Valoare Shapley

Valoarea Shapley (în engleză Shapley value ), numită în onoarea lui Lloyd Stowell Shapley , este un concept de soluție folosit pentru a atribui o recompensă fiecărui jucător prezent într-o coaliție, în funcție de contribuția marginală pe care o aduc la aceasta. Deoarece contribuția unui jucător la coaliție variază în funcție de jucătorii prezenți în ea, valoarea lui Shapley ia în mod implicit în considerare ordinea în care jucătorii se alătură coaliției în sine.

Funcția caracteristică

Noi sunam $v\left(S\right)$ ${\ displaystyle v \ left (S \ right)}$ ${\ displaystyle v \ left (S \ right)}$ funcția caracteristică care exprimă utilitatea pentru fiecare coaliție $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ cuprins într-un set $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ de jucători. Mai precis:

$v\;:\;{\mathcal {P}}\left(N\right)\;\rightarrow \;\mathbb {R}$ ${\ displaystyle v \ ;: \; {\ mathcal {P}} \ left (N \ right) \; \ rightarrow \; \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle v \ ;: \; {\ mathcal {P}} \ left (N \ right) \; \ rightarrow \; \ mathbb {R}}$

unde este ${\mathcal {P}}\left(N\right)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} \ left (N \ right)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} \ left (N \ right)}$ indică setul de părți ale $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ .

această funcție trebuie să aibă următoarele proprietăți:

$v\left(\varnothing \right)=0$ ${\ displaystyle v \ left (\ varnothing \ right) = 0}$ ${\ displaystyle v \ left (\ varnothing \ right) = 0}$
$v\left(S\cup T\right)\geq v\left(S\right)+v\left(T\right)\quad \forall \;S,T\subseteq N:S\cap T=\varnothing$ ${\ displaystyle v \ left (S \ cup T \ right) \ geq v \ left (S \ right) + v \ left (T \ right) \ quad \ forall \; S, T \ subseteq N: S \ cap T = \ varnothing}$ ${\ displaystyle v \ left (S \ cup T \ right) \ geq v \ left (S \ right) + v \ left (T \ right) \ quad \ forall \; S, T \ subseteq N: S \ cap T = \ varnothing}$

a doua proprietate, numită și superaditivitate , indică faptul că coaliția dintre jucători va avea întotdeauna un efect pozitiv sau zero.

Formule pentru calcularea valorii Shapley

Valoarea lui Shapley este un sistem de distribuire a recompensei obținute de coaliție între membrii săi și scopul este de a distribui această recompensă proporțional cu contribuția pe care fiecare jucător o aduce la coaliție. O posibilă soluție la acest calcul constă în realizarea unei medii a tuturor contribuțiilor marginale ale jucătorului la toate ordinele posibile ale jucătorilor prezenți în coaliție.

$\phi \left(i,v\right)={1 \over \left|N\right|!}\sum _{\pi \in \Pi _{N}}v\left(\mathrm {B} \left(\pi ,i\right)\cup \left\{i\right\}\right)-v\left(\mathrm {B} \left(\pi ,i\right)\right)$ ${\ displaystyle \ phi \ left (i, v \ right) = {1 \ over \ left | N \ right |!} \ sum _ {\ pi \ in \ Pi _ {N}} v \ left (\ mathrm { B} \ left (\ pi, i \ right) \ cup \ left \ {i \ right \} \ right) -v \ left (\ mathrm {B} \ left (\ pi, i \ right) \ right)}$ ${\ displaystyle \ phi \ left (i, v \ right) = {1 \ over \ left | N \ right |!} \ sum _ {\ pi \ in \ Pi _ {N}} v \ left (\ mathrm { B} \ left (\ pi, i \ right) \ cup \ left \ {i \ right \} \ right) -v \ left (\ mathrm {B} \ left (\ pi, i \ right) \ right)}$

unde este:

$\phi \left(i,v\right)$ ${\ displaystyle \ phi \ left (i, v \ right)}$ ${\ displaystyle \ phi \ left (i, v \ right)}$ indică recompensa primită de jucător $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$

$v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ este funcția caracteristică.

$\Pi _{N}$ ${\ displaystyle \ Pi _ {N}}$ ${\ displaystyle \ Pi _ {N}}$ este ansamblul tuturor ordonărilor posibile ale elementelor din $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ sau permutări .

$\mathrm {B} \left(\pi ,i\right)$ ${\ displaystyle \ mathrm {B} \ left (\ pi, i \ right)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {B} \ left (\ pi, i \ right)}$ este setul de jucători care preced jucătorul $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ în sistemul luat în considerare.

Alte două formule echivalente cu acesta sunt următoarele:

$\phi \left(i,v\right)=\sum _{S\subseteq N}{\left(\left|N\right|-\left|S\right|\right)!\;\left(\left|S\right|-1\right)! \over \left|N\right|!}\left(v\left(S\right)-v\left(S\setminus \left\{i\right\}\right)\right)$ ${\ displaystyle \ phi \ left (i, v \ right) = \ sum _ {S \ subseteq N} {\ left (\ left | N \ right | - \ left | S \ right | \ right)! \; \ stânga (\ left | S \ right | -1 \ right)! \ over \ left | N \ right |!} \ left (v \ left (S \ right) -v \ left (S \ setminus \ left \ {i \ right \} \ right) \ right)}$ ${\ displaystyle \ phi \ left (i, v \ right) = \ sum _ {S \ subseteq N} {\ left (\ left | N \ right | - \ left | S \ right | \ right)! \; \ stânga (\ left | S \ right | -1 \ right)! \ over \ left | N \ right |!} \ left (v \ left (S \ right) -v \ left (S \ setminus \ left \ {i \ right \} \ right) \ right)}$

$\phi \left(i,v\right)=\sum _{S\subseteq N\setminus \left\{i\right\}}{\left|S\right|!\;\left(\left|N\right|-\left|S\right|-1\right)! \over \left|N\right|!}\left(v\left(S\cup \left\{i\right\}\right)-v\left(S\right)\right)$ ${\ displaystyle \ phi \ left (i, v \ right) = \ sum _ {S \ subseteq N \ setminus \ left \ {i \ right \}} {\ left | S \ right |! \; \ left (\ left | N \ right | - \ left | S \ right | -1 \ right)! \ over \ left | N \ right |!} \ left (v \ left (S \ cup \ left \ {i \ right \} \ right) -v \ left (S \ right) \ right)}$ ${\ displaystyle \ phi \ left (i, v \ right) = \ sum _ {S \ subseteq N \ setminus \ left \ {i \ right \}} {\ left | S \ right |! \; \ left (\ left | N \ right | - \ left | S \ right | -1 \ right)! \ over \ left | N \ right |!} \ left (v \ left (S \ cup \ left \ {i \ right \} \ right) -v \ left (S \ right) \ right)}$

Rețineți că în ultima formulă suma este pe toate subseturile $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ din $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ care nu conțin jucătorul $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ .

Proprietate

Fiecare jucător primește cel puțin ceea ce ar fi primit dacă nu ar fi participat la coaliție: $\phi \left(i,v\right)\geq v\left(\left\{i\right\}\right)\;\forall \;i\in N$ ${\ displaystyle \ phi \ left (i, v \ right) \ geq v \ left (\ left \ {i \ right \} \ right) \; \ forall \; i \ in N}$ ${\ displaystyle \ phi \ left (i, v \ right) \ geq v \ left (\ left \ {i \ right \} \ right) \; \ forall \; i \ in N}$
Se distribuie câștigul total ( eficiența Pareto ): $\sum _{i\in N}\phi \left(i,N\right)=v\left(N\right)$ ${\ displaystyle \ sum _ {i \ in N} \ phi \ left (i, N \ right) = v \ left (N \ right)}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i \ in N} \ phi \ left (i, N \ right) = v \ left (N \ right)}$
Redenumirea diferită a jucătorilor nu schimbă atribuirea recompensei.
Jucătorii cu aceeași contribuție marginală primesc aceeași recompensă: $v\left(S\cup \left\{i\right\}\right)=v\left(S\cup \left\{j\right\}\right)\;\Rightarrow \;\phi \left(i,S\right)=\phi \left(j,S\right)$ ${\ displaystyle v \ left (S \ cup \ left \ {i \ right \} \ right) = v \ left (S \ cup \ left \ {j \ right \} \ right) \; \ Rightarrow \; \ phi \ left (i, S \ right) = \ phi \ left (j, S \ right)}$ ${\ displaystyle v \ left (S \ cup \ left \ {i \ right \} \ right) = v \ left (S \ cup \ left \ {j \ right \} \ right) \; \ Rightarrow \; \ phi \ left (i, S \ right) = \ phi \ left (j, S \ right)}$
Un jucător cu contribuție marginală zero va primi zero ca recompensă: $v\left(S\right)=v\left(S\cup \left\{i\right\}\right)\;\Rightarrow \;\phi \left(i,S\right)=0$ ${\ displaystyle v \ left (S \ right) = v \ left (S \ cup \ left \ {i \ right \} \ right) \; \ Rightarrow \; \ phi \ left (i, S \ right) = 0 }$ ${\ displaystyle v \ left (S \ right) = v \ left (S \ cup \ left \ {i \ right \} \ right) \; \ Rightarrow \; \ phi \ left (i, S \ right) = 0 }$
Aditivitate : dacă combinăm două jocuri, descrise de două funcții $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ Și $w$ ${\ displaystyle w}$ $w$ , recompensa distribuită va corespunde recompensei rezultate din $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ adăugat la cel derivat din $w$ ${\ displaystyle w}$ $w$ : $\phi \left(i,v+w\right)=\phi \left(i,v\right)+\phi \left(i,w\right)\quad \forall \;i\in N$ ${\ displaystyle \ phi \ left (i, v + w \ right) = \ phi \ left (i, v \ right) + \ phi \ left (i, w \ right) \ quad \ forall \; i \ in N }$ ${\ displaystyle \ phi \ left (i, v + w \ right) = \ phi \ left (i, v \ right) + \ phi \ left (i, w \ right) \ quad \ forall \; i \ in N }$

Exemplu

S.	v (S)
∅	0
{1}	1
{2}	0
{3}	0
{1, 2}	2
{1, 3}	2
{2, 3}	2
{1, 2, 3}	3

$N=\left(1,2,3\right)\qquad \left|N\right|=3$ ${\ displaystyle N = \ left (1,2,3 \ right) \ qquad \ left | N \ right | = 3}$ ${\ displaystyle N = \ left (1,2,3 \ right) \ qquad \ left | N \ right | = 3}$

$\Pi _{N}=\left\{{\begin{matrix}\underbrace {\left(1,2,3\right);\left(1,3,2\right);} &\underbrace {\left(2,1,3\right);\left(2,3,1\right);} &\underbrace {\left(3,1,2\right);\left(3,2,1\right)} \\\alpha &\beta &\gamma \end{matrix}}\right\}$ ${\ displaystyle \ Pi _ {N} = \ left \ {{\ begin {matrix} \ underbrace {\ left (1,2,3 \ right); \ left (1,3,2 \ right);} & \ underbrace {\ left (2,1,3 \ right); \ left (2,3,1 \ right);} & \ underbrace {\ left (3,1,2 \ right); \ left (3,2, 1 \ right)} \\\ alpha & \ beta & \ gamma \ end {matrix}} \ right \}}$ ${\ displaystyle \ Pi _ {N} = \ left \ {{\ begin {matrix} \ underbrace {\ left (1,2,3 \ right); \ left (1,3,2 \ right);} & \ underbrace {\ left (2,1,3 \ right); \ left (2,3,1 \ right);} & \ underbrace {\ left (3,1,2 \ right); \ left (3,2, 1 \ right)} \\\ alpha & \ beta & \ gamma \ end {matrix}} \ right \}}$

pentru $i=1$ ${\ displaystyle i = 1}$ ${\ displaystyle i = 1}$ :

