Valorea estimata

Acest grafic arată convergența succesiunii valorii medii a rezultatelor unei matrițe cu șase fețe la valoarea așteptată 3,5 pe măsură ce crește numărul de rulouri.

În teoria probabilității, valoarea așteptată (numită și media sau speranța matematică ) a unei variabile aleatorii $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , este un număr indicat cu $\mathbb {E} [X]$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} [X]}$ ${\ mathbb {E}} [X]$ ( de la valoarea așteptată sau așteptări în limba engleză sau franceză de la Esperance) , care formalizează ideea euristică a valorii medii a unui fenomen aleatoriu.

În general, valoarea așteptată a unei variabile aleatorii discrete (adică presupunând doar un număr finit sau o infinitate de valori numărabilă ) este dată de suma valorilor posibile ale acestei variabile, fiecare înmulțită cu probabilitatea de a fi asumată (adică de apariție), adică este media ponderată a rezultatelor posibile. Pentru o variabilă continuă aleatoare , întrebarea este mai delicată și trebuie să recurgeți la teoria măsurii și la integrala Lebesgue-Stieltjes .

De exemplu, în faimoasele capete sau cozi de joc, dacă alegem „capete” și asumăm o valoare de 100 pentru victorie (capete) și zero pentru înfrângere (cozi), valoarea așteptată a jocului este de 50 sau media din câștiguri și pierderi ponderate la probabilitate (50% pentru ambele cazuri): $100\cdot 0,5+0\cdot 0,5=50$ ${\ displaystyle 100 \ cdot 0.5 + 0 \ cdot 0.5 = 50}$ $100 \ cdot 0,5 + 0 \ cdot 0,5 = 50$ , adică valoarea „capetelor” pentru probabilitatea sa și valoarea „cozilor” pentru probabilitatea sa.

Definiție matematică

Este $(\Omega ,{\mathfrak {F}},\mathbb {P} )$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathfrak {F}}, \ mathbb {P})}$ $(\ Omega, {\ mathfrak {F}}, {\ mathbb {P}})$ un spațiu de probabilitate e $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ o variabilă aleatorie cu valori reale pe acest spațiu (adică o funcție măsurabilă $X\colon \Omega \to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle X \ colon \ Omega \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle X \ colon \ Omega \ to \ mathbb {R}}$ , unde numerele reale sunt înțelese a fi echipate cu algebra lor σ Boreliană ). Valoarea așteptată a $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este integralul $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în ceea ce privește măsura probabilității $\mathbb {P}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P}}$ ${\ mathbb {P}}$ :

\mathbb {E} (X):=\int _{\Omega }X(\omega )d\mathbb {P} (\omega ).

{\ displaystyle \ mathbb {E} (X): = \ int _ {\ Omega} X (\ omega) d \ mathbb {P} (\ omega).}

{\ displaystyle \ mathbb {E} (X): = \ int _ {\ Omega} X (\ omega) d \ mathbb {P} (\ omega).}

Calculați valoarea așteptată a variabilelor aleatorii discrete

În cazul unei variabile aleatorii discrete care admite o funcție de probabilitate $p_{i}$ ${\ displaystyle p_ {i}}$ $p_ {i}$ este definit ca

\mathbb {E} [X]=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}p_{i}.

{\ displaystyle \ mathbb {E} [X] = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} x_ {i} p_ {i}.}

{\ displaystyle \ mathbb {E} [X] = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} x_ {i} p_ {i}.}

Calculați valoarea așteptată a variabilelor aleatorii absolut continue

În cazul unei variabile aleatoare continue care admite o funcție de densitate de probabilitate $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ definiția devine

\mathbb {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)dx.

{\ displaystyle \ mathbb {E} [X] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) dx.}

{\ displaystyle \ mathbb {E} [X] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) dx.}

S-a terminat speranța matematică

Se spune că $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ are speranță finită în discret dacă

\mathbb {E} [|X|]=\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|\,p_{i}<+{\infty },

{\ displaystyle \ mathbb {E} [| X |] = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} | x_ {i} | \, p_ {i} <+ {\ infty},}

{\ displaystyle \ mathbb {E} [| X |] = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} | x_ {i} | \, p_ {i} <+ {\ infty},}

în timp ce în continuu dacă

\mathbb {E} [|X|]=\int _{-\infty }^{\infty }|x|f(x)dx<+{\infty }.

{\ displaystyle \ mathbb {E} [| X |] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | x | f (x) dx <+ {\ infty}.}

{\ displaystyle \ mathbb {E} [| X |] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | x | f (x) dx <+ {\ infty}.}

Proprietate

Media unei constante

Media unei constante $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ (adică a unei variabile aleatorii care ia valoarea $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ cu probabilitatea 1) este evident constanta însăși:

\mathbb {E} [c]=c

{\ displaystyle \ mathbb {E} [c] = c}

{\ mathbb {E}} [c] = c

.

