{1},\ldots ,\mathbf {x} _{m}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {x} _ {m}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {x} _ {m}}$ și scalari $a_{1},\ldots ,a_{m}.$ ${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {m}.}$ ${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {m}.}$

De sine $f\colon V\to W$ ${\ displaystyle f \ colon V \ to W}$ ${\ displaystyle f \ colon V \ to W}$ este o aplicație liniară și $\mathbf {0} _{V}$ ${\ displaystyle \ mathbf {0} _ {V}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {0} _ {V}}$ Și $\mathbf {0} _{W}$ ${\ displaystyle \ mathbf {0} _ {W}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {0} _ {W}}$ sunt vectorii nul ai $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Și $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ respectiv, apoi: ^[3]

f(\mathbf {0} _{V})=f(\mathbf {0} _{V}+\mathbf {0} _{V})=f(\mathbf {0} _{V})+f(\mathbf {0} _{V}),

{\ displaystyle f (\ mathbf {0} _ {V}) = f (\ mathbf {0} _ {V} + \ mathbf {0} _ {V}) = f (\ mathbf {0} _ {V} ) + f (\ mathbf {0} _ {V}),}

{\ displaystyle f (\ mathbf {0} _ {V}) = f (\ mathbf {0} _ {V} + \ mathbf {0} _ {V}) = f (\ mathbf {0} _ {V} ) + f (\ mathbf {0} _ {V}),}

și decolând $f(\mathbf {0} _{V})$ ${\ displaystyle f (\ mathbf {0} _ {V})}$ ${\ displaystyle f (\ mathbf {0} _ {V})}$ de la ambii membri se obține

\mathbf {0} _{W}=f(\mathbf {0} _{V}).

{\ displaystyle \ mathbf {0} _ {W} = f (\ mathbf {0} _ {V}).}

{\ displaystyle \ mathbf {0} _ {W} = f (\ mathbf {0} _ {V}).}

Prin substituirea unei combinații liniare de vectori liniar dependenți la zero, se arată că o aplicație liniară non-trivială trimite subseturi liniar independente ale domeniului în subseturi liniar independente ale intervalului. ^[4]

O aplicație liniară este descrisă complet prin acțiunea sa asupra vectorilor oricărei baze a domeniului. ^[5] Deoarece scrierea unui vector într-o bază de date este unică, liniaritatea aplicației determină unicitatea vectorului de imagine.

O aplicație bijectivă liniară (sau inversabilă) este, de asemenea, un izomorfism între spațiile vectoriale. ^[6]

Existența și unicitatea aplicației liniare

Lasa-i sa fie $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Și $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ două spații vectoriale de dimensiune finită. Este $B_{V}=(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})$ ${\ displaystyle B_ {V} = (\ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {n})}$ ${\ displaystyle B_ {V} = (\ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {n})}$ o bază de $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ și sunt $\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {w} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {w} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {w} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {w} _ {n}}$ vectori ai $W .$ ${\ displaystyle W.}$ ${\ displaystyle W.}$ Apoi există o singură aplicație liniară de la $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ în $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ astfel încât: ^[7]

f(\mathbf {v} _{i})=\mathbf {w} _{i},\quad \forall i=1,\ldots ,n.

{\ displaystyle f (\ mathbf {v} _ {i}) = \ mathbf {w} _ {i}, \ quad \ forall i = 1, \ ldots, n.}

{\ displaystyle f (\ mathbf {v} _ {i}) = \ mathbf {w} _ {i}, \ quad \ forall i = 1, \ ldots, n.}

Dacă forma explicită a aplicației nu este cunoscută, este încă posibil să se stabilească existența și unicitatea acesteia prin cunoașterea acțiunii aplicației asupra unui set de vectori de date $\{{\mathbf {v} }_{i}\}$ ${\ displaystyle \ {{\ mathbf {v}} _ {i} \}}$ ${\ displaystyle \ {{\ mathbf {v}} _ {i} \}}$ , despre care imaginea este deci cunoscută. Dacă setul de vectori este o bază a domeniului, atunci aplicația este determinată în mod unic, în timp ce dacă vectorii dați nu constituie o bază există două cazuri:

Vectorii despre care este cunoscută imaginea sunt liniar independenți: în acest caz aplicația există, dar nu este unică.
Vectorii a căror imagine este cunoscută sunt liniar dependenți: în acest caz unul sau mai mulți vectori sunt o combinație liniară a restului. Avem:

\mathbf {v} _{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {v} _{i}.

