Transversalitate
Această intrare sau secțiune despre matematică nu citează sursele necesare sau cei prezenți sunt insuficienți . |
În matematică și mai exact în topologia diferențială , transversalitatea este o proprietate opusă tangenței . Este definit în contextul curbelor , suprafețelor sau varietăților mai generale diferențiate conținute într-un anumit spațiu.
Noțiunea de transversalitate folosește calculul infinitesimal (în special, al spațiului tangent ).
Definiție
Două submanifolduri diferențiate ale unui distribuitor M diferențiat de dimensiune n se intersectează transversal într-un punct x dacă cele două spații tangente corespunzătoare din acel punct generează spațiul tangent al lui x în M.
În cazul în care submanifoldurile au dimensiuni complementare (adică a căror sumă este n ), acest lucru este echivalent cu cererea ca cele două subespaițe tangente să fie în sumă directă , adică să se intersecteze doar într-un singur punct (aceasta rezultă din formula lui Grassmann ).
Proprietate
Intersecția a două varietăți transversale este, de asemenea, o varietate, a cărei codimensiune este egală cu suma codimensiunilor celor două soiuri de pornire (atunci când nu este goală). Ambele proprietăți depind de transversalitate: dacă intersecția a două varietăți nu este transversală, este posibil ca intersecția să nu fie o varietate și, dacă este o varietate, poate avea totuși o dimensiune arbitrară.
În special, două varietăți cu dimensiuni complementare se intersectează în puncte izolate. Dacă unul dintre cele două soiuri este compact , aceste puncte s-au încheiat. Dacă cele două colectoare și colectorul ambiant sunt toate orientate , fiecare punct de intersecție are un semn + sau -. Suma acestor semne este o cantitate importantă în topologia algebrică , deoarece nu se modifică dacă unul dintre cele două varietăți este deplasat de o izotopie .
Două varietăți a căror sumă de dimensiuni este mai mică decât dimensiunea n a varietății ambiante sunt transversale dacă și numai dacă nu se intersectează. De fapt, în acest caz spațiile tangente au o dimensiune prea mică și în niciun caz nu pot genera un spațiu de dimensiune n .
Mai general, conform definiției, două varietăți care nu se intersectează sunt în niciun caz transversale.