Liniaritatea

O caracteristică importantă a valorii așteptate este liniaritatea : adică pentru fiecare variabilă aleatorie X și pereche de numere reale $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ da ai

\mathbb {E} [aX+b]=a\mathbb {E} [X]+b.

{\ displaystyle \ mathbb {E} [aX + b] = a \ mathbb {E} [X] + b.}

{\ displaystyle \ mathbb {E} [aX + b] = a \ mathbb {E} [X] + b.}

Această proprietate este ușor de demonstrat: de exemplu, în cazul unei variabile aleatorii discrete, avem

\mathbb {E} [aX+b]=\sum _{i=1}^{\infty }(ax_{i}+b)P(X=x_{i})=a\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}P(X=x_{i})+b\sum _{i=1}^{\infty }P(X=x_{i})=a\mathbb {E} [X]+b,

{\ displaystyle \ mathbb {E} [aX + b] = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} (ax_ {i} + b) P (X = x_ {i}) = a \ sum _ { i = 1} ^ {\ infty} x_ {i} P (X = x_ {i}) + b \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} P (X = x_ {i}) = a \ mathbb {E} [X] + b,}

{\ displaystyle \ mathbb {E} [aX + b] = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} (ax_ {i} + b) P (X = x_ {i}) = a \ sum _ { i = 1} ^ {\ infty} x_ {i} P (X = x_ {i}) + b \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} P (X = x_ {i}) = a \ mathbb {E} [X] + b,}

deoarece suma probabilităților este 1, deoarece considerăm suma tuturor evenimentelor posibile.

Această proprietate are consecința importantă că dați oricare două variabile aleatorii $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ (nu neapărat independent ) avem

\mathbb {E} [X+Y]=\mathbb {E} [X]+\mathbb {E} [Y].

{\ displaystyle \ mathbb {E} [X + Y] = \ mathbb {E} [X] + \ mathbb {E} [Y].}

{\ displaystyle \ mathbb {E} [X + Y] = \ mathbb {E} [X] + \ mathbb {E} [Y].}

Această proprietate nu se aplică produsului: în general, $\mathbb {E} [XY]$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} [XY]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} [XY]}$ este diferit de $\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [Y].$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} [X] \ mathbb {E} [Y].}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} [X] \ mathbb {E} [Y].}$ Când aceste două cantități sunt egale, se spune că $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ nu au nicio legătură . În special, două variabile aleatoare independente nu au legătură.

Monotonie

Dacă valorile pe care le ia o variabilă aleatorie $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ sunt între două extreme $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , la fel și media $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ ; intr-adevar

\mathbb {E} [X]=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}P(X=x_{i})>a\sum _{i=1}^{\infty }P(X=x_{i})=a,

{\ displaystyle \ mathbb {E} [X] = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} x_ {i} P (X = x_ {i})> a \ sum _ {i = 1} ^ { \ infty} P (X = x_ {i}) = a,}

{\ displaystyle \ mathbb {E} [X] = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} x_ {i} P (X = x_ {i})> a \ sum _ {i = 1} ^ { \ infty} P (X = x_ {i}) = a,}

și în același mod se arată în cazul continuu. Din aceasta deducem că dacă apar două variabile aleatorii $X\geq Y$ ${\ displaystyle X \ geq Y}$ $X \ geq Y$ (adică pentru fiecare eveniment $ȘI,$ ${\ displaystyle E,}$ ${\ displaystyle E,}$ valoarea a $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ la acel eveniment este mai mare sau egal cu cel al $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ ), asa de

\mathbb {E} [X]\geq \mathbb {E} [Y].

{\ displaystyle \ mathbb {E} [X] \ geq \ mathbb {E} [Y].}

{\ displaystyle \ mathbb {E} [X] \ geq \ mathbb {E} [Y].}

Același subiect în detaliu: Legea numărului mare .

Estimări ale valorii așteptate

În statistici , estimarea valorii așteptate joacă un rol central, ca principal parametru utilizat în statisticile inferențiale . În mod obișnuit, acesta va fi estimat din media valorilor eșantionului (de exemplu, media aritmetică) sau, în aplicații, din așa-numita medie tăiată , adică media care ia în considerare doar cele mai centrale valori ale eșantion (de exemplu doar 50% din cele mai centrale). Media redusă este adesea preferată mediei respective, deoarece este considerată o statistică mai robustă, adică mai puțin susceptibilă la variații în prezența valorilor aberante în eșantion.

Calculul valorii așteptate în joc

Joc de zaruri

În jocul craps , reprezentând rezultatul aruncării zarurilor cu o variabilă aleatorie care poate asuma valorile $1,2,3,4,5,6$ ${\ displaystyle 1,2,3,4,5,6}$ ${\ displaystyle 1,2,3,4,5,6}$ , fiecare cu probabilitate $1/6,$ ${\ displaystyle 1/6,}$ ${\ displaystyle 1/6,}$ intuitiv, media acestei variabile aleatorii va fi $3,5$ ${\ displaystyle 3,5}$ ${\ displaystyle 3,5}$ , De cand $1\cdot {\frac {1}{6}}+2\cdot {\frac {1}{6}}+3\cdot {\frac {1}{6}}+4\cdot {\frac {1}{6}}+5\cdot {\frac {1}{6}}+6\cdot {\frac {1}{6}}=3,5.$ ${\ displaystyle 1 \ cdot {\ frac {1} {6}} + 2 \ cdot {\ frac {1} {6}} + 3 \ cdot {\ frac {1} {6}} + 4 \ cdot {\ frac {1} {6}} + 5 \ cdot {\ frac {1} {6}} + 6 \ cdot {\ frac {1} {6}} = 3.5.}$ ${\ displaystyle 1 \ cdot {\ frac {1} {6}} + 2 \ cdot {\ frac {1} {6}} + 3 \ cdot {\ frac {1} {6}} + 4 \ cdot {\ frac {1} {6}} + 5 \ cdot {\ frac {1} {6}} + 6 \ cdot {\ frac {1} {6}} = 3.5.}$

Jocul loteriei

În jocul loteriei sunt trase $5$ {\ displaystyle 5} $5$ numere între $1$ {\ displaystyle 1} $1$ Și $90$ {\ displaystyle 90} $90$ Și un jucător poate paria unele plasate pe apariția diferitelor evenimente. Calculăm valoarea așteptată a venitului unui parior care pariază $10$ {\ displaystyle 10} $10$ euro la cele cinci pariuri posibile.
- Număr drept (pariați pe ieșirea unui anumit număr; câștigul plătește de aproximativ unsprezece ori miza): probabilitatea ca jucătorul să câștige este dată de raportul dintre $5/90$ ${\ displaystyle 5/90}$ ${\ displaystyle 5/90}$ (raportul dintre numerele câștigătoare și toate numerele care pot fi extrase), iar în acest caz jucătorul va câștiga $11\cdot 10-10=100$ ${\ displaystyle 11 \ cdot 10-10 = 100}$ $11 \ cdot 10-10 = 100$ EURO; probabilitatea pierderii este $85/90,$ ${\ displaystyle 85/90,}$ ${\ displaystyle 85/90,}$ iar în acest caz jucătorul va pierde i $10$ ${\ displaystyle 10}$ $10$ miza euro. Prin urmare, venitul mediu va fi ${\frac {5}{90}}\cdot 100-{\frac {85}{90}}\cdot 10=-{\frac {35}{9}}\simeq -3,89.$ ${\ displaystyle {\ frac {5} {90}} \ cdot 100 - {\ frac {85} {90}} \ cdot 10 = - {\ frac {35} {9}} \ simeq -3.89.}$ ${\ displaystyle {\ frac {5} {90}} \ cdot 100 - {\ frac {85} {90}} \ cdot 10 = - {\ frac {35} {9}} \ simeq -3.89.}$ Adică, în medie, jucătorul va pierde $3,89$ ${\ displaystyle 3.89}$ ${\ displaystyle 3.89}$ euro pentru fiecare $10$ ${\ displaystyle 10}$ $10$ euro jucat.
- Ambele (pariați pe rezultatul unei anumite perechi de numere; câștigurile se plătesc $250$ ${\ displaystyle 250}$ ${\ displaystyle 250}$ ori postarea): există ${90 \choose 2}=4005$ ${\ displaystyle {90 \ choose 2} = 4005}$ ${90 \ alege 2} = 4005$ posibile perechi de numere. De vreme ce pe roată sunt scoși afară $5$ ${\ displaystyle 5}$ $5$ numere, ambele extrase sunt ${5 \choose 2}=10$ ${\ displaystyle {5 \ choose 2} = 10}$ ${5 \ alege 2} = 10$ și, prin urmare, jucătorul va câștiga cu probabilitate $10/4005,$ ${\ displaystyle 10/4005,}$ ${\ displaystyle 10/4005,}$ iar în acest caz va câștiga $250\cdot 10-10=2490$ ${\ displaystyle 250 \ cdot 10-10 = 2490}$ $250 \ cdot 10-10 = 2490$ EURO; probabilitatea pierderii este $3995/4005,$ ${\ displaystyle 3995/4005,}$ ${\ displaystyle 3995/4005,}$ iar în acest caz jucătorul va pierde i $10$ ${\ displaystyle 10}$ $10$ miza euro. Prin urmare, câștigul mediu va fi ${\frac {10}{4005}}\cdot 2490-{\frac {3995}{4005}}\cdot 10\simeq -3,76.$ ${\ displaystyle {\ frac {10} {4005}} \ cdot 2490 - {\ frac {3995} {4005}} \ cdot 10 \ simeq -3.76.}$ ${\ displaystyle {\ frac {10} {4005}} \ cdot 2490 - {\ frac {3995} {4005}} \ cdot 10 \ simeq -3.76.}$ Adică, în medie, jucătorul va pierde $3,76$ ${\ displaystyle 3.76}$ ${\ displaystyle 3.76}$ euro pentru fiecare $10$ ${\ displaystyle 10}$ $10$ euro jucat.
- Terno (pariați pe rezultatul unui set specific de trei numere; câștigurile se plătesc $4500$ ${\ displaystyle 4500}$ ${\ displaystyle 4500}$ ori postarea): există $117480$ ${\ displaystyle 117480}$ ${\ displaystyle 117480}$ posibile tripluri distincte de numere.
- Quatern (pariați pe rezultatul unui anumit quatern de numere; câștigurile se plătesc $120000$ ${\ displaystyle 120000}$ ${\ displaystyle 120000}$ ori postarea): există $2555190$ ${\ displaystyle 2555190}$ ${\ displaystyle 2555190}$ posibile cuaternare distincte de numere.
- Cincizeci (pariați pe ieșirea unui anumit număr de cinci; câștigul se plătește $6$ ${\ displaystyle 6}$ $6$ de milioane de ori postarea): Există $43949268$ ${\ displaystyle 43949268}$ ${\ displaystyle 43949268}$ posibil cinci numere distincte.

Tabelul de mai jos prezintă un rezumat al pierderilor medii pentru o miză egală cu $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ EURO.

	Cote de câștig	Cote câștigătoare pentru $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ euro jucat	Pierderea medie în cenți
Ambii	2/801	250	37.6
Terna	1/11748	4500	61.7
Quatern	1/511038	120000	76,5
Cincizeci	1/43949268	6 milioane	86.3

Poker

Valoarea așteptată este așteptarea, fie ea pozitivă sau negativă (motiv pentru care veți vedea adesea abrevierile EV- sau EV +), pe care o avem ori de câte ori luăm o decizie; încercarea de a lua cât mai multe decizii cu valoare așteptată pozitivă este fundamentală pentru a câștiga pe termen lung.

În poker, ori de câte ori alegem să mizăm , să plătim sau să mărim , avem de-a face cu un EV pozitiv sau negativ. La sfârșitul carierei noastre vom fi câștigat cu cât am luat mai multe alegeri în EV pozitiv și am pierdut cu atât mai puține alegeri în EV negativ am evitat.

Uneori în poker se întâmplă că atât un pariu cât și o mărire au ambele EV pozitive , în acest caz jucătorul experimentat trebuie să știe care mutare are cel mai mare EV. Când jucați poker, nu aveți timp să calculați cu precizie care este EV-ul unei anumite mișcări și de multe ori nici nu știți dacă mișcarea pe care ați făcut-o este profitabilă sau nu, adică dacă are EV-uri pozitive sau negative .

Acest lucru se datorează faptului că pokerul este un joc cu informații incomplete și, prin urmare, chiar dacă am fi vrut, nu am putea calcula cu precizie EV-ul unui anumit pariu sau ori în orice moment, deoarece nu avem datele numerice disponibile pentru a efectua calculul. De multe ori jucătorii profesioniști, departe de masă, încearcă să evalueze EV-ul unei anumite jocuri făcând presupuneri despre comportamentul adversarilor și cărțile pe care le au în mână.

Aceste analize (adesea foarte utile) necesită timp și nu ar putea fi făcute niciodată în timpul unui joc. În hold'em, noi contexte de joc sunt prezentate continuu, dar este adesea posibil să se identifice o situație similară cu alta analizată anterior. Cu cât sunteți mai familiarizați în identificarea acestor situații, cu atât veți fi mai confortabil la masa de joc.

În concluzie, EV în poker nu este vizibil prezent, dar că fiecare efort pe care jucătorul îl face pentru a „câștiga” nu este altceva decât un efort (conștient sau nu) de a face alegeri cu cel mai mare EV posibil.

Bibliografie

Giorgio Dall'Aglio, Calculul probabilităților , Zanichelli, Bologna, 2003
Probabilitate și lot ( PDF ) ^{[ link rupt ]} , pe unipa.it .

Elemente conexe

Controlul autorității	GND ( DE ) 4152930-3

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică