Triunghi echilateral

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Triunghi echilateral

În geometria euclidiană , un triunghi echilateral este un triunghi care are cele trei laturi congruente între ele. Se arată că unghiurile sale sunt toate congruente și egale cu 60 ° = rad [1] . Deoarece este atât echilateral, cât și echiangular, este poligonul regulat cu trei laturi.

Triunghiurile echilaterale sunt triunghiuri isoscele particulare. Toate triunghiurile echilaterale sunt similare: pentru a caracteriza metric un triunghi echilateral sau pentru a caracteriza clasa triunghiurilor echilaterale în plan care pot fi obținute una de la alta prin translații și rotații, este necesar un parametru extins; de obicei se folosește lungimea laturilor sale.

În triunghiurile echilaterale, bisectoarele , medianele , înălțimile și axele se suprapun astfel încât același punct reprezintă ortocentrul , centroul , centrul și circumcentrul .

Grupul de simetrii al triunghiului echilateral este constituit de identitate , de rotațiile din jurul centrului său de 120 ° și 240 ° și de reflexiile față de bisectoarele unghiurilor. Acest grup este izomorf pentru grupul simetric de 3 obiecte S 3 .

Constructie

Construcția triunghiului echilateral cu riglă și busolă

Așa cum arată Euclid în Elementele I, 1 (este prima propunere a întregii lucrări), triunghiul echilateral dat de latura AB poate fi construit cu rigla și busola în acest fel:

  • Îndreptați busola spre A cu deschiderea AB și trageți o circumferință;
  • Îndreptați busola spre B cu deschiderea BA și trageți o circumferință;
  • Punctul de întâlnire al cercurilor C este al treilea punct căutat;
  • Prin unirea A, B și C se obține un triunghi echilateral.

Dovada este simplă: deoarece, prin definiție, toate punctele circumferinței sunt echidistante de centru, segmentul AB este congruent cu AC, iar AB este congruent cu BC. Dar apoi prin proprietatea tranzitivă a congruenței, AB = AC = BC și triunghiul este echilateral.

Formule

Indicând cu latura triunghiului, cu perimetrul, cu zona, cu baza și cu înălțimea este:

Perimetru

Zonă

Înălţime

Aplicații ale teoremei lui Pitagora

Circumferința înscrisă și circumscrisă

Centrul geometric al triunghiului este centrul circumferințelor inscripționate și circumscrise triunghiului echilateral

Raza cercului circumscris este de la care

Raza cercului inscris este de la care

Zona, cunoscută R, este

Notă

  1. ^ Acest lucru se întâmplă numai în geometria euclidiană, unde suma unghiurilor interioare ale unui triunghi este egală cu unghiul plat. Prin urmare 180 ° ÷ 3 = 60 °

Elemente conexe

Alte proiecte

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică