Ultima teoremă a lui Fermat

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

Ultima teoremă a lui Fermat , sau mai corect ultima conjectură a lui Fermat , deoarece nu a fost dovedită în acel moment, afirmă că nu există soluții întregi pozitive ale ecuației :

de sine .

Ediția 1670 din „Arithmetica lui Diophantus din Alexandria include un comentariu de Fermat pe margine, în latină, care expune teorema (Observatio Domini Petri de Fermat).

Istorie

Pierre de Fermat a formulat declarația în 1637, dar nu a dezvăluit dovada pe care pretindea că a găsit-o. În marginea unui exemplar din Arithmetica din Alexandria a lui Diofant , pe care obișnuia să formuleze multe dintre teoriile sale, el a scris:

„Am o dovadă minunată a acestei teoreme, care nu se încadrează în marginea îngustă a paginii.”

De-a lungul secolelor, diverși matematicieni au încercat să demonstreze conjectura lui Fermat. Între acestea:

  1. Euler , care în secolul al XVIII-lea a dovedit-o numai pentru ,
  2. Adrien-Marie Legendre , care a soluționat cazul ,
  3. Sophie Germain care, lucrând la teoremă, a descoperit că probabil este adevărat pentru egal cu un anumit număr prim , astfel încât fii și tu primul: primul lui Sophie Germain .

Abia în 1994, după șapte ani de dedicare totală la problemă și o „falsă alarmă” în 1993, Andrew Wiles , fascinat de teorema pe care a visat să o rezolve încă din copilărie, a reușit în cele din urmă să dea o dovadă. De atunci ultima teoremă a lui Fermat poate fi numită teorema Fermat-Wiles . Wiles a folosit elemente de matematică și algebră moderne pe care Fermat nu le-a putut cunoaște; prin urmare, dovada lui Fermat, presupunând că este corectă, a fost diferită.

Wiles a publicat The Solution în 1995 și pe 27 iunie 1997 a primit Premiul Wolfskehl , o subvenție de 50.000 $ .

În 2016 Academia Norvegiană de Științe și Litere i-a acordat lui Sir Andrew J. Wiles Premiul Abel „pentru demonstrația sa splendidă a ultimei teoreme a lui Fermat (...), care deschide o nouă eră în teoria numerelor”.

Contextul matematic

Ultima teoremă a lui Fermat este o generalizare a ecuației diofantine . Deja grecii și babilonienii știau că are soluții întregi, precum (intr-adevar ) sau . Ele sunt cunoscute sub numele de tripluri pitagorice și sunt infinite, excluzând chiar soluțiile banale pentru care , Și au un divizor comun și acelea, chiar mai banale, în care cel puțin unul dintre numere este zero.

Conform ultimei teoreme a lui Fermat, nu există soluții întregi pozitive dacă exponentul este un întreg mai mare de 2. Teorema în sine nu se pretează la nicio aplicație, adică nu a fost folosită pentru a demonstra alte teoreme, dar este cunoscută pentru corelația sa cu argumente matematice care aparent nu au nimic de-a face cu teoria numerelor. Căutarea unei dovezi a favorizat dezvoltarea unor domenii importante ale matematicii.

Originile

Teorema trebuie demonstrată numai pentru și pentru orice eventualitate este un număr prim . De fapt, dacă s-ar găsi o soluție , o soluție ar fi disponibilă imediat .

Fermat a demonstrat cazul într-o altă lucrare a sa sau, mai exact, că nu există triplu cu două câte două elemente coprimă astfel încât : evident, dacă nu există ridicat la pătrat nu poate fi unul ridicat la al patrulea. Pentru demonstrație a folosit tehnica „ descendenței infinite ”. De-a lungul anilor, teorema a fost dovedită pentru diferiți exponenți specifici , dar nu în general. Euler a dovedit-o pentru , Dirichlet și Legendre pentru în 1825, Gabriel Lamé pentru în 1839.

În 1983 Gerd Faltings a dovedit conjectura lui Mordell : pentru fiecare există cel mult un număr finit de coprimi întregi , Și cu .

Demonstrația

Folosind instrumente sofisticate de geometrie algebrică (în special teoria schemelor ), a teoriei lui Galois (și în special a reprezentărilor lui Galois ), a teoriei curbelor eliptice și a formelor modulare (și în special a proprietăților lui Hecke algebra ), Andrew Wiles de la Universitatea Princeton , cu ajutorul primului său student Richard Taylor , a dat o dovadă a teoremei, publicată în 1995 în Annals of Mathematics .

În 1986, Ken Ribet a dovedit conjectura epsilon a lui Gerhard Frey pentru care orice contraexemplu Ultima teoremă a lui Fermat ar fi produs o curbă eliptică definită ca

care la rândul său ar oferi un contraexemplu conjecturii Taniyama-Shimura , care leagă curbe eliptice și forme modulare. Wiles s-a dovedit un caz special în acest sens, demonstrând că această presupunere nu poate avea contraexemple de acest fel și dovedind astfel teorema lui Fermat.

Wiles a fost nevoie de șapte ani pentru a rezolva cele mai multe detalii, singur și în secret, cu excepția recenziei finale, în care Nicholas Katz , un coleg de la Princeton, l-a ajutat. Wiles a anunțat demonstrația în trei prelegeri la Universitatea Cambridge din 21-23 iunie 1993, care au uimit de numărul mare de idei și tehnici utilizate. După un control, însă, a fost descoperită o eroare gravă, care părea să ducă la retragerea dovezii.

Wiles a petrecut aproximativ un an examinând dovada, inclusiv cu ajutorul lui Taylor, iar în septembrie 1994 a publicat ultima versiune corectată, împărțită în două articole. Prima, mai plină de corp, conține majoritatea ideilor folosite și se bazează pe o abordare care este parțial diferită de cea a primei demonstrații, reintroducând ideile aruncate anterior; al doilea, scris cu Taylor, conține un rezultat tehnic necesar pentru a încheia dovada.

Instrumentele matematice folosite de Wiles și Taylor erau necunoscute pe vremea lui Fermat; de aceea rămân misterul și îndoiala cu privire la ce dovadă ar fi putut să ofere.

Chiar a dat Fermat o dovadă?

Citatul latin a spus:

( LA )

"Cubum autem in duos cubos, aut quadratum in duos quadratos et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstration mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet. "

( IT )

„Este imposibil să separi un cub în două cuburi sau o a patra putere în două a patra puteri sau, în general, toate puterile mai mari de 2 ca suma aceleiași puteri. Am o minunată dovadă a acestei teoreme, care nu poate fi conținută în marginea prea îngustă a paginii "

( Pierre de Fermat )

Există îndoieli cu privire la afirmația lui Fermat că a găsit o dovadă cu adevărat importantă și corectă. Dovada lui Wiles , aproximativ 200 de pagini în prima formulare, redusă la 130 în forma finală, este considerată dincolo de înțelegerea majorității matematicienilor de astăzi. De multe ori prima dovadă a teoremei nu este cea mai directă; Prin urmare, este posibil să existe unul mai sintetic și mai elementar, dar nu este probabil ca cel al lui Wiles să poată fi simplificat până la punctul de a fi exprimabil cu instrumentele pe care le avea Fermat. Metodele folosite de Wiles erau de fapt necunoscute la acea vreme și este puțin probabil ca Fermat să fi putut obține toată matematica necesară pentru a dovedi o soluție. Însuși Wiles a spus: " este imposibil; aceasta este o demonstrație a secolului al XX-lea ".

Prin urmare, fie există o dovadă mai simplă, până acum nu a fost găsită, fie, mai probabil, Fermat a greșit. Acesta este motivul pentru care sunt interesante diferite dovezi, incorecte, dar la prima vedere plauzibile, care erau la îndemâna sa. Cea mai cunoscută se bazează pe ipoteza eronată că unicitatea factorizării prime deține în toate inelele elementelor integrale ale câmpurilor de pe numerele algebrice ( Domeniu cu factorizare și factorizare unice ). Această explicație a fost considerată acceptabilă de mulți experți în teoria numerelor , iar unii dintre marii matematicieni de mai târziu care au lucrat la problema de-a lungul acestei căi au crezut, de asemenea, că au dovedit teorema, doar pentru a admite că au eșuat.

Faptul că Fermat nu a publicat niciodată și nici nu a comunicat unui prieten sau coleg, nici măcar o declarație cu privire la probabilitatea teoremei, așa cum făcea de obicei pentru soluțiile de care era sigur, este un indiciu al unei posibile regândiri, datorită descoperirea târzie a unei erori. În plus, el a publicat ulterior o dovadă a cazului special (sau ); dacă ar crede cu adevărat că are dovada completă, nu ar fi publicat o lucrare parțială, semn că cercetarea pentru el nu a fost nici satisfăcătoare, nici finalizată. Același lucru se poate spune despre matematicienii care au dovedit ulterior teorema pentru numerele unice: aceștia au fost pași semnificativi, dar nu decisivi înainte, deoarece numerele sunt infinite. Ceea ce se cerea era o procedură care să permită generalizarea probei.

Influența culturală

  • Povestea lui Arthur Porges The Devil and Simon Flagg ( The Devil and Simon Flagg , 1954) îl vede pe protagonist, un matematician, încheind un pact cu diavolul pentru a ști dacă teorema este adevărată sau falsă; diavolul nu poate găsi soluția în termen de 24 de ore, dar este pasionat de problemă.
  • În romanul Fata care s-a jucat cu focul , de Stieg Larsson , protagonistul Lisbeth Salander abordează problema și simte o soluție (simplă, aproape banală) în timp ce traversează un spațiu deschis pentru a se ascunde. Dar o uită după ce a fost împușcat în cap.
  • În romanul Un bărbat de Oriana Fallaci , protagonistul Alekos Panagulis , în anii de izolare în închisoare, ajunge la soluția teoremei lui Fermat, dar nefiind acordat stilou și hârtie, este incapabil să-și repare raționamentul și îl pierde pentru totdeauna.
  • În romanul lui Denis Guedj Teorema papagalului , bătrânul matematician Grosrouvre trimite o scrisoare vechiului său prieten Pierre Ruche susținând că a dovedit două presupuneri: Ultima teoremă a lui Fermat și Conjectura lui Goldbach , chiar dacă a vrut să păstreze secretele dovezilor.
  • În episodul Hotel Royale din Star Trek: generația următoare , căpitanul Jean-Luc Picard , vorbind cu comandantul William Riker, povestește despre teorema lui Fermat, despre cum de 800 de ani oamenii au încercat în zadar să o rezolve și cum, în ciuda întregii civilizații , tehnologie și progres, nu au reușit încă să rezolve o ecuație atât de simplă. Episodul a fost difuzat în 1989, cu câțiva ani înainte ca teorema să fie rezolvată. Teorema este menționată pentru a doua oară în Journeys into Memory , un episod dinStar Trek - Deep Space Nine , când se dezvăluie că și Tobin Dax a încercat să o rezolve și că Jadzia Dax ar fi promis că va căuta întotdeauna soluții originale pentru fiecare problemă.
  • În numărul 28 al numărului special de vară al seriei de benzi desenate Martin Mystère a editurii Bonelli , Imagined Numbers (iulie 2011), [1] spune cum s-a născut și apoi a evoluat povestea teoremei. Povestea este a lui Alfredo Castelli și poate fi găsită în micul registru atașat registrului principal.
  • În filmul din 2000 Evil , problema pe care Elizabeth Hurley , diavolul, o arată clasa este o aplicație a ultimei teoreme a lui Fermat, despre care mulți cărturari obișnuiau să spună că își vor vinde sufletele diavolului pentru a o rezolva.
  • În filmul Oxford Murders - Teorema unei crime , Teorema lui Bormat este de fapt ultima teoremă a lui Fermat.
  • În eseul The Library Total 1939 Sur, Jorge Luis Borges raportează că Biblioteca, fiind totală, conține dovada teoremei lui Fermat.

Notă

Bibliografie

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Controlul autorității Tezaur BNCF 40264 · LCCN (EN) sh85047828 · GND (DE) 4154012-8 · BNF (FR) cb12103508g (dată)
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică