Traducere (geometrie)

Traducere în avion.

În geometria euclidiană , o translație este o transformare afină a spațiului euclidian , care mișcă toate punctele pe o distanță fixă în aceeași direcție. Poate fi interpretat și ca adăugarea unui vector constant în fiecare punct sau ca o deplasare a originii sistemului de coordonate . Cu alte cuvinte, dacă ${\overrightarrow {\mathbf {v} }}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathbf {v}}}}$ $\ overrightarrow {\ mathbf v}$ este un vector fix, traducerea $T_{\mathbf {v} }$ ${\ displaystyle T _ {\ mathbf {v}}}$ ${\ displaystyle T _ {\ mathbf {v}}}$ este definit de operație

T_{\mathbf {v} }\left({\overrightarrow {\mathbf {p} }}\right)={\overrightarrow {\mathbf {p} }}+{\overrightarrow {\mathbf {v} }}.

{\ displaystyle T _ {\ mathbf {v}} \ left ({\ overrightarrow {\ mathbf {p}}} \ right) = {\ overrightarrow {\ mathbf {p}}} + {\ overrightarrow {\ mathbf {v }}}.}

{\ displaystyle T _ {\ mathbf {v}} \ left ({\ overrightarrow {\ mathbf {p}}} \ right) = {\ overrightarrow {\ mathbf {p}}} + {\ overrightarrow {\ mathbf {v }}}.}

Este $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ o traducere, apoi imaginea unui subset de puncte $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ legat de funcție $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ se numește " $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ tradus de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ ". Întregul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ tradus de $T_{\mathbf {v} }$ ${\ displaystyle T _ {\ mathbf {v}}}$ ${\ displaystyle T _ {\ mathbf {v}}}$ este adesea indicat cu notația $A+{\overrightarrow {\mathbf {v} }}$ ${\ displaystyle A + {\ overrightarrow {\ mathbf {v}}}}$ $A + \ overrightarrow {\ mathbf v}$ .

Toate traducerile sunt izometrii .

Translația poate fi văzută și ca rezultatul unei rotații efectuate de un centru de rotație care este la infinit în direcția ortogonală față de direcția de translație.

Traducere în avion

Traducerea graficelor în geometrie analitică

Translația în plan este o operație utilă în geometria analitică pentru a mișca curbe precum linii și conice : aceasta se face modificând ecuațiile care le descriu.

Formula generală pentru obținerea unei ecuații traduse este următoarea:

{\begin{cases}x'=x+x_{v}\\y'=y+y_{v}\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x '= x + x_ {v} \\ y' = y + y_ {v} \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x '= x + x_ {v} \\ y' = y + y_ {v} \ end {cases}}}

unde este $X^{'}, y^{'}$ ${\ displaystyle x ', y'}$ ${\ displaystyle x ', y'}$ sunt coordonatele care trebuie obținute; $X, y$ ${\ displaystyle x, y}$ $X y$ sunt cele ale ecuației originale; $x_{v},y_{v}$ ${\ displaystyle x_ {v}, y_ {v}}$ ${\ displaystyle x_ {v}, y_ {v}}$ sunt componentele vectorului asociat traducerii, utile pentru translatarea conicelor din plan cartezian în două dimensiuni. Prin urmare, la traducerea ecuațiilor $x'=x+x_{v}$ ${\ displaystyle x '= x + x_ {v}}$ ${\ displaystyle x '= x + x_ {v}}$ Și $y'=y+y_{v}$ ${\ displaystyle y '= y + y_ {v}}$ ${\ displaystyle y '= y + y_ {v}}$ vectorul este asociat ${\overrightarrow {\mathbf {v} }}(x_{v};y_{v})$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathbf {v}}} (x_ {v}; y_ {v})}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathbf {v}}} (x_ {v}; y_ {v})}$ si invers.

Având o funcție $y=f(x)$ ${\ displaystyle y = f (x)}$ $y = f (x)$ și componente $x_{v}$ ${\ displaystyle x_ {v}}$ ${\ displaystyle x_ {v}}$ Și $y_{v}$ ${\ displaystyle y_ {v}}$ $y_ {v}$ din vectorul asociat cu o traducere specifică, se obține o funcție tradusă $y=f'(x)$ ${\ displaystyle y = f '(x)}$ ${\ displaystyle y = f '(x)}$ , a cărei expresie poate fi scrisă astfel:

y=f(x-x_{v})+y_{v}.

