Cucui

Aparat pentru studierea coliziunilor elastice și inelastice (secolul al XVIII-lea, Museo Galileo din Florența).

Efectele inelasticității coliziunii dintre HMS Hawke și RMS Olympic în 1911

Coliziunea este termenul fizic care identifică coliziunea a două corpuri care se ciocnesc.

O interpretare mai corectă este oferită de mecanica continuumului : corpurile sunt înzestrate cuelasticitate și intervalul de timp în care aceste obiecte sunt în contact constă dintr-o perioadă de compresie , în care are loc o deformare adesea imperceptibilă și dintr-o perioadă de revenire în care forma revine la starea inițială.

Clasa coliziunilor normale cu două corpuri este inițial luată în considerare, adică cele în care direcția de mișcare apare de-a lungul normalului comun pentru punctul de contact atât înainte, cât și după coliziune ca mișcare unidimensională, și ulterior studiul coliziunilor oblic. cu n> 2 corpuri în dimensiuni d> 1.

Regula lui Newton

Pentru o coliziune normală, viteza relativă a corpurilor după coliziune este proporțională cu cea dinaintea coliziunii printr-un coeficient de retur legat de elasticitatea celor două corpuri ^[1] :

v_{1f}-v_{2f}=-\varepsilon (v_{1i}-v_{2i}),

{\ displaystyle v_ {1f} -v_ {2f} = - \ varepsilon (v_ {1i} -v_ {2i}),}

v_ {1f} - v_ {2f} = - \ varepsilon (v_ {1i} - v_ {2i}),

0\leq \varepsilon \leq 1

{\ displaystyle 0 \ leq \ varepsilon \ leq 1}

0 \ leq \ varepsilon \ leq 1

De sine $\varepsilon =0$ ${\ displaystyle \ varepsilon = 0}$ $\ varepsilon = 0$ se spune că impactul este total inelastic ; de sine $\varepsilon =1$ ${\ displaystyle \ varepsilon = 1}$ $\ varepsilon = 1$ impactul se numește elastic ;

Conservarea impulsului

Efectul unei coliziuni deosebit de violente între un tren cu viteză mare și un perete fix ( accident de tren în gara Paris Montparnasse )

Aplicarea principiului conservării:

{\frac {d}{dt}}P=0;

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} P = 0;}

\ frac {d} {dt} P = 0;

unde este:

P este impulsul ;
t este momentul

în cazul unei coliziuni între două corpuri cu orice coeficient de întoarcere avem:

m_{1}v_{1i}+m_{2}v_{2i}=m_{1}v_{1f}+m_{2}v_{2f}\;

{\ displaystyle m_ {1} v_ {1i} + m_ {2} v_ {2i} = m_ {1} v_ {1f} + m_ {2} v_ {2f} \;}

m_1v_ {1i} + m_2v_ {2i} = m_1v_ {1f} + m_2v_ {2f} \;

unde este:

m ₁ și m ₂ sunt masele corpurilor 1 și 2;
v _1i și v _2i sunt viteza corpurilor înainte de coliziune;
v _1f și v _2f sunt viteza corpurilor după coliziune.

Momentul total după coliziune este dat de impulsul inițial plus impulsul total. Prin urmare, forțele sunt egale și opuse pentru cele două corpuri, iar suma lor vectorială este zero.

Ecuații de viteze

Din cele două ecuații anterioare rezultă că:

v_{1f}={\frac {(m_{1}-\varepsilon m_{2})v_{1i}+m_{2}(1+\varepsilon )v_{2i}}{m_{1}+m_{2}}}\;

{\ displaystyle v_ {1f} = {\ frac {(m_ {1} - \ varepsilon m_ {2}) v_ {1i} + m_ {2} (1+ \ varepsilon) v_ {2i}} {m_ {1} + m_ {2}}} \;}

v_ {1f} = \ frac {(m_1 - \ varepsilon m_2) v_ {1i} + m_2 (1+ \ varepsilon) v_ {2i}} {m_1 + m_2} \;

v_{2f}={\frac {(m_{2}-\varepsilon m_{1})v_{2i}+m_{1}(1+\varepsilon )v_{1i}}{m_{1}+m_{2}}}\;

{\ displaystyle v_ {2f} = {\ frac {(m_ {2} - \ varepsilon m_ {1}) v_ {2i} + m_ {1} (1+ \ varepsilon) v_ {1i}} {m_ {1} + m_ {2}}} \;}

v_ {2f} = \ frac {(m_2 - \ varepsilon m_1) v_ {2i} + m_1 (1+ \ varepsilon) v_ {1i}} {m_1 + m_2} \;

Ceea ce se aplică în cazul unui impact total inelastic se traduce prin:

v_{1f}={\frac {m_{1}v_{1i}+m_{2}v_{2i}}{m_{1}+m_{2}}}\;

{\ displaystyle v_ {1f} = {\ frac {m_ {1} v_ {1i} + m_ {2} v_ {2i}} {m_ {1} + m_ {2}}} \;}

v_ {1f} = \ frac {m_1 v_ {1i} + m_2 v_ {2i}} {m_1 + m_2} \;

v_{2f}={\frac {m_{1}v_{1i}+m_{2}v_{2i}}{m_{1}+m_{2}}}\;

{\ displaystyle v_ {2f} = {\ frac {m_ {1} v_ {1i} + m_ {2} v_ {2i}} {m_ {1} + m_ {2}}} \;}

v_ {2f} = \ frac {m_1 v_ {1i} + m_2 v_ {2i}} {m_1 + m_2} \;

prin urmare: $v_{1f}=v_{2f}\;$ ${\ displaystyle v_ {1f} = v_ {2f} \;}$ $v_ {1f} = v_ {2f} \;$ în special dacă: $v_{1i}=-v_{2i}$ ${\ displaystyle v_ {1i} = - v_ {2i}}$ $v_ {1i} = - v_ {2i}$ , asa de: $v_{1f}=v_{2f}=0$ ${\ displaystyle v_ {1f} = v_ {2f} = 0}$ $v_ {1f} = v_ {2f} = 0$

Aplicat în caz de coliziune elastică rezultă:

v_{1f}={\frac {(m_{1}-m_{2})v_{1i}+2m_{2}v_{2i}}{m_{1}+m_{2}}}\;

{\ displaystyle v_ {1f} = {\ frac {(m_ {1} -m_ {2}) v_ {1i} + 2m_ {2} v_ {2i}} {m_ {1} + m_ {2}}} \ ;}

v_ {1f} = \ frac {(m_1 - m_2) v_ {1i} + 2 m_2 v_ {2i}} {m_1 + m_2} \;

v_{2f}={\frac {(m_{2}-m_{1})v_{2i}+2m_{1}v_{1i}}{m_{1}+m_{2}}}\;

{\ displaystyle v_ {2f} = {\ frac {(m_ {2} -m_ {1}) v_ {2i} + 2m_ {1} v_ {1i}} {m_ {1} + m_ {2}}} \ ;}

v_ {2f} = \ frac {(m_2 - m_1) v_ {2i} + 2 m_1 v_ {1i}} {m_1 + m_2} \;

daca atunci : $v_{1i}=-v_{2i}\land m_{1}=m_{2}$ ${\ displaystyle v_ {1i} = - v_ {2i} \ land m_ {1} = m_ {2}}$ ${\ displaystyle v_ {1i} = - v_ {2i} \ land m_ {1} = m_ {2}}$ , asa de: $v_{1f}=-v_{2f}=v_{2i}$ ${\ displaystyle v_ {1f} = - v_ {2f} = v_ {2i}}$ $v_ {1f} = - v_ {2f} = v_ {2i}$

Prin urmare, este mai bine înțeles cum ε este un factor legat de elasticitatea coliziunii.

Ecuația impulsului

Din ecuațiile vitezei:

J_{2}=m_{1}v_{1f}-m_{1}v_{1i}=(1+\varepsilon )(v_{1}-v_{2}){\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}=(1+\varepsilon )a_{1}t{\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}};;

{\ displaystyle J_ {2} = m_ {1} v_ {1f} -m_ {1} v_ {1i} = (1+ \ varepsilon) (v_ {1} -v_ {2}) {\ frac {m_ {1 } m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} = (1+ \ varepsilon) a_ {1} t {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} ;;}

J_2 = m_1 v_ {1f} - m_1 v_ {1i} = (1 + \ varepsilon) (v_1 - v_2) \ frac {m_1 m_2} {m_1 + m_2} = (1 + \ varepsilon) a_1 t \ frac {m_1 m_2 } {m_1 + m_2} ;;

unde este:

a_1 este accelerația impulsivă primită de celălalt corp (medie, presupusă a fi constantă în timpul impactului);
t reprezintă durata impactului;

De fapt, se poate verifica cu ușurință că: $J_{1}=m_{1}v_{1f}-m_{1}v_{1i}=(1+\varepsilon )(v_{2}-v_{1}){\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}=-J_{2}\;;$ ${\ displaystyle J_ {1} = m_ {1} v_ {1f} -m_ {1} v_ {1i} = (1+ \ varepsilon) (v_ {2} -v_ {1}) {\ frac {m_ {1 } m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} = - J_ {2} \ ;;}$ $J_1 = m_1 v_ {1f} - m_1 v_ {1i} = (1 + \ varepsilon) (v_2 - v_1) \ frac {m_1 m_2} {m_1 + m_2} = -J_2 \ ;;$ principiul conservării impulsului pe care l-am impus anterior.

Forța impulsivă

Dacă considerați un sistem țintă 2 mult mai mare decât glonțul 1,

dJ=(1+\varepsilon )dv{\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}}}=(1+\varepsilon )m_{2}dv;

{\ displaystyle dJ = (1+ \ varepsilon) dv {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {m_ {1}}} = (1+ \ varepsilon) m_ {2} dv;}

dJ = (1 + \ varepsilon) dv \ frac {m_1 m_2} {m_1} = (1 + \ varepsilon) m_2 dv;

dar apoi:

F={\frac {dJ}{dt}}=(1+\varepsilon )m_{2}{\frac {dv}{dt}}=(1+\varepsilon )m_{2}a_{21};

{\ displaystyle F = {\ frac {dJ} {dt}} = (1+ \ varepsilon) m_ {2} {\ frac {dv} {dt}} = (1+ \ varepsilon) m_ {2} a_ {21 };}

F = \ frac {dJ} {dt} = (1 + \ varepsilon) m_2 \ frac {dv} {dt} = (1 + \ varepsilon) m_2 a_ {21};

unde este $a_{21}$ ${\ displaystyle a_ {21}}$ $a_ {21}$ este accelerația relativă: cu aceasta fiind egală, forța impulsivă este deci maximă și dublă pentru o coliziune elastică în raport cu o coliziune perfect inelastică.

Energie kinetică

Pentru ca energia cinetică totală a corpurilor să rămână neschimbată (și, prin urmare, vitezele celor două corpuri după coliziune au direcție sau direcție sau intensitate diferite una de cealaltă), trebuie să existe o coliziune elastică și invers, ca demonstrat de acest lanț de duble implicații:

T_{f}={\frac {m_{1}v_{1f}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2f}^{2}}{2}}={\frac {1}{2}}{m_{1}}\left({\frac {(m_{1}-m_{2})v_{1i}+2m_{2}v_{2i}}{m_{1}+m_{2}}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}{m_{2}}\left({\frac {(m_{2}-m_{1})v_{2i}+2m_{1}v_{1i}}{m_{1}+m_{2}}}\right)^{2}=

{\ displaystyle T_ {f} = {\ frac {m_ {1} v_ {1f} ^ {2}} {2}} + {\ frac {m_ {2} v_ {2f} ^ {2}} {2} } = {\ frac {1} {2}} {m_ {1}} \ left ({\ frac {(m_ {1} -m_ {2}) v_ {1i} + 2m_ {2} v_ {2i}} {m_ {1} + m_ {2}}} \ right) ^ {2} + {\ frac {1} {2}} {m_ {2}} \ left ({\ frac {(m_ {2} -m_ {1}) v_ {2i} + 2m_ {1} v_ {1i}} {m_ {1} + m_ {2}}} \ right) ^ {2} =}

T_f = \ frac {m_1v_ {1f} ^ 2} {2} + \ frac {m_2v_ {2f} ^ 2} {2} = \ frac {1} {2} {m_1} \ left (\ frac {(m_1 - m_2) v_ {1i} + 2 m_2 v_ {2i}} {m_1 + m_2} \ right) ^ 2 + \ frac {1} {2} {m_2} \ left (\ frac {(m_2 - m_1) v_ {2i } + 2 m_1 v_ {1i}} {m_1 + m_2} \ right) ^ 2 =

={\frac {m_{1}v_{1i}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2i}^{2}}{2}}=T_{i}\;

{\ displaystyle = {\ frac {m_ {1} v_ {1i} ^ {2}} {2}} + {\ frac {m_ {2} v_ {2i} ^ {2}} {2}} = T_ { } \;}

= \ frac {m_1v_ {1i} ^ 2} {2} + \ frac {m_2v_ {2i} ^ 2} {2} = T_i \;

Dacă energia cinetică a corpurilor a fost parțial disipată în coliziune, atunci vorbim generic de o coliziune inelastică . În acest din urmă caz, se poate demonstra în mod similar că energia cinetică disipată este maximă posibilă (trebuie să respecte conservarea impulsului total) în cazul unei coliziuni total inelastice , deoarece cele două corpuri procedează la aceeași viteză după coliziune. Conform primului principiu al termodinamicii , partea energiei cinetice disipate este convertită în energie internă a corpurilor implicate în coliziune, adică, în general, parțial în căldură și parțial în lucrarea termodinamică a corpurilor în sine.