Bumbac elastic

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Atomii în agitație termică sunt implicați în coliziuni esențial elastice.

În mecanica clasică, o coliziune elastică este o coliziune în timpul căreia se păstrează energia mecanică totală a sistemului și, în special, energia cinetică . [1] În cazul corpurilor apropiate de viteza luminii, o coliziune elastică este o coliziune în care se păstrează impulsul cu patru vectori .

Rezolvarea unei probleme de coliziune elastică

În general, în rezolvarea unei probleme de coliziune complet elastice, plecăm de la conservarea impulsului și a energiei cinetice înainte și după coliziune.

  • Momentul sistemului este conservat prin definiția coliziunii: în timpul unei coliziuni, de fapt, este posibil să considerăm sistemul izolat din cauza forțelor impulsive pe care le schimbă corpurile care interacționează și, prin urmare, este posibil să neglijăm celelalte forțe implicate ( de ex. gravitațional );
  • Prin definiția coliziunii elastice, energia mecanică totală a sistemului trebuie conservată. Cu toate acestea, având în vedere că sistemul este izolat în timpul coliziunii, potențialele forțelor externe sunt neglijate și rămâne doar energia cinetică a corpurilor.

În cazul coliziunilor unidimensionale între două corpuri, ecuațiile sunt 2 ecuații scalare, în timp ce în cazul coliziunilor într-un plan sunt 3 (cele două componente ale impulsului și energiei). În ceea ce privește coliziunile în spațiul tridimensional, pentru majoritatea problemelor este valabilă presupunerea că coliziunea are loc într-un plan, prin urmare, cu o schimbare adecvată a coordonatelor, este posibil să ne întoarcem la cazul anterior; altfel avem 4 relații scalare.

Pentru problemele unidimensionale numărul de ecuații permite rezolvarea completă a mișcării, adică prin găsirea vitezei celor două corpuri după coliziune; pentru problemele din plan cu corpuri extinse acestea nu sunt întotdeauna suficiente și este posibil să se găsească o soluție doar pentru unele cazuri notabile cu geometrii simple, cum ar fi o coliziune elastică între două sfere , pentru care pot fi utilizate alte relații, cum ar fi, de exemplu, simetriile sistemului.

Diferite tipuri de coliziune în spațiu

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Coliziune între corpuri rigide .

Impact unidimensional

Considerăm două corpuri aproximabile ca puncte materiale care se ciocnesc frontal. Să ne punem într-un sistem de referință S. Vă indicăm cu:

  • viteza inițială a primului corp
  • viteza inițială a celui de-al doilea corp
  • viteza finală a primului corp
  • viteza finală a celui de-al doilea corp
  • masa primului corp
  • masa celui de-al doilea corp

Impunem conservarea energiei cinetice K și a impulsului P : obținem sistemul: [2]

acesta este:

Aceste ecuații sunt ușor de rezolvat prin gruparea termenilor cu fiecare dintre ele într-un membru iar în celălalt membru termenii cu , împărțind prima ecuație la a doua și ne amintim că .

De fapt, împărțind prima ecuație la și luând în considerare propoziția anterioară:

sau prin împărțirea membrilor la membri: [2]

De aici va fi suficient să rezolvăm un sistem liniar simplu pentru a găsi cele două viteze finale:

adică:

Moderatori de neutroni

Din soluția pe care tocmai am găsit-o, putem vedea în cazul și o valoare ridicată de , valoarea a este mic dacă masele sunt aproximativ egale: lovirea unui corp cu o particulă mult mai ușoară nu modifică în mod semnificativ viteza, lovirea acestuia cu o particulă de masă mult mai mare face ca particula rapidă să sară cu viteza scăzută. Din acest motiv, un moderator (un mediu care încetinește neutronii rapizi , transformându-i în neutroni termici capabili să susțină o reacție în lanț ) este alcătuit dintr-un material format din atomi cu nuclei ușori (cu proprietatea suplimentară că nu absorb cu ușurință neutronii). ): hidrogenul , cel mai ușor, are aproximativ aceeași masă ca un neutron .

Coliziune elastică între mase egale

Viteze relative

Deoarece sistemul este izolat în timpul coliziunilor, centrul de masă se mișcă cu mișcare rectilinie uniformă, cu viteza medie ponderată <v> :

În consecință, avem:

acesta este:

Folosind energia cinetică se poate scrie

Împărțind la (*) obținem:

care este rescris ca

sau similar

Din aceasta observăm că viteza relativă a unei particule față de cealaltă este inversată de coliziune . În cazul particulelor cu mase diferite, particula mai grea se mișcă încet spre centrul de masă și sare cu aceeași viteză mică, în timp ce particula mai ușoară se deplasează rapid spre centrul de masă și după coliziune se îndepărtează de ea. viteză egală.

Coliziunea elastică a maselor egale într-un sistem de referință nu în repaus

Viteza în sistemul de referință al centrului de masă

De asemenea, se arată că, în ceea ce privește centrul de masă, ambele viteze apar inversate după coliziune . De fapt, în sistemul de referință al centrului de masă avem:

de la care:

și în mod similar:

Pentru a evita să cadem din nou în cazul banal al absenței impactului pe care l-am impus , Ceea ce implică . Prin urmare, obținem:

Coliziune elastică între diferite mase

CVD .

Coliziune relativistă unidimensională

Mecanica clasică oferă o bună aproximare atunci când se tratează obiecte cu dimensiuni macroscopice care se mișcă cu o viteză mult mai mică decât viteza luminii . Dincolo de limitele clasice, dă rezultate eronate. Momentul total al celor două corpuri care se ciocnesc este dependent de sistemul de referință . Ecuațiile care guvernează coliziunile în cazul relativist derivă din conservarea impulsului cu patru impulsuri sau cu patru vectori (pentru informații suplimentare despre legile relativiste ale dinamicii a se vedea Teoria specială a relativității ). Distingându-ne între partea temporală și cea spațială pe care o avem:

unde este este factorul Lorentz .

Prima ecuație reprezintă conservarea părții spațiale a impulsului , la care devine formal identic folosind masa relativistă , acum în uz. Înmulțind a doua ecuație cu c recunoaștem în schimb conservarea energiei relativiste . Prin urmare, putem rescrie sistemul ca:

În general, rezolvarea directă a ecuațiilor de mai sus este foarte dificilă, deoarece gradul ecuației este prea mare. Ca și în cazul clasic, ajutorul poate proveni dintr-o schimbare a sistemului de referință, având grijă să compună viteze nu cu compoziția galileană, ci cu echivalentul lor în relativitatea specială. Un sistem de referință bun poate fi, de exemplu, cel al centrului de masă; după ce a apelat cu v viteza de glisare între un sistem și altul, de la regula compoziției vitezei în relativitate specială, viteza înainte de coliziune în sistemul de referință al centrului de masă Și Sunt:

de la care:

Cand Și ,

și, prin urmare, obținem:

Calculele mecanicii clasice sunt, prin urmare, corecte atunci când viteza ambelor corpuri este mult mai mică decât viteza luminii (aproximativ 3 x 108 m / s).

Exemplu: coliziune între particule subatomice

O modalitate de a schematiza interacțiunile dintre particulele subatomice este de a considera interacțiunea ca o coliziune elastică. Să presupunem că avem două particule ambele cu masa de repaus m , presupuse cunoscute, care se deplasează una împotriva celeilalte la viteză Și . După coliziune, se formează o singură particulă. Găsim masa M și viteza v M a acestei noi particule. Ecuațiile (IV) conduc la sistem:

Derivați factorii γ ai celor două viteze inițiale:

Din conservarea energiei obținem M :

Înlocuim în cealaltă ecuație:

Notă v M substituim în ecuația lui M , care se dovedește a fi:

Am constatat că, în interacțiune, masa noii particule nu este egală cu suma maselor celorlalte două, ci mai mare. De fapt, o parte din energia datorată vitezei particulelor a fost transformată în masă; după cum se știe, în teoria relativității masa și energia sunt interschimbabile (celebra formulă E = mc² ): de fapt, în timpul interacțiunilor particulelor subatomice aceste schimburi au loc continuu.

Efect Compton

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: efectul Compton .

O aplicație importantă a coliziunilor relativiste este efectul Compton , care conectează unghiul de deviere a unui foton care interacționează cu o altă particulă cu variația de energie a fotonului în sine, adică lungimea de undă a acestuia. Interacțiunea este schematizată ca o coliziune elastică, în care (IV) sunt valabile. Coliziunea are loc pe plan, iar conservarea impulsului implică conservarea proiecțiilor sale de-a lungul axelor. Combinând conservarea energiei, obținem:

unde este este unghiul de deviere al fotonului e

se numește lungimea de undă Compton .

Coliziuni bidimensionale și tridimensionale

Animația unei coliziuni elastice între două monede. Vectorii impulsului sunt evidențiați

Legea lui Newton (cum ar fi conservarea impulsului) se aplică componentelor de viteză rezolvate de-a lungul suprafețelor normale comune ale corpurilor care se ciocnesc la punctul de contact. În cazul a două sfere, componentele de viteză implicate vor fi componentele rezolvate de-a lungul liniei care unește centrele în momentul coliziunii. În consecință, componentele de viteză perpendiculare pe această linie vor rămâne neschimbate în timpul coliziunii.

Pentru a rezolva o ecuație care implică două corpuri care se ciocnesc într-un sistem bidimensional, viteza totală a fiecărui corp trebuie descompusă în două viteze ortogonale: una tangentă la suprafața comună normală a celor două corpuri care se ciocnesc la punctul de contact, cealaltă de-a lungul linia de coliziune. Deoarece coliziunea impune forțe numai de-a lungul liniei de coliziune, vitezele tangente la punctul de coliziune nu se modifică. Pentru a calcula viteza de-a lungul liniei de coliziune, se pot utiliza aceleași ecuații ca și pentru o coliziune unidimensională. Vitezele finale pot fi calculate din cele două componente noi și vor depinde de punctul de coliziune. Au fost efectuate studii de șoc bidimensional pentru multe corpuri în structura unui gaz bidimensional.

Momentul a două corpuri depinde de viteza și masele lor reale, astfel încât impulsul a două corpuri nu poate fi prezis dacă energiile cinetice ale celor două sunt egale.

Pentru cele două monede din figură, componenta schimbătoare poate fi găsită prin produsul scalar al vitezei cu un versor care indică direcția directă a impactului.

Notă

  1. ^ Dalba , p. 2 .
  2. ^ a b Dalba , p. 3 .

Bibliografie

Elemente conexe

linkuri externe

Mecanică Portalul mecanicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de mecanică