${\begin{array}{lcl}\alpha &=&\left[\left(v\left(\varnothing \cup \left\{1\right\}\right)-v\left(\varnothing \right)\right)+\left(v\left(\varnothing \cup \left\{1\right\}\right)-v\left(\varnothing \right)\right)\right]\\&=&\left(1-0\right)+\left(1-0\right)=2\end{array}}$ ${\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} \ alpha & = & \ left [\ left (v \ left (\ varnothing \ cup \ left \ {1 \ right \} \ right) -v \ left (\ varnothing \ right) \ right) + \ left (v \ left (\ varnothing \ cup \ left \ {1 \ right \} \ right) -v \ left (\ varnothing \ right) \ right) \ right] \\ & = & \ left (1-0 \ right) + \ left (1-0 \ right) = 2 \ end {array}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} \ alpha & = & \ left [\ left (v \ left (\ varnothing \ cup \ left \ {1 \ right \} \ right) -v \ left (\ varnothing \ right) \ right) + \ left (v \ left (\ varnothing \ cup \ left \ {1 \ right \} \ right) -v \ left (\ varnothing \ right) \ right) \ right] \\ & = & \ left (1-0 \ right) + \ left (1-0 \ right) = 2 \ end {array}}}$

${\begin{array}{lcl}\beta &=&\left[\left(v\left(\left\{2\right\}\cup \left\{1\right\}\right)-v\left(\left\{2\right\}\right)\right)+\left(v\left(\left\{2,3\right\}\cup \left\{1\right\}\right)-v\left(\left\{2,3\right\}\right)\right)\right]\\&=&\left(2-0\right)+\left(3-2\right)=3\end{array}}$ ${\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} \ beta & = & \ left [\ left (v \ left (\ left \ {2 \ right \} \ cup \ left \ {1 \ right \} \ right) -v \ left (\ left \ {2 \ right \} \ right) \ right) + \ left (v \ left (\ left \ {2,3 \ right \} \ cup \ left \ {1 \ right \} \ right) -v \ left (\ left \ {2,3 \ right \} \ right) \ right) \ right] \\ & = & \ left (2-0 \ right) + \ left (3-2 \ dreapta) = 3 \ end {array}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} \ beta & = & \ left [\ left (v \ left (\ left \ {2 \ right \} \ cup \ left \ {1 \ right \} \ right) -v \ left (\ left \ {2 \ right \} \ right) \ right) + \ left (v \ left (\ left \ {2,3 \ right \} \ cup \ left \ {1 \ right \} \ right) -v \ left (\ left \ {2,3 \ right \} \ right) \ right) \ right] \\ & = & \ left (2-0 \ right) + \ left (3-2 \ dreapta) = 3 \ end {array}}}$

${\begin{array}{lcl}\gamma &=&\left[\left(v\left(\left\{3\right\}\cup \left\{1\right\}\right)-v\left(\left\{3\right\}\right)\right)+\left(v\left(\left\{3,2\right\}\cup \left\{1\right\}\right)-v\left(\left\{3,2\right\}\right)\right)\right]\\&=&\left(2-0\right)+\left(3-2\right)=3\end{array}}$ ${\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} \ gamma & = & \ left [\ left (v \ left (\ left \ {3 \ right \} \ cup \ left \ {1 \ right \} \ right) -v \ left (\ left \ {3 \ right \} \ right) \ right) + \ left (v \ left (\ left \ {3,2 \ right \} \ cup \ left \ {1 \ right \} \ right) -v \ left (\ left \ {3,2 \ right \} \ right) \ right) \ right] \\ & = & \ left (2-0 \ right) + \ left (3-2 \ dreapta) = 3 \ end {array}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} \ gamma & = & \ left [\ left (v \ left (\ left \ {3 \ right \} \ cup \ left \ {1 \ right \} \ right) -v \ left (\ left \ {3 \ right \} \ right) \ right) + \ left (v \ left (\ left \ {3,2 \ right \} \ cup \ left \ {1 \ right \} \ right) -v \ left (\ left \ {3,2 \ right \} \ right) \ right) \ right] \\ & = & \ left (2-0 \ right) + \ left (3-2 \ dreapta) = 3 \ end {array}}}$

$\phi \left(1,v\right)={1 \over \left|N\right|!}\left[\alpha +\beta +\gamma \right]={1 \over 3!}(2+3+3)={8 \over 6}$ ${\ displaystyle \ phi \ left (1, v \ right) = {1 \ over \ left | N \ right |!} \ left [\ alpha + \ beta + \ gamma \ right] = {1 \ over 3!} (2 + 3 + 3) = {8 \ peste 6}}$ ${\ displaystyle \ phi \ left (1, v \ right) = {1 \ over \ left | N \ right |!} \ left [\ alpha + \ beta + \ gamma \ right] = {1 \ over 3!} (2 + 3 + 3) = {8 \ peste 6}}$

pentru $i=2$ ${\ displaystyle i = 2}$ ${\ displaystyle i = 2}$ :

