Transformarea poltropică

O transformare poltropică este o transformare termodinamică care urmează legea: ^[1]

pV^{n}={\rm {cost.}}

{\ displaystyle pV ^ {n} = {\ rm {cost.}}}

{\ displaystyle pV ^ {n} = {\ rm {cost.}}}

unde este:

$p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ : presiunea fluidului
$V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ : volum specific
$n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ : exponent caracteristic (sau chiar număr caracteristic) al poltropicului.

Relația există între exponentul caracteristic al ne poltropic și căldura specifică $n=(c_{p}-c)/(c_{v}-c)$ ${\ displaystyle n = (c_ {p} -c) / (c_ {v} -c)}$ ${\ displaystyle n = (c_ {p} -c) / (c_ {v} -c)}$ unde c _p și c _v sunt căldurile specifice la presiune constantă și, respectiv, la volum specific constant.

Polipropia este o lege valabilă în ipoteza unei transformări cvasistatice valabile atât pentru gazele ideale, cât și pentru cele reale .

Valorile particulare ale exponentului caracteristic

Polipropice remarcabile la nivelul Clapeyron .

Transformarea poltropică generalizează patru transformări cvasistatice fundamentale: izentropă , izobarică , izocorică , izotermă . Pe baza exponentului caracteristic n obținem:

$n=0$ ${\ displaystyle n = 0}$ $n = 0$ , $c=c_{p}$ ${\ displaystyle c = c_ {p}}$ ${\ displaystyle c = c_ {p}}$ iar transformarea este izobarică (p = cost)

$n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ , $\mathrm {d} T=0$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} T = 0}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} T = 0}$ asa de $c=\pm \infty$ ${\ displaystyle c = \ pm \ infty}$ ${\ displaystyle c = \ pm \ infty}$ iar transformarea este izotermă (pv = cost) ^[2]

$n=\pm \infty$ ${\ displaystyle n = \ pm \ infty}$ ${\ displaystyle n = \ pm \ infty}$ , $c=c_{v}$ ${\ displaystyle c = c_ {v}}$ ${\ displaystyle c = c_ {v}}$ iar transformarea este izocorică (v = cost) ^[3]

$n=k$ ${\ displaystyle n = k}$ ${\ displaystyle n = k}$ , $\delta Q=0$ ${\ displaystyle \ delta Q = 0}$ ${\ displaystyle \ delta Q = 0}$ asa de $c=0$ ${\ displaystyle c = 0}$ $c = 0$ iar transformarea este adiabatică $pV^{k}={\text{cost.}}$ ${\ displaystyle pV ^ {k} = {\ text {cost.}}}$ ${\ displaystyle pV ^ {k} = {\ text {cost.}}}$ ^[4] .

Căldura specifică este negativă pentru $1<n<k$ ${\ displaystyle 1 <n <k}$ ${\ displaystyle 1 <n <k}$ sau pentru transformări între izotermă și adiabatic.

Transformarea poltropică a gazului perfect

Având în vedere un gaz cu comportament perfect, relația pv = RT se menține unde R este constanta specifică a gazelor și nu cea universală și depinde de tipul de gaz. Prin compunerea acestei relații cu cea a poltropicului, se obțin alte două expresii ale transformării poltropice, valabile doar în ipoteza gazului perfect:

$TV^{n-1}={\mbox{cost}}$ ${\ displaystyle TV ^ {n-1} = {\ mbox {cost}}}$ ${\ displaystyle TV ^ {n-1} = {\ mbox {cost}}}$
$Tp^{\frac {1-n}{n}}={\mbox{cost}}$ ${\ displaystyle Tp ^ {\ frac {1-n} {n}} = {\ mbox {cost}}}$ ${\ displaystyle Tp ^ {\ frac {1-n} {n}} = {\ mbox {cost}}}$

Căldura specifică

Căldura specifică este definită ca:

c={\frac {\delta q}{\mathrm {d} T}}

{\ displaystyle c = {\ frac {\ delta q} {\ mathrm {d} T}}}

{\ displaystyle c = {\ frac {\ delta q} {\ mathrm {d} T}}}

unde este $\delta q$ ${\ displaystyle \ delta q}$ ${\ displaystyle \ delta q}$ este căldura pe unitate de masă e $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ indică un diferențial incorect.

Numai pentru o transformare poltropică $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este constantă, este constantă numai în cazul gazului ideal ^[5] .

În cazul unui gaz ideal supus transformării poltropice se poate demonstra ^[6] că (cu k = cost):

c=c_{v}\cdot {\frac {n-k}{n-1}}

{\ displaystyle c = c_ {v} \ cdot {\ frac {nk} {n-1}}}

{\ displaystyle c = c_ {v} \ cdot {\ frac {n-k} {n-1}}}

Rețineți, prin raportul lui Mayer , că $k={\frac {c_{p}}{c_{v}}}=1+{\frac {R}{c_{v}}}$ ${\ displaystyle k = {\ frac {c_ {p}} {c_ {v}}} = 1 + {\ frac {R} {c_ {v}}}}$ ${\ displaystyle k = {\ frac {c_ {p}} {c_ {v}}} = 1 + {\ frac {R} {c_ {v}}}}$ și, prin urmare, k este mai mare decât unitatea.

Munca de variație a volumului

Lucrarea specifică este calculată ca:

\int _{1}^{2}p\,\mathrm {d} V=p_{1}V_{1}^{n}\int _{1}^{2}{\frac {\mathrm {d} V}{V^{n}}}

{\ displaystyle \ int _ {1} ^ {2} p \, \ mathrm {d} V = p_ {1} V_ {1} ^ {n} \ int _ {1} ^ {2} {\ frac {\ mathrm {d} V} {V ^ {n}}}}

{\ displaystyle \ int _ {1} ^ {2} p \, \ mathrm {d} V = p_ {1} V_ {1} ^ {n} \ int _ {1} ^ {2} {\ frac {\ mathrm {d} V} {V ^ {n}}}}

din care obținem:

L={\begin{cases}\displaystyle {\frac {p_{1}V_{1}}{n-1}}\left[1-\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{n-1}\right]&{\mbox{se }}n\neq 1\\[5pt]p_{1}V_{1}\ln \left(\displaystyle {\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)&{\mbox{se }}n=1\end{cases}}

{\ displaystyle L = {\ begin {cases} \ displaystyle {\ frac {p_ {1} V_ {1}} {n-1}} \ left [1- \ left ({\ frac {V_ {1}} { V_ {2}}} \ right) ^ {n-1} \ right] & {\ mbox {se}} n \ neq 1 \\ [5pt] p_ {1} V_ {1} \ ln \ left (\ displaystyle {\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ right) și {\ mbox {se}} n = 1 \ end {cases}}}

{\ displaystyle L = {\ begin {cases} \ displaystyle {\ frac {p_ {1} V_ {1}} {n-1}} \ left [1- \ left ({\ frac {V_ {1}} { V_ {2}}} \ right) ^ {n-1} \ right] & {\ mbox {se}} n \ neq 1 \\ [5pt] p_ {1} V_ {1} \ ln \ left (\ displaystyle {\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ right) și {\ mbox {se}} n = 1 \ end {cases}}}

.

Pentru a obține munca totală, înmulțiți-vă cu masa sistemului. Prima expresie este valabilă pentru orice fluid supus transformării poltropice, în cazul gazelor cu comportament perfect sunt valabile următoarele relații:

$L={\frac {R}{n-1}}(T_{1}-T_{2}){\mbox{ se }}n\neq 1$ ${\ displaystyle L = {\ frac {R} {n-1}} (T_ {1} -T_ {2}) {\ mbox {se}} n \ neq 1}$ ${\ displaystyle L = {\ frac {R} {n-1}} (T_ {1} -T_ {2}) {\ mbox {se}} n \ neq 1}$
$L={\begin{cases}\displaystyle {\frac {RT_{1}}{n-1}}\left[1-\left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right)^{{n-1} \over n}\right]&{\mbox{se }}n\neq 1\\[5pt]RT_{1}\ln \left(\displaystyle {\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)&{\mbox{se }}n=1\end{cases}}$ ${\ displaystyle L = {\ begin {cases} \ displaystyle {\ frac {RT_ {1}} {n-1}} \ left [1- \ left ({\ frac {p_ {2}} {p_ {1} }} \ right) ^ {{n-1} \ over n} \ right] & {\ mbox {se}} n \ neq 1 \\ [5pt] RT_ {1} \ ln \ left (\ displaystyle {\ frac {p_ {1}} {p_ {2}}} \ right) și {\ mbox {se}} n = 1 \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle L = {\ begin {cases} \ displaystyle {\ frac {RT_ {1}} {n-1}} \ left [1- \ left ({\ frac {p_ {2}} {p_ {1} }} \ right) ^ {{n-1} \ over n} \ right] & {\ mbox {se}} n \ neq 1 \\ [5pt] RT_ {1} \ ln \ left (\ displaystyle {\ frac {p_ {1}} {p_ {2}}} \ right) și {\ mbox {se}} n = 1 \ end {cases}}}$ .

Notă

^(RO) DOE Fundamentals Handbook - "Termodinamică, transfer de căldură și flux de fluid", p. 29. Arhivat la 20 decembrie 2016 la Internet Archive .
^ pentru transformarea izotermă: susține că $\mathrm {d} T=0$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} T = 0}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} T = 0}$ , $c\rightarrow \infty$ ${\ displaystyle c \ rightarrow \ infty}$ ${\ displaystyle c \ rightarrow \ infty}$ conform definiției căldurii specifice, e $n\rightarrow 1$ ${\ displaystyle n \ rightarrow 1}$ ${\ displaystyle n \ rightarrow 1}$ . Prin urmare, în cazul transformării izoterme, expresia unei transformări poltropice poate fi urmărită înapoi la legea Boyle-Mariotte .
^ $pV^{n}={\mbox{cost}}\Leftrightarrow p^{\frac {1}{n}}V={\mbox{cost.}}$ ${\ displaystyle pV ^ {n} = {\ mbox {cost}} \ Leftrightarrow p ^ {\ frac {1} {n}} V = {\ mbox {cost.}}}$ ${\ displaystyle pV ^ {n} = {\ mbox {cost}} \ Leftrightarrow p ^ {\ frac {1} {n}} V = {\ mbox {cost.}}}$ de sine $n=\pm \infty \Rightarrow V={\mbox{cost.}}$ ${\ displaystyle n = \ pm \ infty \ Rightarrow V = {\ mbox {cost.}}}$ ${\ displaystyle n = \ pm \ infty \ Rightarrow V = {\ mbox {cost.}}}$
^ pentru un adiabatic $\delta q=0\Rightarrow c={\frac {\delta q}{dT}}=0\Rightarrow n=k$ ${\ displaystyle \ delta q = 0 \ Rightarrow c = {\ frac {\ delta q} {dT}} = 0 \ Rightarrow n = k}$ ${\ displaystyle \ delta q = 0 \ Rightarrow c = {\ frac {\ delta q} {dT}} = 0 \ Rightarrow n = k}$ pentru exprimare $c=c_{v}\cdot {\frac {n-k}{n-1}}$ ${\ displaystyle c = c_ {v} \ cdot {\ frac {nk} {n-1}}}$ ${\ displaystyle c = c_ {v} \ cdot {\ frac {n-k} {n-1}}}$ , tocmai este o transformare izentropică sau un adiabatic reversibil
^ Un gaz ideal este definit ca un gaz ideal în care $c_{v}$ ${\ displaystyle c_ {v}}$ $CV}$ Și $c_{p}$ ${\ displaystyle c_ {p}}$ $c_ {p}$ sunt constante
^ $\delta q=du+pdv=c_{v}dT+pdv\Rightarrow c=c_{v}+p{\frac {dv}{dT}}$ ${\ displaystyle \ delta q = du + pdv = c_ {v} dT + pdv \ Rightarrow c = c_ {v} + p {\ frac {dv} {dT}}}$ ${\ displaystyle \ delta q = du + pdv = c_ {v} dT + pdv \ Rightarrow c = c_ {v} + p {\ frac {dv} {dT}}}$ deoarece gazul este perfect derivând expresia $TV^{n-1}={\mbox{cost}}$ ${\ displaystyle TV ^ {n-1} = {\ mbox {cost}}}$ ${\ displaystyle TV ^ {n-1} = {\ mbox {cost}}}$ primesti $T(n-1)dv+vdT=0\Rightarrow {\frac {dv}{dT}}=-{\frac {v}{(n-1)T}}$ ${\ displaystyle T (n-1) dv + vdT = 0 \ Rightarrow {\ frac {dv} {dT}} = - {\ frac {v} {(n-1) T}}}$ ${\ displaystyle T (n-1) dv + vdT = 0 \ Rightarrow {\ frac {dv} {dT}} = - {\ frac {v} {(n-1) T}}}$ de la care $c=c_{v}-{\frac {1}{n-1}}\cdot {\frac {pv}{T}}=c_{v}-{\frac {R}{n-1}}={\frac {nc_{v}-c_{p}}{n-1}}=c_{v}\cdot {\frac {n-k}{n-1}}$ ${\ displaystyle c = c_ {v} - {\ frac {1} {n-1}} \ cdot {\ frac {pv} {T}} = c_ {v} - {\ frac {R} {n-1 }} = {\ frac {nc_ {v} -c_ {p}} {n-1}} = c_ {v} \ cdot {\ frac {nk} {n-1}}}$ ${\ displaystyle c = c_ {v} - {\ frac {1} {n-1}} \ cdot {\ frac {pv} {T}} = c_ {v} - {\ frac {R} {n-1 }} = {\ frac {nc_ {v} -c_ {p}} {n-1}} = c_ {v} \ cdot {\ frac {nk} {n-1}}}$

Bibliografie

Gaetano Alfano, și colab., Lecții de fizică tehnică , Napoli, Liguori, 2008, ISBN 978-88-207-4061-0 .

Elemente conexe

Portalul chimiei

Portalul Termodinamicii

[1] (RO) DOE Fundamentals Handbook - "Termodinamică, transfer de căldură și flux de fluid", p. 29. Arhivat la 20 decembrie 2016 la Internet Archive .

