Regim turbulent

Jet turbulent vizualizat prin intermediul fluorescenței induse de laser

În dinamica fluidelor , un regim turbulent este o mișcare a unui fluid în care forțele vâscoase nu sunt suficiente pentru a contracara forțele de inerție : mișcarea particulelor de fluid care rezultă se efectuează într-un mod haotic , fără a urma traiectorii ordonate ca în cazul de regim laminar . Acest lucru are ca rezultat formarea de vortexuri instabile de diferite dimensiuni, care interacționează între ele și, mai general, în apariția fluctuațiilor haotice în câmpurile de viteză și presiune .

Mișcările turbulente pot fi observate într-un număr mare de fenomene de zi cu zi, cum ar fi surfing , curenți care curg rapid, perturbări atmosferice sau fum de ardere . În general, se întâmplă adesea ca mișcările fluide observate în natură sau în aplicații tehnice să fie în condiții turbulente.

Deși anumite caracteristici ale mișcărilor turbulente pot fi considerate deja stabilite (cum ar fi faptul că debutul turbulenței sau nu poate fi prezis din valoarea numărului Reynolds , care cântărește relația dintre inerție și forțele vâscoase), o teorie completă este încă lipsit.capabil să le descrie satisfăcător: Richard Feynman a definit descrierea turbulenței ca fiind cea mai importantă problemă nerezolvată din fizica clasică .

Exemple de mișcări turbulente

Fumul produs de o țigară , care din laminar devine turbulent pe măsură ce viteza și scala caracteristică a lungimii fluxului cresc.
Turbulență în partea superioară atmosferă , ceea ce poate provoca astronomice seeing .
O mare parte din circulația atmosferică a pământului.
Stratul mixt din oceane și atmosferă, precum și curenții marini intensi
Debite în multe mașini și echipamente industriale ( conducte , motoare cu ardere internă , turbine cu gaz etc.)
Fluxurile externe ale tuturor tipurilor de vehicule în mișcare ( mașini , avioane , trenuri , nave etc.)
Mișcările din atmosferele stelare
Animalele care înoată pot genera turbulențe biologice ^[1]
Râuri și râuri dacă mișcarea apei este suficient de rapidă.
Vasele de sânge, unde de exemplu sunt una dintre cauzele sunetelor inimii observabile cu un stetoscop . ^{[ fără sursă ]}

fundal

Leonardo da Vinci a atras deja și a comentat anumite fluxuri turbulente. Primele experimente științifice efectuate pe acest tip de mișcare se datorează unui experiment realizat de Osborne Reynolds în 1883 la laboratoarele hidraulice ale Universității din Manchester . Experimentul lui Reynolds a constat în observarea vizuală a mișcărilor turbulente ale unui tub dintr-un fir lichid, diferențiat de lichidul din jur, datorită unui colorant. Pentru această eventualitate, Reynolds a creat un tub transparent, scufundat într-un rezervor plin cu apă, care alimenta tubul. Gura tubului fusese modelată cu grijă pentru a preveni fenomene turbulente la intrare.

Reprezentarea lui Leonardo da Vinci a fluxurilor turbulente

Experimentul a fost realizat cu trei conducte diferite. Reynolds a observat că pentru viteze relativ mici ale fluidului mișcarea a fost destul de regulată și firul a fost aproape drept. Repetând experimentul la viteze mai mari, Reynolds a observat perturbări limitate migrând în aval. Sporind și mai mult viteza, a observat că culoarea firului avea tendința de a se răspândi în toată conducta. Reynolds a identificat starea în care fileul de lichid s-a contopit cu lichidul din jur ca „regim turbulent”.

Repetând experimentul cu alte tuburi, Reynolds a identificat o valoare critică a următorului număr adimensional, care, în onoarea sa, va lua numele numărului Reynolds :

\mathrm {Re} ={Ud \over \nu }

{\ displaystyle \ mathrm {Re} = {Ud \ over \ nu}}

{\ displaystyle \ mathrm {Re} = {Ud \ over \ nu}}

Pentru valori ale numărului Reynolds mai mari de aproximativ 4000, mișcarea a apărut ca turbulentă, în timp ce pentru valori mai mici de 2 000-2 500, mișcarea a apărut ca laminară.

Principala dificultate în studierea turbulenței este prezența simultană a unui număr mare de structuri de vortex de diferite dimensiuni caracteristice, numite „vortexuri”. În plus, toate aceste structuri caracteristice interacționează reciproc, datorită structurii neliniare a ecuațiilor Navier-Stokes . Toate aceste particularități fac dificilă aplicarea abordării analitice clasice.

În 1922 Lewis F. Richardson a introdus conceptul de cascadă de energie ^[2] , în timp ce prima teorie statistică a turbulenței, dezvoltată de matematicianul și fizicianul sovietic Andrei N. Kolmogorov, datează din 1941 .

În ultimele decenii, studiul turbulenței a făcut pași mari, atât pentru avansarea tehnologiilor care pot fi utilizate în studii experimentale, dar mai ales datorită introducerii simulărilor pe computer , care permit studierea fluxurilor turbulente cantitativ în detaliu prin intermediul integrarea numerică a ecuațiilor Navier-Stokes . În special, în studiul celor mai fundamentale aspecte ale turbulenței, se face o mare utilizare a simulărilor numerice directe (DNS), care contrar tehnicilor utilizate mai mult în inginerie, cum ar fi ecuațiile Navier-Stokes mediate (RANS) sau simulările Eddy mari ( LES), nu necesită alte ipoteze privind comportamentul fluxului, deoarece rezolvă în mod explicit toate scările spațiale și temporale ale sistemului. Prețul de plătit, totuși, este un cost de calcul foarte ridicat, astfel încât chiar și studiul numeric al celor mai simple fluxuri necesită utilizarea unor supercalculatoare puternice.

Descriere

Diferențele dintre regimul turbulent și cel laminar

Același subiect în detaliu: numărul Reynolds .

Reprezentarea regimului de mișcare laminar (a) și turbulent (b) în interiorul unei conducte cilindrice.

Un flux turbulent diferă de un flux laminar prin faptul că în interiorul său există structuri vortex de dimensiuni și viteze diferite care fac fluxul imprevizibil în timp, chiar dacă mișcarea rămâne deterministă. Cu alte cuvinte, mișcarea este guvernată de legile haosului determinist: dacă am fi putut cunoaște „exact” întregul câmp de viteză la un moment dat și am fi putut rezolva ecuațiile Navier-Stokes, am putea obține toate câmpurile viitorului mişcare. Dar dacă am cunoaște domeniul cu o foarte mică inexactitate, acest lucru după un anumit timp ar face soluția găsită complet diferită de cea reală.

De exemplu, în cazul mișcării într-o conductă cilindrică, în cazul unui regim turbulent fluidul se mișcă într-o manieră dezordonată, dar cu o viteză medie de avans aproape constantă pe secțiune. Pe de altă parte, în cazul mișcării laminare, traiectoriile sunt drepte, iar profilul vitezei este parabolic sau Poiseuille . Numărul Reynolds pentru care se produce tranziția laminară la turbulentă, în acest caz este Re = 2300. Cu toate acestea, această valoare este strict dependentă de amplitudinea perturbărilor prezente în flux înainte de tranziția la regimul turbulent. Prin urmare, teoretic este posibil să se obțină fluxuri laminare pentru valori mai mari decât numărul Reynolds .

Caracteristici

Mișcările turbulente au caracteristici specifice:

Nereguli

Debiturile turbulente sunt întotdeauna foarte neregulate. Din acest motiv, problemele de turbulență sunt de obicei tratate statistic mai degrabă decât deterministic. Un flux turbulent este haotic, dar nu toate fluxurile haotice pot fi definite ca turbulente.

Difuzivitate

Disponibilitatea largă a energiei cinetice în fluxurile turbulente tinde să accelereze omogenizarea ( amestecarea ) amestecurilor fluide. Caracteristica responsabilă de creșterea amestecării și creșterea ratei de transport a masei , a impulsului și a energiei într-un flux se numește „difuzivitate” ^[3] .

Difuzia turbulentă este de obicei parametrizată de un coeficient de difuzie turbulentă. Acest coeficient de difuzie turbulent este definit într-un sens fenomenologic, prin analogie cu difuzivitățile moleculare, dar nu are o semnificație fizică reală, fiind dependent de caracteristicile particulare ale fluxului și nu de o proprietate reală a fluidului în sine. Mai mult, conceptul de difuzivitate turbulentă presupune o relație constitutivă între fluxul turbulent și gradientul unei variabile medii similare cu relația dintre flux și gradient care există pentru transportul molecular. În cel mai bun caz, această ipoteză este doar o aproximare. Cu toate acestea, difuzivitatea turbulentă se dovedește a fi cea mai simplă abordare pentru analiza cantitativă a fluxurilor turbulente și multe modele au fost postulate pentru a o calcula. De exemplu, în corpurile mari de apă, cum ar fi oceanele, acest coeficient poate fi găsit folosind legea puterii de patru treimi a lui Richardson și este guvernat de principiile mersului aleatoriu . În râuri și în curenții oceanici mari, coeficientul de difuzie este dat de variațiile formulei Elder.

Rotaționalitate

Fluxurile turbulente posedă vorticitate diferită de zero și se caracterizează printr-un important mecanism tridimensional de generare a vortexului cunoscut sub numele de întindere a vortexului . În dinamica fluidelor, acestea sunt în esență vortexuri supuse unei „întinderi” asociate cu o creștere a componentei vorticității în direcția de alungire, datorită conservării impulsului unghiular . Mai mult, întinderea vortexului este mecanismul fundamental pe care se bazează cascada turbulentă de energie pentru a stabili și menține o funcție de structură identificabilă. ^[4] În general, mecanismul de întindere implică subțierea vârtejurilor în direcția perpendiculară pe direcția de întindere datorită conservării volumului elementelor fluide. Ca rezultat, scara de lungime radială a vârtejurilor scade și structurile mai mari ale fluxului se descompun în structuri mai mici. Procesul continuă până când structurile la scară mică sunt suficient de mici pentru a-și converti energia cinetică în căldură datorită vâscozității moleculare a fluidului. Conform acestei definiții, fluxul turbulent în sens strict este, prin urmare, întotdeauna rotațional și tridimensional. ^[4] Cu toate acestea, această definiție nu este împărtășită de toți cercetătorii din domeniu și nu este neobișnuit să întâlnim termenul de turbulență bidimensională , care este rotațională și haotică, dar fără mecanismul de întindere a vortexului. ^[5]

Disipare

Pentru a menține fluxul turbulent, este necesară o sursă de energie persistentă, deoarece turbulența o disipă rapid, transformând energia cinetică în energie internă prin solicitări de forfecare vâscoase. În regimul turbulent există formarea de vortexuri cu scale de lungime foarte diferite. Cea mai mare parte a energiei cinetice a mișcării turbulente este conținută în structuri la scară largă. Energia „se repede” de la aceste structuri la scară mare la structuri la scară mai mică printr-un mecanism pur inerțial și esențial invizibil. Acest proces continuă, creând structuri din ce în ce mai mici, corespunzând astfel unei ierarhii de vârtejuri. La sfârșitul acestui proces, se formează structuri suficient de mici pentru a fi afectate de efectele difuziei moleculare și astfel are loc disiparea vâscoasă a energiei. Scara la care se întâmplă acest lucru este scala Kolmogorov .

Acest proces se numește cascadă de energie , pentru care fluxul turbulent poate fi modelat ca o suprapunere a unui spectru corespunzător vârtejurilor și fluctuațiilor câmpului de viteză i pe un debit mediu. Turburile pot fi definite într-un anumit sens ca structuri coerente ale câmpurilor de viteză, vorticitate și presiune. Fluxurile turbulente pot fi văzute ca fiind formate dintr-o întreagă ierarhie de vârtejuri pe o gamă largă de scale de lungime, iar această ierarhie poate fi descrisă cantitativ prin spectrul de energie, care măsoară energia cinetică a fluctuațiilor de viteză pentru fiecare scară de lungime (fiecare corespunzând un număr de undă ). Scalele din cascada de energie sunt în general imprevizibile și foarte nesimetrice. Cu toate acestea, pe baza acestor scale de lungime, aceste vârtejuri pot fi împărțite în trei categorii principale:

Scara integrala

O durată și o lungime caracteristice sunt asociate cu această scală. Timpul integral, într-o descrierelagrangiană , poate fi definit ca:

$T=\left({\frac {1}{\langle u'u'\rangle }}\right)\int _{0}^{\infty }\langle u'u'(\tau )\rangle \,d\tau$ ${\ displaystyle T = \ left ({\ frac {1} {\ langle u'u '\ rangle}} \ right) \ int _ {0} ^ {\ infty} \ langle u'u' (\ tau) \ rangle \, d \ tau}$ ${\ displaystyle T = \ left ({\ frac {1} {\ langle u'u '\ rangle}} \ right) \ int _ {0} ^ {\ infty} \ langle u'u' (\ tau) \ rangle \, d \ tau}$

unde u ' reprezintă fluctuațiile de viteză, în timp ce τ este intervalul de timp dintre două măsurători. Lungimea integrală poate fi definită în mod analog:

$L=\left({\frac {1}{\langle u'u'\rangle }}\right)\int _{0}^{\infty }\langle u'u'(r)\rangle \,dr$ ${\ displaystyle L = \ left ({\ frac {1} {\ langle u'u '\ rangle}} \ right) \ int _ {0} ^ {\ infty} \ langle u'u' (r) \ rangle \, dr}$ ${\ displaystyle L = \ left ({\ frac {1} {\ langle u'u '\ rangle}} \ right) \ int _ {0} ^ {\ infty} \ langle u'u' (r) \ rangle \, dr}$

unde r reprezintă distanța dintre două puncte de măsurare diferite. Această scală corespunde vârtejurilor de dimensiuni mai mari (și durate mai mari), cărora le este asociată cea mai mare cantitate de energie. La astfel de scări fluxul este de obicei anizotrop.

Scara Kolmogorov

Scara Kolmogorov este cea mai mică scară spațială, unde energia cinetică provenită de la scările superioare (folosind termenul de inerție neliniară) este disipată în energie termică de vâscozitate. Pe aceste scale, fluxul este de obicei omogen și izotrop.

Taylor (sau turbulența) la scară microscopică

Acestea sunt scările intermediare între scara integrală mai mare și scara Kolmogorov mai mică și alcătuiesc intervalul inerțial. Microscalele lui Taylor nu corespund fenomenelor disipative, ci transmiterii de energie de la cea mai mare la cea mai mică scară fără disipare. Astfel de scale sunt deci cruciale în studiul transportului de energie și impuls în spațiul numerelor de undă.

Deși este posibil să găsim câteva soluții particulare ale ecuațiilor Navier-Stokes care guvernează mișcarea fluidelor, toate aceste soluții sunt instabile pentru perturbații de amplitudine finită cu numere mari de Reynolds. Dependența sensibilă de condițiile inițiale și limită face ca fluxul fluidului să fie neregulat atât în timp, cât și în spațiu, astfel încât este necesară o descriere statistică. Matematicianul rus Andrei Kolmogorov a propus prima teorie statistică a turbulenței, bazată pe noțiunea menționată mai sus de cascadă de energie (o idee introdusă inițial calitativ de Richardson) și pe conceptul de auto-similitudine . De aici și numele microscopului Kolmogorov. Se știe că similitudinea de sine nu este exactă, deci această descriere statistică a fost schimbată din lucrarea originală a lui Kolmogorov. ^[5]

Trecerea la turbulență

Trecerea la regimul turbulent poate fi, într-o oarecare măsură, prezisă de valoarea numărului Reynolds , care cuantifică relația dintre forțele de inerție și forțele vâscoase într-un fluid supus unei mișcări relative în interiorul acestuia, datorită valorilor diferite A câmpului de viteză în diferite puncte, în ceea ce este cunoscut sub numele de strat limită în cazul unei suprafețe care delimitează fluidul. Pentru a contracara acest efect există vâscozitatea fluidului, care crește, inhibă progresiv turbulența, deoarece mai multă energie cinetică este disipată de un fluid mai vâscos. Numărul Reynolds cuantifică importanța relativă a acestor două tipuri de forțe pentru anumite tipuri de fluxuri și este o indicație dacă fluxul turbulent va fi observat într-o anumită configurație. ^[6]

Această abilitate de a prezice formarea fluxului turbulent este un instrument important de proiectare pentru echipamente precum sisteme de conducte sau aripi de aeronave, dar numărul Reynolds este, de asemenea, utilizat în scalarea problemelor de dinamică a fluidelor pentru a profita de similitudinea dinamică dintre două. de exemplu între un model de aeronavă și versiunea sa de dimensiuni complete. Această similitudine nu este întotdeauna liniară și aplicarea numerelor Reynolds în ambele situații ne permite să calculăm factorii corecți. Un flux în care energia cinetică este absorbită semnificativ datorită acțiunii vâscozității moleculare a fluidului are ca rezultat un regim de curgere laminară. Pentru aceasta, cantitatea adimensională a numărului Reynolds (Re) este utilizată ca ghid.

În concluzie:

regimul laminar apare la un număr redus de Reynolds, unde forțele vâscoase sunt dominante și se caracterizează printr-o mișcare fluidă regulată și constantă;
regimul turbulent apare la un număr mare de Reynolds și este dominat de forțe de inerție, care tind să producă vârtejuri și alte instabilități de curgere.

Numărul lui Reynolds este definit ca:

$\mathrm {Re} ={\frac {\rho UL}{\mu }}\,,$ ${\ displaystyle \ mathrm {Re} = {\ frac {\ rho UL} {\ mu}} \ ,,}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Re} = {\ frac {\ rho UL} {\ mu}} \ ,,}$

unde este:

ρ este densitatea fluidului (în SI kg / m $^{3}$ ${\ displaystyle ^ {3}}$ $^ {3}$ )
U este o viteză caracteristică a fluidului în raport cu un obiect de referință (m / s )
L este o scară caracteristică a lungimii debitului (m)
μ este vâscozitatea dinamică a fluidului ( Pa deci N s / m ² sau kg / (m s)).

În cazul debitelor incompresibile , termenii densității și vâscozității dinamice sunt de obicei înlocuiți cu raportul lor, adică vâscozitatea cinematică . Valoarea critică a numărului Reynolds depinde de tipul particular de flux (de multe ori este în mii) și depinde, de asemenea, de convenția cu care sunt alese scalele caracteristice.

Transportul impulsului și căldurii în turbulențe

Într-un flux turbulent, particulele de fluid prezintă mișcări transversale suplimentare care măresc rata de schimb de energie și impuls între ele, crescând astfel efectiv transferul de căldură și coeficienții de vâscozitate . Să presupunem că, pentru simplitate, avem un flux turbulent bidimensional și să putem localiza un punct specific în fluid în care să măsurăm viteza reală ${\textbf {v}}=(v_{x},v_{y})$ ${\ displaystyle {\ textbf {v}} = (v_ {x}, v_ {y})}$ ${\ displaystyle {\ textbf {v}} = (v_ {x}, v_ {y})}$ din fiecare particulă de fluid care a trecut prin acel punct la un moment dat. Veți găsi că debitul fluctuează în jurul valorii medii:

v_{x}=\underbrace {{\overline {v}}_{x}} _{\text{valore medio}}+\underbrace {v'_{x}} _{\text{fluttuazioni}}\quad {\text{e}}\quad v_{y}={\overline {v}}_{y}+v'_{y}\,;

{\ displaystyle v_ {x} = \ underbrace {{\ overline {v}} _ {x}} _ {\ text {valoare medie}} + \ underbrace {v '_ {x}} _ {\ text {fluctuații} } \ quad {\ text {e}} \ quad v_ {y} = {\ overline {v}} _ {y} + v '_ {y} \,;}

{\ displaystyle v_ {x} = \ underbrace {{\ overline {v}} _ {x}} _ {\ text {valoare medie}} + \ underbrace {v '_ {x}} _ {\ text {fluctuații} } \ quad {\ text {e}} \ quad v_ {y} = {\ overline {v}} _ {y} + v '_ {y} \,;}

și în mod similar pentru temperatură ( $T={\bar {T}}+T'$ ${\ displaystyle T = {\ bar {T}} + T '}$ ${\ displaystyle T = {\ bar {T}} + T '}$ ) și presiune ( $P={\bar {P}}+P'$ ${\ displaystyle P = {\ bar {P}} + P '}$ ${\ displaystyle P = {\ bar {P}} + P '}$ ), unde cantitățile cu indici denotă fluctuații suprapuse fluxului mediu. Această descompunere a unei variabile de flux într-o valoare medie și o fluctuație turbulentă a fost propusă inițial de Osborne Reynolds în 1895 și este considerată începutul analizei matematice sistematice a fluxurilor turbulente, ca o subdisciplină a dinamicii fluidelor . În timp ce valorile medii sunt luate ca variabile previzibile determinate de legi dinamice, fluctuațiile turbulente sunt considerate variabile stochastice. Această abordare este cea pe care se bazează ecuațiile medii Navier-Stokes (RANS), o aproximare a ecuațiilor exacte utilizate adesea în aplicații practice ale dinamicii fluidelor, în care sunt vizate doar cantități medii.

Fluxul de căldură și schimbul de impuls (reprezentat de tensiunea de forfecare τ ) în direcția normală de curgere într-un timp dat pot fi apoi exprimate ca:

{\begin{aligned}q&=\underbrace {v'_{y}\rho c_{P}T'} _{\text{valore sperimentale}}=-k_{\text{turb}}{\frac {\partial {\overline {T}}}{\partial y}}\,;\\\tau &=\underbrace {-\rho {\overline {v'_{y}v'_{x}}}} _{\text{valore sperimentale}}=\mu _{\text{turb}}{\frac {\partial {\overline {v}}_{x}}{\partial y}}\,;\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} q & = \ underbrace {v '_ {y} \ rho c_ {P} T'} _ {\ text {valoare experimentală}} = - k _ {\ text {turb}} {\ frac {\ partial {\ overline {T}}} {\ partial y}} \ ,; \\\ tau & = \ underbrace {- \ rho {\ overline {v '_ {y} v' _ {x }}}} _ {\ text {experimental value}} = \ mu _ {\ text {turb}} {\ frac {\ partial {\ overline {v}} _ {x}} {\ partial y}} \, ; \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} q & = \ underbrace {v '_ {y} \ rho c_ {P} T'} _ {\ text {valoare experimentală}} = - k _ {\ text {turb}} {\ frac {\ partial {\ overline {T}}} {\ partial y}} \ ,; \\\ tau & = \ underbrace {- \ rho {\ overline {v '_ {y} v' _ {x }}}} _ {\ text {experimental value}} = \ mu _ {\ text {turb}} {\ frac {\ partial {\ overline {v}} _ {x}} {\ partial y}} \, ; \ end {align}}}

unde este $c_{P}$ ${\ displaystyle c_ {P}}$ ${\ displaystyle c_ {P}}$ este capacitatea de căldură la presiune constantă, ρ este densitatea fluidului, $\mu _{turb}$ ${\ displaystyle \ mu _ {turb}}$ ${\ displaystyle \ mu _ {turb}}$ este coeficientul de vâscozitate turbulent e $k_{turb}$ ${\ displaystyle k_ {turb}}$ ${\ displaystyle k_ {turb}}$ este conductivitatea termică turbulentă. ^[7]

Teoria turbulenței Kolmogorov

Turbulence Experiment, Shanghai Science and Technology Museum .

Prima teorie formală a turbulenței a fost obținută printr-o abordare statistică de către AN Kolmogorov în 1941. Teoria lui Kolmogorov din 1941 (K41), prin ipoteze asupra naturii statistice și fizice a câmpurilor de viteză, este capabilă să descrie tendința energiei spectrului câmp de viteză.

În această elaborare, Kolmogorov a pornit de la conceptul de cascadă de energie , așa cum este descris de Richardson: ^[2] în mișcări turbulente, energia este transmisă fluidului în structuri vortex comparabile cu dimensiunea corpului în mișcare, de exemplu un ventilator transferați energie către „vârtejuri” comparabile ca mărime cu palele sale, sau aripa unui avion va produce „vârteje” pe scara secțiunii sale. În acest moment, aceste „vortexuri” la scară largă vor produce vortexuri din ce în ce mai mici, dând naștere fenomenului „cascadei de energie”; adică energia cinetică introdusă la cele mai mari scale nu se va transforma imediat în energie termică, ci va alimenta energia vortexurilor din ce în ce mai mici (interval de inerție) fără nici o disipare. Când dimensiunile structurilor vortexului sunt suficient de mici, energia cinetică va începe să fie disipată și va fi transformată în căldură (interval disipativ); scara caracteristică la care are loc disiparea energiei cinetice se numește scara Kolmogorov .

În teoria sa originală din 1941, Kolmogorov a postulat că pentru valori foarte mari ale numărului Reynolds (formal, în limita ${\text{Re}}$ ${\ displaystyle {\ text {Re}}}$ ${\ displaystyle {\ text {Re}}}$ infinit), mișcările turbulente la scară mică ar putea fi considerate statistic izotrope (adică nu s-ar putea distinge o direcție spațială preferențială). În general, scările majore ale unui flux nu sunt izotrope, deoarece sunt determinate de caracteristicile geometrice particulare ale muchiilor (dimensiunea care caracterizează scările mari va fi indicată cu $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ ). Ideea lui Kolmogorov a fost că, în cascada de energie a lui Richardson, această informație geometrică și direcțională se pierde pe scări mici, astfel încât comportamentul statistic al scărilor mici are un caracter universal: este același pentru toate fluxurile turbulente atunci când numărul Reynolds este suficient de înalt.

Mai mult, Kolmogorov a introdus o a doua ipoteză: pentru cifre foarte mari ale lui Reynolds, statisticile fenomenelor la scară mică sunt determinate universal și unic de vâscozitatea cinematică. $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ și rata disipării energiei $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ . Cu doar acești doi parametri, singura lungime care poate fi derivată folosind analiza dimensională este

$\eta =\left({\frac {\nu ^{3}}{\varepsilon }}\right)^{1/4}\,,$ ${\ displaystyle \ eta = \ left ({\ frac {\ nu ^ {3}} {\ varepsilon}} \ right) ^ {1/4} \ ,,}$ ${\ displaystyle \ eta = \ left ({\ frac {\ nu ^ {3}} {\ varepsilon}} \ right) ^ {1/4} \ ,,}$

cunoscută acum sub numele de lungimea Kolmogorov . Un flux turbulent este caracterizat printr-o ierarhie a scărilor prin care apare cascada de energie. Disiparea energiei cinetice are loc la scări de ordinul lungimii Kolmogorov $\eta$ ${\ displaystyle \ eta}$ $\vârstă$ , în timp ce injecția de energie în cascadă provine din decăderea unor scântei mari, comandă vârtejuri $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ . Aceste două scale la capetele cascadei pot diferi cu mai multe ordine de mărime la un număr mare de Reynolds. În mijloc este o gamă de scări (fiecare cu lungimea sa caracteristică $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ ) ale căror structuri se formează în detrimentul energiei celor mai mari. Aceste scale sunt mult mai mari decât lungimea Kolmogorov, dar încă foarte mici în comparație cu scara mare a debitului (adică $\eta \ll r\ll L$ ${\ displaystyle \ age \ ll r \ ll L}$ ${\ displaystyle \ age \ ll r \ ll L}$ ). Deoarece vârtejurile din acest interval sunt mult mai mari decât vârtejurile disipative care există la scara Kolmogorov, energia cinetică nu este substanțial disipată în acest interval și este pur și simplu transferată la scări mai mici (acest lucru este permis de neliniaritatea ecuațiilor Navier -Stokes ) până când, apropiindu-se de ordinea scării Kolmogorov, efectele vâscoase devin relevante. În acest interval, efectele inerțiale sunt încă mult mai mari decât efectele vâscoase și se poate presupune că vâscozitatea nu joacă un rol în dinamica lor internă (din acest motiv, acest interval este denumit „interval inerțial”).

O a treia ipoteză Kolmogorov a fost că, pentru o valoare a numărului Reynolds suficient de mare, comportamentul statistic al scalei în intervalul $\eta \ll r\ll L$ ${\ displaystyle \ age \ ll r \ ll L}$ ${\ displaystyle \ age \ ll r \ ll L}$ este determinată universal și unic de scară $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ și rata disipării energiei $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ .

Modul în care energia cinetică este distribuită pe întregul set de scale spațiale (și, indirect, temporale) este o caracterizare fundamentală a unui flux turbulent. În cazul turbulenței omotene (adică invariante statistic în ceea ce privește traducerile sistemului de referință) și izotrop, aceasta este de obicei cuantificată prin intermediul funcției spectrului energetic $E(k)$ ${\ displaystyle E (k)}$ ${\ displaystyle E (k)}$ , unde este $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este modulul vectorului de undă corespunzător anumitor armonici într-o reprezentare Fourier a câmpului de viteză ${\textbf {u}}({\textbf {x}})$ ${\ displaystyle {\ textbf {u}} ({\ textbf {x}})}$ ${\ displaystyle {\ textbf {u}} ({\ textbf {x}})}$ :

$\mathbf {u} (\mathbf {x} )=\iiint _{\mathbb {R} ^{3}}{\hat {\mathbf {u} }}(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k\cdot x} }\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {k} \,,$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} (\ mathbf {x}) = \ iiint _ {\ mathbb {R} ^ {3}} {\ hat {\ mathbf {u}}} (\ mathbf {k}) e ^ {i \ mathbf {k \ cdot x}} \, \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {k} \ ,,}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} (\ mathbf {x}) = \ iiint _ {\ mathbb {R} ^ {3}} {\ hat {\ mathbf {u}}} (\ mathbf {k}) e ^ {i \ mathbf {k \ cdot x}} \, \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {k} \ ,,}$

unde este ${\hat {\textbf {u}}}({\textbf {x}})$ ${\ displaystyle {\ hat {\ textbf {u}}} ({\ textbf {x}})}$ ${\hat {\textbf {u}}}({\textbf {x}})$ è la trasformata di Fourier spaziale del campo di velocità. Si avrà allora che $E(k)dk$ ${\displaystyle E(k)dk}$ $E(k)dk$ rappresenta il contributo all'energia cinetica fornito da tutti i modi di Fourier aventi $k<|{\textbf {k}}|<k+dk$ $k<|{\textbf {k}}|<k+dk$ $k<|{\textbf {k}}|<k+dk$ , e quindi:

${\tfrac {1}{2}}\left\langle u_{i}u_{i}\right\rangle =\int _{0}^{\infty }E(k)\,\mathrm {d} k\,,$ ${\tfrac {1}{2}}\left\langle u_{i}u_{i}\right\rangle =\int _{0}^{\infty }E(k)\,\mathrm {d} k\,,$ ${\tfrac {1}{2}}\left\langle u_{i}u_{i}\right\rangle =\int _{0}^{\infty }E(k)\,\mathrm {d} k\,,$

dove ${\tfrac {1}{2}}\left\langle u_{i}u_{i}\right\rangle$ ${\tfrac {1}{2}}\left\langle u_{i}u_{i}\right\rangle$ ${\tfrac {1}{2}}\left\langle u_{i}u_{i}\right\rangle$ è l'energia cinetica turbolenta media del flusso e il numero d'onda $k$ ${\displaystyle k}$ $k$ corrispondente alla scala $r$ ${\displaystyle r}$ $r$ è $k={\frac {2\pi }{r}}$ $k={\frac {2\pi }{r}}$ $k={\frac {2\pi }{r}}$ . Dall'analisi dimensionale, l'unica possibile forma dello spettro di energia, che obbedisca alla terza ipotesi di Kolmogorov, è:

$E(k)=K_{0}\varepsilon ^{\frac {2}{3}}k^{-{\frac {5}{3}}}\,,$ $E(k)=K_{0}\varepsilon ^{\frac {2}{3}}k^{-{\frac {5}{3}}}\,,$ $E(k)=K_{0}\varepsilon ^{\frac {2}{3}}k^{-{\frac {5}{3}}}\,,$

dove $K_{0}\approx 1.44$ $K_{0}\approx 1.44$ $K_{0}\approx 1.44$ dovrebbe essere una costante universale. Questo è uno dei risultati più famosi della teoria di Kolmogorov del 1941, e nel corso degli anni si sono accumulate considerevoli prove sperimentali in suo supporto. ^[5] Al di fuori dell'intervallo inerziale si trova la formula ^[8] :

$E(k)=K_{0}\varepsilon ^{\frac {2}{3}}k^{-{\frac {5}{3}}}\exp \left[-{\frac {3K_{0}}{2}}\left({\frac {\nu ^{3}k^{4}}{\varepsilon }}\right)^{\frac {1}{3}}\right]\,.$ $E(k)=K_{0}\varepsilon ^{\frac {2}{3}}k^{-{\frac {5}{3}}}\exp \left[-{\frac {3K_{0}}{2}}\left({\frac {\nu ^{3}k^{4}}{\varepsilon }}\right)^{\frac {1}{3}}\right]\,.$ $E(k)=K_{0}\varepsilon ^{\frac {2}{3}}k^{-{\frac {5}{3}}}\exp \left[-{\frac {3K_{0}}{2}}\left({\frac {\nu ^{3}k^{4}}{\varepsilon }}\right)^{\frac {1}{3}}\right]\,.$

Spettro dell'energia cinetica in presenza della cascata diretta

Nonostante questi successi, la teoria di Kolmogorov necessita di correzioni. Questa teoria presuppone implicitamente che la turbolenza sia statisticamente dotata di auto similarità su scale diverse. Ciò significa essenzialmente che le statistiche devono essere invarianti di scala all'interno dell'intervallo inerziale. Un modo usuale di studiare il campo di velocità di un flusso turbolento è considerando le differenze di velocità nello spazio, a distanza $r$ ${\displaystyle r}$ $r$ (poiché la turbolenza è assunta isotropa, l'incremento della velocità del flusso dipende solo dal modulo del vettore di separazione):

$\delta \mathbf {u} (r)=\mathbf {u} (\mathbf {x} +\mathbf {r} )-\mathbf {u} (\mathbf {x} )\,.$ $\delta \mathbf {u} (r)=\mathbf {u} (\mathbf {x} +\mathbf {r} )-\mathbf {u} (\mathbf {x} )\,.$ $\delta \mathbf {u} (r)=\mathbf {u} (\mathbf {x} +\mathbf {r} )-\mathbf {u} (\mathbf {x} )\,.$

Gli incrementi di velocità del flusso sono utili perché enfatizzano gli effetti delle scale dell'ordine di separazione $r$ ${\displaystyle r}$ $r$ quando nel calcolo delle proprietà statistiche. L'invarianza di scala statistica implica che il riscalamento degli incrementi di velocità del flusso dovrebbe avvenire con un esponente di scala unico $\beta$ $\beta$ $\beta$ , in modo che quando $r$ ${\displaystyle r}$ $r$ è scalato da un fattore $\lambda$ $\lambda$ $\lambda$ , la grandezza

$\delta \mathbf {u} (\lambda r)$ $\delta \mathbf {u} (\lambda r)$ $\delta \mathbf {u} (\lambda r)$

dovrebbe avere la stessa distribuzione statistica di

$\lambda ^{\beta }\delta \mathbf {u} (r)\,,$ $\lambda ^{\beta }\delta \mathbf {u} (r)\,,$ $\lambda ^{\beta }\delta \mathbf {u} (r)\,,$

con $\beta$ $\beta$ $\beta$ indipendente da $r$ ${\displaystyle r}$ $r$ . Da questo fatto e da altri risultati della teoria di Kolmogorov del 1941, ne consegue che i momenti degli incrementi di velocità (noti come funzioni di struttura in turbolenza) dovrebbero scalare come:

${\Big \langle }{\big (}\delta \mathbf {u} (r){\big )}^{n}{\Big \rangle }=C_{n}(\varepsilon r)^{\frac {n}{3}}\,,$ ${\Big \langle }{\big (}\delta \mathbf {u} (r){\big )}^{n}{\Big \rangle }=C_{n}(\varepsilon r)^{\frac {n}{3}}\,,$ ${\Big \langle }{\big (}\delta \mathbf {u} (r){\big )}^{n}{\Big \rangle }=C_{n}(\varepsilon r)^{\frac {n}{3}}\,,$

dove le parentesi denotano la media statistica, e le $C_{n}$ $C_{n}$ $C_n$ dovrebbero essere delle costanti universali.

Ciò risulta sperimentalmente (e numericamente ) verificato per $n=3$ ${\displaystyle n=3}$ $n=3$ , dove la teoria prevede inoltre $C_{3}=-4/5$ $C_{3}=-4/5$ $C_{3}=-4/5$ . Vi sono però numerose indicazioni che, per $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ generico, i flussi turbolenti si allontanino da questa previsione. Gli esponenti di scaling deviano dal valore $n/3$ ${\displaystyle n/3}$ $n/3$ previsto dalla teoria, diventano una funzione non lineare dell'ordine $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ della funzione di struttura. Anche l'universalità delle costanti $C_{n}$ $C_{n}$ $C_n$ è stata messa in discussione. Per valori piccoli di $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ la discrepanza rispetto alla previsione $n/3$ ${\displaystyle n/3}$ $n/3$ di Kolmogorov è molto piccola, per cui la teoria è in grado di predire con successo il comportamento dei momenti di ordine basso. In particolare, si può dimostrare che, se lo spettro di energia segue una legge di potenza del tipo

$E(k)\propto k^{-p}\,,$ $E(k)\propto k^{-p}\,,$ $E(k)\propto k^{-p}\,,$

con ${\displaystyle 1<semantics><mrow class=$ ${\displaystyle 1<p<3}$ $1<p<3$ , anche la funzione di struttura del second'ordine seguirà una legge di potenza, della forma:

${\Big \langle }{\big (}\delta \mathbf {u} (r){\big )}^{2}{\Big \rangle }\propto r^{p-1}\,.$ ${\Big \langle }{\big (}\delta \mathbf {u} (r){\big )}^{2}{\Big \rangle }\propto r^{p-1}\,.$ ${\Big \langle }{\big (}\delta \mathbf {u} (r){\big )}^{2}{\Big \rangle }\propto r^{p-1}\,.$ ${\Big \langle }{\big (}\delta \mathbf {u} (r){\big )}^{2}{\Big \rangle }\propto r^{p-1}\,,$ ${\Big \langle }{\big (}\delta \mathbf {u} (r){\big )}^{2}{\Big \rangle }\propto r^{p-1}\,,$ ${\Big \langle }{\big (}\delta \mathbf {u} (r){\big )}^{2}{\Big \rangle }\propto r^{p-1}\,,$

Poiché i valori sperimentali (e numerici) per l'ordine 2 deviano solo di poco dalla previsione di Kolmogorov pari a $2/3$ ${\displaystyle 2/3}$ $2/3$ , il valore di $p$ ${\displaystyle p}$ $p$ è molto vicino a $5/3$ ${\displaystyle 5/3}$ $5/3$ (le differenza sono dell'ordine del 2% ^[9] ). Ciò significa che il cosiddetto "spettro di Kolmogorov alla $5/3$ ${\displaystyle 5/3}$ $5/3$ " è solitamente osservato nei flussi turbolenti. Tuttavia, per le funzioni di struttura di ordine superiore, la differenza con lo scaling di Kolmogorov è significativa e la rottura dell' auto similarità statistica è evidente. Questo comportamento, e la mancanza di universalità delle costanti $C_{n}$ $C_{n}$ $C_n$ , sono legati al fenomeno dell' intermittenza in turbolenza. Essa è un'importante area di ricerca in questo campo e uno degli obiettivi principali della moderna teoria della turbolenza è capire cosa sia veramente universale nell'intervallo inerziale.

Turbolenza bidimensionale

Un fenomeno strettamente collegato a quello della turbolenza tridimensionale standard è quello della cosiddetta turbolenza bidimensionale. Si tratta di un regime caotico che si osserva nel caso in cui il moto del fluido avvenga in sole due dimensioni: anche se il caso perfettamente bidimensionale può esistere solo sulla carta, il moto nella terza dimensione spaziale può risultare soppresso a causa di anisotropie geometriche, o forze di vario tipo che agiscono sul sistema.

Spettro di energia nel regime di doppia cascata

La fenomenologia dei moti turbolenti bidimensionali si distingue per un motivo fondamentale: nell' equazione della vorticità in due dimensioni il termine di vortex stretching è identicamente nullo (perché i vettori del campo di velocità e di vorticità sono perpendicolari in ogni punto). Questo si traduce nel fatto che, nel cosiddetto intervallo inerziale, oltre all' energia cinetica sia conservata anche un'altra quantità quadratica (quindi sempre positiva): la vorticità quadratica media, detta enstrofia . ^[4] Ciò porta all'instaurarsi della doppia cascata : continuerà ad osservarsi la cascata di energia , ma in direzione opposta rispetto al caso tridimensionale (ossia verso i numeri d'onda più piccoli, e quindi le scale spaziali più grandi), detta per questo motivo cascata inversa, a cui si aggiunge una cascata diretta di enstrofia verso le piccole scale. ^[5] Tale fenomeno fu descritto per la prima volta da Robert H. Kraichnan nel 1967. ^[10]

La doppia cascata implica uno spettro di energia più complicato rispetto al caso tridimensionale: sui piccoli numeri d'onda (regime di cascata inversa di energia) si osserva sempre uno spettro alla Kolmogorov $E(k)\propto k^{-5/3}$ $E(k)\propto k^{-5/3}$ $E(k)\propto k^{-5/3}$ , mentre sui grandi numeri d'onda (regime di cascata diretta di enstrofia) si ha $E(k)\propto k^{-3}$ $E(k)\propto k^{-3}$ $E(k)\propto k^{-3}$ . ^[11] La turbolenza bidimensionale è, in un certo senso, più regolare di quella tridimensionale: nel regime di cascata inversa infatti non si osserva il fenomeno dell'intermittenza, per cui l'ipotesi di invarianza di scala è valida, e, sfruttando l' evoluzione di Schramm-Loewner , sono stati osservati addirittura indizi di invarianza conforme . ^[12]

Estensioni del concetto di turbolenza

Col passare del tempo, i fisici hanno iniziato a usare il termine turbolenza per riferirsi a numerosi fenomeni correlati a quello della turbolenza fluida in senso stretto. Una prima estensione è quella della turbolenza magnetoidrodinamica , che si verifica nei fluidi elettricamente conduttori, come i plasmi . In questo caso, oltre agli effetti tipici dei fluidi ordinari (come forze inerziali, viscosità o gravità ) si deve tener conto anche dei campi elettrici e magnetici , per cui la loro dinamica non sarà descritta dalle equazioni di Navier-Stokes, ma da quelle della magnetoidrodinamica (MHD). ^[13] I fenomeni di turbolenza MHD assumono grande importanza in astrofisica (ad esempio nella dinamica delle atmosfere stellari o dei dischi di accrescimento ), o nella progettazione dei reattori a fusione nucleare .

Vortici in un superfluido , tratti da una simulazione numerica di turbolenza quantistica.

In fisica della materia condensata si osserva la turbolenza quantistica dei superfluidi . Si tratta di un fenomeno che si verifica a temperature prossime allo zero assoluto in fluidi come l' elio-4 , e che si distingue dalla turbolenza usuale per numerosi aspetti, come l'assenza completa di viscosità, o il fatto che la circolazione associata a un vortice non sia più una quantità continua, ma quantizzata. ^[14] I vortici quantistici che si osservano nei superfluidi sono molto simili a quelli del campo magnetico che si verificano nei superconduttori . Il fatto che i superfluidi potessero dar luogo a un moto turbolento fu previsto per la prima volta da Richard Feynman nel 1955. ^[15]

Un fenomeno diverso è quello della turbolenza elastica , osservata per la prima volta nel 2000. ^[16] Si scoprì che soluzioni polimeriche potessero dar luogo a flussi caotici anche in situazioni in cui ci aspetterebbe un flusso laminare (ad esempio per valori bassi del numero di Reynolds), ea tale regime fu dato il nome di turbolenza elastica, in quanto tali flussi presentano somiglianze con quelli turbolenti veri e propri, come uno spettro dell'energia cinetica che segue una legge di potenza , o un aumento notevole della diffusività . ^[17] Poiché le equazioni che descrivono tali soluzioni possono, in certi limiti, essere riscritte in una forma analoga a quelle della magnetoidrodinamica, è possibile osservare fenomeni analoghi a quelli nei plasmi, come le " onde di Alfven elastiche". ^[18]

Un'estensione più generalizzata del concetto di turbolenza è quello di turbolenza d'onda , in cui un sistema fisico lontano dall'equilibrio dà luogo a un insieme di onde non lineari che interagiscono fra di loro in modo caotico, con l'insorgenza di fenomeni analoghi a quelli della turbolenza fluida, come la cascata di energia. ^[19] Tale fenomeno si può osservare in fluidodinamica (ad esempio nelle onde marine ), ma anche nei plasmi, in ottica non lineare o nelle onde gravitazionali , ossia in generale in tutti i mezzi dotati di relazione di dispersione non lineare.

Note

^ ( EN ) Eric Kunze, John F. Dower e Ian Beveridge,Observations of Biologically Generated Turbulence in a Coastal Inlet , in Science , vol. 313, n. 5794, 22 settembre 2006, pp. 1768-1770, DOI : 10.1126/science.1129378 . URL consultato il 10 dicembre 2020 .
^ ^a ^b Richardson, LF, Weather prediction by numerical process , Cambridge University Press, 1922.
^ Ferziger, Joel H.; Peric, Milovan (2002). Computational Methods for Fluid Dynamics . Germany: Springer-Verlag Berlin Heidelberg. pp. 265–307. ISBN 978-3-642-56026-2 .
^ ^a ^b ^c Kundu, Pijush K.; Cohen, Ira M.; Dowling, David R. (2012). Fluid Mechanics . Netherlands: Elsevier Inc. pp. 537–601. ISBN 978-0-12-382100-3 .
^ ^a ^b ^c ^d U. Frisch , Turbulence: The Legacy of AN Kolmogorov , Cambridge University Press, 1995, ISBN 978-0-521-45713-2 .
^ G. Falkovich, Fluid Mechanics , Cambridge University Press, 2011, ISBN 9780511794353 .
^ H. Tennekes e JL Lumley, A First Course in Turbulence , MIT Press , 1972.
^ Leslie, DC, Developments in the theory of turbulence , Oxford, Clarendon Press, 1973.
^ Mathieu, J. e Scott, J., An Introduction to Turbulent Flow. , Cambridge University Press, 2000.
^ Robert H. Kraichnan, Inertial Ranges in Two‐Dimensional Turbulence , in The Physics of Fluids , vol. 10, n. 7, 1º luglio 1967, pp. 1417-1423, DOI : 10.1063/1.1762301 . URL consultato il 28 dicembre 2020 .
^ ( EN ) Guido Boffetta e Robert E. Ecke, Two-Dimensional Turbulence , in Annual Review of Fluid Mechanics , vol. 44, n. 1, 21 gennaio 2012, pp. 427-451, DOI : 10.1146/annurev-fluid-120710-101240 . URL consultato il 28 dicembre 2020 .
^ ( EN ) D. Bernard, G. Boffetta, A. Celani, Falkovich G., Conformal invariance in two-dimensional turbulence , in Nature Physics , vol. 2, n. 2, 2006-02, pp. 124-128, DOI : 10.1038/nphys217 . URL consultato il 28 dicembre 2020 .
^ D. Biskamp, Magnetohydrodynamical Turbulence , Cambridge University Press, 2003.
^ ( EN ) L Skrbek, Quantum turbulence , in Journal of Physics: Conference Series , vol. 318, n. 1, 22 dicembre 2011, p. 012004, DOI : 10.1088/1742-6596/318/1/012004 . URL consultato il 30 dicembre 2020 .
^ RP Feynman, Application of quantum mechanics to liquid helium , in II. Progress in Low Temperature Physics , vol. 1, Amsterdam, North-Holland Publishing Company, 1955.
^ ( EN ) A. Groisman e V. Steinberg, Elastic turbulence in a polymer solution flow , in Nature , vol. 405, n. 6782, 2000-05, pp. 53-55, DOI : 10.1038/35011019 . URL consultato il 30 dicembre 2020 .
^ ( EN ) Victor Steinberg, Elastic Turbulence: An Experimental View on Inertialess Random Flow , in Annual Review of Fluid Mechanics , vol. 53, n. 1, 5 gennaio 2021, pp. annurev–fluid–010719-060129, DOI : 10.1146/annurev-fluid-010719-060129 . URL consultato il 30 dicembre 2020 .
^ ( EN ) Atul Varshney e Victor Steinberg, Elastic Alfven waves in elastic turbulence , in Nature Communications , vol. 10, n. 1, 8 febbraio 2019, p. 652, DOI : 10.1038/s41467-019-08551-0 . URL consultato il 30 dicembre 2020 .
^ VE Zakharov , VS Lvov e GE Falkovich, Kolmogorov Spectra of Turbulence I – Wave Turbulence , Berlin, Springer-Verlag , 1992, ISBN 3-540-54533-6 .

Voci correlate

Altri progetti

Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su turbolenza

Collegamenti esterni

( EN ) Regime turbolento , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
Center for Turbulence Research , Stanford University
Scientific American article , su turb.seas.ucla.edu . URL consultato il 21 novembre 2008 (archiviato dall' url originale il 13 maggio 2008) .
Air Turbulence Forecast , su turbulenceforecast.com .
International database , su cfd.cineca.it . URL consultato il 24 febbraio 2008 (archiviato dall' url originale il 1º febbraio 2008) .
Fluid Turbulence and Mixing at High Reynolds Number ( PDF ), su nersc.gov . URL consultato il 29 dicembre 2008 (archiviato dall' url originale il 17 gennaio 2009) .
Foto commentate sulla turbolenza ( PDF ), su bakker.org .

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 47232 · LCCN ( EN ) sh85138753 · GND ( DE ) 4117265-6 · BNF ( FR ) cb11933719j (data) · NDL ( EN , JA ) 00569287

Portale Fisica

Portale Ingegneria

Portale Scienza e tecnica

[1] ( EN ) Eric Kunze, John F. Dower e Ian Beveridge,Observations of Biologically Generated Turbulence in a Coastal Inlet , in Science , vol. 313, n. 5794, 22 settembre 2006, pp. 1768-1770, DOI : 10.1126/science.1129378 . URL consultato il 10 dicembre 2020 .

[:1-2] Richardson, LF, Weather prediction by numerical process , Cambridge University Press, 1922.

[3] Ferziger, Joel H.; Peric, Milovan (2002). Computational Methods for Fluid Dynamics . Germany: Springer-Verlag Berlin Heidelberg. pp. 265–307. ISBN 978-3-642-56026-2 .

[Kundu,_Pijush_K._2012_pp._537-4] Kundu, Pijush K.; Cohen, Ira M.; Dowling, David R. (2012). Fluid Mechanics . Netherlands: Elsevier Inc. pp. 537–601. ISBN 978-0-12-382100-3 .

[:0-5] U. Frisch , Turbulence: The Legacy of AN Kolmogorov , Cambridge University Press, 1995, ISBN 978-0-521-45713-2 .

[6] G. Falkovich, Fluid Mechanics , Cambridge University Press, 2011, ISBN 9780511794353 .

[tennekes-7] H. Tennekes e JL Lumley, A First Course in Turbulence , MIT Press , 1972.

[8] Leslie, DC, Developments in the theory of turbulence , Oxford, Clarendon Press, 1973.

[9] Mathieu, J. e Scott, J., An Introduction to Turbulent Flow. , Cambridge University Press, 2000.

[10] Robert H. Kraichnan, Inertial Ranges in Two‐Dimensional Turbulence , in The Physics of Fluids , vol. 10, n. 7, 1º luglio 1967, pp. 1417-1423, DOI : 10.1063/1.1762301 . URL consultato il 28 dicembre 2020 .

[11] ( EN ) Guido Boffetta e Robert E. Ecke, Two-Dimensional Turbulence , in Annual Review of Fluid Mechanics , vol. 44, n. 1, 21 gennaio 2012, pp. 427-451, DOI : 10.1146/annurev-fluid-120710-101240 . URL consultato il 28 dicembre 2020 .

[12] ( EN ) D. Bernard, G. Boffetta, A. Celani, Falkovich G., Conformal invariance in two-dimensional turbulence , in Nature Physics , vol. 2, n. 2, 2006-02, pp. 124-128, DOI : 10.1038/nphys217 . URL consultato il 28 dicembre 2020 .

[13] D. Biskamp, Magnetohydrodynamical Turbulence , Cambridge University Press, 2003.

[14] ( EN ) L Skrbek, Quantum turbulence , in Journal of Physics: Conference Series , vol. 318, n. 1, 22 dicembre 2011, p. 012004, DOI : 10.1088/1742-6596/318/1/012004 . URL consultato il 30 dicembre 2020 .

[15] RP Feynman, Application of quantum mechanics to liquid helium , in II. Progress in Low Temperature Physics , vol. 1, Amsterdam, North-Holland Publishing Company, 1955.

[16] ( EN ) A. Groisman e V. Steinberg, Elastic turbulence in a polymer solution flow , in Nature , vol. 405, n. 6782, 2000-05, pp. 53-55, DOI : 10.1038/35011019 . URL consultato il 30 dicembre 2020 .

[17] ( EN ) Victor Steinberg, Elastic Turbulence: An Experimental View on Inertialess Random Flow , in Annual Review of Fluid Mechanics , vol. 53, n. 1, 5 gennaio 2021, pp. annurev–fluid–010719-060129, DOI : 10.1146/annurev-fluid-010719-060129 . URL consultato il 30 dicembre 2020 .

[18] ( EN ) Atul Varshney e Victor Steinberg, Elastic Alfven waves in elastic turbulence , in Nature Communications , vol. 10, n. 1, 8 febbraio 2019, p. 652, DOI : 10.1038/s41467-019-08551-0 . URL consultato il 30 dicembre 2020 .

[19] VE Zakharov , VS Lvov e GE Falkovich, Kolmogorov Spectra of Turbulence I – Wave Turbulence , Berlin, Springer-Verlag , 1992, ISBN 3-540-54533-6 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]