Triunghiul Sierpiński

Triunghiul Sierpiński este o fractală , numită după Wacław Sierpiński care l-a descris în 1915 . Este un exemplu de bază al unui set auto-similar , adică generat matematic de un model care se repetă în același mod pe scări diferite.

Generarea prin limita succesiunii

Triunghiul Sierpinski poate fi obținut din următoarele secvențe infinite:

Plecând de la triunghi

Nivelul 0 Începe de la un triunghi echilateral cu latura a ^[1]
Nivelul 1 Punctele medii ale fiecărei părți sunt unite prin identificarea a patru triunghiuri similare cu prima (latura a / 2), dintre care trei sunt orientate în mod egal și unul răsturnat
Nivelul 2 Operația de descompunere anterioară se repetă pe fiecare dintre cele trei triunghiuri care nu au fost răsturnate, obținându-se 9 triunghiuri care nu au fost răsturnate lateral a / 4.
Nivelul 3 Aceeași operație se repetă pe cele 9 triunghiuri, obținându-se 27 pe latura a / 8.
Nivelul 4 Aceeași operație se repetă pe cele 27 de triunghiuri, obținându-se 81 pe latura a / 16.
.....
Nivelul n Obținut $3^{n}$ ${\ displaystyle 3 ^ {n}}$ $3 ^ {n}$ triunghiuri laterale $2^{-n}a$ ${\ displaystyle 2 ^ {- n} a}$ ${\ displaystyle 2 ^ {- n} a}$ (amintiți-vă că a este latura triunghiului la nivelul 0)
Continuând la nesfârșit, limita este triunghiul Sierpinski

Primele cinci niveluri descrise mai sus

Procedură în Logo

Animație didactică pentru procedură în MSW Logo

Iată procedura recursivă pentru a obține diferitele etape ale construcției. Aceasta este o funcție a celor doi parametri „lateral” și „nivel”:

 to triasierpi: side: level 
repetați 3 [înainte: partea dreaptă 120]
dacă: nivel = 0 [oprire]
triasierpi: side / 2: level-1
penup forward: side / 2 pendown
triasierpi: side / 2: level-1
penup înainte: lateral / 2 dreapta 120 înainte: dreapta 120 pendown
triasierpi: side / 2: level-1
penup înainte: partea dreaptă 120 pendown
Sfârșit

Procedura scrisă pentru MSWLogo ^[2] ^[3] , o limbă pentru sigle pentru Windows, descărcabilă gratuit de pe site-ul web Softronics ^[4] . După copierea și lipirea procedurii anterioare pe Editor, o puteți testa scriind, dacă ați ales partea de 300 pixeli și nivelul 4, în linia de comandă ^[5] :

 triasierpi 300 4

Începând de la pătrat

Observând succesiunea precedentă observăm că un triunghi negru este înlocuit cu trei triunghiuri mai mici dispuse într-un triunghi. Se poate face și cu un pătrat.

Nivelul 0 Începem de la un pătrat pe latura a
Nivelul 1 Pătratul este înlocuit cu 3 pătrate cu latura a / 2 dispuse într-un triunghi: două adiacente și al treilea deasupra.
Nivelul 2 Operația se repetă înlocuind cele 3 pătrate obținute cu un bloc similar de pătrate cu latura înjumătățită până se obțin 9 pătrate cu latura a / 4
Nivelul 3 Operația se repetă înlocuind cele 9 pătrate obținute cu un bloc similar de pătrate cu latura înjumătățită până se obțin 27 de pătrate cu latura a / 8
Nivelul 4 Operația se repetă înlocuind cele 27 de pătrate obținute cu un bloc similar de pătrate cu latura înjumătățită până se obțin 81 de pătrate cu latura a / 16
.....
Nivelul n Operația se repetă înlocuind pătratele obținute cu un bloc analog de pătrate cu latura înjumătățită până la obținerea $3^{n}$ ${\ displaystyle 3 ^ {n}}$ $3 ^ {n}$ pătrate în lateral $2^{-n}a$ ${\ displaystyle 2 ^ {- n} a}$ ${\ displaystyle 2 ^ {- n} a}$
Continuând la nesfârșit, limita este triunghiul Sierpinski