[2] tru transformarea izotermă: susține că $\mathrm {d} T=0$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} T = 0}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} T = 0}$ , $c\rightarrow \infty$ ${\ displaystyle c \ rightarrow \ infty}$ ${\ displaystyle c \ rightarrow \ infty}$ conform definiției căldurii specifice, e $n\rightarrow 1$ ${\ displaystyle n \ rightarrow 1}$ ${\ displaystyle n \ rightarrow 1}$ . Prin urmare, în cazul transformării izoterme, expresia unei transformări poltropice poate fi urmărită înapoi la legea Boyle-Mariotte .

[3] $pV^{n}={\mbox{cost}}\Leftrightarrow p^{\frac {1}{n}}V={\mbox{cost.}}$ ${\ displaystyle pV ^ {n} = {\ mbox {cost}} \ Leftrightarrow p ^ {\ frac {1} {n}} V = {\ mbox {cost.}}}$ ${\ displaystyle pV ^ {n} = {\ mbox {cost}} \ Leftrightarrow p ^ {\ frac {1} {n}} V = {\ mbox {cost.}}}$ de sine $n=\pm \infty \Rightarrow V={\mbox{cost.}}$ ${\ displaystyle n = \ pm \ infty \ Rightarrow V = {\ mbox {cost.}}}$ ${\ displaystyle n = \ pm \ infty \ Rightarrow V = {\ mbox {cost.}}}$

[4] tru un adiabatic $\delta q=0\Rightarrow c={\frac {\delta q}{dT}}=0\Rightarrow n=k$ ${\ displaystyle \ delta q = 0 \ Rightarrow c = {\ frac {\ delta q} {dT}} = 0 \ Rightarrow n = k}$ ${\ displaystyle \ delta q = 0 \ Rightarrow c = {\ frac {\ delta q} {dT}} = 0 \ Rightarrow n = k}$ pentru exprimare $c=c_{v}\cdot {\frac {n-k}{n-1}}$ ${\ displaystyle c = c_ {v} \ cdot {\ frac {nk} {n-1}}}$ ${\ displaystyle c = c_ {v} \ cdot {\ frac {n-k} {n-1}}}$ , tocmai este o transformare izentropică sau un adiabatic reversibil

[5] Un gaz ideal este definit ca un gaz ideal în care $c_{v}$ ${\ displaystyle c_ {v}}$ $CV}$ Și $c_{p}$ ${\ displaystyle c_ {p}}$ $c_ {p}$ sunt constante

[6] $\delta q=du+pdv=c_{v}dT+pdv\Rightarrow c=c_{v}+p{\frac {dv}{dT}}$ ${\ displaystyle \ delta q = du + pdv = c_ {v} dT + pdv \ Rightarrow c = c_ {v} + p {\ frac {dv} {dT}}}$ ${\ displaystyle \ delta q = du + pdv = c_ {v} dT + pdv \ Rightarrow c = c_ {v} + p {\ frac {dv} {dT}}}$ deoarece gazul este perfect derivând expresia $TV^{n-1}={\mbox{cost}}$ ${\ displaystyle TV ^ {n-1} = {\ mbox {cost}}}$ ${\ displaystyle TV ^ {n-1} = {\ mbox {cost}}}$ primesti $T(n-1)dv+vdT=0\Rightarrow {\frac {dv}{dT}}=-{\frac {v}{(n-1)T}}$ ${\ displaystyle T (n-1) dv + vdT = 0 \ Rightarrow {\ frac {dv} {dT}} = - {\ frac {v} {(n-1) T}}}$ ${\ displaystyle T (n-1) dv + vdT = 0 \ Rightarrow {\ frac {dv} {dT}} = - {\ frac {v} {(n-1) T}}}$ de la care $c=c_{v}-{\frac {1}{n-1}}\cdot {\frac {pv}{T}}=c_{v}-{\frac {R}{n-1}}={\frac {nc_{v}-c_{p}}{n-1}}=c_{v}\cdot {\frac {n-k}{n-1}}$ ${\ displaystyle c = c_ {v} - {\ frac {1} {n-1}} \ cdot {\ frac {pv} {T}} = c_ {v} - {\ frac {R} {n-1 }} = {\ frac {nc_ {v} -c_ {p}} {n-1}} = c_ {v} \ cdot {\ frac {nk} {n-1}}}$ ${\ displaystyle c = c_ {v} - {\ frac {1} {n-1}} \ cdot {\ frac {pv} {T}} = c_ {v} - {\ frac {R} {n-1 }} = {\ frac {nc_ {v} -c_ {p}} {n-1}} = c_ {v} \ cdot {\ frac {nk} {n-1}}}$

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]