{\ displaystyle \ mathbf {v} _ {j} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} \ mathbf {v} _ {i}.}

{\ displaystyle \ mathbf {v} _ {j} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} \ mathbf {v} _ {i}.}

Aplicația există (dar nu este unică) dacă și numai dacă:

f(\mathbf {v} _{j})=\sum _{i=1}^{n}a_{i}f(\mathbf {v} _{i}).

{\ displaystyle f (\ mathbf {v} _ {j}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} f (\ mathbf {v} _ {i}).}

{\ displaystyle f (\ mathbf {v} _ {j}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} f (\ mathbf {v} _ {i}).}

Matricea asociată

Același subiect în detaliu: Matricea de transformare .

Lasa-i sa fie $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Și $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ două spații vectoriale de dimensiune finită. Două baze alese $B_{V}$ ${\ displaystyle B_ {V}}$ ${\ displaystyle B_ {V}}$ Și $B_{W}$ ${\ displaystyle B_ {W}}$ ${\ displaystyle B_ {W}}$ pentru $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Și $W,$ ${\ displaystyle W,}$ ${\ displaystyle W,}$ orice transformare liniară din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ la $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ poate fi reprezentat ca o matrice . Să ne întrebăm:

B_{V}=(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}),

{\ displaystyle B_ {V} = (\ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {n}),}

{\ displaystyle B_ {V} = (\ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {n}),}

B_{W}=(\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}).

{\ displaystyle B_ {W} = (\ mathbf {w} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {w} _ {m}).}

{\ displaystyle B_ {W} = (\ mathbf {w} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {w} _ {m}).}

Fiecare transportator $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ în $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este determinată în mod unic de coordonatele sale $c_{1},\ldots ,c_{n},$ ${\ displaystyle c_ {1}, \ ldots, c_ {n},}$ ${\ displaystyle c_ {1}, \ ldots, c_ {n},}$ definit astfel încât:

\mathbf {v} =c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}.

{\ displaystyle \ mathbf {v} = c_ {1} \ mathbf {v} _ {1} + \ cdots + c_ {n} \ mathbf {v} _ {n}.}

{\ displaystyle \ mathbf {v} = c_ {1} \ mathbf {v} _ {1} + \ cdots + c_ {n} \ mathbf {v} _ {n}.}

De sine $f\colon V\to W$ ${\ displaystyle f \ colon V \ to W}$ ${\ displaystyle f \ colon V \ to W}$ este o transformare liniară pe care o avem:

f(\mathbf {v} )=f(c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n})=c_{1}f(\mathbf {v} _{1})+\cdots +c_{n}f(\mathbf {v} _{n}).

{\ displaystyle f (\ mathbf {v}) = f (c_ {1} \ mathbf {v} _ {1} + \ cdots + c_ {n} \ mathbf {v} _ {n}) = c_ {1} f (\ mathbf {v} _ {1}) + \ cdots + c_ {n} f (\ mathbf {v} _ {n}).}

{\ displaystyle f (\ mathbf {v}) = f (c_ {1} \ mathbf {v} _ {1} + \ cdots + c_ {n} \ mathbf {v} _ {n}) = c_ {1} f (\ mathbf {v} _ {1}) + \ cdots + c_ {n} f (\ mathbf {v} _ {n}).}

De aici și funcția $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este determinată de vectori $f(\mathbf {v} _{1}),\ldots ,f(\mathbf {v} _{n})$ ${\ displaystyle f (\ mathbf {v} _ {1}), \ ldots, f (\ mathbf {v} _ {n})}$ ${\ displaystyle f (\ mathbf {v} _ {1}), \ ldots, f (\ mathbf {v} _ {n})}$ . Fiecare dintre acestea se poate scrie ca:

f(\mathbf {v} _{j})=a_{1j}\mathbf {w} _{1}+\cdots +a_{mj}\mathbf {w} _{m}.

{\ displaystyle f (\ mathbf {v} _ {j}) = a_ {1j} \ mathbf {w} _ {1} + \ cdots + a_ {mj} \ mathbf {w} _ {m}.}

{\ displaystyle f (\ mathbf {v} _ {j}) = a_ {1j} \ mathbf {w} _ {1} + \ cdots + a_ {mj} \ mathbf {w} _ {m}.}

Functia $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este deci în întregime determinată de valorile lui $a_{i,j},$ ${\ displaystyle a_ {i, j},}$ ${\ displaystyle a_ {i, j},}$ care formează matricea asociată cu $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în baze $B_{V}$ ${\ displaystyle B_ {V}}$ ${\ displaystyle B_ {V}}$ Și $B_{W}.$ ${\ displaystyle B_ {W}.}$ ${\ displaystyle B_ {W}.}$ ^[8]

Matricea asociată $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este de tip $m\times n,$ ${\ displaystyle m \ times n,}$ ${\ displaystyle m \ times n,}$ și poate fi ușor utilizat pentru a calcula imaginea $f(\mathbf {v} )$ ${\ displaystyle f (\ mathbf {v})}$ $f (\ mathbf v)$ din fiecare vector de $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ datorită următorului raport:

A[\mathbf {v} ]_{B_{V}}=[\mathbf {w} ]_{B_{W}},

{\ displaystyle A [\ mathbf {v}] _ {B_ {V}} = [\ mathbf {w}] _ {B_ {W}},}

{\ displaystyle A [\ mathbf {v}] _ {B_ {V}} = [\ mathbf {w}] _ {B_ {W}},}

unde este $[\mathbf {v} ]_{B_{V}}$ ${\ displaystyle [\ mathbf {v}] _ {B_ {V}}}$ ${\ displaystyle [\ mathbf {v}] _ {B_ {V}}}$ Și $[\mathbf {w} ]_{B_{W}}$ ${\ displaystyle [\ mathbf {w}] _ {B_ {W}}}$ ${\ displaystyle [\ mathbf {w}] _ {B_ {W}}}$ sunt coordonatele $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ Și $\mathbf {w}$ ${\ displaystyle \ mathbf {w}}$ $\ mathbf w$ în bazele respective.

Se observă că alegerea bazelor este esențială: aceeași matrice, utilizată pe baze diferite, poate reprezenta aplicații liniare diferite.

Structura spațiului vectorial

Întregul $\mathrm {Hom} (V,W)$ ${\ displaystyle \ mathrm {Hom} (V, W)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Hom} (V, W)}$ de aplicații liniare din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ în $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ este un subspațiu vectorial al spațiului vectorial de pe câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ format din toate funcțiile din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ în $W,$ ${\ displaystyle W,}$ ${\ displaystyle W,}$ de fapt: ^[9]

de sine $f\colon V\to W$ ${\ displaystyle f \ colon V \ to W}$ ${\ displaystyle f \ colon V \ to W}$ Și $g\colon V\to W$ ${\ displaystyle g \ colon V \ to W}$ ${\ displaystyle g \ colon V \ to W}$ sunt liniari, deci suma lor este liniară $f+g,$ ${\ displaystyle f + g,}$ ${\ displaystyle f + g,}$ definit de relație

(f+g)(\mathbf {v} )=f(\mathbf {v} )+g(\mathbf {v} );

{\ displaystyle (f + g) (\ mathbf {v}) = f (\ mathbf {v}) + g (\ mathbf {v});}

{\ displaystyle (f + g) (\ mathbf {v}) = f (\ mathbf {v}) + g (\ mathbf {v});}

de sine $f\colon V\to W$ ${\ displaystyle f \ colon V \ to W}$ ${\ displaystyle f \ colon V \ to W}$ este liniar și $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este un element al câmpului $K.,$ ${\ displaystyle K,}$ ${\ displaystyle K,}$ apoi funcția $la f,$ ${\ displaystyle af,}$ ${\ displaystyle af,}$ definit de $(af)(\mathbf {v} )=a(f(\mathbf {v} )),$ ${\ displaystyle (af) (\ mathbf {v}) = a (f (\ mathbf {v})),}$ ${\ displaystyle (af) (\ mathbf {v}) = a (f (\ mathbf {v})),}$ este, de asemenea, liniar.

În cazul dimensiunii finite, după fixarea unor baze, operațiile de adunare și produs ale unei funcții pentru un scalar de hărți liniare corespund, respectiv, cu suma matricilor și multiplicarea matricilor cu un scalar. Prin urmare, bazele definesc un izomorfism $\mathrm {Hom} (V,W)\to M(n,m)$ ${\ displaystyle \ mathrm {Hom} (V, W) \ to M (n, m)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Hom} (V, W) \ to M (n, m)}$ între spațiile vectoriale ale hărților și matricilor liniare $n\times m,$ ${\ displaystyle n \ times m,}$ ${\ displaystyle n \ times m,}$ unde este $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ Și $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ sunt dimensiunile respectiv $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Și $W .$ ${\ displaystyle W.}$ ${\ displaystyle W.}$

Nucleul și imaginea

Același subiect în detaliu: Teorema dimensiunii .

De sine $f\colon V\to W$ ${\ displaystyle f \ colon V \ to W}$ ${\ displaystyle f \ colon V \ to W}$ este liniar, nucleul $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este setul: ^[10]

\mathrm {Ker} (f)=\{\mathbf {x} \in V:f(\mathbf {x} )=0\},

{\ displaystyle \ mathrm {Ker} (f) = \ {\ mathbf {x} \ în V: f (\ mathbf {x}) = 0 \},}

{\ displaystyle \ mathrm {Ker} (f) = \ {\ mathbf {x} \ în V: f (\ mathbf {x}) = 0 \},}

în timp ce imaginea de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este întregul: ^[11]

\operatorname {Im} (f)=\{f(\mathbf {x} )\in W:\mathbf {x} \in V\}.

{\ displaystyle \ operatorname {Im} (f) = \ {f (\ mathbf {x}) \ în W: \ mathbf {x} \ în V \}.}

{\ displaystyle \ operatorname {Im} (f) = \ {f (\ mathbf {x}) \ în W: \ mathbf {x} \ în V \}.}

Întregul $\mathrm {Ker} (f)$ ${\ displaystyle \ mathrm {Ker} (f)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Ker} (f)}$ este un subspațiu de $V.$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle V}$ , in timp ce $\operatorname {Im} (f)$ ${\ displaystyle \ operatorname {Im} (f)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Im} (f)}$ este un subspatiu al $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ . De sine $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Și $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ au dimensiune finită, teorema dimensiunii afirmă că: ^[12]

\dim(\mathrm {Ker} (f))+\dim(\operatorname {Im} (f))=\dim(V).

{\ displaystyle \ dim (\ mathrm {Ker} (f)) + \ dim (\ operatorname {Im} (f)) = \ dim (V).}

{\ displaystyle \ dim (\ mathrm {Ker} (f)) + \ dim (\ operatorname {Im} (f)) = \ dim (V).}

Această teoremă oferă un criteriu necesar și suficient pentru a stabili existența unei transformări liniare.

Endomorfisme și automorfisme

O transformare liniară $f\colon V\to V$ ${\ displaystyle f \ colon V \ to V}$ ${\ displaystyle f \ colon V \ to V}$ este un endomorfism al $V. .$ ${\ displaystyle V.}$ ${\ displaystyle V.}$ Ansamblul tuturor endomorfismelor ${\text{End}}(V)$ ${\ displaystyle {\ text {End}} (V)}$ ${\ displaystyle {\ text {End}} (V)}$ împreună cu adunarea, compoziția și multiplicarea cu un scalar așa cum este descris mai sus formează o algebră asociativă cu unitate pe teren $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ : în special formează un inel și un spațiu vectorial pe $K. .$ ${\ displaystyle K.}$ ${\ displaystyle K.}$ Elementul identitar al acestei algebre este transformarea identității $V. .$ ${\ displaystyle V.}$ ${\ displaystyle V.}$