Nivelul 1
Nivelul 2
Nivelul 3
Nivelul 4

Procedură în Logo

Iată procedura recursivă pentru a obține diferitele niveluri ale construcției cu pătrate. Procedura pătrată cu parametrul lateral face pătratul. În timp ce transierpiq cu cei doi parametri „lateral” și „nivel” realizează construcția:

 a pătrat: lateral
repetați 4 [înainte: partea dreaptă 90]
Sfârșit
to triasierpiq: side: level 
dacă: nivel = 0 [pătrat: partea de oprire]
triasierpiq: side / 2: level-1
penup dreapta 90 înainte: lateral / 2 lt 90 pendown
triasierpiq: side / 2: level-1
penup înainte: lateral / 2 dreapta 90 spate: lateral / 4 stânga 90 suspendat
triasierpiq: side / 2: level-1
penup dreapta 90 spate: lateral / 4 stânga 90 spate: lateral / 2 pandantiv
Sfârșit

Procedurile scrise pentru MSWLogo ^[2] ^[3] , o limbă Logo pentru Windows, descărcabilă gratuit de pe site-ul web Softronics ^[4] : După copierea și lipirea procedurilor anterioare pe Editor, le puteți testa introducând, dacă sunteți a ales partea de 256 pixeli și nivelul 6, în linia de comandă ^[5] :

 triasierpiq 256 6

Începând cu un câine mic

Ceea ce am văzut anterior pentru triunghiuri echilaterale și pătrate poate fi extins la orice imagine

Curba Sierpinski

Nivelul 0 Începe de la mijlocul unui hex (jumătate de hex) de pe partea a.
Nivelul 1 A doua latură a jumătății hexagonale este înlocuită cu o jumătate hexagonală cu latura a / 2 orientată spre exterior. Celelalte două laturi sunt înlocuite cu jumătăți de hexagon similare orientate spre interior (ale hexagonului căruia îi aparține jumătate de hexagon) obținând 3 jumătăți de hexagon din partea a / 2
Nivelul 2 Operația de descompunere anterioară se repetă pe fiecare dintre cele trei jumătăți de hexagon obținute, obținându-se 9 jumătăți de hexagon din partea a / 4.
Nivelul 3 Operația de descompunere anterioară se repetă pe fiecare dintre cele 9 jumătăți de hexagon obținute, obținându-se 27 de jumătăți de hexagon din partea a / 8.
Nivelul 4 Operația de descompunere anterioară se repetă pe fiecare dintre cele 27 de jumătăți de hexagon obținute, obținându-se 81 de jumătăți de hexagon din partea a / 16.
.....
Nivelul n Obținut $3^{n}$ ${\ displaystyle 3 ^ {n}}$ $3 ^ {n}$ jumătate de hexagone în lateral $2^{-n}a$ ${\ displaystyle 2 ^ {- n} a}$ ${\ displaystyle 2 ^ {- n} a}$
Continuând la nesfârșit, limita este triunghiul Sierpinski

Nivelul 0
Nivelul 1
Nivelul 2
Nivelul 5

Procedură în Logo

Iată procedura recursivă pentru a obține diferitele niveluri ale curbei Sierpinski în diferitele etape ale construcției. Aceasta este o funcție a celor doi parametri „lateral” și „nivel”:

 la triasierpic: lateral: nivel 
dacă: nivel = 0 [repetați 3 [înainte: partea dreaptă 60]
penup repetați 3 [înainte: partea dreaptă 60] oprire înclinată]
penup fd: partea din spate dreapta 60
dreapta 60 triasierpic: lateral / 2: nivel-1 stânga 60
stânga 60 triasierpic: lateral / 2: nivel-1 dreapta 60
penup fd: partea din spate dreapta 60
penup fd: latură pendonată
dreapta 120 triasierpic: lateral / 2: nivel-1 
penup forward: side * 2 pendown rt 120
Sfârșit

Procedura scrisă pentru MSWLogo ^[2] ^[3] , o limbă Logo pentru Windows, descărcabilă gratuit de pe site-ul web Softronics ^[4] . După ce ați copiat și lipit procedura anterioară în Editor, o puteți testa introducând, dacă ați ales partea de 160 pixeli și nivelul 6, în linia de comandă ^[5] :

 triasierpic 160 5

Secvență de creștere suculentă

Iată o modalitate alternativă de construcție pornind din nou de la triunghiul echilateral.

Nivelul 0 Începe de la o latură echilaterală a
Nivelul 1 Din punctul de mijloc al fiecărei părți „încolțește” un nou echilateral cu latura a / 2 cu înălțimea perpendiculară pe latură.
Nivelul 2 Din punctul de mijloc al fiecăreia dintre laturile celor 3 triunghiuri anterioare, încolțesc un total de 9 triunghiuri ale laturii a / 4
Nivelul 3 Din punctul de mijloc al fiecăreia dintre laturile celor 9 triunghiuri anterioare „încolțesc” un total de 27 de triunghiuri ale laturii a / 8
Nivelul 4 Din punctul de mijloc al fiecăreia dintre laturile ultimelor 27 de triunghiuri, încolțesc un total de 81 de triunghiuri ale laturii a / 16
.....
Nivelul n Din punctul de mijloc al fiecăreia dintre părțile laterale ale $3^{n-1}$ ${\ displaystyle 3 ^ {n-1}}$ ${\ displaystyle 3 ^ {n-1}}$ triunghiurile anterioare „încolțesc” în total $3^{n}$ ${\ displaystyle 3 ^ {n}}$ $3 ^ {n}$ triunghiuri laterale $2^{-n}a$ ${\ displaystyle 2 ^ {- n} a}$ ${\ displaystyle 2 ^ {- n} a}$
Continuând la nesfârșit, limita este triunghiul Sierpinski

Nivelul 1
Nivelul 2
Nivelul 3
Nivelul 4

Procedură în siglă

Iată procedura recursivă pentru obținerea diferitelor niveluri ale construcției pentru creșteri externe succesive. Procedura echilaterală cu parametru lateral face triunghiul echilateral cu vârful în jos. În timp ce triansierpiequi cu cei doi parametri „lateral” și „nivel” realizează construcția:

 a echilateral: latură
stânga 30
repetați 3 [înainte: partea dreaptă 120]
dreapta 30 
Sfârșit
to triasierpiequi: side: level 
echilateral: lateral 
dacă: nivel = 0 [oprire]
penup dreapta 30 înainte: lateral / 2 pendown
dreapta 90 
triasierpiequi: lateral / 2: nivel-1 
stânga 90
penup forward -: lateral / 2 left 30 pendown
penup left 30 forward: side / 2 pendown
stânga 90 
triasierpiequi: lateral / 2: nivel-1 
dreapta 90
penup înainte -: lateral / 2 dreapta 30 pendown
penup forward: side / 2 * sqrt 3 pendown
triasierpiequi: lateral / 2: nivel-1
penup forward -: side / 2 * sqrt 3 pendown
 Sfârșit

Procedurile scrise pentru MSWLogo ^[2] ^[3] , o limbă Logo pentru Windows, descărcabilă gratuit de pe site-ul web Softronics ^[4] : După copierea și lipirea procedurilor anterioare pe Editor, le puteți testa introducând, dacă sunteți a ales partea de 200 pixeli și nivelul 3, în linia de comandă ^[5] :

 triasierpiequi 200 3

Proprietate

Secvență recursivă cu cercuri (negru pentru impar) în loc de pătrate și triunghiul lui Tartaglia

Dimensiune fractală

Triunghiul Sierpiński are dimensiunea Hausdorff log (3) / log (2) ≈ 1.585 și aria triunghiului Sierpiński este zero (în măsura Lebesgue ) ^[6] .

Triunghiul Tartaglia în modulul 2

Triunghiul Tartaglia din modulul doi tinde spre triunghiul lui Sierpinski pe măsură ce liniile cresc ^[7] . Amintiți-vă că numerele întregi, luate în modulul 2, dacă sunt impare dau 1, dacă sunt pare dau zero. Se pot face verificări ușoare luând în considerare secvența de pătrate văzută mai sus. Luând ca exemplu nivelul 3, găsim opt rânduri de pătrate între alb și colorat. Rândul de sus are un pătrat, apoi 2, 3, 4 ... până la cel de jos cu $2^{3}$ ${\ displaystyle 2 ^ {3}}$ $2 ^ {3}$ pătrate pentru un număr total triunghiular de 36 de pătrate. În acest moment este suficient să suprapui primele 8 linii ale triunghiului lui Tartaglia pe pătrate pentru a vedea că numerele impare corespund pătratelor colorate, în timp ce numerele pare corespund celor albe. De exemplu, ultimul rând alcătuit din toate triunghiurile colorate corespunde coeficienților binomiali ai binomului ridicat la a șaptea putere care sunt toți impari ^[8] . Vezi figura pentru nivelul 5.

Notă

^ Procedura se poate extinde de fapt la orice triunghi, a se vedea de exemplu aurei acutangoli, pe Maecla, Tartapelago , 2005. URL accesat la 25 decembrie 2018 .
^ ^a ^b ^c ^d acces la MSWLogo din Tartapelago , pe Maecla, Tartapelago , 2005. Adus 25 decembrie 2018 .
^ ^a ^b ^c ^d Mic vocabular animat. Alegeri primitive ale geometriei broaștei țestoase a MSWLogo , pe Maecla, Tartapelago , 2005. Adus pe 27 decembrie 2018 .
^ ^a ^b ^c ^d Bine ați venit la Softronics, Inc. O companie de software educațional , pe Softronix . Adus la 25 decembrie 2018 .
^ ^a ^b ^c ^d vezi imagini instructive în: Sierpinski cu MSWLogo , pe commons.wikimedia.org .
^ Dimensiunea fractală , pe tomma25.altervista.org . Adus pe 27 decembrie 2018 .
^ Elisa Agostini, dm.unife.it , http://dm.unife.it/divulgazione/2015/doc/a_tartaglia1.pdf Titlu lipsă pentru url url ( ajutor ) .
^ Secvența pătratelor la nivelul 3 corespunzătoare cotelor (1 modulo 2) ale triunghiului Tartaglia, în galben ( GIF ), pe commons.wikimedia.org .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre Triunghiul Sierpiński

linkuri externe

Giorgio Pietrocola, Vortexul triunghiurilor lui Sierpinski , pe Tartapelago , Maecla , 2007. Adus 25 decembrie 2018 .
Giorgio Pietrocola, broască țestoasă marină Trigonoform , pe Tartapelago , Maecla , 2005. Adus la 25 decembrie 2018 .
Conversano, Tedeschini Lalli, Triunghiuri Sierpiński în piatră, pe podelele medievale din Roma , 2011

Controlul autorității	GND ( DE ) 4267564-9

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Procedura se poate extinde de fapt la orice triunghi, a se vedea de exemplu aurei acutangoli, pe Maecla, Tartapelago , 2005. URL accesat la 25 decembrie 2018 .

[accesso-2] s la MSWLogo din Tartapelago , pe Maecla, Tartapelago , 2005. Adus 25 decembrie 2018 .

[vocanimato-3] Mic vocabular animat. Alegeri primitive ale geometriei broaștei țestoase a MSWLogo , pe Maecla, Tartapelago , 2005. Adus pe 27 decembrie 2018 .

[Educational-4] Bine ați venit la Softronics, Inc. O companie de software educațional , pe Softronix . Adus la 25 decembrie 2018 .

[didattica-5] vezi imagini instructive în: Sierpinski cu MSWLogo , pe commons.wikimedia.org .

[6] Dimensiunea fractală , pe tomma25.altervista.org . Adus pe 27 decembrie 2018 .

[7] Elisa Agostini, dm.unife.it , http://dm.unife.it/divulgazione/2015/doc/a_tartaglia1.pdf Titlu lipsă pentru url url ( ajutor ) .

[8] Secvența pătratelor la nivelul 3 corespunzătoare cotelor (1 modulo 2) ale triunghiului Tartaglia, în galben ( GIF ), pe commons.wikimedia.org .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

V · D · M Teoria haosului
Teoria bifurcației	Furcă de bifurcație · Nod de șa de bifurcație · Bifurcație imperfectă · Bifurcație transcritică · Bifurcație Hopf · Larva Pin (sistem dinamic)
Fractale	Arta fractală · Buddhabrot · navă de ardere · compresie fractală · Koch fulg de zăpadă · curba Peano · curba Sierpinski · Dimensiunea Hausdorff · dimensiunii fractale · Funcția Cantor · Set Cantor · Set Julia · Mandelbrot · Fractalii pentru dimensiune Hausdorff · Cantor de praf · Sterling · Sierpinski Triangle · Dimensiunea Minkowski-Bouligand
Atractorii	Sistem Lorenz · Atractorul din Hénon · Harta Poincaré · Harta logistică · Harta potcoavelor · Spațiul de fază
Teoreticienii haosului	Edward Norton Lorenz · Aleksandr Lyapunov · Benoît Mandelbrot · Edward October · Henri Poincare · David Ruelle · Stephen Wolfram · James Yorke