{\ displaystyle y = f (x-x_ {v}) + y_ {v}.}

{\ displaystyle y = f (x-x_ {v}) + y_ {v}.}

Reprezentarea cu matrici

Deoarece traducerea este o transformare afină, dar nu liniară , coordonatele omogene sunt utilizate în general pentru a o reprezenta cu matrice . Transformarea din coordonatele carteziene în coordonate omogene este definită în acest fel:

\left(x,y,z\right)^{\rm {T}}\mapsto \left(x,y,z,1\right)^{\rm {T}}.

{\ displaystyle \ left (x, y, z \ right) ^ {\ rm {T}} \ mapsto \ left (x, y, z, 1 \ right) ^ {\ rm {T}}.}

{\ displaystyle \ left (x, y, z \ right) ^ {\ rm {T}} \ mapsto \ left (x, y, z, 1 \ right) ^ {\ rm {T}}.}

Traducerea unui punct în coordonate omogene de-a lungul vectorului ${\vec {\mathbf {v} }}=\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)^{\rm {T}}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ mathbf {v}}} = \ left (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z} \ right) ^ {\ rm {T}}}$ ${\ vec {{\ mathbf v}}} = \ left (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z} \ right) ^ {{{\ rm {T}}}}$ apoi se efectuează prin intermediul matricei de traducere :

T_{\mathbf {v} }={\begin{pmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{pmatrix}}.

{\ displaystyle T _ {\ mathbf {v}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & v_ {x} \\ 0 & 1 & 0 & v_ {y} \\ 0 & 0 & 1 & v_ {z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}.}

{\ displaystyle T _ {\ mathbf {v}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & v_ {x} \\ 0 & 1 & 0 & v_ {y} \\ 0 & 0 & 1 & v_ {z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}.}

Înmulțirea matricei de traducere cu vectorul în coordonate omogene dă rezultatul așteptat:

T_{\mathbf {v} }{\vec {\mathbf {p} }}={\begin{pmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p_{x}+v_{x}\\p_{y}+v_{y}\\p_{z}+v_{z}\\1\end{pmatrix}}={\vec {\mathbf {p} }}+{\vec {\mathbf {v} }}

{\ displaystyle T _ {\ mathbf {v}} {\ vec {\ mathbf {p}}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & v_ {x} \\ 0 & 1 & 0 & v_ { y} \\ 0 & 0 & 1 & v_ {z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} p_ {x} \\ p_ {y} \\ p_ {z } \\ 1 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} p_ {x} + v_ {x} \\ p_ {y} + v_ {y} \\ p_ {z} + v_ {z} \\ 1 \ end {pmatrix}} = {\ vec {\ mathbf {p}}} + {\ vec {\ mathbf {v}}}}

{\ displaystyle T _ {\ mathbf {v}} {\ vec {\ mathbf {p}}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & v_ {x} \\ 0 & 1 & 0 & v_ { y} \\ 0 & 0 & 1 & v_ {z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} p_ {x} \\ p_ {y} \\ p_ {z } \\ 1 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} p_ {x} + v_ {x} \\ p_ {y} + v_ {y} \\ p_ {z} + v_ {z} \\ 1 \ end {pmatrix}} = {\ vec {\ mathbf {p}}} + {\ vec {\ mathbf {v}}}}

.

Inversul matricei de traducere se obține inversând semnul vectorului asociat:

T_{\mathbf {v} }^{-1}=T_{-\mathbf {v} }.

{\ displaystyle T _ {\ mathbf {v}} ^ {- 1} = T _ {- \ mathbf {v}}.}

{\ displaystyle T _ {\ mathbf {v}} ^ {- 1} = T _ {- \ mathbf {v}}.}

În mod similar, produsul matricilor de traducere se obține prin adăugarea vectorilor asociați:

T_{\mathbf {u} }T_{\mathbf {v} }=T_{\mathbf {u} +\mathbf {v} }.

{\ displaystyle T _ {\ mathbf {u}} T _ {\ mathbf {v}} = T _ {\ mathbf {u} + \ mathbf {v}}.}

{\ displaystyle T _ {\ mathbf {u}} T _ {\ mathbf {v}} = T _ {\ mathbf {u} + \ mathbf {v}}.}

Deoarece adunarea vectorială este o operație comutativă , la fel este și multiplicarea matricilor de traducere, spre deosebire de multiplicarea dintre matricile generice.

Structura grupului

Compoziția a două traduceri

T_{1}

{\ displaystyle T_ {1}}

T_ {1}

Și

T_{2}

{\ displaystyle T_ {2}}

T_ {2}

este o altă traducere

T_{3}

{\ displaystyle T_ {3}}

T_ {3}

.

Traducerile formează un grup . În special, compoziția a două traduceri este o traducere.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre traducere

linkuri externe

( EN ) Traducere , pe Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică