Trinomio

Calcul literal

În algebra elementară , un trinom este un polinom care conține trei termeni; cu alte cuvinte, este suma algebrică a trei monomii . De exemplu: $21ab+c+3b$ ${\ displaystyle 21ab + c + 3b}$ ${\ displaystyle 21ab + c + 3b}$ sau $37xyz+4y^{3}+z$ ${\ displaystyle 37xyz + 4y ^ {3} + z}$ ${\ displaystyle 37xyz + 4y ^ {3} + z}$ .

Trinomi particulari

În algebră sunt studiate trinomii particulare care au relevanță în factorizare :

Trinomul caracteristic : este un trinom în formă $x^{2}+sx+p$ ${\ displaystyle x ^ {2} + sx + p}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + sx + p}$ , cu $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ Și $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ numere reale, altele decât zero . Poate fi descompus în forma ^[1] :

$(x-x_{1})(x-x_{2})$ ${\ displaystyle (x-x_ {1}) (x-x_ {2})}$ ${\ displaystyle (x-x_ {1}) (x-x_ {2})}$ ,

unde este $x_{1}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ $x_1$ Și $x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ $x_2$ sunt două numere reale astfel încât: $x_{1}+x_{2}=s$ ${\ displaystyle x_ {1} + x_ {2} = s}$ ${\ displaystyle x_ {1} + x_ {2} = s}$ Și $x_{1}x_{2}=p$ ${\ displaystyle x_ {1} x_ {2} = p}$ ${\ displaystyle x_ {1} x_ {2} = p}$ .

De exemplu:

descompune trinomul $x^{2}+3x-4$ ${\ displaystyle x ^ {2} + 3x-4}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + 3x-4}$ ; trebuie să cauți două numere $x_{1}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ $x_1$ Și $x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ $x_2$ astfel încât suma lor dă $+3$ ${\ displaystyle +3}$ $+3$ iar produsul lor dă $-4$ ${\ displaystyle -4}$ $-4$ . Numerele căutate sunt $+4$ ${\ displaystyle +4}$ ${\ displaystyle +4}$ Și $-1$ ${\ displaystyle -1}$ $-1$ ; prin urmare, trinomul este inclus în: $x^{2}+3x-4=(x+4)(x-1)$ ${\ displaystyle x ^ {2} + 3x-4 = (x + 4) (x-1)}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + 3x-4 = (x + 4) (x-1)}$ .

Trinomul în formă $mx^{2}+nx+q$ ${\ displaystyle mx ^ {2} + nx + q}$ ${\ displaystyle mx ^ {2} + nx + q}$ , cu $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ , $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ Și $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ numere reale, altele decât zero.

Pentru a descompune acest trinom este necesar să se găsească două numere $x_{1}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ $x_1$ Și $x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ $x_2$ a cărei sumă este $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ iar produsul este $m q$ ${\ displaystyle mq}$ ${\ displaystyle mq}$ ; în acest moment este posibil să rescriem trinomul în forma ^[2] :

$mx^{2}+(x_{1}+x_{2})x+q$ ${\ displaystyle mx ^ {2} + (x_ {1} + x_ {2}) x + q}$ ${\ displaystyle mx ^ {2} + (x_ {1} + x_ {2}) x + q}$ , din care pornim efectuând mai întâi o amintire parțială și apoi o amintire cu un factor comun .

De exemplu:

descompune trinomul $6x^{2}-x-2$ ${\ displaystyle 6x ^ {2} -x-2}$ ${\ displaystyle 6x ^ {2} -x-2}$ . Trebuie să găsim două numere $x_{1}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ $x_1$ Și $x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ $x_2$ astfel pentru care $x_{1}+x_{2}=n=-1$ ${\ displaystyle x_ {1} + x_ {2} = n = -1}$ ${\ displaystyle x_ {1} + x_ {2} = n = -1}$ Și $mq=-12$ ${\ displaystyle mq = -12}$ ${\ displaystyle mq = -12}$ ; numerele căutate sunt $x_{1}=-4$ ${\ displaystyle x_ {1} = - 4}$ ${\ displaystyle x_ {1} = - 4}$ Și $x_{2}=+3$ ${\ displaystyle x_ {2} = + 3}$ ${\ displaystyle x_ {2} = + 3}$ .

Prin urmare, trinomul devine:

$6x^{2}-x-2=6x^{2}+x(-4+3)-2=6x^{2}-4x+3x-2=2x(3x-2)+(3x-2)=(3x-2)(2x+1)$ ${\ displaystyle 6x ^ {2} -x-2 = 6x ^ {2} + x (-4 + 3) -2 = 6x ^ {2} -4x + 3x-2 = 2x (3x-2) + (3x -2) = (3x-2) (2x + 1)}$ ${\ displaystyle 6x ^ {2} -x-2 = 6x ^ {2} + x (-4 + 3) -2 = 6x ^ {2} -4x + 3x-2 = 2x (3x-2) + (3x -2) = (3x-2) (2x + 1)}$ .

Pătratul unui binom

Pătratul unui binom este întotdeauna un trinom și intră în categoria produselor notabile ; conține întotdeauna doi termeni, care sunt fiecare pătratul unui monomial și un al treilea termen care este produsul celor doi monomi înmulțiți cu doi ^[3] .

În general:

$a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$ ${\ displaystyle a ^ {2} + 2ab + b ^ {2} = (a + b) ^ {2}}$ ${\ displaystyle a ^ {2} + 2ab + b ^ {2} = (a + b) ^ {2}}$ .

Metoda alternativă

Orice trinomial dintre cele trei menționate mai sus poate fi scris în forma generică (numită și canonică ) $ax^{2}+bx+c$ ${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c}$ $ax ^ {2} + bx + c$ și luate în calcul cu o singură regulă, deoarece în toate cazurile sunt trinomii de gradul al doilea . Aplicând formula soluției ^[4] :

$x_{1,2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}+4c}}}{2}}$ ${\ displaystyle x_ {1,2} = {\ frac {-b + {\ sqrt {b ^ {2} + 4c}}} {2}}}$ ${\ displaystyle x_ {1,2} = {\ frac {-b + {\ sqrt {b ^ {2} + 4c}}} {2}}}$ ,

în cazurile în care $\Delta \geqslant 0$ ${\ displaystyle \ Delta \ geqslant 0}$ ${\ displaystyle \ Delta \ geqslant 0}$ , este posibil să se factorizeze trinomul după cum urmează ^[5] :

$ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})$ ${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = a (x-x_ {1}) (x-x_ {2})}$ ${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = a (x-x_ {1}) (x-x_ {2})}$ .

Orice trinom de gradul doi, scris ca o ecuație de tip $y=ax^{2}+bx+c$ ${\ displaystyle y = ax ^ {2} + bx + c}$ $y = ax ^ {2} + bx + c$ , este reprezentat grafic într-un plan cartezian printr-o parabolă . ^[6]

Produse notabile

Pătratul unui trinom este egal cu suma pătratelor celor trei termeni, plus suma celor trei posibili produse duble ^[7] :

(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc

{\ displaystyle (a + b + c) ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + 2ab + 2ac + 2bc}

{\ displaystyle (a + b + c) ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + 2ab + 2ac + 2bc}

Cubul unui trinom este egal cu suma cuburilor celor trei termeni, plus produsul triplu al pătratului fiecărui termen cu suma celorlalți doi, plus de șase ori produsul celor trei termeni:

(a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}(b+c)+3b^{2}(a+c)+3c^{2}(a+b)+6abc

{\ displaystyle (a + b + c) ^ {3} = a ^ {3} + b ^ {3} + c ^ {3} + 3a ^ {2} (b + c) + 3b ^ {2} ( a + c) + 3c ^ {2} (a + b) + 6abc}

{\ displaystyle (a + b + c) ^ {3} = a ^ {3} + b ^ {3} + c ^ {3} + 3a ^ {2} (b + c) + 3b ^ {2} ( a + c) + 3c ^ {2} (a + b) + 6abc}

Notă

^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (Volumul 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p.17
^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (Volumul 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p. 277
^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (Volumul 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p.15
^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (Volumul 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p.63
^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (Volumul 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p.73
^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (Volumul 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p.74
^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (Volumul 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p.16

Bibliografie

Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (Volumul 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikționarul conține dicționarul lema „ trinomial ”

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (Volumul 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p.17

[2] Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (Volumul 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p. 277

[3] Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (Volumul 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p.15

[4] Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (Volumul 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p.63

[5] Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (Volumul 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p.73

[6] Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (Volumul 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p.74

[7] Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (Volumul 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p.16

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]