Variabilă aleatorie

Acest grafic arată cum variabila aleatorie este o funcție din toate rezultatele posibile cu valoare reală.

În matematică și în special în teoria probabilităților , o variabilă aleatorie (numită și variabilă aleatorie sau variabilă stocastică ) este o variabilă care poate lua diferite valori în funcție de un anumit fenomen aleatoriu . De exemplu, rezultatul aruncării unei matrițe echilibrate pe șase fețe poate fi modelat matematic ca o variabilă aleatorie care poate lua una din cele șase valori posibile $1,2,3,4,5,6$ ${\ displaystyle 1,2,3,4,5,6}$ $1,2,3,4,5,6$ și fiecare valoare are probabilitate $1/6$ ${\ displaystyle 1/6}$ $1/6$ să se prezinte.

Termenul „aleatoriu” derivă din latinescul alea ( joc de zaruri ^[1] , care amintește de celebrul alea iacta est ) și exprimă conceptul de risc calculat. Denumirea alternativă stocastică a fost introdusă de Bruno de Finetti ^[2] . Termenul „casual” derivă din latinescul casualis .

Istorie

Deși nu a fost formalizat, conceptul de distribuție statistică în jurul unei medii era cunoscut din cele mai vechi timpuri. Citim de fapt în Phaedo al lui Platon :

"" Și nu este nedrept acest lucru? Nu este adevărat că cei care se comportă în acest mod trăiesc în mod evident printre oameni fără să aibă vreo experiență? Dacă, de fapt, abia le-ar cunoaște, ar ști că sunt puține cele cu adevărat bune sau complet rele și că, în mare parte, acestea sunt mediocre. "
"Ce vrei să spui?" Am facut.
„Este la fel ca în cazul lucrurilor foarte mici și foarte mari. Credeți că este atât de ușor să găsiți un bărbat sau un câine sau orice altul care este foarte mare sau foarte mic sau, știu, unul foarte rapid sau foarte lent sau foarte urât sau foarte frumos sau complet alb sau negru? Ați observat vreodată că în toate lucrurile extremele sunt rare în timp ce aspectele intermediare sunt frecvente, într-adevăr numeroase? "

( Platon, Phaedo , XXXIX )

Definiție

Mai formal, având în vedere un spațiu de probabilitate $(\Omega ,{\mathcal {F}},\nu )$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ nu)}$ $(\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ nu)$ (unde este ${\Omega }$ ${\ displaystyle {\ Omega}}$ ${\ Omega}$ este un set numit spațiu eșantion sau set de evenimente , ${\mathcal {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ mathcal {F}}$ este o sigma-algebră pe ${\Omega }$ ${\ displaystyle {\ Omega}}$ ${\ Omega}$ Și $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ este o măsură a probabilității ) și dat un spațiu măsurabil $(E,{\mathcal {E}})$ ${\ displaystyle (E, {\ mathcal {E}})}$ $(E, {\ mathcal {E}})$ , unu $(E,{\mathcal {E}})$ ${\ displaystyle (E, {\ mathcal {E}})}$ $(E, {\ mathcal {E}})$ - variabila aleatorie este o funcție măsurabilă $X\colon \Omega \to E$ ${\ displaystyle X \ colon \ Omega \ to E}$ $X \ colon \ Omega \ to E$ din exemplul de anunț spațial $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ .

În această definiție înțelegem că o funcție $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este măsurabilă dacă pentru fiecare $A\in {\mathcal {E}}$ ${\ displaystyle A \ in {\ mathcal {E}}}$ $A \ in {\ mathcal {E}}$ avem asta $X^{-1}(A)\in {\mathcal {F}}$ ${\ displaystyle X ^ {- 1} (A) \ în {\ mathcal {F}}}$ $X ^ {{- 1}} (A) \ in {\ mathcal {F}}$ . Această definiție a măsurabilității este o generalizare a celei definite de Lindgren ( 1976 ): o funcție $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ definit pe spațiul eșantion ${\Omega }$ ${\ displaystyle {\ Omega}}$ ${\ Omega}$ se spune că este măsurabilă în raport cu câmpul Borel ${\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal {B}}$ dacă și numai dacă evenimentul $\{\omega \in \Omega :X(\omega )\leq \lambda \}$ ${\ displaystyle \ {\ omega \ in \ Omega: X (\ omega) \ leq \ lambda \}}$ $\ {\ omega \ in \ Omega: X (\ omega) \ leq \ lambda \}$ aparține lui ${\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal {B}}$ pentru fiecare ${\lambda }$ ${\ displaystyle {\ lambda}}$ ${\ lambda}$ .

De sine $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ este un spațiu topologic e ${\mathcal {E}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$ $\ mathcal {E}$ atunci este sigma-algebra lui Borel $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ se mai numește $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ - variabilă aleatorie. De asemenea dacă $E=\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle E = \ mathbb {R} ^ {n}}$ $E = {\ mathbb {R}} ^ {n}$ asa de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ se numește pur și simplu o variabilă aleatorie.

Cu alte cuvinte, o variabilă aleatorie $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este o modalitate de a induce o măsură de probabilitate pe spațiul măsurabil de sosire $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ începând de la măsura probabilității definită pe setul de evenimente $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ .

Variabile aleatorii unidimensionale (adică valori în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ ) sunt numite simple sau univariate.
Variabilele aleatorii multidimensionale sunt numite multiple sau multivariate (duble, triple, $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ -uple).

Variabilele aleatoare care depind de un parametru t (unde t reprezintă de obicei timpul ) sunt considerate procese stochastice .

Distribuția probabilității

Același subiect în detaliu: Măsura probabilității .

Același subiect în detaliu: Distribuția probabilității compuse .

Măsura probabilității indusă pe spațiul de sosire măsurabil $(E,{\mathcal {E}})$ ${\ displaystyle (E, {\ mathcal {E}})}$ $(E, {\ mathcal {E}})$ dintr-o variabilă aleatorie $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , pornind de la măsura probabilității $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ pe $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}})}$ $(\ Omega, {\ mathcal {F}})$ , se numește distribuția sau legea probabilității, a $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , este indicat cu $P_{X}$ ${\ displaystyle P_ {X}}$ $P_ {X}$ și este definit după cum urmează

P_{X}(A):=\nu (X^{-1}(A)),

{\ displaystyle P_ {X} (A): = \ nu (X ^ {- 1} (A)),}

P_ {X} (A): = \ nu (X ^ {{- 1}} (A)),

pentru fiecare $A\in {\mathcal {E}}$ ${\ displaystyle A \ in {\ mathcal {E}}}$ $A \ in {\ mathcal {E}}$ . Este bine definit tocmai pentru că $X^{-1}(A)\in {\mathcal {F}}$ ${\ displaystyle X ^ {- 1} (A) \ în {\ mathcal {F}}}$ $X ^ {{- 1}} (A) \ in {\ mathcal {F}}$ pentru fiecare $A\in {\mathcal {E}}$ ${\ displaystyle A \ in {\ mathcal {E}}}$ $A \ in {\ mathcal {E}}$ . Când variabila aleatorie este clară din context, indicele este adesea omis $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Din motive de concizie, în loc de scris $\nu (X^{-1}(A))$ ${\ displaystyle \ nu (X ^ {- 1} (A))}$ $\ nu (X ^ {{- 1}} (A))$ sau $\nu (\{\omega \in \Omega :X(\omega )\in A\})$ ${\ displaystyle \ nu (\ {\ omega \ in \ Omega: X (\ omega) \ in A \})}$ ${\ displaystyle \ nu (\ {\ omega \ in \ Omega: X (\ omega) \ in A \})}$ notația este adesea folosită

P_{X}(A)=P(X\in A).

{\ displaystyle P_ {X} (A) = P (X \ în A).}

{\ displaystyle P_ {X} (A) = P (X \ în A).}

Pentru variabilele aleatorii cu valoare reală , legea probabilității variabilei aleatoare $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ se numește funcția de distribuție și este definită ca $F(x)=P(X\leq \ x)$ ${\ displaystyle F (x) = P (X \ leq \ x)}$ $F (x) = P (X \ leq \ x)$ .

În general, distribuțiile de probabilitate sunt împărțite în două clase:

dacă variabila aleatorie $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este discret, adică setul de valori posibile (rangul sau suportul pentru $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ ) este finit sau numărabil , distribuția de probabilitate este o distribuție discretă și se numește funcția de masă (sau funcția de masă de probabilitate sau densitatea discretă ):

p(x)=P(X=x)

{\ displaystyle p (x) = P (X = x)}

p (x) = P (X = x)

dacă variabila aleatorie $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este continuu, adică setul de valori posibile are puterea continuă , distribuția probabilității este o distribuție continuă și este definită ca:

P(X\in A)=\int _{A}f(x)dx

{\ displaystyle P (X \ în A) = \ int _ {A} f (x) dx}

P (X \ în A) = \ int _ {A} f (x) dx

unde este

f

{\ displaystyle f}

f

este o funcție non-negativă numită funcția densității probabilității .

Descrierea unui fenomen aleatoriu, adică un fenomen care poate fi caracterizat de o variabilă aleatorie, înseamnă descrierea acestuia în termeni de distribuție a probabilității și a parametrilor săi, cum ar fi valoarea și varianța așteptate .

Unele variabile aleatorii utilizate în statistici

Variabilele aleatorii sunt împărțite în principal în două clase mari, discrete și continue (sau absolut continue): Exemple de primul tip:

variabilă aleatorie uniformă discretă
Variabila aleatorie Bernoulli , caz special al binomului
variabilă aleatoare binomială
Variabila aleatorie Poissoniană numită și „legea evenimentelor rare”
variabilă aleatorie geometrică , caz special al distribuției Pascal
variabilă aleatorie hipergeometrică
variabilă aleatorie degenerată

Exemple de al doilea tip:

Cu toate acestea, aceste clase nu sunt exhaustive din familia variabilelor aleatorii; există, de asemenea, o a treia clasă, de variabile aleatoare singulare sau continue singulare , cum ar fi variabila aleatoare a lui Cantor .

Teorema reprezentării lui Lebesgue ne asigură că fiecare funcție de distribuție (și deci fiecare variabilă aleatorie) poate fi reprezentată ca o combinație convexă a unei funcții de distribuție discrete, continue și singulare. Variabilele aleatorii care nu aparțin niciunei dintre cele trei clase se spune că sunt mixte .

Cu toate acestea, se poate arăta că clasele de variabile aleatoare discrete și variabile aleatoare continue sunt dense în clasa tuturor variabilelor aleatoare în raport cu convergența în distribuție , adică pentru fiecare variabilă aleatorie există o secvență de vc discretă (respectiv continuă) care converge în distribuție la variabila dată.

Notă

^ Definiția lui Aleatorio , pe treccani.it . Adus pe 9 februarie 2015 .
^ DELI, Dicționar etimologic al limbii italiene , Zanichelli, 2009.

Bibliografie

Remo Cacciafesta, Lecții de calcul al probabilității , Roma, Veschi, 1983.
Giorgio Dall'Aglio, Calculul probabilității , Bologna, Zanichelli, 2003.
(EN) Bert Lawrence Fristedt Grey, O abordare modernă a teoriei probabilității , Boston, Birkhäuser, 1996 ISBN 3-7643-3807-5 .
( EN ) Olav Kallenberg , Random Measures , ediția a 4-a, Berlin, Akademie Verlag , 1986, ISBN 0-12-394960-2 , MR MR0854102 .
( EN ) Olav Kallenberg, Foundations of Modern Probability , ediția a II-a, Berlin, Springer Verlag , 2001, ISBN 0-387-95313-2 .
( EN ) Athanasios Papoulis , Probability, Random Variables, and Stochastic Processes , ediția a IX-a, Tokyo, McGraw - Hill , 1965, ISBN 0-07-119981-0 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikiversitatea conține resurse pentru variabile aleatorii
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere cu variabile aleatorii

linkuri externe

( EN ) Variabilă aleatorie , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 27896 · LCCN (EN) sh85111355 · GND (DE) 4129514-6 · BNF (FR) cb121355344 (data)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Definiția lui Aleatorio , pe treccani.it . Adus pe 9 februarie 2015 .

[2] DELI, Dicționar etimologic al limbii italiene , Zanichelli, 2009.

[1]

[2]