Un bijectiv endomorfism de $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ se numește automorfism al $V. .$ ${\ displaystyle V.}$ ${\ displaystyle V.}$ Compoziția a două automorfisme este din nou un automorfism și ansamblul tuturor automorfismelor de $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ formează un grup , grupul liniar general al $V.,$ ${\ displaystyle V,}$ ${\ displaystyle V,}$ numit $\mathrm {Aut} (V)$ ${\ displaystyle \ mathrm {Aut} (V)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Aut} (V)}$ sau $\mathrm {GL} (V).$ ${\ displaystyle \ mathrm {GL} (V).}$ ${\ displaystyle \ mathrm {GL} (V).}$

Dacă dimensiunea $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ s-a terminat va fi suficient ca. $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este injectiv pentru a afirma că este și surjectiv (prin teorema dimensiunii ). Mai mult, izomorfism

{\textrm {End}}(V)\to M(n)

{\ displaystyle {\ textrm {End}} (V) \ to M (n)}

{\ displaystyle {\ textrm {End}} (V) \ to M (n)}

între endomorfisme și matrici pătrate $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ descris mai sus este un izomorfism al algebrelor. Grupul de automorfisme ale $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este izomorf pentru grupul liniar general $\mathrm {GL} (n,K)$ ${\ displaystyle \ mathrm {GL} (n, K)}$ ${\ mathrm {GL}} (n, K)$ dintre toate matricile $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ inversabil la valori în $K. .$ ${\ displaystyle K.}$ ${\ displaystyle K.}$

Tragerea înapoi a funcțiilor și aplicația transpusă

Același subiect în detaliu: Pull-back .

Lasa-i sa fie $LA,$ ${\ displaystyle A,}$ ${\ displaystyle A,}$ $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ Și $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ setează și sunt $F(A,C)$ ${\ displaystyle F (A, C)}$ ${\ displaystyle F (A, C)}$ Și $F(B,C)$ ${\ displaystyle F (B, C)}$ ${\ displaystyle F (B, C)}$ familiile de funcții din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ în $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ și din $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ în $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ respectiv. Fiecare $\phi \colon A\to B$ ${\ displaystyle \ phi \ colon A \ to B}$ ${\ displaystyle \ phi \ colon A \ to B}$ determină în mod unic o potrivire $\phi ^{*}\colon F(B,C)\to F(A,C)$ ${\ displaystyle \ phi ^ {*} \ colon F (B, C) \ to F (A, C)}$ ${\ displaystyle \ phi ^ {*} \ colon F (B, C) \ to F (A, C)}$ retragere apel prin $\phi ,$ ${\ displaystyle \ phi,}$ ${\ displaystyle \ phi,}$ care trimite $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ în $F\circ \phi .$ ${\ displaystyle F \ circ \ phi.}$ ${\ displaystyle F \ circ \ phi.}$

Dacă sunt luate în considerare în mod specific $A=V$ ${\ displaystyle A = V}$ ${\ displaystyle A = V}$ Și $B=W$ ${\ displaystyle B = W}$ ${\ displaystyle B = W}$ două spații vectoriale pe un câmp $K=C$ ${\ displaystyle K = C}$ ${\ displaystyle K = C}$ și în loc să ia în întregime $F(V,K)$ ${\ displaystyle F (V, K)}$ ${\ displaystyle F (V, K)}$ Și $F(W,K)$ ${\ displaystyle F (W, K)}$ ${\ displaystyle F (W, K)}$ se consideră spații duale $V^{*}$ ${\ displaystyle V ^ {*}}$ $V ^ *$ Și $W^{*}$ ${\ displaystyle W ^ {*}}$ $W ^ {*}$ avem asta la fiecare transformare liniară $\phi \colon V\to W$ ${\ displaystyle \ phi \ colon V \ to W}$ ${\ displaystyle \ phi \ colon V \ to W}$ restricția adecvată de retragere poate fi asociată $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ , aceasta este funcția $\phi ^{*}\colon W^{*}\to V^{*}$ ${\ displaystyle \ phi ^ {*} \ colon W ^ {*} \ to V ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ phi ^ {*} \ colon W ^ {*} \ to V ^ {*}}$ care ia numele de transpunere a $\phi .$ ${\ displaystyle \ phi.}$ ${\ displaystyle \ phi.}$

Urmează direct din modul în care sunt definite operațiile $V^{*}$ ${\ displaystyle V ^ {*}}$ $V ^ *$ Și $W^{*}$ ${\ displaystyle W ^ {*}}$ $W ^ {*}$ acea $\phi ^{*}$ ${\ displaystyle \ phi ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ phi ^ {*}}$ este în sine liniară. Cu un calcul simplu, se poate vedea că ați stabilit niște temelii $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Și $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ și dualii lor respectivi în $V^{*}$ ${\ displaystyle V ^ {*}}$ $V ^ *$ Și $W^{*},$ ${\ displaystyle W ^ {*},}$ ${\ displaystyle W ^ {*},}$ matricea de transformare asociată cu $\phi ^{*}$ ${\ displaystyle \ phi ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ phi ^ {*}}$ este transpunerea celei de $\phi .$ ${\ displaystyle \ phi.}$ ${\ displaystyle \ phi.}$

Din definiție rezultă că un funcțional $\lambda \in W^{*}$ ${\ displaystyle \ lambda \ în W ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ lambda \ în W ^ {*}}$ este trimis în zero de către $\phi ^{*}$ ${\ displaystyle \ phi ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ phi ^ {*}}$ numai dacă imaginea de $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este cuprins în nucleul $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ adică denotând cu $U^{\perp }$ ${\ displaystyle U ^ {\ perp}}$ ${\ displaystyle U ^ {\ perp}}$ subspațiul funcționalității care se anulează $U\subset W$ ${\ displaystyle U \ subset W}$ ${\ displaystyle U \ subset W}$ , da $\mathrm {Ker} (\phi ^{*})\subseteq (\Im \phi )^{\perp }$ ${\ displaystyle \ mathrm {Ker} (\ phi ^ {*}) \ subseteq (\ Im \ phi) ^ {\ perp}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Ker} (\ phi ^ {*}) \ subseteq (\ Im \ phi) ^ {\ perp}}$ . Mai mult, din aceeași definiție se poate deduce că o funcționalitate $\mu \in V^{*}$ ${\ displaystyle \ mu \ în V ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ mu \ în V ^ {*}}$ este imaginea unui funcțional $\eta \in W^{*}$ ${\ displaystyle \ eta \ în W ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ eta \ în W ^ {*}}$ (asta inseamna $\mu =\phi ^{*}(\eta )$ ${\ displaystyle \ mu = \ phi ^ {*} (\ eta)}$ ${\ displaystyle \ mu = \ phi ^ {*} (\ eta)}$ doar dacă $\eta$ ${\ displaystyle \ eta}$ $\vârstă$ anulează nucleul $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ , sau $\Im (\phi ^{*})\subseteq (\mathrm {Ker} \phi )^{\perp }$ ${\ displaystyle \ Im (\ phi ^ {*}) \ subseteq (\ mathrm {Ker} \ phi) ^ {\ perp}}$ ${\ displaystyle \ Im (\ phi ^ {*}) \ subseteq (\ mathrm {Ker} \ phi) ^ {\ perp}}$ . În cazul în care $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Și $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ sunt de dimensiune finită se deduce din teorema dimensiunii și din relații $\dim ~V=\mathrm {Ker} \phi +(\mathrm {Ker} \phi )^{\perp }$ ${\ displaystyle \ dim ~ V = \ mathrm {Ker} \ phi + (\ mathrm {Ker} \ phi) ^ {\ perp}}$ ${\ displaystyle \ dim ~ V = \ mathrm {Ker} \ phi + (\ mathrm {Ker} \ phi) ^ {\ perp}}$ Și $\dim ~W^{*}=\dim ~W=\Im \phi +(\Im \phi )^{\perp }$ ${\ displaystyle \ dim ~ W ^ {*} = \ dim ~ W = \ Im \ phi + (\ Im \ phi) ^ {\ perp}}$ ${\ displaystyle \ dim ~ W ^ {*} = \ dim ~ W = \ Im \ phi + (\ Im \ phi) ^ {\ perp}}$ că cele două incluziuni anterioare sunt de fapt egalități.

Exemple

Înmulțirea $f(v)=av,$ ${\ displaystyle f (v) = av,}$ ${\ displaystyle f (v) = av,}$ în orice spațiu vectorial de pe $K.,$ ${\ displaystyle K,}$ ${\ displaystyle K,}$ pentru o constantă fixă $a\in K.$ ${\ displaystyle a \ in K.}$ ${\ displaystyle a \ in K.}$
O rotație a planului euclidian în raport cu originea unui unghi fix.
O reflectare a planului euclidian în raport cu o linie dreaptă care trece prin origine.
Proiecția unui spațiu vectorial $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ descompus în sumă directă :
$V=U\oplus W$ ${\ displaystyle V = U \ oplus W}$ ${\ displaystyle V = U \ oplus W}$
pe unul dintre cele două subspatii $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ sau $W .$ ${\ displaystyle W.}$ ${\ displaystyle W.}$
O matrice $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ de tip $m\times n$ ${\ displaystyle m \ times n}$ $m \ ori n$ cu valori reale definește o transformare liniară:
$L_{A}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},\qquad L_{A}(v)=Av,$ ${\ displaystyle L_ {A} \ colon \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {m}, \ qquad L_ {A} (v) = Av,}$ ${\ displaystyle L_ {A} \ colon \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {m}, \ qquad L_ {A} (v) = Av,}$
unde este $LA v$ ${\ displaystyle Av}$ ${\ displaystyle Av}$ este produsul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $v .$ ${\ displaystyle v.}$ ${\ displaystyle v.}$ Orice transformare liniară între spațiile vectoriale cu dimensiuni finite este în esență de acest tip: vezi secțiunea următoare.
Integrala unei funcții reale pe un interval definește o hartă liniară din spațiul vectorial al funcțiilor continue definite pe intervalul din spațiul vectorial $\mathbb {R} .$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$
Derivata definește o hartă liniară din spațiul vectorial al tuturor funcțiilor derivabile într-un interval deschis de $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ în spațiul tuturor funcțiilor.
Spaţiu $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ a numerelor complexe are o structură a spațiului vectorial complex de dimensiunea 1 și, de asemenea, a spațiului vectorial real de dimensiunea 2. Conjugarea
$f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} ,\qquad f(z)={\bar {z}}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}, \ qquad f (z) = {\ bar {z}}}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}, \ qquad f (z) = {\ bar {z}}}$
este o hartă $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ - liniar, dar nu $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ -liniar: de fapt proprietatea de omogenitate este valabilă doar pentru scalarii reali.

Notă

^ S. Lang , pagina 82 .
^ Hoffman, Kunze , p. 67 .
^ Hoffman, Kunze , pagina 68 .
^ Hoffman, Kunze , pagina 80 .
^ S. Lang , pagina 86 .
^ S. Lang , pagina 96 .
^ Hoffman, Kunze , p. 69 .
^ S. Lang , pagina 84 .
^ S. Lang , pagina 85 .
^ S. Lang , p . 90 .
^ S. Lang , pagina 91 .
^ S. Lang , pagina 92 .

Bibliografie

Serge Lang, Algebra liniară , Torino, Bollati Boringhieri , 1992, ISBN 88-339-5035-2 .
Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Algebra liniară , ediția a II-a, Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) LD Kudryavtsev, Funcția liniară , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
( RO ) http://www.falstad.com/matrix/

Controlul autorității	Thesaurus BNCF 45394 · LCCN (EN) sh85077178 · GND (DE) 4167700-6 · BNF (FR) cb11944511p (data)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] S. Lang , pagina 82 .

[2] Hoffman, Kunze , p. 67 .

[3] Hoffman, Kunze , pagina 68 .

[4] Hoffman, Kunze , pagina 80 .

[5] S. Lang , pagina 86 .

[6] S. Lang , pagina 96 .

[7] Hoffman, Kunze , p. 69 .

[8] S. Lang , pagina 84 .

[9] S. Lang , pagina 85 .

[10] S. Lang , p . 90 .

[11] S. Lang , pagina 91 .

[12] S. Lang , pagina 92 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema