Sistem de numere ternare

Sistemul numeric ternar este un sistem numeric pozițional de bază 3 , adică folosește 3 simboluri 0, 1 și 2, în locul celor 10 ale sistemului numeric zecimal . Ca urmare, cifra la locul său $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ (de la dreapta) se consideră înmulțit cu $3^{(n-1)}$ ${\ displaystyle 3 ^ {(n-1)}}$ $3 ^ {{(n-1)}}$ în loc de pentru $10^{(n-1)}$ ${\ displaystyle 10 ^ {(n-1)}}$ $10 ^ {{(n-1)}}$ așa cum se întâmplă în numerotarea zecimală ^[1] . De obicei, cele trei cifre sunt numere pozitive, dar termenul se poate referi și la sistemul ternar echilibrat , utilizat în principal în calculatoarele ternare , ale căror cifre sunt -1, 0 și 1.

Definiție

Un număr este reprezentat în baza 3 printr-o combinație de cifre 0, 1 și 2, ordonate conform unui sistem pozițional bazat pe puterile lui 3. Deoarece poate provoca confuzie cu alte baze, trebuie specificat că este un număr ternar prin adăugarea unui indiciu ₃ la sfârșitul numărului. De exemplu, $120_{3}=1\cdot 3^{2}+2\cdot 3^{1}+0\cdot 3^{0}=15_{10}$ ${\ displaystyle 120_ {3} = 1 \ cdot 3 ^ {2} +2 \ cdot 3 ^ {1} +0 \ cdot 3 ^ {0} = 15_ {10}}$ $120_ {3} = 1 \ cdot 3 ^ {2} +2 \ cdot 3 ^ {1} +0 \ cdot 3 ^ {0} = 15 _ {{10}}$

Comparație cu alte baze

Reprezentarea unui număr întreg în baza 3 necesită mai puține cifre decât corespondentul său din baza 2 . De exemplu, numărul zecimal 220 este scris în baza 2 11011100 (8 cifre), în timp ce în baza 3 este scris ca 22011 (5 cifre). Cu toate acestea, un număr scris în baza 3 este mai lung decât în baza 10; din acest motiv în informatică numerele ternare sunt uneori codate în baza 9 sau baza 27 , în același mod în care numerele binare sunt compactate în baza 8 sau baza 16 .

**Numere de la 1 la 27 în reprezentare ternară, binară și zecimală**
Ternar	1	2	10	11	12	20	21	22	100
Piste	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001
Zecimal	1	2	3	4	5	6	7	8	9

Ternar	101	102	110	111	112	120	121	122	200
Piste	1010	1011	1100	1101	1110	1111	10000	10001	10010
Zecimal	10	11	12	13	14	15	16	17	18

Ternar	201	202	210	211	212	220	221	222	1000
Piste	10011	10100	10101	10110	10111	11000	11001	11010	11011
Zecimal	19	20	21	22	23	24	25	26	27

**Puteri de 3 în reprezentare ternară, binară și zecimală**
Ternar	1	10	100	1 000	10 000
Piste	1	11	1001	1 1011	101 0001
Zecimal	1	3	9	27	81
Putere	3 ⁰	3 ¹	3 ²	3 ³	3 ⁴

Ternar	100 000	1 000 000	10 000 000	100.000.000	1 000 000 000
Piste	1111 0011	10 1101 1001	1000 1000 1011	1 1001 1010 0001	100 1100 1110 0011
Zecimal	243	729	2 187	6 561	19 683
Putere	3 ⁵	3 ⁶	3 ⁷	3 ⁸	3 ⁹

În ceea ce privește numerele raționale , sistemul ternar este convenabil pentru reprezentarea fracțiilor care au puteri de 3 ca numitor, care în notație zecimală sunt reprezentate prin numere periodice . Cu toate acestea, deoarece nu există alți factori primi în afară de 3 ca bază, toate celelalte raționale care nu sunt întregi devin periodice. De exemplu, iată câteva fracții cu baza lor respectivă 2, 3 și 10 reprezentări:

**Numere raționale în ternar, binar și zecimal**
Ternar	0. 1 11111111111 ...	0,1	0. 02 0202020202 ...	0. 0121 01210121 ...	0,0 1 1111111111 ...	0. 010212 010212 ...
Piste	0,1	0. 01 0101010101 ...	0,01	0. 0011 00110011 ...	0.0 01 01010101 ...	0. 001 001001001 ...
Zecimal	0,5	0. 3 33333333333 ...	0,25	0,2	0,1 6 6666666666 ...	0. 142857 142857 ...
Fracțiune	1/2	1/3	1/4	1/5	1/6	1/7

Ternar	0. 01 0101010101 ...	0,01	0. 0022 00220022 ...	0. 00211 0021100 ...	0.0 02 020202020 ...	0. 002 002002002 ...
Piste	0,001	0. 000111 000111 ...	0,0 0011 0011001 ...	0. 0001011101 00 ...	0,00 01 01010101 ...	0. 000100111011 ...
Zecimal	0,125	0. 1 11111111111 ...	0,1	0. 09 0909090909 ...	0,08 3 333333333 ...	0. 076923 076923 ...
Fracțiune	1/8	1/9	1/10	1/11	1/12	1/13

Aplicații

Informatică

Calculatoarele ternare își bazează funcționarea pe baza 3. În mod similar cu biții , unitățile lor de informații sunt trite , care pot lua trei valori distincte. Fiecare trit conține echivalentul lui $\log _{2}3$ ${\ displaystyle \ log _ {2} 3}$ $\ log _ {2} 3$ (aproximativ 1,58496) biți de informații. Unele computere ternare, cum ar fi Setun , au definit tryte ca un grup de 6 trituri, în paralel cu octeți care sunt compuși din 8 biți ^[2] .

Transfer de date

Dacă un canal de comunicare vă permite să utilizați trei stări în loc de două, puteți trimite o cantitate mult mai mare de date numerice decât folosind două simboluri. De exemplu, dacă flash-urile de lumină colorată sunt folosite pentru a transmite un „1” sau „0” binar în funcție de culoarea roșie sau verde, sunt disponibile 256 de configurații diferite cu 8 flash-uri (un octet). Dar dacă de exemplu se adaugă culoarea albastră cu valoarea „2”, atunci cu aceleași opt blițuri este posibil să se transmită 6561 de configurații, care cu o lumină bicoloră ar necesita 13 blițuri (biți). Prin urmare, dacă este posibil să se utilizeze trei stări clar distincte în loc de două, numerotarea bazată pe trei extinde foarte mult cantitatea de informații care pot fi transferate în aceeași unitate de timp.

Alte utilizări

Baza 3 este utilă pentru a lucra mai ușor cu unele structuri auto- similare , cum ar fi triunghiul Sierpiński și setul Cantor . Acesta din urmă poate fi definit ca ansamblul numerelor reale cuprinse între 0 și 1 care nu au 1 cifră în reprezentarea lor ternară. ^[3] ^[4] Este uneori folosit în baseball , unde fiecare repriză este împărțită în trei outs . De asemenea, este folosit în Islam pentru a declara cele 99 de nume ale lui Allah cu misbaha .

Notă

^ Brian Hayes, a treia bază , în American Scientist , vol. 89, nr. 6, 2001, pp. 490–494. Adus la 4 mai 2019 (arhivat din original la 27 martie 2017) . .
^(EN) Brousentsov, NP; Maslov, SP; Ramil Alvarez, J.; Zhogolev, EA. „Dezvoltarea computerelor ternare la Universitatea de Stat din Moscova”
^ Mohsen Soltanifar, On A sequence of cantor Fractals , Rose Hulman Undergraduate Mathematics Journal, Vol 7, No 1, lucrarea 9, 2006.
^ Mohsen Soltanifar, A Different Description of A Family of Middle-a Cantor Sets , American Journal of Undergraduate Research, Vol. 5, nr. 2, pp. 9-12, 2006.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe un sistem ternar

linkuri externe

(RO) A treia bază pe americanscientist.org. Adus la 4 mai 2019 (arhivat din original la 8 iunie 2017) .
( EN ) Ternary Arithmetic , pe washingtonart.net . Adus la 13 mai 2012 (arhivat din original la 14 mai 2011) .
( RO ) Aparatul de calcul ternar al lui Thomas Fowler , pe mortati.com .
( EN ) Conversia bazei ternare, inclusiv părți fracționate
(EN) Sistemul numeric ternar de înlocuire al lui Gideon Frieder , pe americanscientist.org. Adus la 4 mai 2019 (arhivat din original la 14 februarie 2017) .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Brian Hayes, a treia bază , în American Scientist , vol. 89, nr. 6, 2001, pp. 490–494. Adus la 4 mai 2019 (arhivat din original la 27 martie 2017) . .

[2] (EN) Brousentsov, NP; Maslov, SP; Ramil Alvarez, J.; Zhogolev, EA. „Dezvoltarea computerelor ternare la Universitatea de Stat din Moscova”

[3] Mohsen Soltanifar, On A sequence of cantor Fractals , Rose Hulman Undergraduate Mathematics Journal, Vol 7, No 1, lucrarea 9, 2006.

[4] Mohsen Soltanifar, A Different Description of A Family of Middle-a Cantor Sets , American Journal of Undergraduate Research, Vol. 5, nr. 2, pp. 9-12, 2006.

[1]

[2]

[3]

[4]

V · D · M Sisteme de numerotare
După bază	Unar (1) · Binar (2) · ternar (3) · Ternar echilibrat (3) · Cuaternar (4) · Quinarius (5) · Senario (6) · Septenar (7) · Octal (8) · Nonario (9) · Zecimal (10) · Ieftin (12) · Hex (16) · vigesimal (20) · Sexagesimal (60)
După cultură	Cifre arabe · Numere armenii · Numere babiloniene · Numere chineze · Numere chirilice · Numere evreiești · Numere egiptene · Numere georgiene · japonez numere · numere glagolitice · Numere grecești · Numeri incașe · Numere indiene · Numere mayașe · cifre romane · Numere persane · Numere Thai
Lista sistemelor de numerotare