${\begin{array}{lcl}\alpha &=&\left[\left(v\left(\left\{1\right\}\cup \left\{2\right\}\right)-v\left(\left\{1\right\}\right)\right)+\left(v\left(\left\{1,3\right\}\cup \left\{2\right\}\right)-v\left(\left\{1,3\right\}\right)\right)\right]\\&=&\left(2-1\right)+\left(3-2\right)=2\end{array}}$ ${\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} \ alpha & = & \ left [\ left (v \ left (\ left \ {1 \ right \} \ cup \ left \ {2 \ right \} \ right) -v \ left (\ left \ {1 \ right \} \ right) \ right) + \ left (v \ left (\ left \ {1,3 \ right \} \ cup \ left \ {2 \ right \} \ right) -v \ left (\ left \ {1,3 \ right \} \ right) \ right) \ right] \\ & = & \ left (2-1 \ right) + \ left (3-2 \ dreapta) = 2 \ end {array}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} \ alpha & = & \ left [\ left (v \ left (\ left \ {1 \ right \} \ cup \ left \ {2 \ right \} \ right) -v \ left (\ left \ {1 \ right \} \ right) \ right) + \ left (v \ left (\ left \ {1,3 \ right \} \ cup \ left \ {2 \ right \} \ right) -v \ left (\ left \ {1,3 \ right \} \ right) \ right) \ right] \\ & = & \ left (2-1 \ right) + \ left (3-2 \ dreapta) = 2 \ end {array}}}$

${\begin{array}{lcl}\beta &=&\left[\left(v\left(\varnothing \cup \left\{2\right\}\right)-v\left(\varnothing \right)\right)+\left(v\left(\varnothing \cup \left\{2\right\}\right)-v\left(\varnothing \right)\right)\right]\\&=&\left(0-0\right)+\left(0-0\right)=0\end{array}}$ ${\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} \ beta & = & \ left [\ left (v \ left (\ varnothing \ cup \ left \ {2 \ right \} \ right) -v \ left (\ varnothing \ right) \ right) + \ left (v \ left (\ varnothing \ cup \ left \ {2 \ right \} \ right) -v \ left (\ varnothing \ right) \ right) \ right] \\ & = & \ left (0-0 \ right) + \ left (0-0 \ right) = 0 \ end {array}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} \ beta & = & \ left [\ left (v \ left (\ varnothing \ cup \ left \ {2 \ right \} \ right) -v \ left (\ varnothing \ right) \ right) + \ left (v \ left (\ varnothing \ cup \ left \ {2 \ right \} \ right) -v \ left (\ varnothing \ right) \ right) \ right] \\ & = & \ left (0-0 \ right) + \ left (0-0 \ right) = 0 \ end {array}}}$

${\begin{array}{lcl}\gamma &=&\left[\left(v\left(\left\{3,1\right\}\cup \left\{2\right\}\right)-v\left(\left\{3,1\right\}\right)\right)+\left(v\left(\left\{3\right\}\cup \left\{2\right\}\right)-v\left(\left\{3\right\}\right)\right)\right]\\&=&\left(3-2\right)+\left(2-0\right)=3\end{array}}$ ${\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} \ gamma & = & \ left [\ left (v \ left (\ left \ {3,1 \ right \} \ cup \ left \ {2 \ right \} \ dreapta) -v \ left (\ left \ {3,1 \ right \} \ right) \ right) + \ left (v \ left (\ left \ {3 \ right \} \ cup \ left \ {2 \ right \} \ right) -v \ left (\ left \ {3 \ right \} \ right) \ right) \ right] \\ & = & \ left (3-2 \ right) + \ left (2-0 \ dreapta) = 3 \ end {array}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} \ gamma & = & \ left [\ left (v \ left (\ left \ {3,1 \ right \} \ cup \ left \ {2 \ right \} \ dreapta) -v \ left (\ left \ {3,1 \ right \} \ right) \ right) + \ left (v \ left (\ left \ {3 \ right \} \ cup \ left \ {2 \ right \} \ right) -v \ left (\ left \ {3 \ right \} \ right) \ right) \ right] \\ & = & \ left (3-2 \ right) + \ left (2-0 \ dreapta) = 3 \ end {array}}}$

$\phi \left(2,v\right)={1 \over \left|N\right|!}\left[\alpha +\beta +\gamma \right]={1 \over 3!}(2+0+3)={5 \over 6}$ ${\ displaystyle \ phi \ left (2, v \ right) = {1 \ over \ left | N \ right |!} \ left [\ alpha + \ beta + \ gamma \ right] = {1 \ over 3!} (2 + 0 + 3) = {5 \ peste 6}}$ ${\ displaystyle \ phi \ left (2, v \ right) = {1 \ over \ left | N \ right |!} \ left [\ alpha + \ beta + \ gamma \ right] = {1 \ over 3!} (2 + 0 + 3) = {5 \ peste 6}}$

pentru $i=3$ ${\ displaystyle i = 3}$ ${\ displaystyle i = 3}$ :

${\begin{array}{lcl}\alpha &=&\left[\left(v\left(\left\{1,2\right\}\cup \left\{3\right\}\right)-v\left(\left\{1,2\right\}\right)\right)+\left(v\left(\left\{1\right\}\cup \left\{3\right\}\right)-v\left(\left\{1\right\}\right)\right)\right]\\&=&\left(3-2\right)+\left(2-1\right)=2\end{array}}$ ${\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} \ alpha & = & \ left [\ left (v \ left (\ left \ {1,2 \ right \} \ cup \ left \ {3 \ right \} \ dreapta) -v \ left (\ left \ {1,2 \ right \} \ right) \ right) + \ left (v \ left (\ left \ {1 \ right \} \ cup \ left \ {3 \ right \} \ right) -v \ left (\ left \ {1 \ right \} \ right) \ right) \ right] \\ & = & \ left (3-2 \ right) + \ left (2-1 \ dreapta) = 2 \ end {array}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} \ alpha & = & \ left [\ left (v \ left (\ left \ {1,2 \ right \} \ cup \ left \ {3 \ right \} \ dreapta) -v \ left (\ left \ {1,2 \ right \} \ right) \ right) + \ left (v \ left (\ left \ {1 \ right \} \ cup \ left \ {3 \ right \} \ right) -v \ left (\ left \ {1 \ right \} \ right) \ right) \ right] \\ & = & \ left (3-2 \ right) + \ left (2-1 \ dreapta) = 2 \ end {array}}}$

${\begin{array}{lcl}\beta &=&\left[\left(v\left(\left\{2,1\right\}\cup \left\{3\right\}\right)-v\left(\left\{2,1\right\}\right)\right)+\left(v\left(\left\{2\right\}\cup \left\{3\right\}\right)-v\left(\left\{2\right\}\right)\right)\right]\\&=&\left(3-2\right)+\left(2-0\right)=3\end{array}}$ ${\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} \ beta & = & \ left [\ left (v \ left (\ left \ {2,1 \ right \} \ cup \ left \ {3 \ right \} \ dreapta) -v \ left (\ left \ {2,1 \ right \} \ right) \ right) + \ left (v \ left (\ left \ {2 \ right \} \ cup \ left \ {3 \ right \} \ right) -v \ left (\ left \ {2 \ right \} \ right) \ right) \ right] \\ & = & \ left (3-2 \ right) + \ left (2-0 \ dreapta) = 3 \ end {array}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} \ beta & = & \ left [\ left (v \ left (\ left \ {2,1 \ right \} \ cup \ left \ {3 \ right \} \ dreapta) -v \ left (\ left \ {2,1 \ right \} \ right) \ right) + \ left (v \ left (\ left \ {2 \ right \} \ cup \ left \ {3 \ right \} \ right) -v \ left (\ left \ {2 \ right \} \ right) \ right) \ right] \\ & = & \ left (3-2 \ right) + \ left (2-0 \ dreapta) = 3 \ end {array}}}$

${\begin{array}{lcl}\gamma &=&\left[\left(v\left(\varnothing \cup \left\{3\right\}\right)-v\left(\varnothing \right)\right)+\left(v\left(\varnothing \cup \left\{3\right\}\right)-v\left(\varnothing \right)\right)\right]\\&=&\left(0-0\right)+\left(0-0\right)=0\end{array}}$ ${\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} \ gamma & = & \ left [\ left (v \ left (\ varnothing \ cup \ left \ {3 \ right \} \ right) -v \ left (\ varnothing \ right) \ right) + \ left (v \ left (\ varnothing \ cup \ left \ {3 \ right \} \ right) -v \ left (\ varnothing \ right) \ right) \ right] \\ & = & \ left (0-0 \ right) + \ left (0-0 \ right) = 0 \ end {array}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} \ gamma & = & \ left [\ left (v \ left (\ varnothing \ cup \ left \ {3 \ right \} \ right) -v \ left (\ varnothing \ right) \ right) + \ left (v \ left (\ varnothing \ cup \ left \ {3 \ right \} \ right) -v \ left (\ varnothing \ right) \ right) \ right] \\ & = & \ left (0-0 \ right) + \ left (0-0 \ right) = 0 \ end {array}}}$

$\phi \left(3,v\right)={1 \over \left|N\right|!}\left[\alpha +\beta +\gamma \right]={1 \over 3!}(2+3+0)={5 \over 6}$ ${\ displaystyle \ phi \ left (3, v \ right) = {1 \ over \ left | N \ right |!} \ left [\ alpha + \ beta + \ gamma \ right] = {1 \ over 3!} (2 + 3 + 0) = {5 \ peste 6}}$ ${\ displaystyle \ phi \ left (3, v \ right) = {1 \ over \ left | N \ right |!} \ left [\ alpha + \ beta + \ gamma \ right] = {1 \ over 3!} (2 + 3 + 0) = {5 \ peste 6}}$

După cum este prevăzut de condiția de eficiență, avem:

$\phi \left(1,v\right)+\phi \left(2,v\right)+\phi \left(3,v\right)={8 \over 6}+{5 \over 6}+{5 \over 6}={18 \over 6}=3=v\left(\left\{1,2,3\right\}\right)$ ${\ displaystyle \ phi \ left (1, v \ right) + \ phi \ left (2, v \ right) + \ phi \ left (3, v \ right) = {8 \ over 6} + {5 \ over 6} + {5 \ over 6} = {18 \ over 6} = 3 = v \ left (\ left \ {1,2,3 \ right \} \ right)}$ ${\ displaystyle \ phi \ left (1, v \ right) + \ phi \ left (2, v \ right) + \ phi \ left (3, v \ right) = {8 \ over 6} + {5 \ over 6} + {5 \ over 6} = {18 \ over 6} = 3 = v \ left (\ left \ {1,2,3 \ right \} \ right)}$

Bibliografie

Robert J. Aumann și Lloyd S. Shapley. Valori ale jocurilor non-atomice , Princeton University Press, Pinceton, 1974.
Sergiu Hart, Shapley Value , The New Palgrave: Game Theory, J. Eatwell, M. Milgate și P. Newman (editori), Norton, pp. 210-216, 1989.
Stefano Moretti și Fioravante Patrone: Transversalitatea valorii Shapley , TOP, 16, 1-41, pp. 60-61, 2008.
Alvin E. Roth (curator). Valoarea Shapley, eseuri în onoarea lui Lloyd S. Shapley . Cambridge University Press, Cambridge, 1988.
Lloyd S. Shapley: A Value for n-person Games . În Contribuții la teoria jocurilor , volumul II (curatori: HW Kuhn și AW Tucker), Annals of Mathematical Studies v. 28, pp. 307-317. Princeton University Press, 1953.
Eyal Winter, The shapley value , Capitolul 53 din „Manualul teoriei jocurilor cu aplicații economice”, RJ Aumann și S. Hart (editori), Volumul 3, pp. 2025-2054, 2002.

linkuri externe

O bibliografie a jocurilor cooperative: teoria valorii de Sergiu Hart , pe ma.huji.ac.il.